第四章 指数函数与对数函数 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第四章　单元质量测评 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 对数运算 指数函数的图象 求对数型函数的定义域 利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性比较大小 求对数型函数的单调区间 对数与指数的互化及应用 指数型函数模型的应用 由函数的单调性、奇偶性解不等式 指数型函数性质的综合应用 对数型函数模型的应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 数形结合法求方程解的分布问题 用二分法求方程解所在的区间 求指数型函数的值域 对数函数图象过定点问题；解对数不等式 指数与对数运算 指数函数的概念；指数型函数与对数型函数的性质及应用 指数型函数性质的综合应用；函数图象与方程的解的关系 函数模型的选择及应用 对数型函数性质的综合应用 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算2log510＋log50.25＝(　　) A. B. C．2 D．4 答案：C 解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.故选C. 2．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　) 答案：A 解析：∵g(x)＝－x＋a是R上的减函数，∴排除C，D；由A，B的图象知，a＞1.∵g(0)＝a＞1，故选A. 3．函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞) 答案：C 解析：要使函数f(x)有意义，需使(log2x)2－1>0，即(log2x)2>1，∴log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0<x<.故选C. 4．(2024·广东广雅中学高一上期末)设a＝log2，b＝，c＝，则(　　) A．c<b<a B.a<c<b C．a<b<c D.b<a<c 答案：B 解析：∵y＝log2x是增函数，∴a＝log2<log21＝0，∵y＝是减函数，y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，∴b＝>>＝c>0，∴a<c<b.故选B. 5．(2024·福建龙岩一中锦山学校高一上第三次阶段性测试)函数y＝lg (4＋3x－x2)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由真数大于0，得4＋3x－x2>0，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，所以函数的定义域为(－1，4)．令u＝4＋3x－x2，则y＝lg u．因为u＝4＋3x－x2＝－＋，且图象的对称轴为直线x＝∈(－1，4)，所以函数u在内单调递增，在内单调递减．又因为y＝lg u是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以y＝lg (4＋3x－x2)的单调递增区间为.故选D. 6．(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 答案：D 解析：由题意，得＝2.1，＝3.15，若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N.故选D. 7．碳14测年法是根据碳14的衰变程度计算出样品的大概年代的一种测量方法.2024年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5730年(即每经过5730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半)．以此推算出该文物的大致年代是(参考数据：≈－19034.6，≈－34634.4)(　　) A．公元前1600年到公元前1500年 B．公元前1500年到公元前1400年 C．公元前1400年到公元前1300年 D．公元前1300年到公元前1200年 答案：B 解析：设经过了x年，则＝0.66，即()x＝0.66，x＝＝－＝－≈2×19034.6－34634.4＝3434.8，2024－3434.8＝－1410.8.故选B. 8．(2024·河北石家庄一中高一上期末)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)－2f≤0，则a的取值范围是(　　) A．(0，] B. C. D. 答案：C 解析：f(log2a)＋f(loga)－2f≤0，f(log2a)＋f(－log2a)≤2f，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－log2a)＝f(log2a)，即2f(log2a)≤2f，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，所以|log2a|≤，解得≤a≤.故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知函数f(x)＝a－，且f(1)＝，则(　　) A．a＝1 B．f(x)为非奇非偶函数 C．函数f(x)的值域为(－1，1) D．不等式f(3x2－1)＋f(x－3)<0的解集为 答案：ACD 解析：f(1)＝a－＝，解得a＝1，A正确；f(x)＝1－＝，∵f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，∴f(x)为奇函数，B不正确；∵2x>0，∴2x＋1>1，∴0<<1，－2<<0，∴－1<1＋<1，C正确；f(x)＝1－，∵y＝2x＋1是R上的增函数，y＝是R上的减函数，∴f(x)＝1－是R上的增函数，∴f(3x2－1)＋f(x－3)<0⇒f(3x2－1)<－f(x－3)＝f(3－x)，∴3x2－1<3－x，∴3x2＋x－4<0，解得－<x<1，D正确．故选ACD. 10．(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 答案：ACD 解析：解法一：由题意可知，∈[60，90]，∈[50，60]，＝40，对于A，－＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为≥，则－＝20×lg ≥0，即lg ≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，－＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为－＝－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥，所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3，当且仅当＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为＝20×lg ＝40，即lg ＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，－＝20×lg ，且－≤90－50＝40，则20×lg ≤40，即lg ≤2，可得≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 解法二：因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[60，90]，∈[50，60]，所以≥，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因为＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010＞10p010，所以＞10，所以－＞20，该式不可能成立，故B错误；因为＝＝≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 11．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A．2<k≤3 B．2x1＋x2≥2 C．x1x2(x3＋x4)＝8 D．x1＋2x2>3 答案：BCD 解析：在同一个坐标系内作出f(x)＝和y＝k的图象，如图所示，要使方程f(x)＝k有四个不同的解，只需2<k<3，故A错误；由图可知0<x1<1<x2<2，由f(x1)＝f(x2)可得－log2x1＋2＝log2x2＋2，所以x1x2＝1，即x1＝，所以2x1＋x2＝＋x2≥2＝2，当且仅当x2＝(1<x2<2)，即x2＝时，等号成立，故B正确；由图可知，点(x3，k)与点(x4，k)关于直线x＝4对称，则x3＋x4＝8，所以x1x2(x3＋x4)＝8，故C正确；由x1x2＝1得x1＋2x2＝＋2x2(1<x2<2)，令g(x)＝2x＋，其中1<x<2，任取m，n∈(1，2)且m<n，则g(m)－g(n)＝－＝2(m－n)－＝，因为1<m<n<2，则m－n<0，mn>1，故g(m)<g(n)，即函数g(x)在(1，2)上单调递增，因为x2∈(1，2)，则g(x2)＝2x2＋>g(1)＝3，故D正确．故选BCD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)内的实数解时，取中点x1＝3，则下一个有解区间是________． 答案：(2，3) 解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，则下一个有解区间是(2，3)． 13．设0≤x≤2，则函数y＝4x－－3·2x＋5的值域是____________． 答案： 解析：y＝4 x－－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.令t＝2x，x∈[0，2]，则1≤t≤4，于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.故函数y＝4 x－－3·2x＋5(0≤x≤2)的值域是. 14．函数f(x)＝1＋loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若f＜，则实数a的取值范围为________． 答案：(－1，1)　∪(1，＋∞) 解析：函数f(x)＝1＋loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，令x＋2＝1，得x＝－1，f(－1)＝1，可得图象经过定点(－1，1)．若f＜，则1＋loga＜，即loga＜，当0＜a＜1时，函数f(x)为减函数，所以＜，解得0＜a＜；当a＞1时，函数f(x)为增函数，所以＞，解得a＞，又a＞1，所以a＞1.综上，实数a的取值范围为∪(1，＋∞)． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)计算下列各式的值： (1)－＋＋； (2)lg 500＋lg －lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2. 解：(1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e. (2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数． (1)求f(x)的表达式； (2)判断F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：loga(1＋x)<loga(2－x)． 解：(1)由a2－2a－2＝1，可得a＝3或a＝－1(舍去)， ∴f(x)＝3x. (2)F(x)是偶函数．证明如下： ∵F(x)＝f(x)＋＝3x＋3－x，其定义域为R， ∴F(－x)＝3－x＋3x＝F(x)， ∴F(x)是偶函数． (3)不等式loga(1＋x)<loga(2－x)， 即log3(1＋x)<log3(2－x)． 可化为0<1＋x<2－x， ∴－1<x<， 即不等式loga(1＋x)<loga(2－x)的解集为. 17．(2024·江苏南京如皋市高一上期末)(本小题满分15分)已知函数f(x)＝为偶函数，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…. (1)证明：函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增； (2)函数g(x)＝mf(2x)－f(x)，m>0，g(x)在区间[0，ln 2]上的图象与x轴有交点，求m的取值范围． 解：(1)证明：由于f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)，代入化简得(a－1)(ex－e－x)＝0， 故a＝1，所以f(x)＝. 任取x1，x2，且x1>x2≥0，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝(e x1－e x2)， 当x1>x2≥0时，e x1－e x2>0，e x1+ x2－1>0， 则f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 故函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增． (2)g(x)＝m·－， 令t＝ex＋e－x，由(1)知f(x)＝在[0，＋∞)上单调递增． 所以t＝ex＋e－x在[0，ln 2]上单调递增， 则t∈， 因为e2x＋e－2x＝t2－2， 所以m·－＝0在t∈上有解， 则＝t－在t∈上有解， 又因为函数y＝t－在上单调递增， 所以t－∈，所以∈， 故m的取值范围为. 18．(本小题满分17分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表： t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据表中数据，从下列函数中选取一个反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并求出该函数关系式； (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述． 将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得 解得a＝，b＝－，c＝. 所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋. (2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)． 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)． (1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由； (2)当0<a<1时，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)是否存在实数a，使得当f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[1＋logan，1＋logam]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)由1－>0，得x<－1或x>1， ∴f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， ∵f(x)＝loga＝loga， 且f(－x)＝loga＝loga ＝－loga＝－f(x)， ∴函数f(x)在定义域上为奇函数． (2)当0<a<1时，f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 证明如下： 任取x1，x2，且1<x1<x2， f(x1)－f(x2)＝loga－loga ＝loga， ∵(x1－1)(x2＋1)－(x1＋1)(x2－1)＝2(x1－x2)＜0， ∴0＜＜1. 又0＜a＜1， ∴loga＞0， ∴f(x1)＞f(x2)， ∴函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． (3)假设存在实数a，使得当f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[1＋logan，1＋logam]． ∵logan＋1＜logam＋1， ∴logan＜logam， 又1<m<n， ∴0＜a＜1. 由(2)，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在[m，n]上单调递减， ∴ 即m，n是方程loga＝logax＋1的两个实数解，即＝ax在(1，＋∞)上有两个互异的实数解． 于是问题转化为关于x的方程ax2＋(a－1)x＋1＝0在(1，＋∞)上有两个不同的实数解． 令g(x)＝ax2＋(a－1)x＋1， 则有 解得0＜a＜3－2. 故存在实数a∈(0，3－2)，使得当f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[1＋logan，1＋logam]． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$