第四章 指数函数与对数函数 章末总结-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0，1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点． 3．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 4．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 5．函数零点存在定理中由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 6．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 7．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数与对数的运算 指数式的运算应遵循的原则：(1)注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；(2)若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的． 对数式的运算应遵循的原则：(1)注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；(2)熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 计算：(1)－＋0.008－×； (2)lg 0.01＋log216； (3)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0. [解]　(1)原式＝－＋×＝－＋25×＝－＋2＝. (2)原式＝lg 10－2＋log224＝－2＋4＝2. (3)原式＝log33＋lg (25×4)＋2＋1＝＋lg 102＋3＝＋2＋3＝. [素养训练1]　计算下列各式的值． (1)0.064－－＋(25) －＋； (2)lg 32－lg ＋lg . 解：(1)原式＝0.4－1－1＋2－2＋2－3＝. (2)原式＝×5lg 2－×lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝. 二、指数函数、对数函数的图象及应用 识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值． 指数函数与对数函数的图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0(a>0，且a≠1)． (1)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) [解析]　由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上单调递减，与图象不符．故选B. [答案]　B (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝. ①在下图中画出函数f(x)的图象； ②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域． [解]　①先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象，如图所示． ②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]． [素养训练2]　(1)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 答案：A 解析：由f(x)的图象知，0<a<1，b<－1，故g(x)＝ax＋b的图象为A. (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象一定经过的点为________． 答案：(0，－2) 解析：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象是由y＝logax(a>0，且a≠1)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，故其恒过定点(0，－2)． 三、指数函数、对数函数的性质及应用 指数函数、对数函数性质的应用主要体现在以下几个方面：(1)以指数函数、对数函数的性质为依托，考查函数的图象；(2)利用指数函数、对数函数的单调性比较大小、解不等式；(3)以指数函数、对数函数为载体的复合函数的单调性、奇偶性的判断及应用． (1)(2024·安徽宣城高一上期末)设a＝0.20.5，b＝log53，c＝50.2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b [解析]　0<a＝0.20.5＝<＝，1>b＝log53>log55＝，c＝50.2>50＝1，所以a<b<c.故选A. [答案]　A (2)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义域为R的奇函数，且f(1)＝. ①若f(m2＋2m)＋f(m－4)>0，求m的取值范围； ②若g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值． [解]　①由题意，得f(0)＝0，即k－1＝0， 解得k＝1， 经检验，满足函数f(x)是奇函数， 由f(1)＝，得a－a－1＝， 解得a＝2或a＝－(舍去)， 所以f(x)＝2x－2－x. 因为f(x)为奇函数且是R上的增函数， 由f(m2＋2m)＋f(m－4)>0， 得f(m2＋2m)>f(4－m)，所以m2＋2m>4－m， 解得m<－4或m>1. 所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(1，＋∞)． ②g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2， 令t＝2x－2－x，由x≥1，得t≥21－2－1＝， 又y＝t2－2mt＋2的图象的对称轴为直线t＝m， 当m≥时，ymin＝m2－2m2＋2＝－2， 解得m＝2(m＝－2舍去)； 当m<时，ymin＝－3m＋2＝－2⇒m＝>(舍去)． 所以m＝2. [素养训练3]　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)． (1)求f(0)，f(1)； (2)求函数f(x)的解析式； (3)若f(a－1)<－1，求实数a的取值范围． 解：(1)因为当x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)，所以f(0)＝0.又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝log[－(－1)＋1]＝log2＝－1，即f(1)＝－1. (2)令x>0，则－x<0，所以f(－x)＝log(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，f(x)＝log(x＋1)． 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝ (3)设x1，x2是任意两个值，且x1<x2≤0， 则－x1>－x2≥0，所以1－x1>1－x2>0. 因为f(x2)－f(x1)＝log(－x2＋1)－log(－x1＋1)＝log＞log1＝0， 所以f(x2)＞f(x1)， 所以f(x)＝log(－x＋1)在(－∞，0]上单调递增． 又f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为f(a－1)＜－1＝f(1)，所以|a－1|＞1， 解得a＞2或a＜0. 故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 四、函数零点与方程的根 确定函数零点个数的方法：(1)解方程f(x)＝0得几个解即函数有几个零点；(2)利用图象找y＝f(x)的图象与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数． 设函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋k. (1)函数f(x)有零点吗？ (2)为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，k应该怎样限制？ (3)当k＝－1时，函数g(x)有零点吗？如果有，把它求出来；如果没有，请说明理由． [解]　(1)画出函数f(x)的图象，如图①，从图象可以看出，图象与x轴没有交点，故函数f(x)没有零点． (2)从图①可以看出f(x)>0. 对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了． 所以k应限制为－1<k<0.几何解释如图②. (3)有．由2x－1＝0，得x＝0； 由－x－1＝0，得x＝－1. 0和－1均是函数g(x)的零点． [素养训练4]　(1)(多选)已知函数f(x)＝则方程[f(x)]2－2f(x)＋a2－1＝0的根的个数可能为(　　) A．2 B.6 C.5 D.4 答案：ACD 解析：画出f(x)的图象如图所示．令t＝f(x)，则t2－2t＋a2－1＝0，则Δ＝4(2－a2)，当Δ＝0，即a2＝2时，t＝1，此时f(x)＝1，由图知直线y＝1与y＝f(x)的图象有两个交点，即方程[f(x)]2－2f(x)＋a2－1＝0的根的个数为2，A正确；当Δ>0，即a2<2时，t＝1±，则0<≤，故1<1＋≤1＋，1－≤1－<1，当t＝1－时，即f(x)＝1－∈(－1，1)，则x的值有2个，当t＝1＋时，若t∈(1，2]，则x的值有3个；若t∈(2，1＋]，则x的值有2个，故方程[f(x)]2－2f(x)＋a2－1＝0的根的个数为5或4，C，D正确．故选ACD. (2)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________． 答案：x1＜x2＜x3 解析：令x＋2x＝0，得2x＝－x；令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；在同一平面直角坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图，可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，所以＝，即x3＝＞1，所以x1＜x2＜x3. 五、函数模型的应用 解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，整治后前四个月的污染度如下表： 月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度． (1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由(参考数据：log23≈1.58)； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? [解]　(1)用h(x)模拟比较合理．理由如下： f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30； f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.6. 由此可得h(x)更接近实际值， 所以用h(x)模拟比较合理． (2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x∈[4，＋∞)上是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60. [素养训练5]　(2024·广东广州越秀区高一上期末)为减轻手术给病人带来的痛苦，麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂，某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂，已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位：mg)与时间t(单位：h)成正比，麻醉剂释放完毕后，y与t的函数解析式为y＝(a为常数)，如图所示． (1)试求从麻醉剂释放开始，血液中的麻醉剂含量y(单位：mg)与时间t(单位：h)之间的解析式； (2)根据麻醉师的统计，当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125 mg以下时，病人才能清醒过来，那么实施麻醉开始，至少需要经过多长时间，病人才能清醒过来？ 解：(1)根据题中所述，由题图可知，血液中麻醉剂的含量y(单位：mg)是关于时间t(单位：h)的一个分段函数： 当0≤t≤0.1时，函数的图象是一条经过O(0，0)的线段，设其方程为y＝kt(k为待定系数)， 又因为A(0.1，1)是这条线段的一个端点，代入点A的坐标得k＝10，所以当0≤t≤0.1时，y＝10t. 当t>0.1时，函数解析式为y＝， 而A(0.1，1)在这段函数图象上，代入得1＝， 所以有0.1－a＝0， 解得a＝0.1. 故当t>0.1时，y＝. 综上，血液中的麻醉剂含量y(单位：mg)与时间t(单位：h)之间的解析式为 y＝ (2)要使手术后的病人能清醒过来，需要麻醉剂含量降低到0.125 mg以下，此时t>0.1， 且y≤0.125＝. 当t>0.1时，由≤， 得t－0.1≥1， 解得t≥1.1. 所以至少需要经过1.1 h，病人才能清醒过来． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$