专题03 幂、指数、对数（考点清单+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

清单03 幂、指数、对数（7个考点梳理+提升训练） 【清单01】幂与指数： 1.根式的概念 （1）一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根. 其中式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 当为奇数时，次方根记作； 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作． （2）性质：①； ②当为奇数时，； ③当为偶数时，． ④0的任何次方根都是0，记作. ⑤； ⑥Q）； ⑦N*且． 2.指数幂的运算性质：若，可得：①；②；③. 3.定理：当时，恒成立．（此定理有时也称为幂的基本不等式） 【清单02】对数 1. 在，且时，只要，方程总有唯一的解. 2. 对数的定义：在，，且的条件下，唯一满足的数，称为以为底的对数，并用符号表示，而称为真数． 注意：对数的底是不等于1的正数．负数和零没有对数． 3. 对数恒等式： 4. ，（，且） 5. 通常我们把以为底的对数叫做常用对数，并简记作，即； 以无理数为底的对数叫做自然对数，并简记作，即． 6. 对数的运算规则 对数性质1 当时，成立． 对数性质2 当时，成立． 对数性质3 当时，对任何给定的实数，成立． 7. 对数换底公式：当时，． 8. 其他常见对数运算公式：如果且，，那么 ①．②；③（且）．④， 【考点题型一】根式与幂的互化 【例1】用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)；(2)；(3)；(4)． 【变式1-1】用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)；(2)；(3)；(4). 【变式1-2】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】幂的运算 【例2】用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【变式2-1】（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【变式2-2】求下列各根式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【变式2-3】(1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-4】（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【变式2-5】（1）已知，求的值； （2）已知、，求的值． 【考点题型三】对数的定义 【例3】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若对数有意义，则的取值范围是 ． 【变式3-2】求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 【考点题型四】指数与对数式的互化 【例4】将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【变式4-1】将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【变式4-2】将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-3】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型五】对数的运算性质 【例5】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式5-1】下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-3】计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式5-4】已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【变式5-5】已知，，用a、b表示. 【考点题型六】换底公式 【例6】求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式6-1】已知，，求（用a，b表示）． 【变式6-2】已知，.求的值. 【变式6-3】已知x，y，z为正数，若，求的值． 【变式6-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】对数方程 【例7】解方程：． 【变式7-1】求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【变式7-2】求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 幂、指数、对数（7个考点梳理+提升训练） 【清单01】幂与指数： 1.根式的概念 （1）一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根. 其中式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 当为奇数时，次方根记作； 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作． （2）性质：①； ②当为奇数时，； ③当为偶数时，． ④0的任何次方根都是0，记作. ⑤； ⑥Q）； ⑦N*且． 2.指数幂的运算性质：若，可得：①；②；③. 3.定理：当时，恒成立．（此定理有时也称为幂的基本不等式） 【清单02】对数 1. 在，且时，只要，方程总有唯一的解. 2. 对数的定义：在，，且的条件下，唯一满足的数，称为以为底的对数，并用符号表示，而称为真数． 注意：对数的底是不等于1的正数．负数和零没有对数． 3. 对数恒等式： 4. ，（，且） 5. 通常我们把以为底的对数叫做常用对数，并简记作，即； 以无理数为底的对数叫做自然对数，并简记作，即． 6. 对数的运算规则 对数性质1 当时，成立． 对数性质2 当时，成立． 对数性质3 当时，对任何给定的实数，成立． 7. 对数换底公式：当时，． 8. 其他常见对数运算公式：如果且，，那么 ①．②；③（且）．④， 【考点题型一】根式与幂的互化 【例1】用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式1-1】用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【变式1-2】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B. 【考点题型二】幂的运算 【例2】用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1)；(2)(3)；(4)；(5) 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【变式2-1】（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【答案】（1），（2） 【解析】的立方根为； 256的4次方根为. 【变式2-2】求下列各根式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)3 【解析】（1）； （2）； （3） （4）. 【变式2-3】(1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3；(2)；(3)100；(4) 【解析】（1）因为（）， 所以； （2）因为（）， 所以； （3）因为（）， 所以； （4）因为（）， 所以. 【变式2-4】（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【解析】（1） ； （2） ； （3）. 【变式2-5】（1）已知，求的值； （2）已知、，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为， 所以，即，解得， 可得； （2） . 【考点题型三】对数的定义 【例3】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 【变式3-1】若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3-2】求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）依题意，，解得，即的取值范围为. （2）依题意，，解得或，即的取值范围为. 【考点题型四】指数与对数式的互化 【例4】将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【解析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 【变式4-1】将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【解析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 故答案为：；；；. 【变式4-2】将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式4-3】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)1000. 【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 【考点题型五】对数的运算性质 【例5】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【解析】（1）. （2）. （3） . （4）. （5） . 【变式5-1】下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，由对数的运算性质知，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以选项D正确； 故选：C. 【变式5-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7；(2)1；(3)0；(4) 【解析】（1）方法一  ． 方法二  ． （2）． （3） （4） 【变式5-3】计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式5-4】已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1） （2） （3） 【变式5-5】已知，，用a、b表示. 【答案】 【解析】由，，则，， 则； 【考点题型六】换底公式 【例6】求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1） （2） （3） 【变式6-1】已知，，求（用a，b表示）． 【答案】 【解析】因为，所以． 所以 ． 【变式6-2】已知，.求的值. 【答案】2 【解析】因为，所以, 因为，所以, 所以 【变式6-3】已知x，y，z为正数，若，求的值． 【答案】 【解析】令， 所以，，， 因为x，y，z为正数，所以， 所以． 【变式6-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， ，故. 故选：A. 【考点题型七】对数方程 【例7】解方程：． 【答案】或 【解析】即， 所以，所以或， 所以或． 【变式7-1】求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由，得． （2）由，得，即， 又，且，则． 【变式7-2】求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 【变式7-3】方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$