第一章 集合常用逻辑用语 章末总结-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 堵点自记： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．由集合的混合运算结果求变量 在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进行验证，以保证满足集合中元素的互异性． 2．集合与方程的综合 集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数的，直接求方程的解；二是含参数的，有时需要进行分类讨论求参数的值或取值范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线或直线的交点问题． 3．与集合有关的新定义问题 (1)定义新集合要与集合定义类比解决． (2)定义新关系要与集合间关系类比解决． (3)定义新运算要与集合间的运算类比解决． 4．充分条件与必要条件的理解及判定 (1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤如下： ①确定条件是什么，结论是什么； ②把复杂的条件(结论)化简； ③尝试从条件推结论，从结论推条件； ④确定是什么条件． (2)要证明命题的条件是充要条件，既要证明条件的充分性，又要证明条件的必要性． 5．全称量词命题与存在量词命题 (1)确定命题中所含量词的意义是全称量词命题和存在量词命题的判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． (3)要判定一个全称量词命题∀x∈M，p(x)为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可． (4)要判定一个存在量词命题∃x∈M，p(x)为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x，使p(x)成立即可，否则这一存在量词命题为假命题． 一、集合的并集、交集、补集运算 集合的运算主要包括并集、交集和补集运算，这也是高考对集合部分的主要考查点．有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得．有些题目与解不等式(组)或方程(组)相结合，需要先正确求解不等式(组)或方程(组)，再进行集合运算．还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图或利用数轴等，采用数形结合思想方法解决． 已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1<x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B)． [解]　(1)由题意知，A＝{2，3，4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}． (2)由题意知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4}， 所以∁U(A∪B)＝{0，5，6}． [素养训练1]　(1)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪(∁UN)＝(　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U 答案：A 解析：由题意可得∁UN＝{2，4，8}，则M∪(∁UN)＝{0，2，4，6，8}．故选A. (2)集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x<2}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x>2} B．{x|x≥3} C．{x|－1<x≤2} D．{x|2≤x≤3} 答案：D 解析：∵B＝{x|x<2}，∴∁RB＝{x|x≥2}，∴A∩(∁RB)＝{x|2≤x≤3}． 二、集合间的关系和运算中的参数问题 已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题． 提醒：(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)求其中参数的取值范围时，要注意等号是否能取到． (1)集合A＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋3，b∈R}，则下列关系正确的是(　　) A．A＝B B．BA C．A⊆B D.B A [解析]　A＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}，即A中的元素x≥1；而B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2，b∈R}，即B中的元素y≥2，∴BA. [答案]　B (2)(2024·江苏南京秦淮中学高一上期末)设集合A＝{x|x＋1≤0，或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________． [解析]　由题意得A＝{x|x≤－1，或x≥4}．∵A∩B＝B，∴B⊆A.①当B＝∅时，满足B⊆A，则2a>a＋2⇒a>2；②当B≠∅时，则或即a≤－3或a＝2.综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－3，或a≥2}． [答案]　{a|a≤－3，或a≥2} [素养训练2]　(1)如果集合P＝{x|x＝2k，k∈N}，M＝{x|x＝22k＋1，k∈N}，那么集合P与M之间的关系是(　　) A．M⊆P B．P⊆M C．P＝M D．P，M互不包含 答案：A 解析：由P＝{x|x＝2k，k∈N}可得集合P是由全体非负偶数构成的，即P＝{0，2，4，6，…}，M＝{x|x＝22k＋1，k∈N}＝{x|x＝2×4k，k∈N}，集合M是由4k(k∈N)的2倍构成的，即M＝{2，8，32，128，…}，∴M⊆P.故选A. (2)已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值范围． 解：若B∪A＝A，则B⊆A. ∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2，4}， ∴集合B有以下三种情况： ①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)<0， 即a2>16， ∴a<－4或a>4. ②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0， ∴a＝－4或a＝4. 若a＝－4，则B＝{2}，不符合题意； 若a＝4，则B＝{－2}⊆A，符合题意． ③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，∴∴a＝－2. 综上可得，当B∪A＝A时，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a＝－2，或a≥4}． ∴当B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a|－4≤a<4，且a≠－2}． 三、充分条件与必要条件 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 已知α：1≤x≤2，β：1≤x≤a. (1)若α是β的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：a≥2是α⇒β的充要条件． [解]　(1)设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}， 若α是β的必要不充分条件，则B是A的真子集．当B＝∅时，a<1，此时满足B是A的真子集，符合题意；当B≠∅时，若B是A的真子集，则所以1≤a<2. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a<2}． (2)证明：充分性： 若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以α：1≤x≤2可得出β：1≤x≤a，故充分性成立； 必要性： 若α：1≤x≤2可得出β：1≤x≤a， 则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以a≥2，故必要性成立． 综上所述，a≥2是α⇒β的充要条件． [素养训练3]　已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}且B≠∅. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． 解：∵B＝{x|a<x<3a}且B≠∅，∴a>0. (1)∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B. ∴解得≤a≤2. ∴a的取值范围为. (2)若A∩B＝∅，则或 解得0<a≤或a≥4. ∴a的取值范围为. 四、全称量词命题与存在量词命题 一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词． (1)下列语句不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(1)班绝大多数同学是团员 D．所有的实数都可以比较大小 [解析]　A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：所有的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中“所有的”是全称量词，故D是全称量词命题．故选C. [答案]　C (2)命题p：“∀x∈R，x2>0”，则(　　) A．p是假命题；綈p：∃x∈R，x2<0 B．p是假命题；綈p：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；綈p：∀x∈R，x2<0 D．p是真命题；綈p：∀x∈R，x2≤0 [解析]　由于02>0不成立，故“∀x∈R，x2>0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”．故选B. [答案]　B [素养训练4]　(1)(2024·湖南长郡中学、长沙一中名校联考联合体高一上联考)命题“∃x∈R，x2＋x＋2<0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x2＋x＋2≥0 B．∃x∈R，x2＋x＋2≥0 C．∀x∈R，x2＋x＋2<0 D．∀x∈R，x2＋x＋2≥0 答案：D 解析：命题“∃x∈R，x2＋x＋2<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋2≥0”．故选D. (2)(2024·山东枣庄八中高一上期末)已知命题“∀x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是假命题，则m的取值范围为(　　) A．{m|m>－4} B．{m|m≥－4} C．{m|m>－6} D．{m|m≥－6} 答案：D 解析：命题“∀x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是假命题，则命题“∃x∈{x|－3≤x≤－2}，mx≤12”是真命题，故m≥＝－6.故选D. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$