精品解析：江苏省连云港市高级中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测（9月）数学试题

2024-2025学年第一学期高二年级第一次阶段检测 数学试卷 一、单选题(每题5分，共40分） 1. 已知直线的斜率为0，且直线，则直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率定义可判断直线与轴平行，再由直线得解． 【详解】因为直线的斜率为0，所以直线与轴平行，又直线，故直线的倾斜角为． 【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义． 2. 已知直线和之间的距离是（    ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为， 即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切. 故选：C. 4. 已知圆与轴相切，则（ ） A. 1 B. 0或 C. 0或1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得求解. 【详解】将化为标准式为：， 故圆心为半径为，且或， 由于与轴相切，故， 解得，或（舍去）， 故选：D 5. 已知点关于直线对称的点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据中点在对称直线上及与对称直线垂直列方程求解. 【详解】设，则，解得，. 故选：B 6. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解. 【详解】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 7. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 8. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 二、多选题(每小题6分，本题18分) 9. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 10. 已知是圆上任一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 点在圆内 C. 的最大值为 D. 过的最短弦长是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程可判断A，由点和圆的位置关系可判断B，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C，由圆的几何性质可判断D. 【详解】将圆的方程化为标准方程， 圆心，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：因为，所以点在圆C外，故B错误； 对于C：因为， 所以，即，故C正确； 对于D：因为，所以点在圆内， 当弦垂直于时弦长最短，又， 最短弦长为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 三、填空题(每小题5分，本题15分) 12. 已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式. 【详解】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得. 故答案为：3. 13. 已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为， 则，且根据椭圆的性质易知， 所以， 显然若为等腰三角形，则只能有， 即， 则. 故答案为： 14. 如果实数满足等式，那么的最大值是________；的最大值是________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可. 【详解】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方． 因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为， 则的最大值是． 令，则是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值， 此时，圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为． 故答案为：；. 四、解答题 15. 已知点和直线. （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解， （2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解. 【小问1详解】 由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为：，即； 【小问2详解】 若直线经过原点，设直线方程为， 代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为. 综上，直线的方程为和. 16. （1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得，即得答案； （2）设，可得，；由得，结合椭圆方程求出，即得答案. 【详解】（1）椭圆C1：的焦点坐标为， 所以椭圆C的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆C过点M，∴， ∴，∴椭圆的标准方程为. （2）由椭圆方程得，，， 设，则，； 由得：（1）； 又点在椭圆上，可得（2）； （1）（2）联立消去得，，即； 故点到轴的距离是． 17. （1）已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程； （2）如图，已知圆和定点，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若，求点P的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）0. 【解析】 【分析】设动点坐标为，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可. 【详解】（1）设，则，， ， 化简整理得，， 所以点的轨迹方程为：. （2）设，依题意，则， 即，即， 整理得. 18. （1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程. （2）若过点作圆的切线，求切线的斜率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由圆的切线 性质求出直线的方程，进而求出圆心的坐标及圆半径即可得解. （2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得. 【详解】（1）依题意，，则直线的斜率为，方程为，即， 由，解得，则圆的圆心，， 所以所求圆的方程为：. （2）圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，，点到切线的距离为2，不等于半径，不满足题意； 当切线的斜率存在时，设，即， 则，解得， 所以切线的斜率为. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年级第一次阶段检测 数学试卷 一、单选题(每题5分，共40分） 1. 已知直线的斜率为0，且直线，则直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 已知直线和之间的距离是（    ） A. 4 B. C. D. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 4. 已知圆与 轴相切，则（ ） A. 1 B. 0或 C. 0或1 D. 5. 已知点关于直线对称的点的坐标是（    ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 7. 已知点，，若过点的直线与线段 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分，本题18分) 9. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在 轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 10. 已知是圆上任一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心 的坐标为 B. 点在圆 内 C. 的最大值为 D. 过的最短弦长是 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 三、填空题(每小题5分，本题15分) 12. 已知三点A，B，C在同一直线上，则实数 的值是________. 13. 已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为______． 14. 如果实数满足等式，那么的最大值是________；的最大值是________． 四、解答题 15. 已知点和直线. （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. （1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到 轴的距离. 17. （1）已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程； （2）如图，已知圆和定点，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若，求点P的轨迹方程． 18. （1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程. （2）若过点作圆的切线，求切线的斜率. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线 与椭圆 相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与 轴垂直. （1）求椭圆 的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $