5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 教学重点：y＝sinx，y＝cosx的单调性与最值． 教学难点：y＝sinx，y＝cosx的性质的综合应用． 核心素养：1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养与逻辑推理素养.2.利用函数图象解决单调性与最值问题，培养直观想象素养． 知识点　　正弦函数、余弦函数的性质 y＝sinx y＝cosx 相同处 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期性 最小正周期2π 最小正周期2π 不同处 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在(k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 [点拨]　对单调区间的理解 (1)k取Z内的每一个值，都对应着一个单调递增区间及单调递减区间，这些区间是断开的． (2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数． (3)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点． 1．(三角函数单调性的判断)函数y＝－cosx在区间上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数 答案：C 2．(三角函数取最值的条件)下列x的取值中，能使函数f(x)＝2sin取得最大值的是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案：C 3．(三角函数的值域)函数y＝sinx的值域为________． 答案： 4．(利用三角函数的单调性比较大小)cos________cos(填“>”或“<”)． 答案：< 题型一　求正弦型、余弦型函数的单调区间 　求下列函数的单调递增区间： (1)y＝cos2x；(2)y＝sin； (3)y＝1－sin；(4)y＝logsin. [解]　(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 故函数y＝cos2x的单调递增区间为，k∈Z. (2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 故函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)． (3)由题意可知函数y＝sin的单调递减区间即为y＝1－sin的单调递增区间， 由2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，得 4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)， 所以函数y＝1－sin的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)． (4)由对数函数的定义域和复合函数的单调性， 可知 解得2kπ＋≤2x＋<2kπ＋π(k∈Z)， 即kπ＋≤x<kπ＋(k∈Z)， 故函数y＝logsin的单调递增区间为(k∈Z)． [条件探究]　将本例(2)的函数改为“y＝sin”，求函数的单调递增区间． 解：y＝sin＝－sin. 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 故函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)． 【感悟提升】求正弦型、余弦型函数单调区间的技巧 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当ω>0，A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当ω>0，A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 【跟踪训练】 1．求下列函数的单调区间： (1)y＝sin； (2)y＝cos. 解：(1)由－＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z. 由＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故函数y＝sin的单调递减区间为，k∈Z. (2)由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，所以函数y＝cos的单调递增区间为，k∈Z. 由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数y＝cos的单调递减区间为，k∈Z. 题型二　利用三角函数的单调性比较大小 　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin与sin； (2)sin556°与cos516°； (3)cos与cos. [解]　(1)∵－<－<－<， 且y＝sinx在上是增函数， ∴sin>sin. (2)sin556°＝sin(360°＋196°)＝sin196° ＝sin(180°＋16°)＝－sin16°， cos516°＝cos(360°＋156°)＝cos156° ＝cos(90°＋66°)＝－sin66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°<sin66°， 从而－sin16°>－sin66°， 即sin556°>cos516°. (3)cos＝cos＝cos ＝－cos， 而cos＝－cos， ∵函数y＝cosx在上单调递减， 且0<<<，∴cos>cos. ∴－cos<－cos， ∴cos<cos. 【感悟提升】比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单调性比较． 【跟踪训练】 2．比较下列各组数的大小： (1)sin250°与sin260°； (2)cos与cos； (3)cos1与sin1. 解：(1)∵函数y＝sinx在90°～270°范围内单调递减，且90°<250°<260°<270°， ∴sin250°>sin260°. (2)cos＝cos＝cos， cos＝cos＝cos. ∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减， 且0<<<π， ∴cos>cos，∴cos>cos. (3)∵cos1＝sin，而0<－1<1<，且y＝sinx在上单调递增， ∴sin<sin1，即cos1<sin1. 题型三　正弦型、余弦型函数的最值(值域)问题 　(1)若函数y＝a－bcosx(b＞0)的最大值为，最小值为－，则函数的解析式为y＝________． [解析]　因为y＝a－bcosx(b＞0)，所以ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－. 由解得 所以y＝－cosx. [答案]　－cosx (2)(2024·湖南岳阳一中高一上月考)求下列函数的值域： ①y＝sin，x∈； ②y＝sin2x－4sinx＋5，x∈R. [解]　①因为0≤x≤，所以0≤2x≤π， 所以≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1， 所以y＝sin，x∈的值域为. ②令t＝sinx，则－1≤t≤1，所以y＝sin2x－4sinx＋5＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1， 所以当t＝－1时，y取得最大值，为10；当t＝1时，y取得最小值，为2. 所以y＝sin2x－4sinx＋5的值域为[2，10]． 【感悟提升】三角函数最值(值域)问题的常见类型及求解方法 (1)形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值． (3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 【跟踪训练】 3．(1)(2024·广东惠州一中高一上质检)求函数y＝2cos，x∈的值域． 解：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，所以－≤cos≤1，则－1≤2cos≤2，即函数y＝2cos，x∈的值域为[－1，2]． (2)求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈的最大值和最小值． 解：y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2＋. ∵x∈， ∴≤sinx≤1. 当sinx＝1时，ymax＝5； 当sinx＝时，ymin＝. 1．函数f(x)＝－2sinx＋1，x∈的值域是(　　) A．[1，3] B．[－1，3] C．[－3，1] D．[－1，1] 答案：B 解析：∵x∈，∴sinx∈[－1，1]，∴－2sinx＋1∈[－1，3]． 2．(2024·广东茂名电白区第一中学高一下4月月考)已知函数f(x)＝2cos，x∈，则f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C.， D.， 答案：D 解析：因为f(x)＝2cos，令2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令k＝0，则－≤x≤，令k＝1，≤x≤，又x∈，所以f(x)的单调递增区间是，.故选D. 3．(2024·吉林汪清第四中学高一上期末)下列关系式中正确的是(　　) A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10° C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C 解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°. 4．(多选)对于函数f(x)＝sin2x，下列结论中正确的是(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 答案：AB 解析：因为函数y＝sinx在上单调递减，所以f(x)＝sin2x在上单调递减，故A正确；因为x∈R且f(－x)＝sin2(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误． 5．(2024·江西新余第一中学高一上期末)如果函数f(x)＝sin＋＋a在区间上的最小值为，则a的值为________． 答案： 解析：由x∈，得x＋∈.当x＋＝时，f(x)min＝－＋＋a＝，所以a＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 正、余弦函数单调区间的判定 求正弦型函数在给定区间内的最值 求正弦型函数的单调区间 正弦函数单调性的应用——比较大小 余弦型函数的周期、对称轴、对称中心及单调区间的综合 正、余弦函数单调性的应用——结合诱导公式比较大小 求正弦型函数在给定区间内的值域 正弦型函数图象与单调性的应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 求余弦型函数的单调区间及最值 求余弦型函数的最值；求与正弦函数有关的二次函数的最值 正弦型函数单调性的应用——求参数 正弦型函数单调性及对称性的应用——求函数值 含绝对值的正弦型函数的最值、周期、单调性及奇偶性的综合 求与余弦函数有关的复合函数的最值 函数的周期性、单调性及其综合应用 1．(2024·新疆乌鲁木齐天山区校级期末)函数y＝2023sinx与y＝2024cosx在下列区间内都单调递增的是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：y＝2024cosx在内单调递减，A不符合题意；y＝2023sinx与y＝2024cosx在内都单调递减，B不符合题意；y＝2023sinx在内单调递减，C不符合题意；y＝2023sinx与y＝2024cosx在内都单调递增，D符合题意．故选D. 2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　) A．－1 B．－ C. D．0 答案：B 解析：∵x∈，∴－≤3x－≤，∴当3x－＝时，f(x)＝sin取得最小值－. 3．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，又－π≤x≤0，所以－≤x≤0.故选D. 4．设a＝sin42°，b＝cos46°，c＝2－，则(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c 答案：D 解析：a＝sin42°，b＝cos46°＝sin44°，c＝2－＝＝sin45°，因为y＝sinx在锐角范围内为增函数，且42°<44°<45°，所以sin42°<sin44°<sin45°，即a<b<c.故选D. 5．(多选)(2024·江苏南京秦淮中学高一上期末)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为2π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的图象与x轴的一个交点坐标为 D．f(x)在内是减函数 答案：ABC 解析：A显然正确；令x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z，当k＝3时，x＝，故B正确；令f(x)＝0，∴x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，x＝，故C正确；设t＝x＋，则当x∈时，t∈，由y＝cost的图象知y＝cost在内是减函数，在内是增函数，故D不正确．故选ABC. 6．(多选)(2024·海南华侨中学高一上月考)下列各式正确的是(　　) A．sin<sin B．sin<sin C．cos>cos D．cos>cos 答案：ACD 解析：由诱导公式可得sin＝sin＝sin＝sin，sin＝sin＝sin，因为正弦函数y＝sinx在上单调递增，且0<<<，所以sin<sin，即sin<sin，A正确；因为y＝sinx在上单调递增，且0>－>－>－，所以sin>sin，B错误；cos＝cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos＝cos，因为y＝cosx在(0，π)上单调递减，且<，所以cos>cos，即cos>cos，C正确；因为cos＝cos，cos＝cos＝cos＝cos，0<<<，且函数y＝cosx在上单调递减，所以cos>cos，即cos>cos，D正确．故选ACD. 7．y＝sin在[0，2π]上的值域为________． 答案： 解析：∵x∈[0，2π]，∴－∈， ∴sin∈，即－≤y≤1. 8．(2024·福建莆田第十五中学高一上期末)已知函数y＝sinωx(ω>0)在区间上为增函数，且图象经过点(3π，0)，则ω的取值集合为________． 答案： 解析：由x∈，得ωx∈，因为y＝sinωx在上单调递增，所以≤，即0<ω≤1；又y＝sinωx的图象经过点(3π，0)，所以3πω＝kπ(k∈Z)，解得ω＝(k∈Z)，再结合0<ω≤1可得ω的取值集合为. 9．已知函数f(x)＝2cos. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值． 解：(1)令－π＋2kπ≤3x＋≤2kπ(k∈Z)， 可得－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z)， 故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． (2)当3x＋＝－π＋2kπ(k∈Z)， 即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，为－2. 10．求下列函数的最大值和最小值． (1)y＝3＋2cos； (2)y＝－sin2x＋sinx＋. 解：(1)因为－1≤cos≤1， 所以当cos＝1时，函数取得最大值，ymax＝5； 当cos＝－1时，函数取得最小值，ymin＝1. (2)y＝－sin2x＋sinx＋ ＝－＋2. 因为－1≤sinx≤1， 所以当sinx＝时，函数取得最大值，ymax＝2； 当sinx＝－1时，函数取得最小值，ymin＝－. 11．(2024·江西宜春中学高一下第一次月考)已知函数f(x)＝3sin在(－m，m)上单调递减，则m的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：易知f(x)＝3sin＝－3sin，m>0，在x∈(－m，m)时，2x－∈，显然－2m－<0，若要符合题意，且m能取得最大值，结合正弦函数的单调性可知需满足解得0<m≤，故m的最大值为.故选A. 12．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：D 解析：由题意，＝－＝，不妨设ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.故选D. 13．(多选)(2024·湖南郴州高一上期末教学质量监测)已知函数f(x)＝|sinx|，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值为0 B．f(x)的周期为π C．f>f D．f(x)是奇函数 答案：ABC 解析：对于A，－1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，故A正确；对于B，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，故B正确；对于C，f＝sin，f＝sin，由正弦函数在上单调递增，得f>f，故C正确；对于D，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故D错误．故选ABC. 14．函数y＝的最大值为________，取最大值时x的取值集合为________． 答案：3　{x|x＝2kπ，k∈Z} 解析：由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.当cosx＝1时，y取得最大值，此时x的取值集合为{x|x＝2kπ，k∈Z}． 15．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sinα)与f(cosβ)的大小关系． 解：由f(x＋1)＝－f(x)， 得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期． 因为函数f(x)在[－4，－3]上是增函数， 所以函数f(x)在[0，1]上是增函数． 又α，β是锐角三角形的两个内角， 则有α＋β>， 即>α>－β>0， 因为y＝sinx在上为增函数， 所以sinα>sin＝cosβ，且sinα∈(0，1)，cosβ∈(0，1)，所以f(sinα)>f(cosβ)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$