专题01 指对数运算及指对幂函数的图像与性质17大考点精讲（寒假复习讲义）高一数学沪教版

专题01 指数对数运算+指对幂函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点： （一）指数运算 1.实数指数幂的定义 正整数指数幂：（n个a相乘，） 零指数幂：（核心限制：） 负整数指数幂：（，） 分数指数幂：当，且时，；（注：时，分数指数幂不一定有意义，如无意义） 2.根式的核心性质 （，；为偶数时，需满足） 的化简：为奇数时，；为偶数时， 3.指数运算法则（核心公式） 对任意正数，任意实数，有： （二）对数运算 1.对数的定义（指数与对数互化核心） 如果（其中，，），则. 常用对数： 自然对数：（） 2.对数的基本性质 负数和0没有对数（真数） ； 对数恒等式：； 3.对数运算法则 若，，，，则： （） 4.换底公式及推论 换底公式：（且，） 推论：；（） （三）指对幂函数的图像与性质 1.指数函数：（，） 核心性质 当时 当时 定义域 （全体实数） （全体实数） 值域 （正实数集） （正实数集） 单调性 在上单调递增 在上单调递减 定点 过定点 过定点 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 2.对数函数：（，） 与指数函数互为反函数，图像关于直线对称. 核心性质 当$a>1$时 当时 定义域 （正实数集） （正实数集） 值域 （全体实数） （全体实数） 单调性 在上单调递增 在上单调递减 定点 过定点 过定点 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 3.幂函数：（，重点研究有理数） 核心共性：过定点 定义域与值域：由决定（例：时定义域；时定义域；时定义域） 单调性：时，在上单调递增；时，在上单调递减 奇偶性：由决定（例：、为奇函数；为偶函数；非奇非偶） 二、核心概念比较（易混淆点区分） （一）指数函数vs幂函数 对比维度 指数函数（，） 幂函数（） 解析式核心差异 底数为常数，指数为变量 底数为变量，指数为常数 底数/变量限制 底数必满足且 变量的限制由决定（如时） 图像共性 过定点 过定点，第一象限必有图像 （二）指数函数vs对数函数 对比维度 指数函数（，） 对数函数（，） 核心关系 互为反函数，图像关于直线对称 定义域与值域 定义域，值域 定义域，值域 单调性 同底数下单调性一致：递增，递减 同底数下单调性一致：递增，递减 定点 过 过（定点关于对称） 三、易错辨析（高频易错点汇总） （一）指数运算易错点 1.忽略零指数、负指数前提：如误认有意义，或未考虑.辨析：非零数的零指数幂为1，负指数幂是倒数，底数必不为0. 2.根式化简混淆奇偶指数：如的错误.辨析：偶数根结果非负，奇数根结果与被开方数符号一致. 3.分数指数幂滥用：如的错误.辨析：为偶数时需，否则无意义. （二）对数运算易错点 1.忽略真数正性：如求定义域时未强调.辨析：真数必为正数，是对数定义的核心前提. 2.滥用对数运算法则：如的错误.辨析：运算法则仅适用于积、商、幂，不适用于和、差. 3.换底公式遗漏限制：如未注意新底数且.辨析：新底数需满足对数底数的通用限制，保证对数有意义. （三）函数性质易错点 1.混淆指幂函数形式：如误将当作幂函数.辨析：变量在指数上为指数函数，在底数上为幂函数. 2.对数函数单调性判断错误：如认为“底数越大越递增”.辨析：单调性由底数范围决定，递增，递减. 3.幂函数定义域判断错误：如误将定义域视为.辨析：定义域由决定，需结合根式意义分析. 四、重点记忆内容（必背核心） （一）核心公式 1.指数运算法则：、、（，） 2.对数运算法则：、、（，） 3.换底公式：（推论：） （二）关键性质 1.指数函数：过，值域，单调性由决定. 2.对数函数：过，定义域，与互为反函数. 3.幂函数：过，单调性由符号决定. （三）解题核心要点 1.运算前先判断底数、真数限制条件（如、）. 2.比较函数值大小：同底数用单调性，不同底数用中间值（0或1）过渡. 3.解决函数问题：优先考虑定义域，再分析单调性、奇偶性. 【考点1 指数的运算与化简】 例1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 变式1．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 变式2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数，，化简： . 【考点2 对数的运算性质】 例2 （25-26高一上·上海松江·期中）若方程的两根为、， 则 ． 变式1.（25-26高一上·上海·期中）、为正实数，若，，则的最小值为 ． 变式2.（25-26高一上·上海·期中）若实数，满足，，则 . 【考点3 换底公式】 例3. （25-26高一上·上海·期中）已知，用表示 ． 变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知均为正实数，若，则的值为 . 变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足： (1)若满足方程：，求的值； (2)若，求的值. 【考点4 幂函数的定义域值域问题】 例4. （24-25高三上·上海·月考）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 变式2.（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为 ． 【考点5 幂函数的单调性奇偶性】 例5. （25-26高一上·江苏南通·期中）若幂函数为偶函数，且在区间上递增，则 . 变式1.（25-26高一上·上海闵行·期中）已知幂函数，且在上为严格增函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 变式2.（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【考点6 指数函数的定点问题】 例6. （25-26高一上·上海·期中）函数的图象恒过定点 . 变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为 . 变式2.（24-25高一下·上海·月考）已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是 ． 【考点7 指数型函数的定义域】 例7. （24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 变式1.（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为 ． 变式2.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【考点8 指数型函数的单调性】 例8 （25-26高三上·上海·期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 变式1.（25-26高一上·上海静安·月考）若函数在上严格减，则的取值范围是 . 变式2.（2023高一上·上海·专题练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值为 ． 【考点9 指数型函数的值域与最值】 例9. （24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 变式1.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 变式2.（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【考点10 指数型函数的奇偶性】 例10 （2024上海课堂例题）（1）记，求时t的值； （2）是否存在正数a，使函数是偶函数？ 变式1.（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知函数，其中且，是实数常数. (1)求函数的定义域； (2)是否存在常数b，使函数为奇函数? 【考点11 指数型函数性质综合】 例11. （24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 变式1.（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 变式2.（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【考点12 对数型函数的定义域】 例12. （25-26高一上·上海·月考）函数的定义域是 ． 变式1.（2025高三上·上海·专题练习）函数的定义域为 ． 变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ， 【考点13 对数型函数的单调性】 例13. （24-25高一下·上海金山·月考）函数的单调增区间为 . 变式1.（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 变式2.（25-26高三上·上海静安·月考）已知函数=在上时为增函数.则的取值范围为 . 【考点14 对数型函数的奇偶性】 例14 （24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则 ． 变式1.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数． (1)求函数的定义域； (2)证明：函数图象关于y轴对称． 变式2.（2024高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为集合A，集合，且． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：函数是奇函数但不是偶函数． 【考点15 对数型函数的值域与最值】 例15. （24-25高一下·上海·月考）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 变式1.（24-25高一上·上海·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 变式2.（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的值域是 . 【考点16 指对幂的比较大小】 例16 （2025·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若，则下列不等式不成立的是 ．（填写所有不成立的不等式的序号） ①；②；③；④． 变式2.（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则与的大小关系是 ． 【考点17 对数型函数性质综合问题】 例17 （24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果定义域为R的函数具有“性质”，求实数的取值范围． 变式1.（2024高一·上海·专题练习）已知函数，. (1)如果，求函数的值域； (2)求函数的最大值； (3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式2.（23-24高三上·上海杨浦·月考）设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为 . 一、单选题 1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）对任意实数表示不超过的最大整数，例如．已知：，则为（　　） A．0 B．1 C． D． 二、填空题 3．（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 4．（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为 ．（从、、、中选择一个填写） 5．（25-26高一上·上海·月考）若，则用表示 6．（25-26高一上·上海·期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为 ． 7．（2025·上海杨浦·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则 . 8．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为 ． 9．（25-26高一上·上海·期中）下列命题中真命题的是 （填上所有你认为正确的命题序号）． （1）当时，函数的图象是一条直线； （2）幂函数的图象都经过和两个点； （3）若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在定义域上是严格增函数； （4）幂函数的图象不可能在第四象限． 10．（25-26高一上·上海·期中）已知（且），则 11．（25-26高三上·上海·期中）定义在区间 上的函数 满足：①对任意， ；② ，若任意 ，则整数 的值为 ． 三、解答题 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，与函数关于原点对称 (1)求函数的解析式 (2)已知，求的最大值及取最大值时的值． 13．（25-26高三上·上海·期中）已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 14．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数且，且函数的图象过点. (1)求的值； (2)求关于实数的不等式的解集； (3)已知常数，记集合，，若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 15．（25-26高一上·上海·期中）已知，，设关于x的不等式的解集为A. (1)若，求a的取值范围； (2)当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； (3)若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围. 16．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在严格增，． (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 指数对数运算+指对幂函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点： （一）指数运算 1.实数指数幂的定义 正整数指数幂：（n个a相乘，） 零指数幂：（核心限制：） 负整数指数幂：（，） 分数指数幂：当，且时，；（注：时，分数指数幂不一定有意义，如无意义） 2.根式的核心性质 （，；为偶数时，需满足） 的化简：为奇数时，；为偶数时， 3.指数运算法则（核心公式） 对任意正数，任意实数，有： （二）对数运算 1.对数的定义（指数与对数互化核心） 如果（其中，，），则. 常用对数： 自然对数：（） 2.对数的基本性质 负数和0没有对数（真数） ； 对数恒等式：； 3.对数运算法则 若，，，，则： （） 4.换底公式及推论 换底公式：（且，） 推论：；（） （三）指对幂函数的图像与性质 1.指数函数：（，） 核心性质 当时 当时 定义域 （全体实数） （全体实数） 值域 （正实数集） （正实数集） 单调性 在上单调递增 在上单调递减 定点 过定点 过定点 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 2.对数函数：（，） 与指数函数互为反函数，图像关于直线对称. 核心性质 当$a>1$时 当时 定义域 （正实数集） （正实数集） 值域 （全体实数） （全体实数） 单调性 在上单调递增 在上单调递减 定点 过定点 过定点 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 3.幂函数：（，重点研究有理数） 核心共性：过定点 定义域与值域：由决定（例：时定义域；时定义域；时定义域） 单调性：时，在上单调递增；时，在上单调递减 奇偶性：由决定（例：、为奇函数；为偶函数；非奇非偶） 二、核心概念比较（易混淆点区分） （一）指数函数vs幂函数 对比维度 指数函数（，） 幂函数（） 解析式核心差异 底数为常数，指数为变量 底数为变量，指数为常数 底数/变量限制 底数必满足且 变量的限制由决定（如时） 图像共性 过定点 过定点，第一象限必有图像 （二）指数函数vs对数函数 对比维度 指数函数（，） 对数函数（，） 核心关系 互为反函数，图像关于直线对称 定义域与值域 定义域，值域 定义域，值域 单调性 同底数下单调性一致：递增，递减 同底数下单调性一致：递增，递减 定点 过 过（定点关于对称） 三、易错辨析（高频易错点汇总） （一）指数运算易错点 1.忽略零指数、负指数前提：如误认有意义，或未考虑.辨析：非零数的零指数幂为1，负指数幂是倒数，底数必不为0. 2.根式化简混淆奇偶指数：如的错误.辨析：偶数根结果非负，奇数根结果与被开方数符号一致. 3.分数指数幂滥用：如的错误.辨析：为偶数时需，否则无意义. （二）对数运算易错点 1.忽略真数正性：如求定义域时未强调.辨析：真数必为正数，是对数定义的核心前提. 2.滥用对数运算法则：如的错误.辨析：运算法则仅适用于积、商、幂，不适用于和、差. 3.换底公式遗漏限制：如未注意新底数且.辨析：新底数需满足对数底数的通用限制，保证对数有意义. （三）函数性质易错点 1.混淆指幂函数形式：如误将当作幂函数.辨析：变量在指数上为指数函数，在底数上为幂函数. 2.对数函数单调性判断错误：如认为“底数越大越递增”.辨析：单调性由底数范围决定，递增，递减. 3.幂函数定义域判断错误：如误将定义域视为.辨析：定义域由决定，需结合根式意义分析. 四、重点记忆内容（必背核心） （一）核心公式 1.指数运算法则：、、（，） 2.对数运算法则：、、（，） 3.换底公式：（推论：） （二）关键性质 1.指数函数：过，值域，单调性由决定. 2.对数函数：过，定义域，与互为反函数. 3.幂函数：过，单调性由符号决定. （三）解题核心要点 1.运算前先判断底数、真数限制条件（如、）. 2.比较函数值大小：同底数用单调性，不同底数用中间值（0或1）过渡. 3.解决函数问题：优先考虑定义域，再分析单调性、奇偶性. 【考点1 指数的运算与化简】 例1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【分析】（1）直接由指数幂的运算可得；（2）先将等式完全平方求出，再平方可得，由立方差的公式可求. 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 变式1．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 变式2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数，，化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂运算即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 【考点2 对数的运算性质】 例2 （25-26高一上·上海松江·期中）若方程的两根为、， 则 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理结合对数恒等式可求得结果. 【详解】因为方程的两根为、，由韦达定理可得， 故. 故答案为：. 变式1.（25-26高一上·上海·期中）、为正实数，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由条件得到，再令，得到，，结合基本不等式求得即可求解. 【详解】由，得， 所以， 令，则， 所以， 且，且， 解得：，即，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最小值为2， 故答案为：2 变式2.（25-26高一上·上海·期中）若实数，满足，，则 . 【答案】 【分析】通过对数的定义将、转化为对数形式，利用换底公式将分式转化为对数运算，再结合对数的运算法则求解. 【详解】由，得，故. 由，得，故. 因此，. 故答案为： 【考点3 换底公式】 例3. （25-26高一上·上海·期中）已知，用表示 ． 【答案】 【分析】应用指对数运算得出，再应用换底公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以用表示， 故答案为：. 变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知均为正实数，若，则的值为 . 【答案】1 【分析】对等式同取对数，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简求解即可. 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足： (1)若满足方程：，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一元二次方程求出，然后根据指数和对数的互换求出. （2）根据指数和对数的互换和对数的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为满足，所以， 解得或. 因为，所以. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以，所以. 【考点4 幂函数的定义域值域问题】 例4. （24-25高三上·上海·月考）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【分析】由幂函数的性质可知，，再结合条件，即可求解. 【详解】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 变式2.（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为 ． 【答案】 【分析】代入点可得，结合即可得函数值域. 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 【考点5 幂函数的单调性奇偶性】 例5. （25-26高一上·江苏南通·期中）若幂函数为偶函数，且在区间上递增，则 . 【答案】 【分析】由函数为幂函数、且为偶函数和在区间上递增求出即可. 【详解】因为函数为幂函数，且在区间上递增， 所以为偶数且， 解得：，又， 所以可能为：， 当时，不满足题意， 当时，满足题意， 当时，不满足题意， 故答案为：. 变式1.（25-26高一上·上海闵行·期中）已知幂函数，且在上为严格增函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质列式求解. （2）由（1）的结论，结合单调性列出不等式组求解即得. 【详解】（1）由幂函数在上为严格增函数， 得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知的定义域为，又在上单调递增， 不等式，解得， 所以的取值范围是. 变式2.（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值. （2）由（1）求出，再利用单调性及偶函数性质求解不等式. 【详解】（1）由，得幂函数在区间上单调递减， 则，解得，又，则m的值为， 由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数， 所以. （2）由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减， 不等式，则， 解得或，所以的取值范围是. 【考点6 指数函数的定点问题】 例6. （25-26高一上·上海·期中）函数的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为 . 【答案】 【分析】令，得到定点的横坐标，代入求出纵坐标即可. 【详解】令，得到；当时，， 所以函数的图像恒经过定点. 故答案为： 变式2.（24-25高一下·上海·月考）已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数（且）恒过点， 所以函数（且）恒过点，即. 故答案为： 【考点7 指数型函数的定义域】 例7. （24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解； （2）利用指数函数性质结合分式的定义求解； 【详解】（1）由题意，，，所以定义域为； （2）由题意，即，所以定义域为； （3）由题意，即，，，所以定义域为． 变式1.（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为 ． 【答案】 4 【分析】对于（1），运用指数函数限制条件列不等式求解； 对于（2），待定系数法求出解析式后将代入求解. 【详解】（1）已知指数函数，则，且， 解得或，且， 实数的取值范围是. （2）代入指数函数，得，解得（负值舍去）， 所以解析式，当时，. 故答案为：；4． 变式2.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数型函数定义域的求法即可得解. 【详解】（1）对于，有，解得， 故的定义域为； （2）对于，有，即， 故的定义域为. 【考点8 指数型函数的单调性】 例8 （25-26高三上·上海·期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】对任意，都有成立，可知函数在上单调递减， 则，解得， 故答案为：. 变式1.（25-26高一上·上海静安·月考）若函数在上严格减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性结合指数函数、二次函数的单调性列不等式组即可解得的取值范围. 【详解】因为函数在上严格减， 所以，解得，则的取值范围是. 故答案为：. 变式2.（2023高一上·上海·专题练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得为一个常数，令这个常数为，即可得到，，从而求出，即可得到解析式，从而代入计算可得. 【详解】函数在定义域上是单调函数，且， 为一个常数， 令这个常数为， 则有① ，②， 由①得③， 由②得， 因为在定义域上单调递增，且， 所以解得， 因此， 所以． 故答案为：． 【考点9 指数型函数的值域与最值】 例9. （24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解. 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 变式1.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 变式2.（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解. 【详解】当时，在上单调递增， 所以时，； 当时，， ①若，则在上单调递增，在上单调递减， 则时，，即时，， 又时，， 此时，函数的值域为，不满足题意，舍去； ②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去； ③当时，在上单调递减， 则时，，即时，， 因为函数的值域为， 又时，； 则时，且， 不等式解得：， 不等式等价于时，， 设（）， 因为在上单调递增，在上是增函数， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 则不等式解得：， 所以时，的解集为， 综上：实数的取值范围是， 故答案为：. 【考点10 指数型函数的奇偶性】 例10 （2024上海课堂例题）（1）记，求时t的值； （2）是否存在正数a，使函数是偶函数？ 【答案】（1）或；（2）存在，使函数是偶函数 【分析】（1）解方程＝可得答案； （2）由偶函数的定义可得 对于任意实数恒成立，对方程变形分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，若，则， 解可得或； （2）根据题意，，， 假设存在正数a，使函数为偶函数，则， 即 对于任意实数恒成立， 变形可得：，解可得， 解得，，且， 故存在，使函数是偶函数． 变式1.（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知函数，其中且，是实数常数. (1)求函数的定义域； (2)是否存在常数b，使函数为奇函数? 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）函数定义域满足，解得答案. （2）假设函数为奇函数，计算，得到答案. 【详解】（1）的定义域满足，即， 故函数定义域为； （2）若函数为奇函数， 则，即. 故存在常数，使为奇函数. 【考点11 指数型函数性质综合】 例11. （24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】将条件转换为若对任意的，总有恒成立，分离参数结合基本不等式即可求解. 【详解】， 所以若对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值且最小值是2， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式1.（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 【答案】(1)①不是，②是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题中定义判断①②即可； （2）分析可知在上是严格减函数．且恒成立，求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）当时，化简函数的解析式，结合题中定义可证得结论成立；然后就、两种情况讨论，结合题中定义进行推导，说明定义不成立，即可证得结论成立. 【详解】（1）①不是，②是，理由如下： 对于①，，取，则， 所以两个函数不是“在上的函数对”； 对于②，在上是严格减函数， 当时，，则，故此时的函数值恒大于零， 所以这两个函数是“在上的函数对”. （2）由题意函数在上是严格减函数，且在上恒成立， 故有在上恒成立， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围为． （3）证明：当时， ， 因为函数、在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 得在上是严格减函数，且对任意恒成立. 当时， 在上恒成立， 取，得，不成立； 此时函数和不是“在上的函数对”． 当时，则， 当时，， 取，得， 所以函数在上不是减函数， 此时函数和不是“在上的函数对”． 综上，的值有且仅有一个. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 变式2.（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、 (2) (3)是， 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案． 【详解】（1）解：因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述的取值范围为 （3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以，， 当时，，，； 当时，，， 因为函数在上单调递减，所以，； 当时，，， 因为函数在上单调递增， 所以，. 综上所述： 故是上的“阶收缩函数”，且小正整数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 【考点12 对数型函数的定义域】 例12. （25-26高一上·上海·月考）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数式的意义列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式1.（2025高三上·上海·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求对数函数的定义域需要满足真数大于0，所以只需解二次不等式. 【详解】要使函数有意义， 只需，即， 解得或， ∴函数的定义域为. 故答案为： 变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ， 【答案】 【分析】由题意得到恒成立，结合判别式即可求解. 【详解】由函数的定义域为，可得恒成立， 即， 解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 【考点13 对数型函数的单调性】 例13. （24-25高一下·上海金山·月考）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令且，解得，可知函数的定义域为， 因为，且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性知，函数在内单调递增，在内单调递减，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 变式1.（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【答案】D 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【详解】函数， 当时，，单调递增. 当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 变式2.（25-26高三上·上海静安·月考）已知函数=在上时为增函数.则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，，由函数在上单调递减，可得函数在上单调递减且，分别对，，三种情况讨论，从而可求解. 【详解】由函数=在上时为增函数， 令，，则函数在上单调递减， 所以在上单调递减且， 当时，在上单调递减， 因为时，，故不符题意； 当时，函数为二次函数开口向下，不满足在上恒成立，故不符题意； 当时，函数为二次函数开口向上， 则可得，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 【考点14 对数型函数的奇偶性】 例14 （24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故，经检验符合题意. 所以. 故答案为：. 变式1.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数． (1)求函数的定义域； (2)证明：函数图象关于y轴对称． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据真数大于零，列不等式组求解即可； （2）任取函数上一点，设关于y轴对称点，只需要说明点满足函数解析式即可证明． 【详解】（1）因为且， 所以， 故函数的定义域为：； （2）在上任取点， 则， 设关于y轴对称点， 显然满足， 即也在上， 所以函数图象关于y轴对称． 变式2.（2024高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为集合A，集合，且． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：函数是奇函数但不是偶函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由＞0可求得的定义域A，由，且，列式计算可求得答案； （2）可证得，从而可得结论成立． 【详解】（1）由＞0得，∴函数的定义域； 又，且，∴，解得，即； （2）∵， ∴，， ∴函数是奇函数但不是偶函数． 【考点15 对数型函数的值域与最值】 例15. （24-25高一下·上海·月考）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性计算可得. 【详解】若，则在上单调递增， 则，解得； 若，则在上单调递减， 又当时，所以函数在上的值域不可能为，故舍去； 综上可得. 故答案为： 变式1.（24-25高一上·上海·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】， 当时，，存在最大值，不满足值域为， 当，，值域为，满足题意； 当，若的值域为，同时必有， 解得， 综上实数的取值范围是， 故答案为： 变式2.（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用整体思想先求真数的范围，再根据对数函数的单调性计算即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递增， 所以. 故答案为：. 【考点16 指对幂的比较大小】 例16 （2025·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数，的图像， 则分别是函数，的图像与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 观察图像得当时，， 当时，， 当时，， 所以ABC是可能的，D不可能. 故选：D 变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若，则下列不等式不成立的是 ．（填写所有不成立的不等式的序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以， 所以，，，. 故答案为：①④ 变式2.（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法，结合换底公式可比较大小. 【详解】 ， 因为， 所以，，，， 所以，即， 故答案为：. 【考点17 对数型函数性质综合问题】 例17 （24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果定义域为R的函数具有“性质”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）取验证即可判断； （2）通过，转换成证明恒成立即可. （3）通过对任意恒成立，讨论三种情况即可. 【详解】（1）当时， ，则不具有“性质”． （2）若要证具有“性质”，则 只需要证成立即可， 又，则，恒成立， 则具有“性质”． （3）因为函数定义域为R，所以, 因为函数具有“性质”， 所以， 则对任意恒成立， 当时，成立， 当时，或． 变式1.（2024高一·上海·专题练习）已知函数，. (1)如果，求函数的值域； (2)求函数的最大值； (3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）令，，，得到，根据二次函数的性质得到最值. （2）化简得到，分别计算最值得到答案. （3）不等式化简为对一切恒成立，考虑和两种情况，根据函数单调性分别计算最值得到答案. 【详解】（1），令，，， 则． 当时，取得最大值为，当时，函数取得最小值为， 的值域为． （2）函数， ， 当时，，． 当时，，． 即 当时，最大值为1；当时，． 综上：当时，取到最大值为1． （3）对任意，不等式恒成立， 即． ，，对一切恒成立． 当时，． 当，，在上是减函数，，． 综上所述，的取值范围为． 变式2.（23-24高三上·上海杨浦·月考）设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，当时，则有：，可得：，或因此只需要，即可得出． 【详解】解：由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为， 当时， 则有： 那么：① 当或时， 或 只需要， 即： 得：② 把①式代入②， 得：， 化为：， ，解得． 的最大值为． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得出在上单调递增，，然后将不等式等价变形为即可求解. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 2．（25-26高一上·上海·期中）对任意实数表示不超过的最大整数，例如．已知：，则为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用取整函数的性质得到的取值情况，即可得到答案. 【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数，所以其中有个不是整数. 故. 故选：D. 二、填空题 3．（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【答案】23 【分析】由初始条件求得参数值，再代入计算可得． 【详解】由题意，所以，即， 所以时，， 故答案为：23. 4．（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为 ．（从、、、中选择一个填写） 【答案】 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增； 当时，幂函数在上单调递减； 且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大. 因为，所以与对应的曲线为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·月考）若，则用表示 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算性质及换底公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】时，，讨论时，取得最小值，确定的取值范围. 【详解】当时，，无最值，所以需时，取得最小值. 当时，， 若，则在单调递减，， 则当时，在定义域内存在最小值 ； 若，则在上恒为，在定义域内存在最小值； 若，则在单调递增，，无最小值，则在定义域内也不存在最小值. 综上可知，若函数存在最小值，则实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（2025·上海杨浦·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则 . 【答案】 【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得. 又因为为偶函数，所以，. 因为，所以 . 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】; 【分析】根据指数函数的单调性和绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】由指数函数单调性，原不等式可化为， 两边平方得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 9．（25-26高一上·上海·期中）下列命题中真命题的是 （填上所有你认为正确的命题序号）． （1）当时，函数的图象是一条直线； （2）幂函数的图象都经过和两个点； （3）若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在定义域上是严格增函数； （4）幂函数的图象不可能在第四象限． 【答案】（4） 【分析】求出定义域可得（1）；举出反例可得（2）、（3）；由可得（4）. 【详解】对（1）：当时，函数，定义域为， 故该函数的图象是一条直线缺一个点，故（1）错误； 对（2）：例如时，函数，定义域为， 此时函数图象不过点，故（2）错误； 对（3）：例如时，函数，定义域为， 此时该函数的图象关于原点成中心对称， 但在定义域上不是严格增函数，故（3）错误； 对（4）：当时，恒成立，故幂函数的图象不可能在第四象限，故（4）正确. 故答案为：（4）. 10．（25-26高一上·上海·期中）已知（且），则 【答案】 【分析】利用立方差公式将因式分解，再化简求值即可. 【详解】； 故答案为： 11．（25-26高三上·上海·期中）定义在区间 上的函数 满足：①对任意， ；② ，若任意 ，则整数 的值为 ． 【答案】-3或-2 【分析】把函数不等式转化为代数不等式，根据不等式在给定区间上恒成立，结合对勾函数求出参数的取值范围即可 【详解】根据函数的定义域，当时，恒成立， 所以在上恒成立. 设函数，当时，（当且仅当时取等号）， 所以. 又. 且在上单调递增，所以， 所以在上恒成立. 设，则函数在上单调递减，所以. 所以. 综上：，又为整数，所以或. 故答案为：-3或-2. 三、解答题 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，与函数关于原点对称 (1)求函数的解析式 (2)已知，求的最大值及取最大值时的值． 【答案】(1)； (2)时，取得最大值13 【分析】（1）在任取一点，则在函数上，代入化简后即得函数的解析式； （2）由题可得，结合题意可得，利用二次函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】（1）由题可得函数与函数关于原点对称， 则在任取一点，则在函数上， 则得，故. （2）由题 函数的定义域为，要使函数有意义， 需使，解得，即， 所以， 当，即时，. 故当时，函数取得最大值. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）求出的定义域，再求出定义域；求出的表达式，解对数不等式即可； （2）求出，由函数只有一个零点，得到只有一解，由得到，代入，得到，从而得到关于的方程只有一个正根，讨论和两种情况求解即可. 【详解】（1），，，， ，的定义域，中，， 的定义域. ，，，，， 不等式的解集为. （2）， ， 函数只有一个零点， 只有一解，，， ，，， ，恒成立，关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，则有， 方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为或. 14．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数且，且函数的图象过点. (1)求的值； (2)求关于实数的不等式的解集； (3)已知常数，记集合，，若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)5； (2)； (3). 【分析】（1）将点代入函数解析式即可求解； （2）令，转化问题为解一元二次不等式，进而求解即可； （3）由题意可得，求出集合，整理，进而分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题意，函数的图象过点，且， 则，解得. （2）由，则， 令，则，即， 则，解得， 又，则，即，即， 所以关于实数的不等式的解集为. （3）由题意，“”是“”的必要条件，则， 而， 由， 当，即时，，此时，满足； 当，即时，函数在上单调递减， 且时，，时，， 此时， 要使，则，解得； 当，即时，函数在上单调递增， 且时，，时，， 此时， 要使，则，解得. 综上所述，的取值范围为. 15．（25-26高一上·上海·期中）已知，，设关于x的不等式的解集为A. (1)若，求a的取值范围； (2)当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； (3)若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设有，故可求； （2）就、、分类讨论后可求的取值范围； （3）原不等式等价于，从而在上恒成立，参变分离后可求的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故. （2）即为，故， 若，则，故不等式的解为， 因为不等式有且仅有两个整数，故即； 若，不等式的解集为空集，不合题意，舍； 若，则，故不等式的解为， 此时无整数解，舍； 综上，. （3）即为或者， 也就是， 而时，恒成立，故时，需恒成立， 也就是在上恒成立， 故，故在上恒成立， 而当时，恒成立，故， 当时，设，则， 由双勾函数的单调性可得在为增函数， 故，故，故. 16．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在严格增，． (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由幂函数的定义可知，再由在严格增，即可确定的值及的解析式； （2）将不等式转化为，再根据和的大小关系分情况讨论即可得解； （3）将条件转化为在上恒成立，当时，进一步转化为在上恒成立，再通过求二次函数在上的取值范围即可得解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 即，解得或, 又因为在严格增，所以，所以； （2）由（1）可知，所以， 由，可得， 即，即. 因为方程的两根为和， 当时，不等式解得或； 当时，原不等式可化为，不等式解得； 当时，不等式解得或； 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （3）由（1）可知， 由可得， 即，即 若在上恒成立， 即①在上恒成立. 当时，①式可化为恒成立，此时； 当时，， ①式可化为，即在上恒成立. 设，， 因为在上单调递增， 所以，， 所以在上恒成立，需要. 综上可知，实数a的取值范围为. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $