第四章 指数函数、对数函数与幂函数 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第四章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 指数幂的运算 指数函数与对数函数的关系 平均变化率的概念 指数函数模型的应用 指数型函数性质的应用 指数型函数的图象 中间量法比较指数、对数、幂函数的大小 指数函数与对数函数性质的综合应用 指数与对数的互化及对数的运算法则 指数、对数函数的性质与图象 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 指数、对数、幂函数增长速度的比较 指数函数图象过定点问题 幂函数的概念与性质的应用 换底公式的应用 对数函数的性质及应用 指数型函数的性质及应用 换底公式；利用指数型函数的最值求参数 幂函数模型的应用 对数型函数的新定义问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 时间：120分钟　　　满分：150分 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 解析：依题意可得，g(x)＝log3x，∴g(2)＝log32. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 3．已知函数y＝－2x3＋2，则该函数在区间[0，2]上的平均变化率为(　　) A．8 B．－8 C．16 D．－16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 4．(2024·四川南充开学考试)“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式．加快降低碳排放的步伐，有利于引导绿色技术创新，提高产业和经济的竞争力．某企业准备在新能源产业上布局，计划第1年投入a万元，此后每年投入的资金比上一年增长12%，到第N年，投入的资金首次超过2a万元，则N＝(　　) (参考数据：lg 7≈0.845，lg 2≈0.3) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 6．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 7．三个数a＝70.3，b＝0.37，c＝ln 0.3的大小顺序是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b 解析：∵a＝70.3>1，0<b＝0.37<1，c＝ln 0.3<0，∴a>b>c. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 解 析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若10a＝4，10b＝25，则(　　) A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab>8(lg 2)2 D．b－a>lg 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 10．下列结论中正确的是(　　) A．函数y＝ax＋2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象向上平移2个单位得到 B．函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称 C．方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1，3} D．函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 解 析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 11．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲在最前面 B．当x>1时，乙在最前面 C．当0<x<1时，丁在最前面；当x>1时，丁在最后面 D．如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 解析：路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而可知当0<x<1时，丁在最前面，当x>1时，丁在最后面，所以C正确；指数函数的增长速度是先慢后快，而且呈爆炸式增长，故当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲，所以D正确．故选CD. 解 析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)＝－a2x－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过的定点坐标是________． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 答案 解析 (0，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝1－2ax－a2x(a>0且a≠1)． (1)当a＝3时，求函数f(x)的值域； (2)当a>1，x∈[－2，1]时，f(x)的最小值为－7，求a的值． 解：(1)当a＝3时，函数f(x)＝1－2×3x－32x， 令t＝3x(t>0)，则g(t)＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2， 因为t>0，所以－(t＋1)2＋2<1，即f(x)<1， 故函数f(x)的值域为(－∞，1)． (2)由(1)可得f(x)＝－(ax＋1)2＋2，因为a>1，所以函数y＝ax为增函数且y>0，所以函数f(x)为减函数，由x∈[－2，1)时，f(x)的最小值为－7，得f(1)＝－7， 所以－(a1＋1)2＋2＝－7且a>1，解得a＝2. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 17．(本小题满分15分)已知常数a(a>1)及变量x，y之间存在关系式logax＋3logxa－logxy＝3. (1)若x＝at(t≠0)，用a，t表示y； (2)若已知(1)中的t在区间[1，＋∞)内变化时，y有最小值8，则这时a的值是多少？x的值是多少？ 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 18．(本小题满分17分)某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q(单位：万元)，事先根据相关资料得出它们与投入资金x(单位：万元)的数据分别如下表和图所示，其中已知甲的利润模型表达式为P＝ax＋b(a≠0)，乙的利润模型表达式为Q＝c＋dxα(c，d，α为参数，且d≠0)． x 20 40 60 80 P 33 36 39 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 (1)请根据表中与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x的函数模型表达式； (2)今将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元．设对乙种产品投入资金m(单位：万元)，并设总利润为y(单位：万元)，如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润． x 20 40 60 80 P 33 36 39 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 　　　　　　　　　　　　　 R 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简aeq \s\up6(\f(2,3))×beq \s\up6(\f(1,2))×(－3aeq \s\up6(\f(1,2))×beq \s\up6(\f(1,3)))÷\up6(\f(1,6))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a)×beq \s\up6(\f(5,6))) 的结果为(　　) A．6a B．－a C．－9a D．9a 解析：aeq \s\up6(\f(2,3))×beq \s\up6(\f(1,2))×(－3aeq \s\up6(\f(1,2))×beq \s\up6(\f(1,3)))÷\up6(\f(1,6))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a)×beq \s\up6(\f(5,6))) ＝－3aeq \s\up6(\f(2,3))＋eq \s\up6(\f(1,2))×beq \s\up6(\f(1,2))＋eq \s\up6(\f(1,3))÷\up6(\f(1,6))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a)×beq \s\up6(\f(5,6))) ＝－9aeq \s\up6(\f(2,3))＋eq \s\up6(\f(1,2))－eq \s\up6(\f(1,6))×beq \s\up6(\f(1,2))＋eq \s\up6(\f(1,3))－eq \s\up6(\f(5,6))＝－9a. 2．已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为(　　) A．9 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．log32 解析：由题意可知x1＝0，x2＝2，所以y1＝－2×0＋2＝2，y2＝－2×23＋2＝－14，所以Δx＝x2－x1＝2，Δy＝y2－y1＝－14－2＝－16.所以该函数在区间[0，2]上的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－16,2)＝－8.故选B. 解析：令a(1＋12%)N－1>2a，解得N－1>log1.122＝eq \f(lg 2,lg 1.12)＝eq \f(lg 2,4lg 2＋lg 7－2)≈6.67，故N＝8.故选D. 5．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝eq \f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为f(x)＝eq \f(xex,eax－1)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝eq \f(xex,eax－1)－eq \f(（－x）e－x,e－ax－1)＝eq \f(x[ex－e（a－1）x],eax－1)＝0，又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 解析：y＝|f(x)|≥0，排除C；取x＝eq \f(1,2)，则y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝|eq \r(2)－2|＝2－eq \r(2)<1，排除D；取x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))－2))＝2－eq \f(\r(2),2)>1，排除A.故选B. 8．(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A．log2eq \f(y1＋y2,2)<eq \f(x1＋x2,2) B．log2eq \f(y1＋y2,2)>eq \f(x1＋x2,2) C．log2eq \f(y1＋y2,2)<x1＋x2 D．log2eq \f(y1＋y2,2)>x1＋x2 解析：由题意不妨设x1<x2，因为函数y＝2x是增函数，所以0<2x1<2x2，即0<y1<y2，对于A，B，因为eq \f(2x1＋2x2,2)>eq \r(2x1·2 x2)＝2eq \s\up6(\f(x1＋x2,2))，即eq \f(y1＋y2,2)>2eq \s\up6(\f(x1＋x2,2))>0，又函数y＝log2x是增函数，所以log2eq \f(y1＋y2,2)>log22eq \s\up6(\f(x1＋x2,2))＝eq \f(x1＋x2,2)，故A错误，B正确；对于C，例如x1＝－1，x2＝－2，则y1＝eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1,4)，可得log2eq \f(y1＋y2,2)＝log2eq \f(3,8)＝log23－3∈(－2，－1)，即log2eq \f(y1＋y2,2)>－3＝x1＋x2，故C错误；对于D，例如x1＝0，x2＝1，则y1＝1，y2＝2，可得log2eq \f(y1＋y2,2)＝log2eq \f(3,2)∈(0，1)，即log2eq \f(y1＋y2,2)<1＝x1＋x2，故D错误．故选B. 解析：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，b－a＝lg 25－lg 4＝lg eq \f(25,4)>lg 6，ab＝lg 4×lg 25＝4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2.故选ACD. 解析：对于A，函数y＝ax＋2(a>0且a≠1)的图象可由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象向上平移2个单位得到，故A正确；对于B，函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，故B错误；对于C，由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝x2－2，,2x＋1>0，,x2－2>0，))解得x＝3，故C错误；对于D，函数f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，又f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故D正确．故选AD. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析：令2x－1＝0，解得x＝eq \f(1,2)，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－a0＋2＝1，所以f(x)的图象恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 13．(2024·山东德州期末)已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝eq \f(1,2)，若f(a)≥f(2－a2)，则实数a的取值范围是________． 解析：设f(x)＝xα，则4α＝eq \f(1,2)，解得α＝－eq \f(1,2)，故f(x)＝xeq \s\up7(-\f(1,2))，定义域为(0，＋∞)，且f(x)在定义域上单调递减，又f(a)≥f(2－a2)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,2－a2>0，,a≤2－a2，))解得0<a≤1. eq \f(1,2) 14．已知a>b>1，若logab＋logba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则logab＝____，a＋b＝____． 解析：∵logab＋logba＝logab＋eq \f(1,logab)＝eq \f(5,2)，∴logab＝2或eq \f(1,2).∵a>b>1，∴logab<logaa＝1，∴logab＝eq \f(1,2)，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4，∴a＋b＝6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))x. (1)求当x<0时，f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)≤2. 解：(1)当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))(－x)， 又因为f(x)为奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－logeq \s\do9(\f(1,2))(－x)． (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0.因为f(x)≤2， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,log\s\do9(\f(1,2))x≤2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－log\s\do9(\f(1,2))（－x）≤2))或x＝0， 解得x≥eq \f(1,4)或－4≤x≤0， 所以不等式f(x)≤2的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤0或x≥\f(1,4))))). 解：(1)用换底公式可将原方程化为 logax＋eq \f(3,logax)－eq \f(logay,logax)＝3， 若x＝at(t≠0)，则t＝logax≠0， 故有t＋eq \f(3,t)－eq \f(logay,t)＝3， 整理，得logay＝t2－3t＋3， ∴y＝at2－3t＋3(t≠0)． (2)由(1)，知y＝a t2－3t＋3＝a(t－eq \s\up7(\f(3,2)))2＋eq \s\up7(\f(3,4))(t≥1)， ∵a>1，∴当t＝eq \f(3,2)时，y有最小值aeq \s\up6(\f(3,4))， 由已知，得aeq \s\up6(\f(3,4))＝8， ∴a＝8eq \s\up6(\f(4,3))＝24＝16， 此时x＝at＝16eq \s\up6(\f(3,2))＝43＝64. 综上所述，a＝16，x＝64. 解：(1)将点(20，33)，(40，36)代入函数模型表达式P＝ax＋b， 可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝33，,40a＋b＝36，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,20)，,b＝30，)) 所以P＝eq \f(3,20)x＋30，x≥0. 将点(0，40)，(36，58)，(100，70)代入函数模型表达式Q＝c＋dxα， 可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＋0＝40，,c＋36αd＝58，,c＋100αd＝70，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝40，,d＝3，,α＝\f(1,2)，)) 所以Q＝40＋3eq \r(x)，x≥0. (2)根据题意，对乙种产品投入资金m万元，则对甲种产品投入资金(300－m)万元， 那么总利润y＝eq \f(3,20)×(300－m)＋30＋40＋3eq \r(m)＝－eq \f(3,20)m＋3eq \r(m)＋115. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥75，,300－m≥75，))得75≤m≤225， 所以y＝－eq \f(3,20)m＋3eq \r(m)＋115，75≤m≤225. 令t＝eq \r(m)，m∈[75，225]，则t∈[5eq \r(3)，15]， 所以y＝－eq \f(3,20)t2＋3t＋115＝－eq \f(3,20)(t－10)2＋130， 所以当t＝10，即m＝100时，ymax＝130. 所以当甲产品投入资金200万元，乙产品投入资金100万元时，总利润最大，为130万元． 19．(2024·广东潮州期初考试)(本小题满分17分)对于定义在区间[m，n]上的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f(x)－g(x)|≤1成立，则称函数f(x)与g(x)在区间[m，n]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．现在有两个函数f(x)＝loga(x－3a)与g(x)＝logaeq \f(1,x－a)(a>0且a≠1)，给定区间[a＋2，a＋3]． (1)若f(x)与g(x)在区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围； (2)讨论函数f(x)与g(x)在区间[a＋2，a＋3]上是否“友好”． 解：(1)f(x)与g(x)在区间[a＋2，a＋3]上都有意义， 可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2－3a>0，,a＋2－a>0，))解得a<1， 又a>0，所以a的取值范围为(0，1)． (2)假设f(x)与g(x)在区间[a＋2，a＋3]上是“友好”的， 则|f(x)－g(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|≤1， 即－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1， 因为a∈(0，1)，所以2a∈(0，2)，a＋2>2，所以[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧，可知y＝x2－4ax＋3a2在区间[a＋2，a＋3]上为增函数， 由复合函数的单调性可得y＝loga(x2－4ax＋3a2)在区间[a＋2，a＋3]上为减函数， 所以当x＝a＋2时，y＝loga(x2－4ax＋3a2)取得最大值，ymax＝loga(4－4a)， 当x＝a＋3时，y＝loga(x2－4ax＋3a2)取得最小值，ymin＝loga(9－6a)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga（4－4a）≤1，,loga（9－6a）≥－1，,0<a<1，)) 解得0<a≤eq \f(9－\r(57),12)， 所以当0<a≤eq \f(9－\r(57),12)时，f(x)与g(x)在区间[a＋2，a＋3]上是“友好”的； 当eq \f(9－\r(57),12)<a<1时，f(x)与g(x)在区间[a＋2，a＋3]上是“不友好”的． $$