1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 (教师独具内容) 课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假． 教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断． 核心素养：1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的否定的应用，提升数学运算素养． 知识点一　全称量词命题的否定 全称量词命题p 綈p 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题p 綈p 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [拓展]　常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 [想一想]　∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性如何？ 提示：相反． 1．(全称量词命题的否定)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为(　　) A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0 C．∃x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 答案：B 2．(存在量词命题否定的真假判断)命题“∃x∈Q，x2＝7”的否定是________命题(填“真”或“假”)． 答案：真 3．(由命题真假求参数的取值范围)命题p：ax2＋2x＋1＝0有实根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|a≤1} 题型一　全称量词命题的否定　 　写出下列全称量词命题的否定． (1)对所有正数x，>x＋1； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)每一个平行四边形都是中心对称图形． [解]　(1)该命题的否定为：存在正数x，≤x＋1. (2)该命题的否定为：存在一个被5整除的整数不是奇数． (3)该命题的否定为：存在一个平行四边形，它不是中心对称图形． 【感悟提升】　全称量词命题否定的步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 注意：对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 【跟踪训练】 1．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 解：(1)该命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以该命题的否定是真命题． (2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知该命题的否定是假命题． (3)该命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知该命题的否定为假命题． 题型二　存在量词命题的否定　 　写出下列命题的否定． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，|x＋1|≤1. [解]　(1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”． (2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”． (3)该命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|>1”． 【感悟提升】　存在量词命题否定的步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等． 注意：对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 【跟踪训练】 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2＋x＋≠0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，是假命题，如2是素数也是偶数． (2)该命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋＝0”，是假命题，因为当x＝1时，x2＋x＋＝≠0. (3)该命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”，是假命题，因为当x＝－1时，x3＋1＝0. 题型三　含有量词命题的否定的应用　 　已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围． [解]　因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}． 【感悟提升】　由命题真假求参数范围的两个关注点 (1)p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)求参数范围时，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本例分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题． 【跟踪训练】 3．(2024·山东济南一中高一上月考)命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围为{a|a≥1}． 1．命题“所有四边形的内角和都是360°”的否定为(　　) A．所有不是四边形的多边形内角和都不是360° B．所有四边形的内角和都不是360° C．存在一个四边形，它的内角和是360° D．存在一个四边形，它的内角和不是360° 答案：D 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，注意到要否定结论．故选D. 2．(2024·贵州遵义高一上期末质量监测)已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 答案：C 解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C. 3．(多选)下列命题的否定是真命题的为(　　) A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：有些实数的绝对值是正数 D．p4：平行四边形是菱形 答案：AD 解析：若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因为命题p1，p4均为假命题，所以綈p1，綈p4均为真命题．因为命题p2，p3均为真命题，所以綈p2，綈p3均为假命题．故选AD. 4．命题“对任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________． 答案：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0 解析：原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要改变量词又要否定结论，所以其否定为“存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0”． 5．(2024·湖南长沙雨花区校级月考)已知命题“∃x∈R，使4x2＋x＋(a－2)＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：∵命题“∃x∈R，使4x2＋x＋(a－2)＝0”是假命题，∴命题“∀x∈R，4x2＋x＋(a－2)≠0恒成立”是真命题，即判别式Δ＝12－4×4×(a－2)＜0，即a>.故实数a的取值范围为. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 全称量词命题的否定 全称量词命题的否定 含有量词的命题的否定及真假判断 命题的真假判断及全称量词命题的否定 由存在量词命题的真假性求参数范围 少略量词的命题的否定及真假判断 存在量词命题的否定 全称量词命题的否定及应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 含有量词的命题的否定及真假判断 由存在量词命题的真假性求参数范围 含有量词或省略量词的命题的否定及真假判断 由全称量词命题的真假性求参数范围 含有量词的命题的否定及应用 利用含有量词的命题的否定及真假性求参数范围 利用含有量词的命题的否定解决证明问题 1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案：D 解析：原命题是全称量词命题，其否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数． 2．命题“∀x∈R，n∈N＋，使得n≥x2”的否定是(　　) A．∀x∉R，n∉N＋，使得n<x2 B．∀x∈R，n∈N＋，使得n<x2 C．∃x∉R，n∉N＋，使得n<x2 D．∃x∈R，n∈N＋，使得n<x2 答案：D 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，n∈N＋，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，n∈N＋，使得n<x2”． 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 答案：B 解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B. 4．(2024·安徽蚌埠二中高一上阶段考试)设x∈Z，集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，B＝{y|y＝4n＋2，n∈N}．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定和命题p的真假为(　　) A．∃x∈A，2x∈B，且p是真命题 B．∃x∉A，2x∈B，且p是假命题 C．∃x∈A，2x∉B，且p是真命题 D．∀x∉A，2x∉B，且p是假命题 答案：C 解析：命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定为∃x∈A，2x∉B.对于x∈A，则2x＝4n＋2，n∈N，即2x∈B，故p是真命题．故选C. 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤－1} 答案：B 解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a|a≥1}．故选B. 6．(多选)(2024·湖南浏阳高一上期末质量监测)已知两个命题：(1)若x>0，则2x＋1>5；(2)若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是(　　) A．命题(2)是全称量词命题 B．命题(1)的否定为：存在x>0，2x＋1≤5 C．命题(2)的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等 D．命题(1)和(2)被否定后，都是真命题 答案：AB 解析：对于A，“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等”等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，是全称量词命题，故A正确；对于B，命题(1)的否定为：存在x>0，2x＋1≤5，故B正确；对于C，命题(2)的否定是：存在四边形为等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误；对于D，由于命题(2)：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误．故选AB. 7．命题“有的有理数没有倒数”的否定是________________________________． 答案：所有有理数都有倒数 解析：该命题是存在量词命题，存在量词命题的否定是改量词，否结论，则命题的否定是“所有有理数都有倒数”． 8．已知命题p：∀x∈R，x2＋4x≥m，则綈p是________________，若綈p是假命题，则实数m的取值范围为____________． 答案：∃x∈R，x2＋4x<m　{m|m≤－4} 解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，既要改变量词又要否定结论，所以其否定为∃x∈R，x2＋4x<m.因为綈p是假命题，所以p是真命题，由题意，令y＝x2＋4x，因为y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4. 9．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些不相似的三角形面积相等； (2)能被3整除的数，也能被4整除； (3)非负数的平方为正数； (4)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解：(1)该命题的否定为“所有不相似的三角形面积都不相等”．是假命题． (2)省略了全称量词“所有”，该命题的否定为“存在一个能被3整除的数，不能被4整除”．是真命题． (3)该命题的否定为“存在一个非负数，它的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题的否定是真命题． (4)该命题的否定为“∀x，y∈Z，都有x＋y≠3”．因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，所以该命题的否定为假命题． 10．(2024·湖南岳阳高一上期中)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围． 解：因为“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，所以它的否定“∀m∈R，使得A∩B＝∅”为真命题， 当a<0时，A＝{x|0≤x≤a}＝∅，符合A∩B＝∅； 当a≥0时，因为m2＋3>0，所以由∀m∈R，A∩B＝∅可得a<m2＋3，对于m∈R恒成立， 因为m2＋3≥3，所以0≤a<3. 综上，实数a的取值范围为{a|a<3}． 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈R，x2>x”的否定是假命题 B．命题“∃m∈N，使∈N”的否定是假命题 C．命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的否定是真命题 D．命题“至少有一个整数n，使n2＋n为奇数”的否定是真命题 答案：BD 解析：对于A，命题的否定为：∃x∈R，x2≤x，显然为真命题(取x＝0检验即可)，∴A错误；对于B，命题的否定为：∀m∈N，∉N，举反例：当m＝0时，＝1∈N，∴是假命题，∴B正确；对于C，∵命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等为真命题，∴此命题的否定为假命题，∴C错误；对于D，命题的否定为：∀n∈Z，n2＋n为偶数，∵当n∈Z时，n2＋n＝n(n＋1)是偶数，∴是真命题，∴D正确．故选BD. 12．(2024·广东深圳市南山外国语学校高一上月考)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x－1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≥－4} 解析：由题意可知，命题“∃x∈R，ax2＋4x－1≥0”是真命题．当x＝0时，则有－1≥0，不符合题意；当x≠0时，由ax2＋4x－1≥0，可得ax2≥1－4x，则有a≥＝－，∵－＝－4≥－4，当且仅当x＝时，等号成立，∴a≥－4，即实数a的取值范围是{a|a≥－4}． 13．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的范围．你认为两位同学题中m的范围是否一致？________(填“是”或“否”)． 答案：是 解析：∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，∴两位同学题中的m的范围是一致的． 14．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m≥3} 解析：由题意知命题p，q都是真命题．由∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.综上，实数m的取值范围为{m|m≥3}． 15．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明：所要证结论的否定为“两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0都没有两个不相等的实数根”．若所要证结论的否定为真命题，则Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0， 所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0. 因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1， 所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0. 但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾． 所以所要证结论的否定是假命题，即所要证结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$