期中真题必刷压轴65题（14个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

期中真题必刷压轴65题（14个考点专练） 考点一 配方法的应用压轴 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如果，则 ． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    考点二 换元法压轴 1．（21-22九年级·江苏连云港·期中）关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024九年级上·全国·期中）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 3．（21-22九年级上·江苏徐州·期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为（1），解得，，当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)试用上述方法解方程：，得原方程的解为 ___________． (2)解方程． 考点三 韦达定理压轴 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知关于x的一元二次方程，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，且，则；③若两个根为，则；④若（p为常数），则代数式的值为一个完全平方数（整数的平方），其中正确的结论是（    ）． A．②④ B．①③ C．①②③ D．①③④ 2．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 5．（2024九年级上·江苏·期中）已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数． (1)求k的取值范围； (2)当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 考点四 一元二次方程应用压轴 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，四边形面积是______ (2)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 2、（2023·江苏南京·期中）课本呈现： 直觉的误差 有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，，， ∵，∴． ∵，∴，∴． 因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．    问题探究： (1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明； (2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．    3．（2021·江苏苏州·期中）上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题： （1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________； （2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？ （3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间． 4．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 考点五 垂径定理压轴 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A．4 B． C． D． 2．（20-21九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，点在弦上移动，连接过点作交于点．若则的最大值是（  ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）已知中有弦，，，且四边形ABCD的面积为49，则的半径为 ． 4．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，的直径与弦交于点E，，求的长．    5．（2024·江苏泰州·期中）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，半径弦， (1)求证：弧弧的长． (2)在如图上，连接、相交于点，与相交于点，连接，若的半径为，，求的长． (3)如图，在的延长线上取一点，使，交弧于点若，，求的长． 考点六 切线长定理压轴 1．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，的长度分别为，，，与分别与直线、、相切（与分别在直线的异侧），若的半径为，的半径为，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 3．（2024九年级上·江苏·期中）已知点，的半径为1，切于点A，点P为上的动点，当P的坐标为 时，是等腰三角形． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）观赏展品时视角越大越理想．如图所示，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动． (1)请证明：当过三点的圆与水平线相切于点时，视角最大． (2)若展品距地面最高、最低，小明身高，他站在与墙水平距离多远处，观赏展品最理想？ 7．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）等腰直角和如图①放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5．现以每秒2个单位的速度向右移动． (1)_________秒后边所在的直线与相切． (2)当的边（边除外）与圆第一次相切时，如图②，切点为，连接并延长交直线于点，设， ①则__________（用含的代数式表示）． ②求出点移动的距离． (3)现以每秒2个单位的速度向右移动，同时的边长、又以每秒个单位的速度沿、方向增大． ①若在移动的同时，也以每秒1个单位的速度向右移动，则从开始移动，经过多少秒后，它的边与圆最后一次相切？ ②是否存在某一时刻，各边刚好与都相切？若存在，求出刚好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由． 考点七 圆中最值问题 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 2．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽蚌埠·期中）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为 ． 5．（2024九年级上·江苏·期中）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）如图1，已知半径是4，A是上一动点，，则的最大值是　　　　． （2）如图2，在中，，，，点D是边上一动点，连接DB，过点A作于点F，连接，求的最小值． （3）如图3，日月岛景区有一片圆形人工湖，湖上有一座木桥供游客行走，其中长为米，为了方便游客游览，景区计划增加两座木桥，根据设计要求，在湖边确定一点A，沿，修建木桥，使，并在AC中点P处修建一个凉亭，沿修建水上文化长廊，由于文化长廊造价高达10000元/米，为了控制成本，景区要求文化长廊的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造文化长廊的最低费用． 7．（2024·江苏徐州·期中）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 考点八 圆的新定义问题 1．（23-24九年级上·江苏常州·期中）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 2．（23-24九年级·江苏·假期作业）我们给出定义：如果三角形存在两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．已知△ABC为“准互余三角形”，并且．    (1)如图①若且，求边BC的长； (2)如图②，以边为直径作，交于点D，若，试求的面积． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外的两点，．给出如下定义：平移线段得到的弦，（，分别是A，B的对应点），线段的最小值称为线段到的“平移距离” (1)平移线段得到的长度为的弦和，则这两条弦的位置关系是______；在点，，，中，连接点A与点______的线段的长度等于线段到的“平移距离”； (2)若A、B两点在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； (3)若点A的坐标是，记线段到的“平移距离”为， ①求的最小值； ②当取得最小值时点的坐标为______． 考点九 二次函数的图象与性质压轴 1．（2024·江苏淮安·期中）已知，是抛物线上的两点，当时，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·期中）若点、、都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 ． 4．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，已知二次函数（其中）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点外接圆的圆心为，抛物线的顶点为，若，则的值为 ． 5．（2024·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴、y轴的距离的较大值等于点N到x轴、y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“距轴等点”． (1)在点、、中与点互为“距轴等点”的是_______. (2)已知点与点 ①若点A、B分别在直线和直线上，且点A与点B始终互为“距轴等点”，求m的取值范围． ②若点A在二次函数的图像上，点B在过点且垂直于y轴的直线l上，当点A、B互为“距轴等点”时，证明：． 考点十 二次函数与线段的交点问题 1．（2024·四川南充·期中）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 2．（2022·浙江舟山·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2－2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（    ） A．＜a≤或a≥1 B．a≥或a＜ C．≤a≤1且a≠0 D．a≤或a≥1 3．（2024·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 4．（23-24九年级上·河南郑州·期中）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 5．（2023·安徽·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，则的取值范围为 ． 6．（2024·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，．已知抛物线． (1)若该抛物线经过点A，且对称轴在y轴右侧． ①求a的取值范围； ②若该抛物线顶点的纵坐标为4，求抛物线的表达式． (2)若该抛物线经过点B，且与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 7．（2024·江苏南京·期中）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 考点十一 二次函数的存在性问题 1．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2020·河南周口·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（22-23九年级上·山东东营·期中）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标． 4．（2023九年级上·江苏·期中）如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点十二 二次函数含参应用题 1．（2023·江苏扬州·期中）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 2．（2024·四川南充·期中）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． (1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 7．（22-23九年级上·湖北随州·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 8．（2022·浙江温州·期中）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 9．（2022·江苏南京·期中）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式： 方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩． 方式二 每亩土地的年租金是600元． (1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元； (2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？ (3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围． （注：年收入＝年总租金－捐款数） 考点十三 二次函数中的角度问题 1．（2024九年级上·江苏徐州·学业考试）如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线交轴负半轴于，交正半轴于，交 轴于 ，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限抛物线上一点，连接交 轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的垂线，交轴于点 ，垂足为点，为 上一点，连接 ，若，，求点坐标． 考点十四 二次函数的综合 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口H离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度，竖直高度．洒水车到绿化带的距离为d(单位：m)，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)若距喷水口水平距离为米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水?并写出你的判断过程； (2)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则洒水车离绿化带的距离d的范围是多少? 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，抛物线上的点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，求点的横坐标； (3)将抛物线沿轴的负方向平移个单位长度，得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移的过程中， ①当点在线段上时，求的值； ②当的值最小时，直接写出的值． 3．（23-24九年级上·江苏·期中）塑料大棚（如图1）是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分和矩形构成（如图2），矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米）．抛物线的顶点坐标为，其横截面有三根支架，，（三根支架均垂直于地面），且．    (1)求此抛物线对应的二次函数关系式； (2)已知大棚共有支架300根（，，各100根），为了增加大棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到（如图3）．若增加的支架（，，）单价为60元/米（接口忽略不计），要使增加支架的费用不超过12000元，求大棚向上调整高度的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴65题（14个考点专练） 考点一 配方法的应用压轴 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 【答案】B 【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【详解】解：与为同族二次方程． ， ， ∴， 解得：． ， 当时，取最小值为2013. 故选：B. 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如果，则 ． 【答案】36 【分析】先将变形成，进而求得a、b的值，然后再对因式分解即可解答． 【详解】解： ，解得：； ． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、因式分解法的应用、非负数的性质等知识点，掌握完全平方公式的结构并配方成平方和等于零的形式是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【答案】(1)2； (2)y最小值为4； (3)25． 【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可； （2）将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号， 当时，的最小值为2． 故答案为：2； （2）由， ， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，y最小值为4； （3）设，已知， 则由等高三角形可知： ， 四边形面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． 考点二 换元法压轴 1．（21-22九年级·江苏连云港·期中）关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可． 【详解】解:时，或 方程化为：① 时， 方程化为：② 当，即时， 方程①的根为： 方程②的根为： 分析可得时，即：时，有5个不相等的实根 时， 则 中，不符合题意，故有2个实数根 中，，均不符合题意 故时，有2个实数根 共有8个不相等的实数根 当，即时， 方程①的根为：， 方程②的根为：， 故共有4个不相等的实数根 当，即时， 方程没有实数根 综上，方程可能有个、个、个、个实数根 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键． 2．（2024九年级上·全国·期中）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程可化为，根据关于x的一元二次方程的解为，得到，于是得到结论． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴， ∴或， 解得． 故答案为：． 3．（21-22九年级上·江苏徐州·期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为（1），解得，，当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)试用上述方法解方程：，得原方程的解为 ___________． (2)解方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合材料，利用，再换元，求出m的值，再代入求出x即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出n的值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得，， 当时，，解得， 当，，方程无解， 故原方程的解为，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得，， 当时，，解得， 当时，，即， ， 则方程无解， 故原方程的解为． 【点睛】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． 考点三 韦达定理压轴 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知关于x的一元二次方程，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，且，则；③若两个根为，则；④若（p为常数），则代数式的值为一个完全平方数（整数的平方），其中正确的结论是（    ）． A．②④ B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，把原方程化为一般式，求出，据此可判断①；由根与系数的关系得到，据此可得当，则，据此可判断②；根据根与系数的关系得到，，则可证明，据此可判断③；求出，当p为奇数时，不是整数，此时不是一个完全平方数，据此可判断④． 【详解】解：把原方程化为一般式为， ∴， ∴方程总有两个不等的实数根，故①正确； 若两个根为，则， 故当，则，故②错误； 若两个根为，则，， ∴， ， ∴，故③正确； ∵， ∴ ， 当p为奇数时，不是整数，此时不是一个完全平方数，故④错误； 故选：B． 2．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系． 3．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 【答案】2032 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，解题的关键是求出． 根据一元二次方程有两个不同的实数根，可得，从而得出，则，即可求出，再根据即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（2024九年级上·江苏·期中）已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数． (1)求k的取值范围； (2)当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1)且，； (2)成立，见解析 【分析】本题考查解分式方程，一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式． （1）分式方程的根是非负数，即，得到，再利用一元二次方程的定义得到，据此求解即可； （2）一元二次方程的二次项系数的值不为0，一元二次方程的两根为、，则，，本题中是，是，是．利用根与系数的关系和判别式大于等于0，列出方程和不等式组，进行运算即可． 【详解】（1）解：解分式方程①得． 方程①的根为非负数， ，解得且． 又一元二次方程中，，所以． 综上所述可知且，； （2）解：成立．理由如下： 是负整数，且，2， ． 方程②有两个实数根，， ． 化简，得， 将代入，得， ，③， △④， 把③代入④得， 整理，可得． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)4 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程中根与系数的关系，熟记，掌握配方法是解题的关键． （1）仿照例题写出三种不同形式的配方； （2）利用根与系数的关系公式，求得的值，再利用完全平方公式进行变形，即可解答； （3）将式子的左边配方，根据非负数的性质求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：；；； （2）解：由得： ，， ①根据完全平方公式可得； ②； （3）解：， 可得， 解得， ． 考点四 一元二次方程应用压轴 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，四边形面积是______ (2)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)4； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）当时，可以得出，，就有，由矩形的面积就可以得出四边形的面积； （2）如图1，作于，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作于，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可； （3）分情况讨论，如图3，当时，如图4，当时，如图5，当时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）如图，四边形是矩形， ，，． ，， ． ． ∴四边形面积是， 故答案为：4； （2）如图1，作于，   ， ， 四边形是矩形， ，． ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：或（舍去）． 如图2，作于，   ． ， 四边形是矩形， ，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：或（舍去）， 综上所述：； （3）如图3，当时，作于，   ， ， 四边形是矩形， ，． ， ．． ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 如图4，当时，作于，   ，． ， 四边形是矩形， ．， ， ． ， 解得：； 如图5，当时，   ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得，（舍去）． 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． 2、（2023·江苏南京·期中）课本呈现： 直觉的误差 有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，，， ∵，∴． ∵，∴，∴． 因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．    问题探究： (1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明； (2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．    【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，则，，待定系数法求得直线的解析式为：，当时，，可知点在直线的下方，当时，，可知点在直线的上方，进而可得拼合的长方形内部有空隙； （2）如图3，由拼图前后的面积相等得：，整理得：，由，可得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，    ∵，， 设直线的解析式为：， 将代入，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点在直线的下方， 当时，， ∴点在直线的上方， ∴拼合的长方形内部有空隙； （2）解：如图3，    由拼图前后的面积相等得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得：或（负值不合题意，舍去）． ∴的值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，完全平方公式，一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意以及对知识的灵活运用． 3．（2021·江苏苏州·期中）上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题： （1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________； （2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？ （3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间． 【答案】（1）20，60，补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）8点12分；（3）补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为小时． 【分析】（1）首先根据图像为台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象，台风在上午8点距离A岛100km，即可得出线段DE为台风中心距离A岛的距离S和时间t的图象；补给船上午8点距离A岛40km，即可得出线段FG为补给船与A岛的距离S和时间t的图象，从图像获取信息即可求得各自的速度；由题目可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际意义； （2）由台风影响的半径是（包含边界），即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案； （3）根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程，解出a，根据题目要求，补给船速度不超过且，列出不等式，再根据m为正整数，即可求出m；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影响的时间，即可求得答案． 【详解】（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像， ∴台风的速度, 线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像， ∴补给船的速度， ∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等； （2）如图所示开始受影响，即BH=100km， 设t小时后补给船开始受台风影响， 则 在中，由勾股定理得， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴补给船出发（分钟），开始受台风影响， ∴从8点12分开始补给船开始受台风影响； （3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时， 台风中心距离A岛的距离为： ， 由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为， 故补给船离开A岛驶向C港的速度为：(km/h)， ∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时， ∴ 解得， ∵ ∴， 由图可知， 去分母得， 解得：， 又∵补给船速度不超过， ∴ 由图可知， 去分母得， 解得： ∴ ∵m为正整数， ∴ 当 即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为， 在补给船出发驶向A岛的过程中，有没有受台风影响， ∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间． 【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键是正确理解题意，能从函数图像中获取需要信息进行求解． 4．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 【答案】（1）普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为12元和28元；（2）10元；（3）32 【分析】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元，建立二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设普通口罩每包售价降低 a 元；根据当天的利润=每个普通口罩的利润当日普通口罩销售量的关系，列出并求解方程，即可得到答案； （3）设N95口罩每包售价是x元；根据总售价-总成本=总利润的关系，列出方程，再结合a的取值范围，求解不等式，即可完成求解． 【详解】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元 由题意得， 解得， ∴普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 12 元和 28 元. （2）设普通口罩每包售价降低 a 元 由题意得 解得：a=2，a=-4（舍去） ∴此时普通口罩每包售价为 12-2=10元; （3）设N95口罩每包售价是x元 由题意得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 x=32或33． 当x=33时，a不是整数， ∴N95口罩每包售价是32元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的性质，从而完成求解． 考点五 垂径定理压轴 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O作与E，连接交与点F，连接，利用勾股定理求出，再证明点F是的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出和，从而得到，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点O作与E，连接交与点F，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴F是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点F是的中点是解题的关键． 2．（20-21九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，点在弦上移动，连接过点作交于点．若则的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可． 【详解】解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO=90∘， ∴CD=， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合， ∴CD=CB=AB=×2=1． 即CD的最大值为1． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C的位置是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）已知中有弦，，，且四边形ABCD的面积为49，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】梯形的高就是弦AB与CD之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当CD与AB在圆心的同侧时，梯形的高等于两弦心距的差，当CD与AB在圆心的两侧时，梯形的高等于两弦心距的和，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，设⊙O的半径为r， ∵AB＝6，CD＝8， ∴AEAB6＝3，CFCD8＝4， 在Rt△AOE中，OE； 在Rt△COF中，OF， S梯形ABCD（AB+CD）•EF（6+8）×EF＝49， ∴EF＝7， 当点AB，CD在圆心O的异侧时，如图1所示： EF＝OE+OF7， 解得r＝5； 当点AB，CD在圆心O的同侧时，如图2所示： EF＝OE﹣OF7，无解 ∴⊙O的半径为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论． 4．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，的直径与弦交于点E，，求的长．    【答案】 【分析】如图，过O作，交于点F，连接；由垂径定理可得，再根据题意求得圆的直径，则半径，进而求得；然后根据直角三角形的性质可得,再根据勾股定理可求得，最后结合即可解答． 【详解】解：如图，过O作，交于点F，连接，    ∴F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：，则． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解答本题的关键． 5．（2024·江苏泰州·期中）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理： （1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． （2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出 【详解】（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． 理由：连接， ∵， ∴ 又， ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分， 由垂径定理：点P是的中点， ∴平分． （2）解：过点O作，垂足为H， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵ ∴， ∴ 又 ∴ ∴． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，半径弦， (1)求证：弧弧的长． (2)在如图上，连接、相交于点，与相交于点，连接，若的半径为，，求的长． (3)如图，在的延长线上取一点，使，交弧于点若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等，熟练并灵活利用它们进行计算是本题的关键． （1）连接．由半径弦，可证得，利用垂径定理即可证明弧弧的长； （2）在中，利用勾股定理求出，再利用中位线定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理即可求出； （3）设分别交于点E、F，连接．设，则．利用平行线的性质和三角形外角的性质证明，利用垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：连接． ∥，， ， 弧弧的长． （2）， ． 由（1）可知，， ． 又， 点和分别是和的中点， ， ． ， ． （3）连接、、． 设，则． ， ． ， ， ， ． 垂直平分， ． ， ， ． 考点六 切线长定理压轴 1．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，的长度分别为，，，与分别与直线、、相切（与分别在直线的异侧），若的半径为，的半径为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与、、的切点分别为D、E、F，与、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形，则，，根据 切线长定理可得，，由此即可求出的值． 本题主要考查了正方形的判定和性质，切线的性质和切线长定理，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“过圆外一点向圆引的两条切线长相等”，熟练掌握切线的相关性质是解题的关键． 【详解】 如图，设与直线、、的切点分别为D、E、F，与直线、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形， 则，, 由切线长定理得，， ，， ， ， 又， ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】连结， ∵与分别相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（2024九年级上·江苏·期中）已知点，的半径为1，切于点A，点P为上的动点，当P的坐标为 时，是等腰三角形． 【答案】，， 【分析】根据题意画出图形，分三种情况讨论：当点P在x轴上，，，当点P是切点时，，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，当P的坐标为，，时，是等腰三角形．理由如下： 连接， ∵，的半径为1， ∴， ∴， ∵切于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，连接交x轴于点H， ∵切于点A， ∴切于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：当P的坐标为，，时，是等腰三角形． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，解决本题的关键是得到是等边三角形． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识；设半径为2的与角的两边相切于、，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图，延长交于，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切于点且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图，当与相切于点且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得，于是得到结论． 【详解】解：设半径为2的与角的两边相切于，，如图，连接，，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长交于， ，， ， ， ， ，， ， ， 当与相切于点且点在圆心的右侧时，有最大值， 连接，则四边形是正方形， ，， (； 如图，当与相切于点且点在圆心的左侧时，有最小值， 同理可得； 故的取值范围是， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）观赏展品时视角越大越理想．如图所示，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动． (1)请证明：当过三点的圆与水平线相切于点时，视角最大． (2)若展品距地面最高、最低，小明身高，他站在与墙水平距离多远处，观赏展品最理想？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，外角性质，切线性质定理，矩形判定及性质，勾股定理等． （1）过点水平线上取异于点的，连接交圆于点，连接，，利用外角性质可知，利用圆周角定理可知，继而得到本题答案； （2）连接，过点作于点，可得四边形是矩形，利用线段和差可得，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：过点水平线上取异于点的，连接交圆于点，连接，， ， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴在点处视角最大，即视角最大； （2）解：∵由题意得：，，设与交于点，圆心为 由题意知：， ∴，， 连接，过点作于点， ， ∵与水平线相切于点， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即站在与墙水平距离处最理想． 7．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）等腰直角和如图①放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5．现以每秒2个单位的速度向右移动． (1)_________秒后边所在的直线与相切． (2)当的边（边除外）与圆第一次相切时，如图②，切点为，连接并延长交直线于点，设， ①则__________（用含的代数式表示）． ②求出点移动的距离． (3)现以每秒2个单位的速度向右移动，同时的边长、又以每秒个单位的速度沿、方向增大． ①若在移动的同时，也以每秒1个单位的速度向右移动，则从开始移动，经过多少秒后，它的边与圆最后一次相切？ ②是否存在某一时刻，各边刚好与都相切？若存在，求出刚好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；② (3)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）①直接利用圆心与直线的距离为，以及的半径为和移动的速度求出答案； ②设第一次相切时，三角形移至三角形处，与相切于点，连接并延长交于点，设与直线相切于点，连接，设，可得，根据即可求出，从而求出点运动的时间，即可求出点移动的距离； （2）①根据三角形和从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在的右侧，再结合路程差与速度差即可求解； ②求出三角形和从开始移动到第二次相切所用时间，求出圆心到的距离，判断其与半径的大小，即可求解． 【详解】（1）解：的半径为，圆心与直线的距离为，现以每秒个单位的速度向右移动， 当移动（秒），或（秒）时，边所在的直线与相切． 故答案为：秒或； （2）①解：设第一次相切时，三角形移至三角形处，与相切于点，连接并延长交于点，设与直线相切于点，连接，如图所示： 则：， 设， ∵ ∴， ∵ ∴ 故答案为：． ②∵ ∴， 解得：， ∴ ∴点移动的距离为：； （3）解：①∵三角形和从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在的右侧， ∴路程差为， ∵和的速度差为， ∴从开始移动，到它的边边除外与圆最后一次相切，一共经过了 ②解：∵三角形和从开始移动到第二次相切，路程差为，速度差为， ∴三角形和从开始移动到第二次相切用时 此时三角形移至三角形处， ∴ ∵ ∴平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 此时与相交， ∴不存在各边与都相切． 【点睛】本题以几何动点问题为背景，考查了直线与圆的位置关系、切线的性质定理、切线长定理、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点七 圆中最值问题 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，连接与交于点O，连接证明点O是的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为，即可求出绪论． 【详解】解：连接与交于点O，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点O为的中点， 连接则与交于点O， 由折叠得， 又 ∴， ∴ 又， ∴ ∴G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， ∴G的运动轨迹为， ∴连接并延长，交于时，最大， 当共线时，即G与重合时，最大， ∴， ∵P为的中点，O为的中点， ∵， ∴, 即的最大值为， 故选：C 2．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键． 3．（2024·安徽蚌埠·期中）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连，，，得为定角，由此可得在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，设该圆圆心为，连，，，，由两点之间线段最短知：，进而可求的最小值． 【详解】解：在中，，， ，，， 连，，， 为的直径， ， ， 为定角， 在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动， 设该圆圆心为，连，，，，则，， 为等边三角形， ，， ， ， 又， 由两点之间线段最短知：， ， 当、、在一直线时．有最小值为：． 故答案为：． 5．（2024九年级上·江苏·期中）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）如图1，已知半径是4，A是上一动点，，则的最大值是　　　　． （2）如图2，在中，，，，点D是边上一动点，连接DB，过点A作于点F，连接，求的最小值． （3）如图3，日月岛景区有一片圆形人工湖，湖上有一座木桥供游客行走，其中长为米，为了方便游客游览，景区计划增加两座木桥，根据设计要求，在湖边确定一点A，沿，修建木桥，使，并在AC中点P处修建一个凉亭，沿修建水上文化长廊，由于文化长廊造价高达10000元/米，为了控制成本，景区要求文化长廊的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造文化长廊的最低费用． 【答案】（1）13；（2）；（3）元 【分析】（1）点A位于直线与的左侧交点时，取最大值； （2）根据可得点F在以为直径的半圆上，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值； （3）根据题意可知点在以点为圆心，弦的圆上，连接，，进而求得，，连接，，可知，则点在以为直径的圆上，取的中点，连接，交于，则即为的最小值，再根据勾股定理即可求得，得，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，当点A位于直线与的左侧交点时，取最大值，最大值为：， 故答案为：13； （2）， ， 点F在以为直径的半圆上， 如图，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． ，中点为E， ， 又，， ， ， 即的最小值为． （3）∵，， ∴点在以点为圆心，弦的圆上， 连接，，则，，则， ∴， 连接，， ∵点为的中点， ∴， 则点在以为直径的圆上，取的中点，连接，交于， 则即为的最小值， ∵，， ∴， ∴， 则建造文化长廊的最低费用为元． 【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质等，通过作辅助线判断出点的运动轨迹是解题的关键． 7．（2024·江苏徐州·期中）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用： 【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用 勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【详解】解：问题情境∶小红的说法正确， 在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，>， ∴>，即>． ∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 构造运用：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴， ； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键． 考点八 圆的新定义问题 1．（23-24九年级上·江苏常州·期中）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】先根据圆周角定理说明当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大，再过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M， ，进而得到，然后利用直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．掌握圆周角定理、垂径定理以及正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∴圆心O就是三角形的内心， ∴当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大， 过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M， ∵， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴ 设，则， ∴，解得，即， 在中， ． 故答案为：． 2．（23-24九年级·江苏·假期作业）我们给出定义：如果三角形存在两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．已知△ABC为“准互余三角形”，并且．    (1)如图①若且，求边BC的长； (2)如图②，以边为直径作，交于点D，若，试求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用新定义计算出，如图①:过A点作于H点，过C点作于D点，先计算出，则，再证明，平分，根据角平分线的性质得到，所以，然后在中利用含30度直角三角形三边的关系得到的长； （2）延长交于E点，连接，如图②，利用圆周角定理得到为直径，再利用新定义计算出，即平分，所以，再证明得到，于是利用勾股定理可计算出，设,则，在中得到，解方程得到，然后在中利用勾股定理计算出，从而得到的面积． 【详解】（1）解：∵为“准互余三角形”， ∴，即， ∴， 如图①: 过A点作于H点，过C点作于D点， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴． （2）解：如图②：延长交于E点，连接， ∵为直径， ∴， ∵为“准互余三角形”， ∴， ∵， ∴，即平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设,则, 在中，∵， ∴，解得， 在中，， ∴⊙O的面积．    【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质等知识点，理解半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解答本题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外的两点，．给出如下定义：平移线段得到的弦，（，分别是A，B的对应点），线段的最小值称为线段到的“平移距离” (1)平移线段得到的长度为的弦和，则这两条弦的位置关系是______；在点，，，中，连接点A与点______的线段的长度等于线段到的“平移距离”； (2)若A、B两点在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； (3)若点A的坐标是，记线段到的“平移距离”为， ①求的最小值； ②当取得最小值时点的坐标为______． 【答案】(1)平行， (2) (3)①3，②或 【分析】（1）由直线的平移和“平移距离”的定义即可得出； （2）过点O作于点H，交弦于点P，得出； （3）①作出图形，根据图象确定点的最小值所在的位置，即可求出平移距离的最小值，②求出直线的解析式根据平移知识求出M点的坐标，进而确定点的坐标，再由平移知识求出B点坐标即可． 【详解】（1）解：由题知， 由“平移距离”的定义可知AP1的长度是线段AB的“平移距离”， 故答案为：平行，； （2）线段在直线上，令直线与x轴交于点C，与y轴交于点D； 平移之后与圆相交，得到的弦为， 过点O作于点H，交弦于点P， ∴， 令，，解得：， 令，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 由垂径定理得：， ∴； （3）①∵点A的坐标为， ， ∴点B在以A为圆心，为半径的圆上， 连接OA交圆O于M， 则， ∴， ∵在圆O上， ∴当A点与M重合时有最小值为； ②当取最小值时，即点与M点重合， 设直线的解析式为， 代入A点坐标得， 解得， 即直线的解析式为， 设点M的坐标为， ∵， ∴，解得：，（舍）， ∴此时M点的坐标为， ∴A点向下平移个单位，向左平移个单位即可得到M点坐标， 设点的坐标为：， ∵，点在上， ∴，解得：或， 则点坐标为或， 将点向上平移个单位，向左平移个单位即可得到B点坐标， ∴B点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，涉及一次函数的性质，平移的性质等知识，正确理解“平移距离”的定义是解题的关键． 考点九 二次函数的图象与性质压轴 1．（2024·江苏淮安·期中）已知，是抛物线上的两点，当时，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出二次函数的对称轴，根据对称轴可得点关于对称轴的对称点为，再根据当时，均有，可得，解不等式组即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵当时，均有， ∴， 解得， 故选：． 2．（2024·江苏扬州·期中）若点、、都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．求得二次函数的对称轴直线即为直线，由抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】解：，都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 故选：D． 3．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在讨论对称轴的位置，根据最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大， 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得或，都不符合题意； 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得（舍去） 当时，则函数在或处取得最小值， 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：1或． 4．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，已知二次函数（其中）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点外接圆的圆心为，抛物线的顶点为，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，三角形的外接圆，待定系数法求函数的解析式，两直线平行问题等，解题关键是掌握二次函数的图象及性质． 连接，由题意得点P在直线l上，，设，利用两点的距离公式表示出，可得关于m的方程，再根据待定系数法求出直线、的解析式，由两直线平行得k的值相等，即可得出答案． 【详解】解：外接圆的圆心为P， ， 点P在对称轴直线l上， 连接，如图所示， 时， 解得：， ，点A在点B的左侧， A点坐标为：， 易知点， 抛物线的对称轴为：， 设点P坐标为： ， ， 解得： P点的坐标为： 当时， 设直线的解析式为， 解得： 直线的解析式为： 同理得直线的解析式为：， 解得， 故答案为：3． 5．（2024·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴、y轴的距离的较大值等于点N到x轴、y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“距轴等点”． (1)在点、、中与点互为“距轴等点”的是_______. (2)已知点与点 ①若点A、B分别在直线和直线上，且点A与点B始终互为“距轴等点”，求m的取值范围． ②若点A在二次函数的图像上，点B在过点且垂直于y轴的直线l上，当点A、B互为“距轴等点”时，证明：． 【答案】(1)， (2)①m的取值范围为或；②见解析 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，理解题意，能进行分类讨论是解题的关键． （1）根据定义，逐一判断即可； （2）①求出直线和直线的交点横坐标和直线和直线的交点横坐标，结合图象即可解答； ②根据的大小不同，分类讨论，逐一论证即可． 【详解】（1）解：点到x轴、y轴的距离的较大值为， 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点与点互为“距轴等点”； 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点不与点互为“距轴等点”； 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点与点互为“距轴等点”； 故答案为：，； （2）解：①如图， 当时， 解得：， 点的横坐标为2， 当时， 解得：， 由图可知：当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为m，点到x轴、y轴的距离的较大值为m， ∴点A与点B始终互为“距轴等点”， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为，且， ∴点A与点B不互为“距轴等点”， 点的横坐标为， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∴点A与点B始终互为“距轴等点”， ∴m的取值范围为或． ②将点代入，得， ∴， ∵点在过点且垂直于y轴的直线l上， ， ， ， ∵函数与直线l都是以y轴为对称轴的轴对称图形， ∴不妨先设， 当时，， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∴点A与点B不互为“距轴等点”（舍）， 第二种情况：当时， 点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ，互为“距轴等点”， 此时符合， 第三种情况：当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∵点A与点B为“距轴等点”， ∴且， ∴且， 综上：且时，点A与点B互为“距轴等点”， ， ∴且， ∴； 当时，同上； 当时，，点A与点B不互为“距轴等点”（舍）； 综上：． 考点十 二次函数与线段的交点问题 1．（2024·四川南充·期中）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2022·浙江舟山·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2－2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（    ） A．＜a≤或a≥1 B．a≥或a＜ C．≤a≤1且a≠0 D．a≤或a≥1 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：当时，，求出的取值范围；当时，求出直线的解析式，联立方程组，由判别式△和函数经过点结合求出的取值范围． 【详解】解：当时，时，时，， ，解得， 当时，设直线的解析式为， ， ， ， 联立方程组， ， △， ， ， 当时，， ，此时抛物线与线段有两个不同的交点， ， 综上所述：或时，抛物线与线段有两个不同的交点， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． 3．（2024·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，构建不等式解决问题． 由，得，，则其顶点坐标为，可知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，分两种情况：当顶点在线段上方时，当顶点在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】解：将，代入中， 得，解得：， ∴，，则其顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当顶点在线段上方时，，即：， ∵当时，随增大而减小， ∴此时，抛物线与线段有一个交点， 即：在上方，在下方， ∴，可得； 当顶点在线段上时，，可得； 综上：或． 故答案为：或． 4．（23-24九年级上·河南郑州·期中）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为直线：， 当时，, 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 又∵抛物线与线段恰有一个公共点， 则当时，将顶点坐标代入函数解析式得：,解得； 当时，将坐标代入函数解析式得：,解得； 将坐标代入函数解析式得：，解得：，即， 综上所述：或． 故答案为：或． 5．（2023·安徽·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴． （2）由点为顶点，点在直线上运动，通过数形结合求解． 【详解】解：（1）， 抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）抛物线的对称轴为． 设点关于对称轴的对称点为点， ． ， 点，，都在直线上． ①当时，如图， 当点在点的左侧（包括点）或点在点的右侧（包括点）时，线段与抛物线只有一个公共点． 或． （不合题意，舍去）或． ②当时，如图，当在点与点之间（包括点，不包括点）时，线段与抛物线只有一个公共点． ． ． 又， ． 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解． 6．（2024·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，．已知抛物线． (1)若该抛物线经过点A，且对称轴在y轴右侧． ①求a的取值范围； ②若该抛物线顶点的纵坐标为4，求抛物线的表达式． (2)若该抛物线经过点B，且与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 【分析】（1）①将点代入抛物线得，再根据对称轴的性质得到，即可解答；②由题意可知，化简，得，解答即可． （2）将代入得，再得到对称轴，令，整理得，，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴a，b异号， ∴，，即，， ∴． ②由题意可知：，化简，得， 解得，（舍去）， ∴，， 故抛物线的表达式为． （2）设直线的表达式为， 将，代入， 解得直线的表达式为：， 将代入，得， ∴， ∴，即抛物线的对称轴为直线， 令， 整理得，， ， ∴当时，抛物线与线段只有1个公共点B， 当时，a增大时，抛物线开口变小，顶点向下移动，与线段有两个交点， ∴， 当，且抛物线经过点A时，，如图， 当a减小时，抛物线开口变小，顶点向上移动，与线段有两个交点， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题的关键． 7．（2024·江苏南京·期中）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把变形为,即可求出定点坐标； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， ∴函数的图象的顶点坐标； （2）解：， ∴当 时, ， 当时, , 当时, , ∴该函数的图象总经过点和； （3）∵二次函数的对称轴为， ∴点的对称点坐标为， 当时, ∵二次函数的对称轴为， ∴点在线段上，即， ∴； 当时,点在抛物线内， 即时, , 则满足题意， 此时, 解得， 故； 若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根， ∴ 解得， 综上所述，m的取值范围为或或． 考点十一 二次函数的存在性问题 1．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)存在， 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴把代入得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，作于，交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； （3）存在，设， ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． 2．（2020·河南周口·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】 （1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 3．（22-23九年级上·山东东营·期中）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)在对称轴上存在一点，周长的最小值为 (3)最大值为，此时点P的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数和一次函数关系式即可； （2）首先确定点的坐标为，再结合题意可知点，关于抛物线的对称轴对称；令直线与抛物线的对称轴的交点为点，由“最短路径”的性质即可求出的坐标，并确定周长取最小值； （3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点．设点的坐标为，则点，点，易得，，根据，并结合二次函数的性质即可求得的面积取最大值以及此时点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入， 可得，解得， ∴抛物线的函数关系式为； 设直线的函数关系式为， 将、代入， 可得，解得， ∴直线的函数关系式为； （2）当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的坐标为， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， 令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示， ∵点，关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴此时周长取最小值， 当时，， ∴此时点的坐标为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为； （3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示， 设点的坐标为，则点，点， ∴，， ∴， ∵点， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像与性质、最短路径、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． 4．（2023九年级上·江苏·期中）如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在点，的坐标是，，， 【分析】（1）通过解方程求出的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式． （2）①当为边时，根据E在上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标； （3）设，根据勾股定理的逆定理求出直角三角形，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）、是方程的两根， 解得原方程的两根分别是：，， ，， 设抛物线的解析式为，，则， 解得：， 抛物线的解析式是． （2）， 对称轴为：， ①当为边时， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，， 在对称轴上， 的横坐标是1或， 的坐标是或，此时的坐标是； ②当是对角线时，则和互相平分，有在对称轴上，且线段的中点横坐标是， 由对称性知，符号条件的点只有一个，即是顶点，此时， 综合上述，符合条件的点共由两个，分别是或． （3）假设存在，设， ，， ，，， ， 是直角三角形，，， 以、、为顶点的三角形和相似， 又， ，或， ， 解得：或或或， 存在点，的坐标是，，，，，． 【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用． 考点十二 二次函数含参应用题 5．（2023·江苏扬州·期中）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：当时，，当时，， ∴， 解之得， ∴； （2）解：设每天利润为w元，由题意得 ， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元； （3）解：设表示扣除捐款后的日利润， ， ∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴． 6．（2024·四川南充·期中）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． (1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 【答案】(1) (2)该商品的销售单价为25元 (3)m的值为5 【分析】（1）设销售单价为x元，则每件涨价元，则销量减少件，由此可得y与x之间的关系式为，整理即可． （2）根据总利润=每件利润销售量，可得方程，求出方程的解，再根据题意选择合适的x的值即可． （3）根据总利润=（售价进价m）销售量，得，求出其对称轴，再根据二次函数的性质及增减性可得当时，，由此得，求出m的值即可． 【详解】（1）由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为25元． （3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得： ， 其对称轴为直线为：． ∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下， ∴w随x的增大而增大． 当时，． ∴， 解得． 答：m的值为5． 【点睛】本题主要考查了利用一次函数、二次函数、以及一元二次方程解决实际问题—利润问题，根据题意列出函数关系式，并熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 7．（22-23九年级上·湖北随州·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 【答案】(1)（） (2)第15天利润最大，最大值为25000元 (3) 【分析】（1）根据表格信息，得出两个变量为一次函数，利用待定系数法求解即可； （2）列出关于利润的二次函数，利用二次函数的性质求最值即可； （3）列出二次函数，根据二次函数的性质得出第20天利润最大，列出方程即可． 【详解】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得y是x的一次函数， 设，把代入可得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为（）； （2）解：设总利润为w元，则 ； 当时，w取得最大值， 所以，第15天利润最大，最大值为：（元）． （3）由题意可得： 第20天开始每件商品的单价为元， 每件商品的利润为：元， 设此时利润为：元，则 又∵－40＜0且， 随x的增大而减小 当时有最大值为， ∴， 解得：a＝． 综上：第20天时，利润最大为20250元时，此时a＝． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出二次函数和一次函数解析式，利用函数的性质求解． 8．（2022·浙江温州·期中）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元 (2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32 【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值． 【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 由题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 当时：； ∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元； （2）解：①设利润为，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当，， ∵， ∴当时，利润最大为元； 综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． ②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数， ∴A型纪念品的件数小于100件， ∴，此时该商场购进型纪念品为件， ∴购进型纪念品为件， ∵A型纪念品的件数不小于50件， ∴， ∴， 设总利润为y元，根据题意得： ， ∴ ， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，y有最大值， ∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键． 9．（2022·江苏南京·期中）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式： 方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩． 方式二 每亩土地的年租金是600元． (1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元； (2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？ (3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围． （注：年收入＝年总租金－捐款数） 【答案】(1)500 (2)30亩；4500元 (3) 【分析】（1）依据出租方式进行列式计算即可； （2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得到关系式，根据方式 一的年收入高于方式二的年收入可得关于a的不等式，即可求出a的即会范围． 【详解】（1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是： （元） 故答案为：500； （2）设出租亩土地，则方式一的每亩年租金为：， ∴方式一的年总租金为： 方式二的年租金为 设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得， ∵ ∴当时，y有最大值为4500 ∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元； （3）设出租亩土地，方式一的年收入为：方式二的年收入为：； 设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得， 所以，对称轴为直线 ∵ ∴对称轴直线 ∵ ∴当时，w取得最小值 租出的土地小于60亩时，方式 一的年收入高于方式二的年收入，则 即： 解得，， ∵ ∴a的取值范围为： 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式． 考点十三 二次函数中的角度问题 1．（2024九年级上·江苏徐州·学业考试）如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为 (3)存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由平移的性质得出直线的解析式为，设，作轴，交于点，作于，设直线交轴于，则，，证明是等腰直角三角形，得出，再根据二次函数的性质即可得解； （3）分两种情况：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点；当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴，交于点，作于，设直线交轴于， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点D的坐标为； （3）解：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴； 当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于， ， 由对称得：，，， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴， 综上所述，存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质、直线的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线交轴负半轴于，交正半轴于，交 轴于 ，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限抛物线上一点，连接交 轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的垂线，交轴于点 ，垂足为点，为 上一点，连接 ，若，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先令求出点坐标再根据已知，可得点的坐标，运用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）由（1）可得点的坐标，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，进而求出，即可求得答案； （3）找点关于原点的对称点，连接，过点作于，根据已知先证得，再证，进而证得，得，再证可得，，进而求出点的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与抛物线的交点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点， ， ， ， ， 在抛物线上， ， ， ． （2）点是第三象限抛物线上一点， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 令，得， ， ， 线段 长为 ， ； （3）解：找点关于原点的对称点，连接，过点作于， ，，， ，， ， ， ，， 点关于原点的对称点， ，，， ，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式是， ， ， 直线的解析式是， 点在直线上，也在抛物线上， ， ， ； 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加正确的辅助线是解题的关键． 考点十四 二次函数的综合 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口H离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度，竖直高度．洒水车到绿化带的距离为d(单位：m)，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)若距喷水口水平距离为米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水?并写出你的判断过程； (2)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则洒水车离绿化带的距离d的范围是多少? 【答案】(1)行人会被洒水车淋到水，见解析 (2) 【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与轴的交点，二次函数的平移； （1）设上边缘抛物线为，根据题意求出该抛物线，当时，求出其与轴的交点，将该距离与米进行比较，若大于米则会被淋湿，若小于米则不会被淋湿． （2）根据上边缘抛物线，设下边缘抛物线为，利用点H求出抛物线解析式，根据绿化带的高度和宽度，求出距离d的最大值和最小值，即可解题． 【详解】（1） 解：设上边缘抛物线为， 由题意可得，，， ， ， ， ． 当时，，（舍去）， ， 行人会被洒水车淋到水． （2） 解：设下边缘抛物线为 ， ， ，（舍去）， ， 当时，，（舍去）， ， 当时，，（舍去）， ， ． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，抛物线上的点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，求点的横坐标； (3)将抛物线沿轴的负方向平移个单位长度，得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移的过程中， ①当点在线段上时，求的值； ②当的值最小时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①8；②． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点的横坐标为，则，点，则，即可求解； （3）①由点、的坐标得，直线的表达式为：，即可求解； ②作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，即可求解． 【详解】（1）将，代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）过点作轴于点，交线段于点， 设直线的解析式为， 将，代入，得； ，解得： ∴直线的解析式为：； 设点的横坐标为， 则，点， ∴， ∵， 解得， ∴， 故答案为：； （3）①由题意得，点、、的坐标分别为：、、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故答案为：8； ②设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，， ∴的值最小就是最小值， 由题意得，点在直线上运动， 作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， ∵点关于直线对称的点是点， ∴， ∴， 设直线解析式是：， 将点，的坐标得，直线的解析式是：， 令，解得：， ∴， ∴平移的距离是． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转 思想是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏·期中）塑料大棚（如图1）是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分和矩形构成（如图2），矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米）．抛物线的顶点坐标为，其横截面有三根支架，，（三根支架均垂直于地面），且．    (1)求此抛物线对应的二次函数关系式； (2)已知大棚共有支架300根（，，各100根），为了增加大棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到（如图3）．若增加的支架（，，）单价为60元/米（接口忽略不计），要使增加支架的费用不超过12000元，求大棚向上调整高度的最大值． 【答案】(1) (2)大棚向上调整高度的最大值为0.8米 【分析】（1）由题意可确定抛物线的顶点的坐标，以及点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线对应的二次函数关系式； （2）设改造后抛物线解析式为，用的代数式表示，再表示出，、，，，的坐标，以及，，的长，根据题意用得到的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）如图，由题意知抛物线顶点， 可设抛物线解析式为， 由题意，知点的坐标为， 代入解析式得， 解得， 抛物线对应的二次函数关系式为； （2）改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为， 过点， ， ， 即改造后抛物线解析式为， 米，， 则，，，，，， ，，， ， 由题意可列不等式，， 解得， ， 当时，的值最大（米． 答：大棚向上调整高度的最大值为0.8米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$