第一章 集合常用逻辑用语 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第一章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求交集中元素的个数 全称量词命题的否定 并集、补集的混合运算 由命题的真假性求参数范围 集合间的关系及运算 充要条件的判断 由集合间的关系求参数范围 充要条件的判断 集合的运算及真子集 命题的否定；充要条件的判断 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 新定义为背景解决集合问题 集合的实际应用 集合间的关系及运算 充分条件、必要条件的判断 全称量词命题、存在量词命题的识别及真假判断 交集运算；由必要不充分条件求参数范围 由交集、并集求参数值或范围 探求充要条件 集合中的新定义及创新型问题 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2024·山东济南章丘四中高一上第二次质量检测)已知集合A＝，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：因为函数y＝的图象与函数y＝x的图象有两个交点，所以A∩B中有两个元素． 2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 答案：C 解析：“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”． 3．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 答案：A 解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 4．(2024·福建莆田第四中学高一上第一次月考)已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，p>x”为真命题，“∃x∈{x|0≤x≤2}，q>x”为真命题，那么p，q的取值范围分别为(　　) A．{p|p>0}，{q|q>0} B．{p|p>0}，{q|q>2} C．{p|p>2}，{q|q>0} D．{p|p>2}，{q|q>2} 答案：C 解析：“∀x∈{x|0≤x≤2}，p>x”为真命题，则p>2，“∃x∈{x|0≤x≤2}，q>x”为真命题，则q>0.故选C. 5．(2024·湖南湘潭一中高一上期中)已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{2，3，4，5}，集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，则满足条件的集合C的个数为(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 答案：B 解析：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{2，3，4，5}，则集合B的子集共有24＝16个，又因为集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，可知C≠∅且C≠{4}，{5}，{4，5}，所以满足条件的集合C的个数为16－4＝12.故选B. 6．已知方程x2＋x－a(a＋1)＝0，p：x＝1是该方程的解；q：x＝－2是该方程的解，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：解方程x2＋x－a(a＋1)＝0，即[x＋(a＋1)](x－a)＝0，解得x＝－a－1或x＝a.令－a－1＝1可得a＝－2，此时方程的另外一根为x＝－2；当a＝1时，此时方程的另外一根为x＝－2，所以p⇒q.令－a－1＝－2可得a＝1，此时方程的另外一根为x＝1；当a＝－2时，此时方程的另外一根为x＝1，所以q⇒p.所以p是q的充要条件．故选C. 7．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为(　　) A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7} C．{a|a≤7} D．∅ 答案：C 解析：当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B；当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅，如图，要使A⊆B，需有 解得2≤a≤7，所以6≤a≤7.综上可知，a≤7. 8．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：充分性：若D＝0，设c≥b≥a，则D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，所以a＝b或b＝c，则△ABC一定为等腰三角形，所以充分性成立．必要性：若△ABC为等腰三角形，设a＝b，当c≠a时，则b－c与c－a中必然有一个为最大值，另一个为最小值，则D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；当c＝a时，D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(2024·皖中名校联盟高一上第一次联考)设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则(　　) A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 答案：AC 解析：由题意，A∩B＝{0，1}，A正确；∁UB＝{2，4}，B不正确；A∪B＝{0，1，3，4}，C正确；集合A的真子集个数为23－1＝7，D不正确．故选AC. 10．下列说法正确的是(　　) A．“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件 B．若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则綈p：某班至少有一个女生爱踢足球 C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等” D．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件 答案：AD 解析：对于A，“a2＋a≠0”⇔“a≠－1，且a≠0”，“a≠0” “a≠－1，且a≠0”，“a≠－1，且a≠0”⇒“a≠0”，所以“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件，所以A正确；对于B，若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则綈p：某班至少有一个男生不爱踢足球，所以B错误；对于C，“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，所以C错误； 对于D，当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，显然交y轴于负半轴，交x轴于正半轴．当一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0时，y＝b－5<0，所以b<5.当y＝0时，x＝>0，因为b<5，所以k>4，所以D正确．故选AD. 11．(2024·江苏徐州第七中学高一上学情调研)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则(　　) A．当x＝，y＝时，z＝1 B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有四个式子 C．A⊗B中有4个元素 D．A⊗B的真子集有7个 答案：BD 解析：当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，A错误；由于A＝{，}，B＝{1，}，则z有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B中有3个元素，C错误；集合A⊗B的真子集个数为23－1＝7，D正确．故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．某校高一某班共有40人，摸底测验(无缺考)数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优的有6人，则两门都得优的有________人． 答案：9 解析：设两门都得优的人数是x，则依题意得(23－x)＋(20－x)＋x＋6＝40，整理，得－x＋49＝40，解得x＝9，即两门都得优的人数是9. 13．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有________个． 答案：8 解析：U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，∵∁U(∁UP)＝P，∴存在一个∁UP，即有一个相应的P(如当∁UP＝{－2，1，3}时，P＝{－3，－1，0，2}；当∁UP＝{－2，1}时，P＝{－3，－1，0，2，3}等)．∵S的子集共有8个，∴P也有8个． 14．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是________； (2)“a，b都不为0”的充分条件是________； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________． 答案：(1)①②③　(2)④　(3)① 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或④ab>0⇔或则a，b都不为0. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)存在一组m，n的值，使m－n＝1； (4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}． 解：(1)是全称量词命题．因为对任意自然数x，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是存在量词命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立， 所以该命题是真命题． (4)是存在量词命题，存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题． 16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1，或x≥m＋1}． (1)当m＝0时，求A∩B； (2)若p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝0时，B＝{x|x≤－1，或x≥1}， 又A＝{x|－1<x<3}， 所以A∩B＝{x|1≤x<3}． (2)因为p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1， q是p的必要不充分条件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4. 所以实数m的取值范围是{m|m≤－2，或m≥4}． 17．(2024·湖北荆州中学高一上月考)(本小题满分15分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2， 故集合A＝{1，2}． (1)∵A∩B＝{2}， ∴2∈B，将x＝2代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件； 当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上，实数a的值为－1或－3. (2)对于集合B中的方程，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)． ∵A∪B＝A，∴B⊆A. 当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件； 当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件； 当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系， 得⇒矛盾． 综上，实数a的取值范围是{a|a≤－3}． 18．(本小题满分17分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求这两个方程的根均为整数的充要条件． 解：∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程， ∴m≠0. 又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都有实根， ∴ 解得－≤m≤1. ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也是整数， ∴ ∴4能被m整除． 又－≤m≤1，m≠0，m∈Z，∴m＝－1或1. 当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数； 当m＝1时，两方程的根均为整数． 又以上过程均可逆， ∴这两个方程的根均为整数的充要条件是m＝1. 19．(2024·重庆乌江新高考协作体高一下开学学业质量联合调研抽测)(本小题满分17分)已知有m个连续正整数元素的有限集合Sm＝{1，2，3，…，m－1，m}(m∈N＋，m≥2)，记有序数对A＝(a1，a2，…，am)，若对任意i，j∈{1，2，…，m}(i≠j)，ai，aj∈Sm且ai≠aj，A同时满足下列条件，则称A为m元完备数对． 条件①：|a1－a2|≤|a2－a3|≤…≤|am－1－am|； 条件②：|a1－a2|＋|a2－a3|＋…＋|am－1－am|＝m＋2. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对． 解：(1)当m＝3时，由|ai－ai＋1|≤2(i＝1，2)， 得|a1－a2|＋|a2－a3|<5，不符合题意， 所以不存在3元完备数对． 当m＝4时，当a1＝3，a2＝2，a3＝4，a4＝1时， 满足|a1－a2|≤|a2－a3|≤|a3－a4|且|a1－a2|＋|a2－a3|＋|a3－a4|＝6，符合题意， 所以A＝(3，2，4，1)为4元完备数对． (2)证明：假设存在8元完备数对， 当m＝8时，令bk＝|ak－ak＋1|(k＝1，2，…，7)， 则1≤b1≤b2≤…≤b7，且b1＋b2＋…＋b7＝10， 则bk有以下三种可能： ①bk＝ ②bk＝ ③bk＝ 当bk＝时，于是b1＝b2＝…＝b6， 即|a1－a2|＝|a2－a3|＝…＝|a6－a7|＝1， 由|ak－ak＋1|＝|ak＋1－ak＋2|(k＝1，2，…，5)， 得ak－ak＋1＝ak＋1－ak＋2或ak－ak＋1＝ak＋2－ak＋1， 而ai，aj∈S8＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，i≠j，ai≠aj， 则有ak－ak＋1＝ak＋1－ak＋2， 因此a1，a2，…，a7，a8分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1， 由b7＝4得a8＝a7＋4或a8＝a7－4，与已知矛盾， 则当bk＝时，不存在8元完备数对； 当bk＝或bk＝时，同理不存在8元完备数对． 综上，不存在8元完备数对． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$