6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点之间的距离公式与中点坐标公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第六章　平面向量初步 6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 第1课时　平面向量的坐标及其运算、两点之间的距离公式与中点坐标公式 (教师独具内容) 课程标准：1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 教学重点：1．了解正交基底，掌握向量的正交分解及坐标表示．2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．3．掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式． 教学难点：平面向量坐标运算的应用． 核心素养：1．通过学习向量的正交分解及坐标表示培养数学抽象素养．2．通过学习平面向量的坐标运算、平面直角坐标系内两点之间的距离公式和中点坐标公式提升数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 垂直 a⊥b 正交基底 正交分解 (x，y) a＝(x，y) (x，y) (x，y) 核心概念掌握 5 它们的坐标对应相等 (x1＋x2，y1＋y2) x1＝x2且y1＝y2 (ux1＋vx2，uy1＋vy2) (ux1－vx2，uy1－vy2) 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 1．(正交基底下向量的坐标)在平面直角坐标系内，已知i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示为a＝________． 3．(向量的坐标运算)若a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是___________． 4．(中点坐标)已知点M(－2，5)，N(6，－1)，则MN的中点坐标为_______． (1，－2) (－1，－4) (－3，－4) 答案 (2，2) 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　平面向量的坐标表示 　已知向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O； ④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)． 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 核心素养形成 10 解析　由平面向量基本定理，知①正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误． 解析 核心素养形成 11 【感悟提升】求平面向量坐标的三种方法 (1)定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量e1，e2表示出来． (2)平移法：将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． (3)作差法：用向量终点的坐标减去始点的坐标． 核心素养形成 12 解 【跟踪训练】 1．如图，分别用单位正交基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标． 核心素养形成 13 题型二　平面向量的坐标运算　 　 设向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求下列各向量的坐标． (1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b． 解　(1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)． (3)3a＝3(－1，2)＝(－3，6)． (4)2a＋5b＝2(－1，2)＋5(3，－5)＝(－2，4)＋(15，－25)＝(13，－21)． 解 核心素养形成 14 【感悟提升】　平面向量坐标的线性运算 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行计算． (2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行． 核心素养形成 15 答案 解析 【跟踪训练】 2．(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则|c|＝______． 核心素养形成 16 解 (2)已知向量a＝(x2－3x－4，x＋3)，b＝(0，2)，若a＝b，求x的值． 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 【感悟提升】两点之间的距离公式与中点坐标公式的运用 (1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标． (2)求线段的长度时，注意利用两点之间的距离公式求解． 核心素养形成 20 解 核心素养形成 21 解 核心素养形成 22 核心素养形成 23 解 核心素养形成 24 【感悟提升】 1．进行向量坐标运算的常见方法 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用． (2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解． (3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数． 核心素养形成 25 2．利用向量的坐标运算求参数的思路 已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解． 核心素养形成 26 解 核心素养形成 27 解 核心素养形成 28 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 解析：解法一：将各向量用单位向量i，j表示为a＝－4i＋0j，∴a＝(－4，0)．b＝0i＋6j，∴b＝(0，6)．c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)． 解法二：分别将向量a，b，c的始点平移到原点，则终点坐标即为向量的坐标，得a＝(－4，0)，b＝(0，6)，c＝(－2，－5)． 解法三：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a＝(－6，2)－(－2，2)＝(－4，0)，b＝(2，6)－(2，0)＝(0，6)，c＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)． 答案 解析 2．向量a，b，c如图所示，则向量a，b，c的坐标分别是(　　) A．(4，0)，(0，6)，(2，5) B．(－4，0)，(0，－6)，(－2，5) C．(4，0)，(0，－6)，(－2，－5) D．(－4，0)，(0，6)，(－2，－5) 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 答案 解析 －4 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 平面向量的坐标运算 利用平面向量的坐标运算求模 平面图形中向量的坐标运算 利用平面向量的坐标运算求模 平面直角坐标系的建立及 应用 正交基底下向量的坐标表示 平面向量坐标运算的 应用 两点之间的距离 公式 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标表示及运算 由平面向量的坐标运算求参数 平面图形中向量的坐标运算 平面图形中向量的坐标运 算；两点间的距离公式 由平面向量的坐标运算求 参数 平面向量的坐标运算及在几何图形中的应用 平面向量的坐标运算及应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2．(2023·北京高考)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则a＝(0，2)，b＝(2，1)，所以|a|2－|b|2＝4－5＝－1．故选B． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 三、填空题 8．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB＋2BC＝________． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 答案 解析 (1，－1) (1，1) (－1，1) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 答案 解析 (－2，－4) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　平面向量的坐标 (1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b______，记作______． (2)正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中,e1⊥e2，就称这组基底为___________． (3)正交分解：在正交基底下向量的分解称为向量的____________． (4)平面向量的坐标 ①一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称________为向量a的坐标，记作____________． ②如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量eq \o(OA,\s\up12(→))(O为坐标原点)对应的坐标也为________，即eq \o(OA,\s\up12(→))＝________；反之，这一结论也成立． 知识点二　平面上向量的运算与坐标的关系 (1)向量的运算 已知平面上的两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． ①a＝b⇔________________．即平面上两个向量相等的充要条件是__________________ ________． ②a＋b＝__________________． ③ua＋vb＝_____________________． ④ua－vb＝_____________________． (2)向量的模：如果向量a＝(x，y)，则|a|＝_________． eq \r(x2＋y2) 知识点三　两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点． (1)两点之间的距离公式 AB＝|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝______________________． (2)中点坐标公式 设线段AB的中点为M(x，y)，则x＝_________，y＝_________． eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2) eq \f(x1＋x2,2) eq \f(y1＋y2,2) 2．(向量坐标与其起点坐标、终点坐标的关系)若点A(3，5)，B(2，1)，则向量eq \o(AB,\s\up12(→))的坐标为___________． 解：由题图可知a＝eq \o(AA1,\s\up12(→))＋eq \o(AA2,\s\up12(→))＝2i＋3j， ∴a＝(2，3)． 同理可得b＝－2i＋3j＝(－2，3)，c＝－2i－3j＝(－2，－3)，d＝2i－3j＝(2，－3)． eq \f(\r(185),3) 解析：由已知得3c＝－a＋2b＝(－5，2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))，所以|c|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(185),3)． 解：因为a＝b，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－4＝0，,x＋3＝2，)) 解得x＝－1． 题型三　两点之间的距离公式与中点坐标公式 　已知平面内的三个点A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)． (1)求eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))的坐标； (2)求AB＋AC的长． 解　(1)∵A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)， ∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝(7－1，0＋2)＝(6，2)， eq \o(AC,\s\up12(→))＝(－5－1，6＋2)＝(－6，8)． ∴eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))＝(－3，4)， ∴eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))＝(6，2)＋(－3，4)＝(3，6)． (2)由两点之间的距离公式，得 AB＝eq \r((7－1)2＋(0＋2)2)＝eq \r(36＋4)＝2eq \r(10)， AC＝eq \r((－5－1)2＋(6＋2)2)＝eq \r(36＋64)＝10， ∴AB＋AC＝10＋2eq \r(10)． 故AB＋AC的长为10＋2eq \r(10)． 【跟踪训练】 3．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量eq \o(AC,\s\up12(→))＝(－4，－3)，M为BC的中点． (1)求点M的坐标； (2)求BC＋2BM的长． 解：(1)设C(x，y)，则eq \o(AC,\s\up12(→))＝(x－0，y－1)＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y－1＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，)) 所以C(－4，－2)， 由中点坐标公式知，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－4,2)，\f(2－2,2)))， 即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))． (2)由两点之间的距离公式，可知 BC＝eq \r((－4－3)2＋(－2－2)2)＝eq \r(49＋16)＝eq \r(65)， BM＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－3))\s\up12(2)＋(0－2)2)＝eq \r(\f(49,4)＋4)＝eq \f(\r(65),2)． 所以BC＋2BM＝eq \r(65)＋eq \r(65)＝2eq \r(65)． 所以BC＋2BM的长为2eq \r(65)． 题型四　平面向量坐标运算的应用 (2024·云南曲靖高一月考)已知点O(0，0)，A(2，1)，B(4，3)，eq \o(OP,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋teq \o(OB,\s\up12(→))． (1)若点P在第一象限，求t的取值范围； (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 解　(1)eq \o(OP,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋teq \o(OB,\s\up12(→))＝(2，1)＋t(4，3)＝(4t＋2，3t＋1)，因为点P在第一象限，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t＋2>0，,3t＋1>0，))解得t＞－eq \f(1,3)，即t的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))． (2)若四边形OABP是平行四边形，则eq \o(OP,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))，由(1)，知eq \o(OP,\s\up12(→))＝(4t＋2，3t＋1)，而eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2，2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t＋2＝2，,3t＋1＝2，))方程组无解，故四边形OABP不能成为平行四边形． 【跟踪训练】 4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，2)，B(4，3)，C(3，6)，eq \o(AP,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋λeq \o(AC,\s\up12(→))(λ∈R)． (1)当实数λ为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上？ (2)若点P在第三象限内，求实数λ的取值范围． 解：设P(x，y)，因为eq \o(AP,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋λeq \o(AC,\s\up12(→))， 所以eq \o(OP,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AP,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＋λeq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))＋λeq \o(AC,\s\up12(→))＝(4，3)＋λ(4，4)＝(4＋4λ，3＋4λ)． (1)因为点P在第二、四象限的角平分线上，所以x＝－y， 所以4＋4λ＝－(3＋4λ)，解得λ＝－eq \f(7,8)， 所以当λ＝－eq \f(7,8)时，点P在第二、四象限的角平分线上． (2)因为点P在第三象限内， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,y<0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋4λ<0，,3＋4λ<0，))解得λ<－1． 所以若点P在第三象限内，则实数λ的取值范围为(－∞，－1)． 1．已知eq \o(MA,\s\up12(→))＝(－2，4)，eq \o(MB,\s\up12(→))＝(2，6)，则eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＝(　　) A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1) 解析：∵eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(MB,\s\up12(→))－eq \o(MA,\s\up12(→))＝(2，6)－(－2，4)＝(4，2)，∴eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2，1)． 3．(多选)若向量a＝(x－2，3)与向量b＝(1，y＋2)相等，则下列结论正确的是(　　) A．x＝3 B．y＝－1 C．a＋2b＝(3，9) D．|a－2b|＝eq \r(2) 解析：由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝1，,3＝y＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))所以a＝b＝(1，3)，则a＋2b＝3a＝(3，9)，|a－2b|＝|－b|＝|b|＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)．故选AC． eq \f(\r(2),2) 4．已知O为坐标原点，向量eq \o(OA,\s\up12(→))＝(1，2)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(－2，－1)，若2eq \o(AP,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))，则OP的长为________． 解析：设P(x，y)，则eq \o(AP,\s\up12(→))＝(x－1，y－2)，而eq \o(AB,\s\up12(→))＝(－3，－3)，∵2eq \o(AP,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2(x－1)＝－3，,2(y－2)＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).)) 故OP的长为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－0))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)．　 5．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝______． 解析：以a，b的公共起点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，2)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，即(－1，－3)＝λ(2，2)＋μ(6，2)＝(2λ＋6μ，2λ＋2μ)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋6μ＝－1，,2λ＋2μ＝－3，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝\f(1,2)，))∴eq \f(λ,μ)＝－4． 一、单选题 1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝(　　) A．(－1，2) B．(1，－2) C．(－1，－2) D．(1，2) 解析：eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝eq \f(1,2)(1，1)－eq \f(3,2)(1，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)，\f(1,2)＋\f(3,2)))＝(－1，2)． 3．(2024·江西临川一中高一阶段考试)已知▱ABCD中，eq \o(AD,\s\up12(→))＝(－3，7)，eq \o(AB,\s\up12(→))＝(4，3)，对角线AC，BD交于点O，则eq \o(OC,\s\up12(→))的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) 解析：∵eq \o(AD,\s\up12(→))＝(－3，7)，eq \o(AB,\s\up12(→))＝(4，3)，根据平行四边形法则，可得eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝(－3，7)＋(4，3)＝(1，10)，则eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))． 4．已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则|b|＝(　　) A．eq \r(5) B．2eq \r(5) C．eq \r(3) D．2eq \r(3) 解析：b＝(3，2)－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)，故|b|＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5)． 5．(2024·湖北武汉二中高一月考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，M，N分别为CD，AD的中点， 则|eq \o(BM,\s\up12(→))－2eq \o(BN,\s\up12(→))|＝(　　) A．2eq \r(5) B．2eq \r(2) C．3 D．eq \r(10) 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，D(1，2)，C(3，0)，M(2，1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq \o(BM,\s\up12(→))＝(2，1)，eq \o(BN,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq \o(BM,\s\up12(→))－2eq \o(BN,\s\up12(→))＝ (2，1)－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))＝(1，－3)，∴|eq \o(BM,\s\up12(→))－2eq \o(BN,\s\up12(→))|＝eq \r(12＋(－3)2)＝ eq \r(10)．故选D． 二、多选题 6．(2024·福建福清三中高一月考)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　) A．eq \o(OA,\s\up12(→))＝2i＋3j B．eq \o(OB,\s\up12(→))＝3i＋4j C．eq \o(AB,\s\up12(→))＝－5i＋j D．eq \o(BA,\s\up12(→))＝5i＋j 解析：eq \o(OA,\s\up12(→))＝(2，3)＝2i＋3j，A正确；eq \o(OB,\s\up12(→))＝(－3，4)＝－3i＋4j，B错误；eq \o(AB,\s\up12(→))＝(－5，1)＝－5i＋j，C正确；eq \o(BA,\s\up12(→))＝－eq \o(AB,\s\up12(→))＝5i－j，D错误．故选AC． 7．对于n个向量a1，a2，a3，…，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，a3，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1，0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)线性相关的实数为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的取值可以为(　　) A．k1＝－4，k2＝2，k3＝1 B．k1＝3，k2＝eq \f(1,2)，k3＝eq \f(1,4) C．k1＝2，k2＝－1，k3＝－eq \f(1,2) D．k1＝6，k2＝1，k3＝eq \f(1,2) 解析：因为向量a1＝(1，0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)是线性相关的，所以k1a1＋k2a2＋k3a3＝0，即k1(1，0)＋k2(1，－1)＋k3(2，2)＝0，即(k1＋k2＋2k3，－k2＋2k3)＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＋k2＋2k3＝0　①，,－k2＋2k3＝0　 ②.))结合选项，可知A，C满足①②．故选AC． 5eq \r(2) 解析：AB＝eq \r((1－0)2＋(2－1)2)＝eq \r(2)，BC＝eq \r((3－1)2＋(4－2)2)＝2eq \r(2)，故AB＋2BC＝eq \r(2)＋4eq \r(2)＝5eq \r(2)． 9．如图，在正方形ABCD中，O为中心，且eq \o(OA,\s\up12(→))＝(－1，－1)，则eq \o(OB,\s\up12(→))＝________，eq \o(OC,\s\up12(→))＝________，eq \o(OD,\s\up12(→))＝________． 解析：根据题意，知点A与点B关于y轴对称，与点C关于原点对称，与点D关于x轴对称，又eq \o(OA,\s\up12(→))＝(－1，－1)，O为坐标原点，∴A(－1，－1)，∴B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)，∴eq \o(OB,\s\up12(→))＝(1，－1)，eq \o(OC,\s\up12(→))＝(1，1)，eq \o(OD,\s\up12(→))＝(－1，1)． 10．已知点A(－1，2)，B(2，8)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up12(→))，则eq \o(CD,\s\up12(→))的坐标为__ ___________． 解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意，得eq \o(AC,\s\up12(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq \o(AB,\s\up12(→))＝(3，6)，eq \o(DA,\s\up12(→))＝(－1－x2，2－y2)，eq \o(BA,\s\up12(→))＝(－3，－6)．因为eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up12(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))所以C(0，4)，又因为eq \o(DA,\s\up12(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up12(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0，))所以D(－2，0)，所以eq \o(CD,\s\up12(→))＝(－2，－4)． 四、解答题 11．已知a＝(3x＋4y，－2x－y)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1，－3x＋\f(16,9)y＋3))，若2a＝3b，试求x与y的值． 解：∵a＝(3x＋4y，－2x－y)， b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1，－3x＋\f(16,9)y＋3))， ∴由2a＝3b可得(6x＋8y，－4x－2y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x－9y＋3，－9x＋\f(16,3)y＋9))， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋8y＝6x－9y＋3，,－4x－2y＝－9x＋\f(16,3)y＋9，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(35,17)，,y＝\f(3,17).)) 12．已知△ABC中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N分别是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求eq \o(DF,\s\up12(→))． 解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， 所以eq \o(AB,\s\up12(→))＝(－4，－3)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝(－3，－5)． 又因为D是BC的中点， 所以eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－4))． 又M，N分别为AB，AC的中点， 所以F为AD的中点， 故有eq \o(DF,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up12(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，2))． 13．(2024·江苏无锡一中高一月考)已知△ABC的三个顶点分别是A(1，5)，B(－2，4)，C(－6，－4)，M是边BC上的一点，且△ABM的面积等于△ABC面积的eq \f(1,4)，那么线段AM的长为(　　) A．5 B．eq \f(5,2) C．eq \r(85) D．eq \f(\r(85),2) 解析：由于△ABM的面积等于△ABC面积的eq \f(1,4)，故BM＝eq \f(1,4)BC，设M(x，y)，由eq \o(BM,\s\up12(→))＝eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up12(→))，得(x＋2，y－4)＝eq \f(1,4)(－4，－8)＝(－1，－2)，解得x＝－3，y＝2，即M(－3，2)，所以|AM|＝eq \r(42＋32)＝5．故选A． 2eq \r(2) 14．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC＝45°，|eq \o(OC,\s\up12(→))|＝2，若eq \o(OC,\s\up12(→))＝λeq \o(OA,\s\up12(→))＋μeq \o(OB,\s\up12(→))，则λ＋μ＝______． 解析：因为|eq \o(OC,\s\up12(→))|＝2，∠AOC＝45°，所以C(eq \r(2)，eq \r(2))，又eq \o(OC,\s\up12(→))＝λeq \o(OA,\s\up12(→))＋μeq \o(OB,\s\up12(→))，所以(eq \r(2)，eq \r(2))＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq \r(2)，λ＋μ＝2eq \r(2)． 15．已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(x，y)． (1)求3eq \o(AB,\s\up12(→))－2eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))的坐标； (2)若A，B，C，D四点顺次连线构成平行四边形ABCD，求点D的坐标．A 解：(1)∵eq \o(AB,\s\up12(→))＝(1，3)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝(2，4)，eq \o(BC,\s\up12(→))＝(1，1)， ∴3eq \o(AB,\s\up12(→))－2eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝3(1，3)－2(2，4)＋(1，1)＝(0，2)． (2)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))，又eq \o(AD,\s\up12(→))＝(x－1，y＋2)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y＋2＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.)) 故点D的坐标为(2，－1)． 16．在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2)． (1)若eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→))＝0,求eq \o(OP,\s\up12(→))的坐标； (2)若eq \o(OP,\s\up12(→))＝meq \o(AB,\s\up12(→))＋neq \o(AC,\s\up12(→))(m,n∈R) ,且点P在函数y＝x＋1的图象上,求m－n． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 因为eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→))＝0， 又eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.)) 所以点P的坐标为(2，2)，故eq \o(OP,\s\up12(→))＝(2，2)． (2)设点P的坐标为(x0，y0)， 因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， 所以eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)， 因为eq \o(OP,\s\up12(→))＝meq \o(AB,\s\up12(→))＋neq \o(AC,\s\up12(→))， 所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝m＋2n，,y0＝2m＋n，)) 两式相减，得m－n＝y0－x0， 又因为点P在函数y＝x＋1的图象上， 所以y0－x0＝1，所以m－n＝1． $$