第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末总结-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算法则，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0，1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点． 3．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决． 4．比较几个数的大小是指数函数、对数函数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法等． 5．求含有指数函数或对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 6．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式，特别是非常规的方程或不等式时，画出图象，利用数形结合能起到十分快捷的效果． 7．在建立函数模型解决实际问题中，某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y时，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为： 第一步，审题，引进数学符号，建立函数模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步，求解函数模型．利用所学数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答． 第三步，转译成实际问题的解． 一、指数运算、对数运算 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的． 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算法则并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 化简：÷×. [解]　原式＝÷×＝× ×ab＝ab＝a. 求值：2log32－log3＋log38－25log53. [解]　原式＝log34－log3＋log38－52log53＝log3－5log59＝log39－9＝2－9＝－7. 二、指数函数、对数函数、幂函数的典型问题 指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论． 1．求定义域 函数y＝的定义域是(　　) A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] [解析]　由题意得－27≥0，所以≥27，即≥，又指数函数y＝为R上的减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1. [答案]　C 函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2] C．[－2，2] D．(－1，2] [解析]　要使函数有意义，需即解得x∈(－1，0)∪(0，2]． [答案]　B 2．比较大小问题 若0<x<y<1，则(　　) A．3y<3x B．logx3<logy3 C．log4x<log4y D.< [解析]　因为0<x<y<1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误；对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”，因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误；对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确；对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误． [答案]　C 比较三个数0.32，log20.3，20.3的大小． [解]　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.3<log21＝0，20.3>20＝1，∴log20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log20.3<0.32<20.3. 3．单调性问题 (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b [解析]　函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又＜2－＜＜1，所以f＜f＜f，所以b＞c＞a.故选A. [答案]　A 三、函数的图象问题 对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象． 1．图象的变换 为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x图象上所有的点(　　) A．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 [解析]　∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需将函数y＝lg x图象上所有的点向左平移3个单位，再向下平移1个单位，即可得到函数y＝lg 的图象． [答案]　C 2．根据图象比较指数的大小 已知函数①y＝xa，②y＝xb，③y＝xc，④y＝xd的图象如图所示，则有理数a，b，c，d的大小关系为(　　) A．d<c<b<a B．a<d<c<b C．b<c<a<d D．a<c<d<b [解析]　由幂函数的图象可知，a<0，b>c>1，0<d<1，所以a<d<c<b.故选B. [答案]　B 3．根据函数解析式确定图象 已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　) [解析]　由f(4)g(－4)<0知a2×loga4<0，∴loga4<0，∴0<a<1，∴f(x)和g(x)在(0，＋∞)上都是减函数． [答案]　B 四、函数的应用 解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数的定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入资金x(单位：千万元)的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金) [解]　(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝(x>0)． 将(1，1)，(4，2)代入y＝kxa， 得∴ ∴生产B芯片的毛收入y＝(x>0)． (2)由>，得x>16； 由＝，得x＝16； 由<，得0<x<16. ∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大． (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元生产A芯片． 公司所获净利润f(x)＝＋－2＝－(－2)2＋9，0<x<40， 故当＝2，即x＝4时，公司所获净利润最大，为9千万元． 五、数学思想方法 在解决与指数函数、对数函数、幂函数相关的问题中，常常用到多种思想方法．如比较大小、解不等式要对底数或其中的参数进行分类讨论；复合函数常常要转化成简单的二次函数、一次函数；方程、不等式往往转化成函数来解决，同时利用函数图象，也体现了数形结合思想，等等． 1．函数与方程思想 若方程lg (x－1)＋lg (3－x)＝lg (a－x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围． [解]　原方程等价于 即 由a＝－x2＋5x－3＞x，得1＜x＜3. 故原不等式组的解集为{x|1＜x＜3}． 设函数f(x)＝－x2＋5x－3，因为1<x<3， 所以函数f(x)的值域为， 所以实数a的取值范围是. 2．转化与化归思想、数形结合思想 方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(2，3) C．(1，2) D．(3，＋∞) [解析]　方程log3x＋x＝3可变形为log3x＝3－x，而方程log3x＝3－x的解，就是函数y＝log3x的图象和函数y＝3－x的图象交点的横坐标，根据两个函数的图象可知两个函数图象的交点的横坐标一定在区间(1，3)内． 因为函数f(x)＝log3x＋x－3在区间(1，2)上不满足f(1)f(2)<0，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(2，3)．故选B. [答案]　B 3．分类讨论思想 已知函数f(x)＝，当x∈[－1，1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)． [解]　∵x∈[－1，1]，∴∈， ∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝－2a＋3＝＋3－a2. 令t＝，则t∈. 若a<，则当t＝，即x＝1时， ymin＝－＋3＝－； 若≤a≤3，则当t＝a， 即x＝loga时，ymin＝3－a2； 若a>3，则当t＝3，即x＝－1时， ymin＝9－6a＋3＝12－6a. 综上可知，g(a)＝ 3 学科网（北京）股份有限公司 $$