第六章 平面向量初步 章末总结-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第六章　平面向量初步章末总结 知识系统整合 规律方法收藏 学科素养培优 目录 知识系统整合 知识系统整合 4 堵点自记：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 知识系统整合 5 规律方法收藏 1．向量的线性运算方法 (1)向量的加法 ①三角形法则：首尾相连； ②平行四边形法则：共始点； ③坐标运算：对应坐标相加，满足交换律、结合律． (2)向量的减法 ①三角形法则：共始点，指向被减向量； ②相反向量：可以通过相反向量，把向量的减法化为加法； 规律方法收藏 7 ③引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量始点统一； ④坐标运算：对应坐标相减． (3)数乘向量 ①几何运算； ②代数运算； ③运算律满足分配律； ④坐标运算：结果依然是向量． 规律方法收藏 8 (4)平面向量基本定理 ①基底化：找出平面内两个不共线的向量组成基底，从而表示该平面内任一向量； ②坐标化：选取合适的原点建立平面直角坐标系表示平面内各点的坐标，进而表示向量的坐标． 2．向量的应用 (1)在平面几何中的应用． (2)在物理中的应用． 规律方法收藏 9 学科素养培优 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的基本原则和求解策略如下： (1)基本原则：向量线性运算的结果仍为向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略：①向量的线性运算类似于多项式的运算，多项式运算中的一些常用的变形手段，如去括号、移项、合并同类项、提取公因式等在向量的线性运算中同样适用；②向量是一个“有形”的几何量，在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． 一、平面向量及其线性运算 学科素养培优 11 解析 答案 学科素养培优 12 解 学科素养培优 13 解 学科素养培优 14 解 学科素养培优 15 二、平面向量基本定理与向量的坐标 平面向量基本定理的引入为向量的加、减、数乘的坐标运算提供了有力的理论依据，利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底，常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题． 向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题． 学科素养培优 16 设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋b与2a＋kb共线，求实数k的值． 解 学科素养培优 17 解 学科素养培优 18 解 学科素养培优 19 解 学科素养培优 20 解 学科素养培优 21 解 学科素养培优 22 利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算来解决问题的． 三、平面向量线性运算的应用 学科素养培优 23 解 用向量法证明三角形的三条中线交于一点． 学科素养培优 24 解 学科素养培优 25 解 学科素养培优 26 解 学科素养培优 27 学科素养培优 28 解 学科素养培优 29 　　　　　　　　　　　　　 R 如图，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD的中点，则eq \o(EF,\s\up12(→))＝(　　) A．eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→)) B．eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→)) C．eq \o(AG,\s\up12(→))＋eq \o(DH,\s\up12(→)) D．eq \o(BG,\s\up12(→))＋eq \o(GH,\s\up12(→)) 解析　如图，连接BD交EF于点M，连接MH，MG，则四边形AEMG和四边形MFCH都是平行四边形，所以eq \o(EM,\s\up12(→))＝eq \o(AG,\s\up12(→))，eq \o(DH,\s\up12(→))＝eq \o(HC,\s\up12(→))＝eq \o(MF,\s\up12(→))．则有eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(EM,\s\up12(→))＋eq \o(MF,\s\up12(→))＝eq \o(AG,\s\up12(→))＋eq \o(DH,\s\up12(→))．故选C． 化简下列各式： (1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)； (2)eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2a－b)＋\f(1,2)b－\f(1,3)(a－b)))． 解　(1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c＝－a－b＝－(a＋b)． (2)原式＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b＋\f(1,2)b－\f(1,3)a＋\f(1,3)b)) ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,2)＋\f(1,3)))b)) ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)a－\f(1,6)b)) ＝eq \f(5,12)a－eq \f(1,24)b． 如图所示，在ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝eq \f(1,4)BC，且eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，试用向量a，b表示向量eq \o(AM,\s\up12(→))，eq \o(MH,\s\up12(→))，eq \o(AF,\s\up12(→))，eq \o(MD,\s\up12(→))． 解　eq \o(BM,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(MC,\s\up12(→))＝b－eq \f(1,4)b＝eq \f(3,4)b， eq \o(AM,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BM,\s\up12(→))＝a＋eq \f(3,4)b． eq \o(MH,\s\up12(→))＝eq \o(AH,\s\up12(→))－eq \o(AM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)b－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,4)b))＝－a－eq \f(1,4)b． eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BF,\s\up12(→))＝a＋eq \f(1,4)b． eq \o(MD,\s\up12(→))＝eq \o(MH,\s\up12(→))＋eq \o(HD,\s\up12(→))＝－a－eq \f(1,4)b＋eq \f(1,2)b＝－a＋eq \f(1,4)b． 所以eq \o(AM,\s\up12(→))＝a＋eq \f(3,4)b，eq \o(MH,\s\up12(→))＝－a－eq \f(1,4)b， eq \o(AF,\s\up12(→))＝a＋eq \f(1,4)b，eq \o(MD,\s\up12(→))＝－a＋eq \f(1,4)b． 解　∵向量ka＋b与2a＋kb共线， ∴存在实数λ使ka＋b＝λ(2a＋kb)， 即(k－2λ)a＝(kλ－1)b． ∵a，b不共线，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－2λ＝0，,kλ－1＝0))⇒k2＝2， ∴k＝±eq \r(2)． INCLUDEPICTURE "F:\\李艳\\PPT\\541数学（必修第二册导学案（B版\\典例5灰.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·甘肃武威高一月考)如图，在△ABC中，已知eq \o(AD,\s\up12(→))＝2eq \o(DC,\s\up12(→))，eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AC,\s\up12(→))＝b． (1)若eq \o(BD,\s\up12(→))＝3eq \o(BF,\s\up12(→))，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求eq \f(AF,AE)的值． 解　(1)证明：因为eq \o(AD,\s\up12(→))＝2eq \o(DC,\s\up12(→))，eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up12(→))， 所以eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(2,3)b，eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \f(1,4)(b－a)， 又eq \o(BD,\s\up12(→))＝3eq \o(BF,\s\up12(→))，所以eq \o(BF,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→)))＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b－a))＝eq \f(2,9)b－eq \f(1,3)a， 因为eq \o(AE,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BE,\s\up12(→))＝a＋eq \f(1,4)(b－a)＝eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b，eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BF,\s\up12(→))＝a＋eq \f(2,9)b－eq \f(1,3)a＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,9)b， 所以eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \f(8,9) eq \o(AE,\s\up12(→))，又eq \o(AE,\s\up12(→))，eq \o(AF,\s\up12(→))有公共点A， 所以A，F，E三点共线． (2)设eq \o(BF,\s\up12(→))＝λeq \o(BD,\s\up12(→))，则eq \o(AF,\s\up12(→))＝a＋λeq \o(BD,\s\up12(→))＝a＋λ(eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→)))＝(1－λ)a＋eq \f(2λ,3)b， 由(1)知eq \o(AE,\s\up12(→))＝eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b， 由题意，知A，F，E三点共线， 设eq \o(AF,\s\up12(→))＝μeq \o(AE,\s\up12(→))， 则(1－λ)a＋eq \f(2λ,3)b＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝eq \f(3μ,4)a＋eq \f(μ,4)b， 因为a，b不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(3μ,4)，,\f(2λ,3)＝\f(μ,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3)，,μ＝\f(8,9)，)) 所以eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \f(8,9) eq \o(AE,\s\up12(→))，所以eq \f(AF,AE)＝eq \f(8,9)． 已知向量eq \o(AB,\s\up12(→))＝(4，3)，eq \o(AD,\s\up12(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足eq \o(PB,\s\up12(→))＝λeq \o(BD,\s\up12(→))(λ∈R)，求y与λ的值． 解　(1)设B(x1，y1)． ∵eq \o(AB,\s\up12(→))＝(4，3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))∴B(3，1)． 同理得D(－4，－3)． 设线段BD的中点M(x2，y2)， 则x2＝eq \f(3－4,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1－3,2)＝－1， ∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))． (2)由(1)及题意，知eq \o(PB,\s\up12(→))＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，eq \o(BD,\s\up12(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． ∵eq \o(PB,\s\up12(→))＝λeq \o(BD,\s\up12(→))， ∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).)) 解　如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点， 令eq \o(AC,\s\up12(→))＝a，eq \o(BC,\s\up12(→))＝b为基底， 则eq \o(AB,\s\up12(→))＝a－b，eq \o(AD,\s\up12(→))＝a－eq \f(1,2)b， eq \o(BE,\s\up12(→))＝－eq \f(1,2)a＋b， 设AD与BE交于点G，且eq \o(AG,\s\up12(→))＝λeq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(BG,\s\up12(→))＝μeq \o(BE,\s\up12(→))， 则有eq \o(AG,\s\up12(→))＝λa－eq \f(λ,2)b，eq \o(BG,\s\up12(→))＝－eq \f(μ,2)a＋μb． 又有eq \o(AG,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BG,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(μ,2)))a＋(μ－1)b， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1－\f(μ,2)，,－\f(λ,2)＝μ－1，))解得λ＝μ＝eq \f(2,3)． ∴eq \o(AG,\s\up12(→))＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b，eq \o(CG,\s\up12(→))＝eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(AG,\s\up12(→))＝－a＋eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b＝－eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(－a－b)． 而eq \o(CF,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(－a－b)，∴eq \o(CG,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CF,\s\up12(→))． ∴点G在CF上，∴AD，BE，CF交于一点G， 即三角形的三条中线交于一点． 如图，在平面直角坐标系中，|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝2|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝2，∠OAB＝120°，eq \o(BC,\s\up12(→))＝(－1，eq \r(3))． (1)求点B，C的坐标； (2)求证：四边形OABC为等腰梯形． 解　(1)如图，连接OB，设B(xB，yB)， 则xB＝|eq \o(OA,\s\up12(→))|＋|eq \o(AB,\s\up12(→))|cos60°＝eq \f(5,2)， yB＝|eq \o(AB,\s\up12(→))|sin60°＝eq \f(\r(3),2)， ∴eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))＋(－1，eq \r(3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))， ∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))． (2)证明：∵eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))， ∴eq \o(OC,\s\up12(→))＝3eq \o(AB,\s\up12(→))，∴eq \o(OC,\s\up12(→))∥eq \o(AB,\s\up12(→))． 又易知OA与BC不平行，|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝2， ∴四边形OABC为等腰梯形． INCLUDEPICTURE "F:\\李艳\\PPT\\541数学（必修第二册导学案（B版\\典例9灰.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·山东聊城高一月考)如图1所示，有两个定滑轮A和B，一个动滑轮O，定滑轮两侧各挂了相同质量的重物，动滑轮下方施加一个竖直向下的力，当θ＝60°时，动滑轮受力如图2所示，设|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|，求eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))． 解　根据题意，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB， 由向量加法的平行四边形法则， 知eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→))， 又|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))|，∠AOB＝120°， 则|eq \o(OD,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))|，且∠BOD＝60°， 又由∠BOC＝120°且|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|， 则eq \o(OD,\s\up12(→))＝－eq \o(OC,\s\up12(→))， 故有eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))＝0． $$