（基础篇）第三单元倍数与因数·基础篇【十六大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 17 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 28 日 2 / 17 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第三单元倍数与因数·基础篇【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元倍数与因数·基础篇 专题内容 本专题包括因数和倍数的定义及特点，2、5、3的倍数特征， 质数与合数的定义及特征等内容。 总体评价 讲解建议 本专题细分内容十分多，但是难度不大，建议作为本章基础 内容进行讲解。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数 .............................................................................................................4 【考点二】求一个数的因数 .................................................................................................... 4 【考点三】求一个数的倍数 .................................................................................................... 5 【考点四】因数与倍数的特征 ................................................................................................ 6 【考点五】因数与倍数的实际应用 ........................................................................................ 6 【考点六】2、5 的倍数特征 ...................................................................................................7 【考点七】2、5 倍数特征与实际应用 ...................................................................................8 【考点八】3 的倍数特征 ......................................................................................................... 9 【考点九】3 的倍数特征与实际应用 ...................................................................................10 【考点十】2、5、3 的倍数特征组数 .................................................................................. 11 3 / 17 【考点十一】奇数与偶数 ...................................................................................................... 12 【考点十二】奇数与偶数的基本性质 .................................................................................. 13 【考点十三】奇数与偶数的实际应用 .................................................................................. 14 【考点十四】质数与合数 ...................................................................................................... 15 【考点十五】质数的分解和组合 .......................................................................................... 16 【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用 .......................................................... 16 4 / 17 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数。 【方法点拨】 1.因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为 0的整数)，那么 a是 c的因数，b也是 c的因数； c是 a的倍数，c也是 b的倍数。 2.注意。 （1）因数与倍数是相互依存的： 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一 个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 4 7 28  ，那么 28是 4和 7的( )，4和 7是 28的( )。 【对应练习 1】 因为 15÷5＝3，所以，5是 15的( )，15是 5的( )。 【对应练习 2】 在 7×8=56中，( )和( )是( )的因数，( )是 ( )和( )的倍数。 【对应练习 3】 根据 32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍数。 【考点二】求一个数的因数。 【方法点拨】 求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。 【典型例题】 24的全部因数有( )，18的全部因数有( )；既是 24的因数又是 5 / 17 18的因数有( )，其中最大的因数是( )。 【对应练习 1】 24的因数有( )，18的因数有( )。 【对应练习 2】 18的因数有( )；一个数的最小因数是( )，最大因数是( )。 【对应练习 3】 一个数的最大因数是 20，这个数是( )，它的因数有( )。 【考点三】求一个数的倍数。 【方法点拨】 求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非 0自然数。 【典型例题】 若一个数的最小倍数是 12，请写出这个数在 50以内的倍数。 【对应练习 1】 写出 100以内 15的全部倍数。 【对应练习 2】 写出 50以内 8的倍数。 【对应练习 3】 若一个数的最小倍数是 12，请写出这个数在 50以内的倍数。 6 / 17 【考点四】因数与倍数的特征。 【方法点拨】 1. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 2. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【对应练习 1】 一个数的最大因数是 56，这个数是( )；一个数的最小倍数是 18，这个 数是( )。 【对应练习 2】 一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是( )。 【对应练习 3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【考点五】因数与倍数的实际应用。 【方法点拨】 因数与倍数的实际应用注意利用因数和倍数的特征和意义来解决问题。 【典型例题】 五（1）班有 54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组， 组数大于 3而小于 10，可以分成几组？ 7 / 17 【对应练习 1】 筐里有 30个苹果，将它们全部取出来，分成若干堆（堆数大于 1，而小于 30）， 使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？ 【对应练习 2】 某医院抽调 48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这 48人平均分 成若干小组，每组人数不得少于 4人，不得多于 10人，有几种分法？ 【对应练习 3】 小美一家来到福州旅游，妈妈买了几袋福州特产一鱼丸，她付了 200元，找回 30元。请你帮小美妈妈判断找回的钱对不对，并说明理由。 【考点六】2、5 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 【典型例题 1】其一。 分一分。 8 / 17 【典型例题 2】其二。 有一个三位数 17□，如果它是 5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是 2 的倍数，□里最大可以填( )。 【对应练习 1】 313至少减去( )是 5的倍数，至少加上( )是 2的倍数。 【对应练习 2】 一个两位数，既是 2的倍数又是 5的倍数，这个数最大是( )。 【对应练习 3】 82至少要加上( )才能既是 2的倍数，又是 5的倍数。 【考点七】2、5 倍数特征与实际应用。 【方法点拨】 1. 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 【典型例题】 李文在新华书店用 100元买了几本单价为 5元一本和 10元一本的书，找回了 36 元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【对应练习 1】 张明在文具店买了几支单价是 12元和 6元的钢笔，付给营业员 30元，找回 5 元。请你判断：钱找对了吗？ 【对应练习 2】 食品店运来 65个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 5个装一袋， 能正好装完吗？为什么？ 9 / 17 【对应练习 3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10 元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【考点八】3 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3 的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 2. 2、5、3 倍数特征之间的联系。 3. 倍数特征的补充。 （1）4或 25的倍数特征：一个数的末两位是 4或 25的倍数； （2）8或 125的倍数特征：一个数末三位是 8或 125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 10 / 17 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的 数之差（大数减小数）是 7、11、13的倍数。 【典型例题】 要使 207 同时是 2和 3的倍数， 里应填( )；要使 307 既含有因数 3 又是 5的倍数， 里应填( )。 【对应练习 1】 已知三位数 42□同时是 2和 3的倍数，那么□里最小应填( )，□里最大应 填( )。 【对应练习 2】 在 510，73，234，91，102，687，870中，是 3的倍数有( )个，( ) 既是 2的倍数，又是 5的倍数。 【对应练习 3】 既是 2的倍数，又是 3的倍数的最大两位数是( )，最小两位数是 ( )。 【考点九】3 的倍数特征与实际应用。 【方法点拨】 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了 3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了， 售货员说应付 139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【对应练习 1】 刘老师买了 65颗糖，如果每 5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每 3颗 分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 11 / 17 【对应练习 2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了 3个足球，售货员说应 付 134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【对应练习 3】 有一堆桃子，如果每 2个放一盘，那么多出 1个，如果每 5个放一盘，那么多出 2个，如果每 3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【考点十】2、5、3 的倍数特征组数。 【方法点拨】 根据倍数特征组数，需要熟悉 2、5、3的倍数特征，能够根据不同倍数的特征灵 活变换。 【典型例题】 从 7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 3的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 3的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 2、3的倍数，又是 5的倍数有：( ) 【对应练习 1】 按要求写数 用 4、5、8、0这 4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是 2的倍数，并且最大：( ) 12 / 17 （2）是 5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是 3的倍数：( ) （4）既含有因数 3又含有因数 5，并且十位数字是 8：( ) （5）同时是 3和 5的倍数，并且百位与个位数字之和是 9的倍数：( ) 【对应练习 2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2的倍数，又是 5的倍数：( )。 （4）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 【对应练习 3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 【考点十一】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数。 不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n-1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【对应练习 1】 在 100以内 13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 13 / 17 【对应练习 2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇 数”或“偶数”）。 【对应练习 3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【考点十二】奇数与偶数的基本性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的基本性质。 。 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上 1 B．乘 5 C．乘 1 D．除以 2 【对应练习 1】 a是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． 1a  B． 2 1a  C． 2 1a  【对应练习 2】 如果 a是奇数，b是偶数，且 a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【对应练习 3】 已知 a是奇数，b是偶数，且 a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b ②5a－b ③2a＋b ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 14 / 17 【考点十三】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 1. 偶数：能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数：不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n-1表示。 【典型例题】 五年级 43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完 吗？为什么？ 【对应练习 1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了 15次（往 返算 2次）最后小狗停在哪棵树？第 90次呢？ 【对应练习 2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸， 不断往返。记船由南岸驶向北岸为 1次。 （1）摆渡第 10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第 103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【对应练习 3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小 船最初在南岸。 （1）摆渡 15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡 2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 15 / 17 【考点十四】质数与合数。 【方法点拨】 质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的。 1.一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是 2，没有最大的质数。 2. 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是 4，没有最大的合数。 3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。 【典型例题】 在 1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有( )，质 数有( )，奇数有( )，偶数有( )。 【对应练习 1】 在 17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有( )，偶数有( )，质 数有( )，合数有( )。 【对应练习 2】 在 1、5、2、16、9、11、22中，奇数有( )，偶数有( )，质数有 ( )，合数有( )。 【对应练习 3】 将下面各数分别填入到指定的圈里。 0 2 7 11 13 15 16 18 21 16 / 17 【考点十五】质数的分解和组合。 【方法点拨】 20以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 【典型例题】 在括号里填上适当的质数。 15＝( )×( ) 20＝( )＋( )＋( ) 【对应练习 1】 在括号里填上合适的质数。 26＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋ ( ) 【对应练习 2】 在括号里填上适当的质数。 30＝( )＋( ) 18＝( )＋( ) 【对应练习 3】 在括号里填上合适的质数。 50＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋ ( )。 【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用。 【方法点拨】 1.一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2. 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3.倍数特征： 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 【典型例题】 一个四位数，最高位是 3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的 因数，个位是偶数，这个数最大是( )。 17 / 17 【对应练习 1】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上 的数是最大的一位数，这个数是( )。 【对应练习 2】 一个九位数，个位和百位是最小的质数，十万位是最小的奇数，最高位是最小的 合数，其余数位上的数是最小的偶数，这个数是( )。 【对应练习 3】 猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数 既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是 0，这个六位数是( )。 1 / 28 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 28 日 2 / 28 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第三单元倍数与因数·基础篇【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元倍数与因数·基础篇 专题内容 本专题包括因数和倍数的定义及特点，2、5、3的倍数特征， 质数与合数的定义及特征等内容。 总体评价 讲解建议 本专题细分内容十分多，但是难度不大，建议作为本章基础 内容进行讲解。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数 .............................................................................................................4 【考点二】求一个数的因数 .................................................................................................... 5 【考点三】求一个数的倍数 .................................................................................................... 7 【考点四】因数与倍数的特征 ................................................................................................ 7 【考点五】因数与倍数的实际应用 ........................................................................................ 9 【考点六】2、5 的倍数特征 .................................................................................................11 【考点七】2、5 倍数特征与实际应用 .................................................................................12 【考点八】3 的倍数特征 ....................................................................................................... 14 【考点九】3 的倍数特征与实际应用 ...................................................................................15 【考点十】2、5、3 的倍数特征组数 .................................................................................. 17 3 / 28 【考点十一】奇数与偶数 ...................................................................................................... 19 【考点十二】奇数与偶数的基本性质 .................................................................................. 20 【考点十三】奇数与偶数的实际应用 .................................................................................. 23 【考点十四】质数与合数 ...................................................................................................... 25 【考点十五】质数的分解和组合 .......................................................................................... 26 【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用 .......................................................... 27 4 / 28 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数。 【方法点拨】 1.因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为 0的整数)，那么 a是 c的因数，b也是 c的因数； c是 a的倍数，c也是 b的倍数。 2.注意。 （1）因数与倍数是相互依存的： 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一 个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 4 7 28  ，那么 28是 4和 7的( )，4和 7是 28的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】a×b＝c（a、b、c均为非 0自然数），那么 a和 b是 c的因数，c是 a 和 b的倍数。据此解题。 【详解】4×7＝28，那么 28是 4和 7的倍数，4和 7是 28的因数。 【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 【对应练习 1】 因为 15÷5＝3，所以，5是 15的( )，15是 5的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍 数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 因为 15÷5＝3，所以，5是 15的因数，15是 5的倍数。 5 / 28 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 【对应练习 2】 在 7×8=56中，( )和( )是( )的因数，( )是 ( )和( )的倍数。 【答案】 7 8 56 56 7 8 【分析】如果 a×b＝c（a、b、c都是非 0的自然数），那么 a和 b就是 c的因数， c就是 a和 b的倍数。 【详解】在7 8 56  中，7和 8是 56的因数，56是 7和 8的倍数。 【点睛】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 【对应练习 3】 根据 32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍数。 【答案】 8 32 32 8 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍 数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 根据 32÷8＝4，8是 32的因数；32是 8的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 【考点二】求一个数的因数。 【方法点拨】 求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。 【典型例题】 24的全部因数有( )，18的全部因数有( )；既是 24的因数又是 18的因数有( )，其中最大的因数是( )。 【答案】 1、2、3、4、6、8、12、24 1、2、3、6、9、18 1、2、 3、6 6 【分析】用列乘法算式法找 24和 18的全部因数，公共出现的因数就是 24和 18 的公因数，据此解答。 【详解】24＝1×24,24＝2×12，24＝3×8，24＝4×6，24的全部因数有 1、2、3、4、 6、8、12、24； 6 / 28 18＝1×18，18＝2×9，18＝3×6，18的全部因数有 1、2、3、6、9、18； 既是 24的因数又是 18的因数有 1、2、3、6，其中最大的因数是 6。 【点睛】本题考查求一个数的因数，常用方法是列乘法算式法。 【对应练习 1】 24的因数有( )，18的因数有( )。 【答案】 1、2、3、4、6、8、12、24 1、2、3、6、9、18 【分析】找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数 相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。（2）列除法算式 找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 可得，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 18＝1×18＝2×9＝3×6 可得，18的因数有：1、2、3、6、9、18。 【对应练习 2】 18的因数有( )；一个数的最小因数是( )，最大因数是( )。 【答案】 1、2、3、6、9、18 1 它本身 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组 一组地找； 一个数（0除外）的最小因数是 1，最大因数是它本身，据此解答即可。 【详解】18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6 则 18的因数有 1、2、3、6、9、18，一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确求一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习 3】 一个数的最大因数是 20，这个数是( )，它的因数有( )。 【答案】 20 1、2、4、5、10、20 【分析】一个数的最大因数是这个数本身，所以这个数是 20；求一个数的因数 可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数 的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，也可以列除法算式找因 数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式， 7 / 28 除法算式中的除数和商就是这个数的因数。 【详解】20＝1×20＝2×10＝4×5 则 20的因数有：1、2、4、5、10、20。 这个数是 20，它的因数有 1、2、4、5、10、20。 【点睛】此题主要考查一个数的因数的求法，明确一个数的最大因数是本身是解 题的关键。 【考点三】求一个数的倍数。 【方法点拨】 求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非 0自然数。 【典型例题】 若一个数的最小倍数是 12，请写出这个数在 50以内的倍数。 解析：12、24、36、48 【对应练习 1】 写出 100以内 15的全部倍数。 解析：100以内 15的倍数有：15，30，45，60，75，90。 【对应练习 2】 写出 50以内 8的倍数。 解析： 8、16、24、32、40、48 【对应练习 3】 若一个数的最小倍数是 12，请写出这个数在 50以内的倍数。 解析： 12、24、36、48 【考点四】因数与倍数的特征。 【方法点拨】 1. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 2. 倍数的特征。 8 / 28 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非 0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答 即可。 【详解】24的最大因数是 24，8的最小倍数是 8，24÷8＝3，即 24是 8的倍数， 8是 24的因数。所以一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是 8，最 大是 24。 【对应练习 1】 一个数的最大因数是 56，这个数是( )；一个数的最小倍数是 18，这个 数是( )。 【答案】 56 18 【分析】一个数的最大公因数是它本身，一个数的最小公倍数是它本身，据此解 答即可。 【详解】一个数的最大因数是 56，那么这个数就是 56；一个数的最小倍数是 18， 那么这个数是 18。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握一个数的最大因数和最小 倍数都是它本身。 【对应练习 2】 一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是( )。 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它 本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是 32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法是 解答本题的关键。 【对应练习 3】 9 / 28 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就叫做 b 的倍数，b就叫做 a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1， 最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最 小的自然数是 0，1只有 1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是 5； 最小的自然数是 0； 5的最大因数是 5； 既是 4的倍数，又是 4的因数的数是 4； 所有因数是 1、2、3、6的数是 6； 所有因数是 1，3的数是 3； 只有一个因数的数是 1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【考点五】因数与倍数的实际应用。 【方法点拨】 因数与倍数的实际应用注意利用因数和倍数的特征和意义来解决问题。 【典型例题】 五（1）班有 54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组， 组数大于 3而小于 10，可以分成几组？ 【答案】6组或者 9组 【分析】由题意可知，分成的小组的个数是 54的因数，先求出 54的因数，再结 合组数大于 3而小于 10，据此找出可以分成几组。 10 / 28 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于 3而小于 10， 所以可以分成 6组或者 9组。 答：可以分成 6组或者 9组。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习 1】 筐里有 30个苹果，将它们全部取出来，分成若干堆（堆数大于 1，而小于 30）， 使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？ 【答案】6种 【分析】找出 30的因数就可以，但是要把 1和 30去掉，因为堆数大于 1，而小 于 30。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 所以每堆 2个苹果，分 15堆； 每堆 3个苹果，分 10堆； 每堆 5个苹果，分 6堆； 每堆 6个苹果，分 5堆； 每堆 10个苹果，分 3堆； 每堆 15个苹果，分 2堆。 答：有 6种分法。 【点睛】考查一个数的因数是多少。 【对应练习 2】 某医院抽调 48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这 48人平均分 成若干小组，每组人数不得少于 4人，不得多于 10人，有几种分法？ 【答案】3种 【分析】由题意可知，小组的个数应是 48的因数，根据求一个数因数的方法， 求出 48的因数，再结合每组人数不得少于 4人，不得多于 10人，据此解答即可。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 48的因数中不少于 4，不多于 10的数有：4、6、8 答：有三种分法。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确求一个数因数的方法是解题的关键。 11 / 28 【对应练习 3】 小美一家来到福州旅游，妈妈买了几袋福州特产一鱼丸，她付了 200元，找回 30元。请你帮小美妈妈判断找回的钱对不对，并说明理由。 【答案】不对；见详解 【分析】用妈妈付的钱 200元减去找回的钱数 30元，应该等于这几袋鱼丸的总 价钱，再利用总价＝单价×数量，根据求一个数的倍数，观察 30的倍数里有没有 170，如果 170是 30的倍数，则找的钱对，反之不对。 【详解】200－30＝170（元） 30的倍数有：30、60、120、150、180、210⋯ 说明 170并不是 30的倍数。 答：找回的钱不对；买的钱数应该是 30的倍数，170不是 30的倍数，所以找回 的钱是不对的。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用求一个数的倍数的方法求解。 【考点六】2、5 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 【典型例题 1】其一。 分一分。 解析： 根据分析可得： 12 / 28 【典型例题 2】其二。 有一个三位数 17□，如果它是 5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是 2 的倍数，□里最大可以填( )。 解析：0；8 【对应练习 1】 313至少减去( )是 5的倍数，至少加上( )是 2的倍数。 解析：3；1 【对应练习 2】 一个两位数，既是 2的倍数又是 5的倍数，这个数最大是( )。 解析：90 【对应练习 3】 82至少要加上( )才能既是 2的倍数，又是 5的倍数。 解析：2，8 【考点七】2、5 倍数特征与实际应用。 【方法点拨】 1. 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 【典型例题】 李文在新华书店用 100元买了几本单价为 5元一本和 10元一本的书，找回了 36 元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是 5的倍数，所以找回的钱也应该是 5的倍数， 36不是 5的倍数，所以钱找的不对。 【分析】5的倍数特点是个位是 0或 5，36的个位不是 5或 0，所以不是 5的倍 数。 【详解】两本书的价格都是 5的倍数，所以找回的钱也应该是 5的倍数，找回的 13 / 28 钱不是 5的倍数，所以找回的钱数不对。 【点睛】这个题目考查 5的倍数特点。 【对应练习 1】 张明在文具店买了几支单价是 12元和 6元的钢笔，付给营业员 30元，找回 5 元。请你判断：钱找对了吗？ 【答案】不对 【分析】不能被 2整除的自然数叫奇数，能被 2整除的自然数叫偶数。12和 6 都是偶数，30元也是偶数，偶数与不是 0的正整数相乘，都是偶数，偶数加偶 数也是偶数，偶数减偶数也是偶数，所以营业员找 5元是奇数，营业员找错了。 【详解】两种钢笔的单价都是偶数，因为偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数， 偶数＋偶数＝偶数，所以买钢笔一共所花的钱数一定是偶数， 又因为 30是偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱一定是偶数。5是奇数，所 以找回的钱不对。 答：钱没有找对。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用奇数和偶数的运算性质求解。 【对应练习 2】 食品店运来 65个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 5个装一袋， 能正好装完吗？为什么？ 【答案】如果每 2个装一袋，不能正好装完，如果每 5个装一袋，能正好装完 【分析】65是 5的倍数，但是不是 2的倍数，所以 5个一袋能正好装完，2个一 袋不能正好装完。 【详解】答：如果每 2个装一袋，不能正好装完，如果每 5个装一袋，能正好装 完。因为 65的个位是 5，65不是 2的倍数，65是 5的倍数。 【点睛】本题考查了 2、5的倍数特征，个位是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数， 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 【对应练习 3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10 元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 14 / 28 【答案】不对，理由见详解 【分析】纯牛奶和可乐的单价分别是 5元和 10元，都是 5的倍数，所以不论买 几瓶，总钱数也应是 5的倍数；付了 100元，用 100元减去找回的钱数就是应付 的总钱数，如果不是 5的倍数，找回的钱就不对。 【详解】100－18＝82（元） 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是 5的倍数，而 82元不是 5的倍数，所以找回的钱不对。 【点睛】掌握 5的倍数特征是解题的关键；个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 【考点八】3 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3 的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 2. 2、5、3 倍数特征之间的联系。 3. 倍数特征的补充。 15 / 28 （1）4或 25的倍数特征：一个数的末两位是 4或 25的倍数； （2）8或 125的倍数特征：一个数末三位是 8或 125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的 数之差（大数减小数）是 7、11、13的倍数。 【典型例题】 要使 207 同时是 2和 3的倍数， 里应填( )；要使 307 既含有因数 3 又是 5的倍数， 里应填( )。 解析：0；5 【对应练习 1】 已知三位数 42□同时是 2和 3的倍数，那么□里最小应填( )，□里最大应 填( )。 解析：0；6 【对应练习 2】 在 510，73，234，91，102，687，870中，是 3的倍数有( )个，( ) 既是 2的倍数，又是 5的倍数。 解析：5；510，870 【对应练习 3】 既是 2的倍数，又是 3的倍数的最大两位数是( )，最小两位数是 ( )。 解析：96；12 【考点九】3 的倍数特征与实际应用。 【方法点拨】 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了 3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了， 售货员说应付 139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【答案】售货员说得不对，因为 139不是 3的倍数。 16 / 28 【分析】根据 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。进行分析得出答案。 【详解】139元，1＋3＋9＝13，13不是 3的倍数。 答：售货员说得不对，因为 139不是 3的倍数。 【对应练习 1】 刘老师买了 65颗糖，如果每 5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每 3颗 分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】能；不能；理由见详解 【分析】个位上是 0或 5的数，是 5的倍数；各位上数的和是 3的倍数的数，是 3的倍数。据此解题。 【详解】答：65颗糖，如果每 5颗分给一个小朋友，能正好分完，因为 65的个 位上是 5，符合 5的倍数的特征； 如果每 3颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为 6＋5＝11，11不是 3的倍数， 那么 65也不是 3的倍数。 【点睛】本题考查了 3和 5的倍数，掌握 3和 5的倍数特征是解题的关键。 【对应练习 2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了 3个足球，售货员说应 付 134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是 3的倍数，那这个数就是 3的倍数。 【详解】根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，1＋3＋4＝8，8不是 3的倍数， 所以 134不是 3的倍数，因此，王老师认为不对。 【点睛】考查 3的倍数特点，知道 3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是 3的倍数，那这个数就是 3的倍数。 【对应练习 3】 有一堆桃子，如果每 2个放一盘，那么多出 1个，如果每 5个放一盘，那么多出 2个，如果每 3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【答案】27个 17 / 28 【分析】根据题意可知，每 2个放一盘，那么多出 1个，则这些桃子的数量一定 比 2的倍数多 1，也就是奇数；如果每 5个放一盘，那么多出 2个，则这些桃子 的数量一定比 5的倍数多 2，已知 5的倍数个位上是 0或 5，所以这些桃子的数 量个位上一定是 2或 7，因为个位是 2符合 2的倍数特征，所以桃子的数量个位 只能是 7；每 3个放一盘，那么正好放完，所以这堆桃子的数量一定是 3的倍数， 据此先找出符合 3的倍数特征，并且个位是 7的最小的数即可。 【详解】根据分析可知，找出符合 3的倍数，并且个位是 7的数； 十位最小是 1， 17÷3＝5……2 17不是 3的倍数，不符合题意； 十位上是 2， 27÷3＝9 27是 3的倍数，比 2的倍数多 1，且比 5的倍数多 2，所以 27符合题意。 答：这堆桃子最少有 27个。 【点睛】熟练掌握 2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。 【考点十】2、5、3 的倍数特征组数。 【方法点拨】 根据倍数特征组数，需要熟悉 2、5、3的倍数特征，能够根据不同倍数的特征灵 活变换。 【典型例题】 从 7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 3的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 3的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 2、3的倍数，又是 5的倍数有：( ) 解析： 18 / 28 2的倍数有：502、702、750、720、270、570； 3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207； 5的倍数有：270、720、570、750、705、205； 既是 2的倍数又是 3的倍数有：270，720、750、702、570； 既是 2的倍数又是 5的倍数有：270，720、750、570，250，520； 既是 3的倍数又是 5的倍数有：270，720，570，750； 既是 2、3的倍数，又是 5的倍数有 270、720、750、570； 【对应练习 1】 按要求写数 用 4、5、8、0这 4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是 2的倍数，并且最大：( ) （2）是 5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是 3的倍数：( ) （4）既含有因数 3又含有因数 5，并且十位数字是 8：( ) （5）同时是 3和 5的倍数，并且百位与个位数字之和是 9的倍数：( ) 解析： （1）是 2的倍数，并且最大：854 （2）是 5的倍数并且最小：405 （3）既是偶数，又是 3的倍数：450、540、480、840、504、804、408 （4）既含有因数 3又含有因数 5，并且十位数字是 8：480 （5）同时是 3和 5的倍数，并且百位与个位数字之和是 9的倍数：405 【对应练习 2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2的倍数，又是 5的倍数：( )。 （4）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 解析： （1）12； 19 / 28 （2）15； （3）10； （4）30 【对应练习 3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 解析： （1）102； （2）105； （3）120。 【考点十一】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数。 不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n-1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 19 2 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍的数叫做奇数。根据偶 数、奇数的意义解答即可。 【详解】1～20中奇数中 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇 数是 19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶数是 2。 20 / 28 【点睛】整数按是不是 2的倍数可以分为奇数和偶数两类。也就是说，一个整数， 不是奇数就是偶数。 【对应练习 1】 在 100以内 13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 13、39、65、91 26、52、78 【分析】根据题意，首先写出 100以内 13的倍数，然后根据在自然数中，能被 2整除的数为偶数，不能被 2整除的数为奇数，据此意义进行分析填空即可。 【详解】100以内 13的倍数有：13、26、39、52、65、78、91。则奇数：13、 39、65、91；偶数：26、52、78。 【点睛】明确奇数与偶数的意义是完成本题的关键。 【对应练习 2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇 数”或“偶数”）。 【答案】 99 偶数 【分析】不能被 2整除的整数叫奇数，能被 2整除的整数叫偶数；100是偶数， 100以内最大的奇数就是比 100少 1的数；1～100中有 50个奇数，50个偶数， 偶数个奇数相加的和是偶数，据此解答。 【详解】根据分析，100以内最大的奇数是 99；1～100中所有奇数的和是偶数。 【点睛】本题主要考查奇数和偶数的认识，注意平时基础知识的积累。 【对应练习 3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 1 0 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是 2的倍数的数 叫做奇数，最小的奇数是 1，据此解答。 【详解】分析可知，自然数里最小的奇数是 1，最小的偶数是 0。 【点睛】本题主要考查奇数、偶数的认识，掌握奇数、偶数的意义是解答题目的 关键。 【考点十二】奇数与偶数的基本性质。 【方法点拨】 21 / 28 奇数与偶数的基本性质。 。 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上 1 B．乘 5 C．乘 1 D．除以 2 【答案】A 【分析】是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数；假设这个偶数 是 20，然后逐一分析各项即可。 【详解】假设这个偶数是 20 A． 20 1 21  ，21是奇数； B．20 5 100  ，100是偶数； C． 20 1 20  ，20是偶数； D．20 2 10  ，10是偶数。 故答案为：A 【点睛】本题考查奇数和偶数，明确奇数和偶数的定义是解题的关键。 【对应练习 1】 a是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． 1a  B． 2 1a  C． 2 1a  【答案】B 【分析】a是自然数，那么 2a一定是偶数，根据偶数＋奇数＝奇数，解答此题 即可。 【详解】 a是自然数，2a＋1一定是奇数。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握偶数和奇数的定义，是解答此题的关键。 22 / 28 【对应练习 2】 如果 a是奇数，b是偶数，且 a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【答案】D 【分析】根据：奇数＋奇数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇 数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数；据此解答。 【详解】A．a是奇数，a＋a的结果是偶数； B．a是奇数，b是偶数，a×b的结果是偶数； C．b是偶数，b＋b的结果是偶数； D．a是奇数，b是偶数，且 a＜b，b－a的结果是奇数； 故答案为：D 【点睛】此题考查了奇数、偶数的判断，可以运用公式判断，也可以用列数计算 再判断，关键熟记概念。 【对应练习 3】 已知 a是奇数，b是偶数，且 a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b ②5a－b ③2a＋b ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数；根据 奇数和偶数的运算性质，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇 数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数；据此解答。 【详解】已知 a是奇数，b是偶数， ①奇数＋偶数＝奇数，所以 a＋b的结果是奇数； ②5a是奇数，奇数－偶数＝奇数，所以 5a－b的结果是奇数； ③2a是偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以 2a＋b的结果是偶数； ④6a是偶数，2b是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以 6a－2b的结果是偶数。 偶数有 2个。 故答案为：C 【点睛】掌握奇数与偶数的运算性质是解题的关键。 23 / 28 【考点十三】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 1. 偶数：能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数：不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n-1表示。 【典型例题】 五年级 43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完 吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而 43是奇数。 【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。 【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而 43是奇数，所以 43不可能分出来两个偶数。 答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而 43是奇数。 【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。 【对应练习 1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了 15次（往 返算 2次）最后小狗停在哪棵树？第 90次呢？ 【答案】乙树，甲树 【分析】第 1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第 2次，小狗从乙树跑向甲树， 第 3次，小狗从甲树跑向乙树， 第 4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为 15是奇数，所以一共跑了 15次（往返算 2次），最后小狗停在乙树旁； 因为 90是偶数，所以一共跑了 90次（往返算 2次），最后小狗停在甲树旁。 【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁， 偶数次在甲树旁。 【对应练习 2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸， 24 / 28 不断往返。记船由南岸驶向北岸为 1次。 （1）摆渡第 10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第 103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为 1次，也就是说摆渡第 1次结束时，船在北岸； 摆渡第 2次结束时，船在南岸；摆渡第 3次结束时，船在北岸；摆渡第 4次结束 时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时， 船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第 10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北 岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第 103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆 渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【对应练习 3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小 船最初在南岸。 （1）摆渡 15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡 2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）北岸；见详解；（2）不对；见详解 【分析】（1）整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第 1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第 1次摆渡后船在北岸；第 2次摆 渡是从北岸驶向南岸，即第 2次摆渡后船在南岸；第 3次摆渡是从南岸驶向北岸， 即第 3次摆渡后船在北岸；第 4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第 4次摆渡后船 在南岸⋯ 不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是 偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断 2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【详解】根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶 数时，船在南岸。 25 / 28 （1）因为 15是奇数，所以摆渡 15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为 2016是偶数，摆渡 2016次后，小船应该在南岸。 【点睛】本题主要考查奇数与偶数的认识及应用。 【考点十四】质数与合数。 【方法点拨】 质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的。 1.一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是 2，没有最大的质数。 2. 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是 4，没有最大的合数。 3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。 【典型例题】 在 1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有( )，质 数有( )，奇数有( )，偶数有( )。 解析：14，25，16，12，91，87；2，29，31；1，25，29，31，91，87；2，14， 16，12 【对应练习 1】 在 17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有( )，偶数有( )，质 数有( )，合数有( )。 解析：17、13、9、1、33；6、2、34；17、13、2；6、9、34、33 【对应练习 2】 在 1、5、2、16、9、11、22中，奇数有( )，偶数有( )，质数有 ( )，合数有( )。 26 / 28 解析：1、5、9、11；2、16、22；5、2、11；16、9、22 【对应练习 3】 将下面各数分别填入到指定的圈里。 0 2 7 11 13 15 16 18 21 解析： 如图： 【考点十五】质数的分解和组合。 【方法点拨】 20以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 【典型例题】 在括号里填上适当的质数。 15＝( )×( ) 20＝( )＋( )＋( ) 解析：3 5 2 7 11 【对应练习 1】 在括号里填上合适的质数。 26＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋ ( ) 解析：3；23；7；19；13；13 【对应练习 2】 在括号里填上适当的质数。 30＝( )＋( ) 18＝( )＋( ) 解析：19 11 13 5 27 / 28 【对应练习 3】 在括号里填上合适的质数。 50＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋ ( )。 解析：47 3 43 7 37 13 【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用。 【方法点拨】 1.一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2. 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3.倍数特征： 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 【典型例题】 一个四位数，最高位是 3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的 因数，个位是偶数，这个数最大是( )。 解析：9218 【对应练习 1】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上 的数是最大的一位数，这个数是( )。 解析：249 【对应练习 2】 一个九位数，个位和百位是最小的质数，十万位是最小的奇数，最高位是最小的 合数，其余数位上的数是最小的偶数，这个数是( )。 解析：400100202 【对应练习 3】 猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数 既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是 0，这个六位数是( )。 28 / 28 解析：920042 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月28日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第三单元倍数与因数·基础篇【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元倍数与因数·基础篇 专题内容 本专题包括因数和倍数的定义及特点，2、5、3的倍数特征，质数与合数的定义及特征等内容。 总体评价 讲解建议 本专题细分内容十分多，但是难度不大，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数 4 【考点二】求一个数的因数 4 【考点三】求一个数的倍数 5 【考点四】因数与倍数的特征 6 【考点五】因数与倍数的实际应用 6 【考点六】2、5的倍数特征 7 【考点七】2、5倍数特征与实际应用 8 【考点八】3的倍数特征 9 【考点九】3的倍数特征与实际应用 10 【考点十】2、5、3的倍数特征组数 11 【考点十一】奇数与偶数 12 【考点十二】奇数与偶数的基本性质 13 【考点十三】奇数与偶数的实际应用 14 【考点十四】质数与合数 15 【考点十五】质数的分解和组合 16 【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用 16 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数。 【方法点拨】 1.因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.注意。 （1）因数与倍数是相互依存的： 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 ，那么28是4和7的( )，4和7是28的( )。 【对应练习1】 因为15÷5＝3，所以，5是15的( )，15是5的( )。 【对应练习2】 在7×8=56中，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 【对应练习3】 根据32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍数。 【考点二】求一个数的因数。 【方法点拨】 求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。 【典型例题】 24的全部因数有( )，18的全部因数有( )；既是24的因数又是18的因数有( )，其中最大的因数是( )。 【对应练习1】 24的因数有( )，18的因数有( )。 【对应练习2】 18的因数有( )；一个数的最小因数是( )，最大因数是( )。 【对应练习3】 一个数的最大因数是20，这个数是( )，它的因数有( )。 【考点三】求一个数的倍数。 【方法点拨】 求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。 【典型例题】 若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。 【对应练习1】 写出100以内15的全部倍数。 【对应练习2】 写出50以内8的倍数。 【对应练习3】 若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。 【考点四】因数与倍数的特征。 【方法点拨】 1. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 2. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【对应练习1】 一个数的最大因数是56，这个数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )。 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【对应练习3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【考点五】因数与倍数的实际应用。 【方法点拨】 因数与倍数的实际应用注意利用因数和倍数的特征和意义来解决问题。 【典型例题】 五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【对应练习1】 筐里有30个苹果，将它们全部取出来，分成若干堆（堆数大于1，而小于30），使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？ 【对应练习2】 某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 【对应练习3】 小美一家来到福州旅游，妈妈买了几袋福州特产一鱼丸，她付了200元，找回30元。请你帮小美妈妈判断找回的钱对不对，并说明理由。 【考点六】2、5的倍数特征。 【方法点拨】 1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 个位上是0或5的数是5的倍数。 【典型例题1】其一。 分一分。 【典型例题2】其二。 有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。 【对应练习1】 313至少减去( )是5的倍数，至少加上( )是2的倍数。 【对应练习2】 一个两位数，既是2的倍数又是5的倍数，这个数最大是( )。 【对应练习3】 82至少要加上( )才能既是2的倍数，又是5的倍数。 【考点七】2、5倍数特征与实际应用。 【方法点拨】 1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 个位上是0或5的数是5的倍数。 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【对应练习1】 张明在文具店买了几支单价是12元和6元的钢笔，付给营业员30元，找回5元。请你判断：钱找对了吗？ 【对应练习2】 食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【对应练习3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【考点八】3的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系。 3. 倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 【典型例题】 要使207同时是2和3的倍数，里应填( )；要使307既含有因数3又是5的倍数，里应填( )。 【对应练习1】 已知三位数42□同时是2和3的倍数，那么□里最小应填( )，□里最大应填( )。 【对应练习2】 在510，73，234，91，102，687，870中，是3的倍数有( )个，( )既是2的倍数，又是5的倍数。 【对应练习3】 既是2的倍数，又是3的倍数的最大两位数是( )，最小两位数是( )。 【考点九】3的倍数特征与实际应用。 【方法点拨】 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【对应练习1】 刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【对应练习3】 有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【考点十】2、5、3的倍数特征组数。 【方法点拨】 根据倍数特征组数，需要熟悉2、5、3的倍数特征，能够根据不同倍数的特征灵活变换。 【典型例题】 从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是2的倍数又是3的倍数有：( ) 既是2的倍数又是5的倍数有：( ) 既是3的倍数又是5的倍数有：( ) 既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( ) 【对应练习1】 按要求写数 用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是2的倍数，并且最大：( ) （2）是5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是3的倍数：( ) （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( ) （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( ) 【对应练习2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数：( )。 （4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 【对应练习3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 【考点十一】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数。 不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【考点十二】奇数与偶数的基本性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的基本性质。 。 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上1 B．乘5 C．乘1 D．除以2 【对应练习1】 是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． B． C． 【对应练习2】 如果a是奇数，b是偶数，且a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【对应练习3】 已知a是奇数，b是偶数，且a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b  ②5a－b  ③2a＋b  ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【考点十三】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【考点十四】质数与合数。 【方法点拨】 质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的。 1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。 【典型例题】 在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有( )，质数有( )，奇数有( )，偶数有( )。 【对应练习1】 在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 【对应练习2】 在1、5、2、16、9、11、22中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 【对应练习3】 将下面各数分别填入到指定的圈里。 0        2      7      11        13      15     16      18      21 【考点十五】质数的分解和组合。 【方法点拨】 20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 【典型例题】 在括号里填上适当的质数。 15＝( )×( )    20＝( )＋( )＋( ) 【对应练习1】 在括号里填上合适的质数。 26＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 【对应练习2】 在括号里填上适当的质数。 30＝( )＋( )        18＝( )＋( ) 【对应练习3】 在括号里填上合适的质数。 50＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )。 【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用。 【方法点拨】 1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3.倍数特征： 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 个位上是0或5的数是5的倍数。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【典型例题】 一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是( )。 【对应练习1】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最大的一位数，这个数是( )。 【对应练习2】 一个九位数，个位和百位是最小的质数，十万位是最小的奇数，最高位是最小的合数，其余数位上的数是最小的偶数，这个数是( )。 【对应练习3】 猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是( )。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月28日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第三单元倍数与因数·基础篇【十六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元倍数与因数·基础篇 专题内容 本专题包括因数和倍数的定义及特点，2、5、3的倍数特征，质数与合数的定义及特征等内容。 总体评价 讲解建议 本专题细分内容十分多，但是难度不大，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数 4 【考点二】求一个数的因数 5 【考点三】求一个数的倍数 7 【考点四】因数与倍数的特征 7 【考点五】因数与倍数的实际应用 9 【考点六】2、5的倍数特征 11 【考点七】2、5倍数特征与实际应用 12 【考点八】3的倍数特征 14 【考点九】3的倍数特征与实际应用 15 【考点十】2、5、3的倍数特征组数 17 【考点十一】奇数与偶数 19 【考点十二】奇数与偶数的基本性质 20 【考点十三】奇数与偶数的实际应用 23 【考点十四】质数与合数 25 【考点十五】质数的分解和组合 26 【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用 27 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数。 【方法点拨】 1.因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.注意。 （1）因数与倍数是相互依存的： 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 ，那么28是4和7的( )，4和7是28的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】a×b＝c（a、b、c均为非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。据此解题。 【详解】4×7＝28，那么28是4和7的倍数，4和7是28的因数。 【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 【对应练习1】 因为15÷5＝3，所以，5是15的( )，15是5的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 因为15÷5＝3，所以，5是15的因数，15是5的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 【对应练习2】 在7×8=56中，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 【答案】 7 8 56 56 7 8 【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 【详解】在中，7和8是56的因数，56是7和8的倍数。 【点睛】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 【对应练习3】 根据32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍数。 【答案】 8 32 32 8 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 根据32÷8＝4，8是32的因数；32是8的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 【考点二】求一个数的因数。 【方法点拨】 求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。 【典型例题】 24的全部因数有( )，18的全部因数有( )；既是24的因数又是18的因数有( )，其中最大的因数是( )。 【答案】 1、2、3、4、6、8、12、24 1、2、3、6、9、18 1、2、3、6 6 【分析】用列乘法算式法找24和18的全部因数，公共出现的因数就是24和18的公因数，据此解答。 【详解】24＝1×24,24＝2×12，24＝3×8，24＝4×6，24的全部因数有1、2、3、4、6、8、12、24； 18＝1×18，18＝2×9，18＝3×6，18的全部因数有1、2、3、6、9、18； 既是24的因数又是18的因数有1、2、3、6，其中最大的因数是6。 【点睛】本题考查求一个数的因数，常用方法是列乘法算式法。 【对应练习1】 24的因数有( )，18的因数有( )。 【答案】 1、2、3、4、6、8、12、24 1、2、3、6、9、18 【分析】找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。（2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 可得，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 18＝1×18＝2×9＝3×6 可得，18的因数有：1、2、3、6、9、18。 【对应练习2】 18的因数有( )；一个数的最小因数是( )，最大因数是( )。 【答案】 1、2、3、6、9、18 1 它本身 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找； 一个数（0除外）的最小因数是1，最大因数是它本身，据此解答即可。 【详解】18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6 则18的因数有1、2、3、6、9、18，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确求一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习3】 一个数的最大因数是20，这个数是( )，它的因数有( )。 【答案】 20 1、2、4、5、10、20 【分析】一个数的最大因数是这个数本身，所以这个数是20；求一个数的因数可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，也可以列除法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式，除法算式中的除数和商就是这个数的因数。 【详解】20＝1×20＝2×10＝4×5 则20的因数有：1、2、4、5、10、20。 这个数是20，它的因数有1、2、4、5、10、20。 【点睛】此题主要考查一个数的因数的求法，明确一个数的最大因数是本身是解题的关键。 【考点三】求一个数的倍数。 【方法点拨】 求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。 【典型例题】 若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。 解析：12、24、36、48 【对应练习1】 写出100以内15的全部倍数。 解析：100以内15的倍数有：15，30，45，60，75，90。 【对应练习2】 写出50以内8的倍数。 解析： 8、16、24、32、40、48 【对应练习3】 若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。 解析： 12、24、36、48 【考点四】因数与倍数的特征。 【方法点拨】 1. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 2. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。 【详解】24的最大因数是24，8的最小倍数是8，24÷8＝3，即24是8的倍数，8是24的因数。所以一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是8，最大是24。 【对应练习1】 一个数的最大因数是56，这个数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )。 【答案】 56 18 【分析】一个数的最大公因数是它本身，一个数的最小公倍数是它本身，据此解答即可。 【详解】一个数的最大因数是56，那么这个数就是56；一个数的最小倍数是18，那么这个数是18。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法是解答本题的关键。 【对应练习3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【考点五】因数与倍数的实际应用。 【方法点拨】 因数与倍数的实际应用注意利用因数和倍数的特征和意义来解决问题。 【典型例题】 五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【答案】6组或者9组 【分析】由题意可知，分成的小组的个数是54的因数，先求出54的因数，再结合组数大于3而小于10，据此找出可以分成几组。 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于3而小于10，所以可以分成6组或者9组。 答：可以分成6组或者9组。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习1】 筐里有30个苹果，将它们全部取出来，分成若干堆（堆数大于1，而小于30），使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？ 【答案】6种 【分析】找出30的因数就可以，但是要把1和30去掉，因为堆数大于1，而小于30。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 所以每堆2个苹果，分15堆； 每堆3个苹果，分10堆； 每堆5个苹果，分6堆； 每堆6个苹果，分5堆； 每堆10个苹果，分3堆； 每堆15个苹果，分2堆。 答：有6种分法。 【点睛】考查一个数的因数是多少。 【对应练习2】 某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 【答案】3种 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 48的因数中不少于4，不多于10的数有：4、6、8 答：有三种分法。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确求一个数因数的方法是解题的关键。 【对应练习3】 小美一家来到福州旅游，妈妈买了几袋福州特产一鱼丸，她付了200元，找回30元。请你帮小美妈妈判断找回的钱对不对，并说明理由。 【答案】不对；见详解 【分析】用妈妈付的钱200元减去找回的钱数30元，应该等于这几袋鱼丸的总价钱，再利用总价＝单价×数量，根据求一个数的倍数，观察30的倍数里有没有170，如果170是30的倍数，则找的钱对，反之不对。 【详解】200－30＝170（元） 30的倍数有：30、60、120、150、180、210⋯ 说明170并不是30的倍数。 答：找回的钱不对；买的钱数应该是30的倍数，170不是30的倍数，所以找回的钱是不对的。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用求一个数的倍数的方法求解。 【考点六】2、5的倍数特征。 【方法点拨】 1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 个位上是0或5的数是5的倍数。 【典型例题1】其一。 分一分。 解析： 根据分析可得： 【典型例题2】其二。 有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。 解析：0；8 【对应练习1】 313至少减去( )是5的倍数，至少加上( )是2的倍数。 解析：3；1 【对应练习2】 一个两位数，既是2的倍数又是5的倍数，这个数最大是( )。 解析：90 【对应练习3】 82至少要加上( )才能既是2的倍数，又是5的倍数。 解析：2，8 【考点七】2、5倍数特征与实际应用。 【方法点拨】 1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 个位上是0或5的数是5的倍数。 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，36不是5的倍数，所以钱找的不对。 【分析】5的倍数特点是个位是0或5，36的个位不是5或0，所以不是5的倍数。 【详解】两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，找回的钱不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 【点睛】这个题目考查5的倍数特点。 【对应练习1】 张明在文具店买了几支单价是12元和6元的钢笔，付给营业员30元，找回5元。请你判断：钱找对了吗？ 【答案】不对 【分析】不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。12和6都是偶数，30元也是偶数，偶数与不是0的正整数相乘，都是偶数，偶数加偶数也是偶数，偶数减偶数也是偶数，所以营业员找5元是奇数，营业员找错了。 【详解】两种钢笔的单价都是偶数，因为偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以买钢笔一共所花的钱数一定是偶数， 又因为30是偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱一定是偶数。5是奇数，所以找回的钱不对。 答：钱没有找对。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用奇数和偶数的运算性质求解。 【对应练习2】 食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完 【分析】65是5的倍数，但是不是2的倍数，所以5个一袋能正好装完，2个一袋不能正好装完。 【详解】答：如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完。因为65的个位是5，65不是2的倍数，65是5的倍数。 【点睛】本题考查了2、5的倍数特征，个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。 【对应练习3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【答案】不对，理由见详解 【分析】纯牛奶和可乐的单价分别是5元和10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数；付了100元，用100元减去找回的钱数就是应付的总钱数，如果不是5的倍数，找回的钱就不对。 【详解】100－18＝82（元） 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是5的倍数，而82元不是5的倍数，所以找回的钱不对。 【点睛】掌握5的倍数特征是解题的关键；个位上是0或5的数是5的倍数。 【考点八】3的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系。 3. 倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 【典型例题】 要使207同时是2和3的倍数，里应填( )；要使307既含有因数3又是5的倍数，里应填( )。 解析：0；5 【对应练习1】 已知三位数42□同时是2和3的倍数，那么□里最小应填( )，□里最大应填( )。 解析：0；6 【对应练习2】 在510，73，234，91，102，687，870中，是3的倍数有( )个，( )既是2的倍数，又是5的倍数。 解析：5；510，870 【对应练习3】 既是2的倍数，又是3的倍数的最大两位数是( )，最小两位数是( )。 解析：96；12 【考点九】3的倍数特征与实际应用。 【方法点拨】 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【答案】售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。进行分析得出答案。 【详解】139元，1＋3＋9＝13，13不是3的倍数。 答：售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 【对应练习1】 刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】能；不能；理由见详解 【分析】个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此解题。 【详解】答：65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完，因为65的个位上是5，符合5的倍数的特征； 如果每3颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为6＋5＝11，11不是3的倍数，那么65也不是3的倍数。 【点睛】本题考查了3和5的倍数，掌握3和5的倍数特征是解题的关键。 【对应练习2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。 【详解】根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，1＋3＋4＝8，8不是3的倍数，所以134不是3的倍数，因此，王老师认为不对。 【点睛】考查3的倍数特点，知道3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。 【对应练习3】 有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【答案】27个 【分析】根据题意可知，每2个放一盘，那么多出1个，则这些桃子的数量一定比2的倍数多1，也就是奇数；如果每5个放一盘，那么多出2个，则这些桃子的数量一定比5的倍数多2，已知5的倍数个位上是0或5，所以这些桃子的数量个位上一定是2或7，因为个位是2符合2的倍数特征，所以桃子的数量个位只能是7；每3个放一盘，那么正好放完，所以这堆桃子的数量一定是3的倍数，据此先找出符合3的倍数特征，并且个位是7的最小的数即可。 【详解】根据分析可知，找出符合3的倍数，并且个位是7的数； 十位最小是1， 17÷3＝5……2 17不是3的倍数，不符合题意； 十位上是2， 27÷3＝9 27是3的倍数，比2的倍数多1，且比5的倍数多2，所以27符合题意。 答：这堆桃子最少有27个。 【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。 【考点十】2、5、3的倍数特征组数。 【方法点拨】 根据倍数特征组数，需要熟悉2、5、3的倍数特征，能够根据不同倍数的特征灵活变换。 【典型例题】 从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是2的倍数又是3的倍数有：( ) 既是2的倍数又是5的倍数有：( ) 既是3的倍数又是5的倍数有：( ) 既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( ) 解析： 2的倍数有：502、702、750、720、270、570； 3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207； 5的倍数有：270、720、570、750、705、205； 既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570； 既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520； 既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750； 既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570； 【对应练习1】 按要求写数 用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是2的倍数，并且最大：( ) （2）是5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是3的倍数：( ) （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( ) （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( ) 解析： （1）是2的倍数，并且最大：854 （2）是5的倍数并且最小：405 （3）既是偶数，又是3的倍数：450、540、480、840、504、804、408 （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：480 （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：405 【对应练习2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数：( )。 （4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 解析： （1）12； （2）15； （3）10； （4）30 【对应练习3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 解析： （1）102； （2）105； （3）120。 【考点十一】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数。 不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 19 2 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍的数叫做奇数。根据偶数、奇数的意义解答即可。 【详解】1～20中奇数中1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇数是19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶数是2。 【点睛】整数按是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类。也就是说，一个整数，不是奇数就是偶数。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 13、39、65、91 26、52、78 【分析】根据题意，首先写出100以内13的倍数，然后根据在自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数，据此意义进行分析填空即可。 【详解】100以内13的倍数有：13、26、39、52、65、78、91。则奇数：13、39、65、91；偶数：26、52、78。 【点睛】明确奇数与偶数的意义是完成本题的关键。 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 99 偶数 【分析】不能被2整除的整数叫奇数，能被2整除的整数叫偶数；100是偶数，100以内最大的奇数就是比100少1的数；1～100中有50个奇数，50个偶数，偶数个奇数相加的和是偶数，据此解答。 【详解】根据分析，100以内最大的奇数是99；1～100中所有奇数的和是偶数。 【点睛】本题主要考查奇数和偶数的认识，注意平时基础知识的积累。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 1 0 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1，据此解答。 【详解】分析可知，自然数里最小的奇数是1，最小的偶数是0。 【点睛】本题主要考查奇数、偶数的认识，掌握奇数、偶数的意义是解答题目的关键。 【考点十二】奇数与偶数的基本性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的基本性质。 。 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上1 B．乘5 C．乘1 D．除以2 【答案】A 【分析】是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；假设这个偶数是20，然后逐一分析各项即可。 【详解】假设这个偶数是20 A．，21是奇数； B．，100是偶数； C．，20是偶数； D．，10是偶数。 故答案为：A 【点睛】本题考查奇数和偶数，明确奇数和偶数的定义是解题的关键。 【对应练习1】 是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． B． C． 【答案】B 【分析】a是自然数，那么2a一定是偶数，根据偶数＋奇数＝奇数，解答此题即可。 【详解】是自然数，2a＋1一定是奇数。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握偶数和奇数的定义，是解答此题的关键。 【对应练习2】 如果a是奇数，b是偶数，且a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【答案】D 【分析】根据：奇数＋奇数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数；据此解答。 【详解】A．a是奇数，a＋a的结果是偶数； B．a是奇数，b是偶数，a×b的结果是偶数； C．b是偶数，b＋b的结果是偶数； D．a是奇数，b是偶数，且a＜b，b－a的结果是奇数； 故答案为：D 【点睛】此题考查了奇数、偶数的判断，可以运用公式判断，也可以用列数计算再判断，关键熟记概念。 【对应练习3】 已知a是奇数，b是偶数，且a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b  ②5a－b  ③2a＋b  ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；根据奇数和偶数的运算性质，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数；据此解答。 【详解】已知a是奇数，b是偶数， ①奇数＋偶数＝奇数，所以a＋b的结果是奇数； ②5a是奇数，奇数－偶数＝奇数，所以5a－b的结果是奇数； ③2a是偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以2a＋b的结果是偶数； ④6a是偶数，2b是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以6a－2b的结果是偶数。 偶数有2个。 故答案为：C 【点睛】掌握奇数与偶数的运算性质是解题的关键。 【考点十三】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。 【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而43是奇数，所以43不可能分出来两个偶数。 答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【答案】乙树，甲树 【分析】第1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第2次，小狗从乙树跑向甲树， 第3次，小狗从甲树跑向乙树， 第4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为15是奇数，所以一共跑了15次（往返算2次），最后小狗停在乙树旁； 因为90是偶数，所以一共跑了90次（往返算2次），最后小狗停在甲树旁。 【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁。 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为1次，也就是说摆渡第1次结束时，船在北岸；摆渡第2次结束时，船在南岸；摆渡第3次结束时，船在北岸；摆渡第4次结束时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）北岸；见详解；（2）不对；见详解 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第1次摆渡后船在北岸；第2次摆渡是从北岸驶向南岸，即第2次摆渡后船在南岸；第3次摆渡是从南岸驶向北岸，即第3次摆渡后船在北岸；第4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第4次摆渡后船在南岸⋯不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【详解】根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【点睛】本题主要考查奇数与偶数的认识及应用。 【考点十四】质数与合数。 【方法点拨】 质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的。 1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。 【典型例题】 在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有( )，质数有( )，奇数有( )，偶数有( )。 解析：14，25，16，12，91，87；2，29，31；1，25，29，31，91，87；2，14，16，12 【对应练习1】 在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 解析：17、13、9、1、33；6、2、34；17、13、2；6、9、34、33 【对应练习2】 在1、5、2、16、9、11、22中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 解析：1、5、9、11；2、16、22；5、2、11；16、9、22 【对应练习3】 将下面各数分别填入到指定的圈里。 0        2      7      11        13      15     16      18      21 解析： 如图： 【考点十五】质数的分解和组合。 【方法点拨】 20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 【典型例题】 在括号里填上适当的质数。 15＝( )×( )    20＝( )＋( )＋( ) 解析：3     5     2     7     11 【对应练习1】 在括号里填上合适的质数。 26＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 解析：3；23；7；19；13；13 【对应练习2】 在括号里填上适当的质数。 30＝( )＋( )        18＝( )＋( ) 解析：19     11     13     5 【对应练习3】 在括号里填上合适的质数。 50＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )。 解析：47     3     43     7     37     13 【考点十六】因数、倍数、质数、合数的综合应用。 【方法点拨】 1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3.倍数特征： 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 个位上是0或5的数是5的倍数。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【典型例题】 一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是( )。 解析：9218 【对应练习1】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最大的一位数，这个数是( )。 解析：249 【对应练习2】 一个九位数，个位和百位是最小的质数，十万位是最小的奇数，最高位是最小的合数，其余数位上的数是最小的偶数，这个数是( )。 解析：400100202 【对应练习3】 猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是( )。 解析：920042 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$