专题01 特殊平行四边形（考题猜想，易错必刷36题6种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

专题01 特殊平行四边形（易错必刷36题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直角三角形斜边上的中线有理数 · 菱形的性质 · 矩形的性质 · 矩形的判定 · 矩形的判定与性质 · 正方形的性质 · 正方形的判定 · 轴对称-最短路线问题 一．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 1．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由． 二．菱形的性质（共3小题） 2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，则OH的长为（　　） A． B．10 C．5 D． 3．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023个菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为 　 　． 三．矩形的性质（共10小题） 5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 6．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 7．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　） A． B． C．5 D．7 9．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　 　． 10．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于　 　°． 11．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是　 　． 12．如图，在长方形ABCD中，，AD＝4，E，F分别为AD，BC上的两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF、CE，那么AF+CE的最小值为 　 　． 13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止． （1）求四边形PBCQ的面积； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？ 14．如图，在矩形ABCD中，O是AB的中点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP＝AB，连接CP并延长，交AD于点N． （1）判断△ABP的形状，并说明理由． （2）若M为DC的中点，求证：PN＝AN． 四．矩形的判定（共1小题） 15．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 五．矩形的判定与性质（共1小题） 16．下列命题错误的是（　　） A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等 六．正方形的性质（共18小题） 17．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 18．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 19．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 20．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A．4 B．2 C．4 D．2 21．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（　　） A． B． C．﹣1 D． 22．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 23．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 24．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个的面积分别是a、b、c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．a+b+c B．a+c C．a+2b+c D．a﹣b+c 25．如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连接AK、MK．下列结论：①EF＝AM；②AE＝DF+BM；③BK＝；④∠AKM＝90°．其中正确的结论有　 　个． 26．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　 　． 27．如图，若正方体的棱长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为 　 　． 28．如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 　 　． 29．如图，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，则边AB的长度为 　 　． 30．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　 　． 31．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE，AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有：　 　（请填上序号）． 32．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 33．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 34．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长． 7． 正方形的判定（共1小题） 35．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）线段OE与OF的数量关系 　 　．（填空）； （2）若CE＝8，CF＝6，则OC＝　 　．（填空）； （3）当点O运动到 　 　，且∠BCA等于 　 　时，四边形AECF是正方形．（填空） 八．轴对称-最短路线问题（共1小题） 36．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连 接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 $$专题01 特殊平行四边形（易错必刷36题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直角三角形斜边上的中线有理数 · 菱形的性质 · 矩形的性质 · 矩形的判定 · 矩形的判定与性质 · 正方形的性质 · 正方形的判定 · 轴对称-最短路线问题 一．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 1．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）EF⊥AC，理由见解答； （2）EF＝AC，理由见解答． 【解答】解：（1）EF⊥AC， 理由：连接AE，EC， ∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴CE＝BD， ∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴AE＝BD， ∴AE＝CE， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC； （2）EF＝AC， 理由：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴CE＝DE＝BD， ∴∠ECD＝∠CDE， ∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴AE＝DE＝BD， ∴∠EAD＝∠ADE， ∵∠ADC＝45°， ∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC ＝∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC ＝2∠ADE+2∠CDE ＝2（∠ADE+∠CDE） ＝2∠ADC ＝90°， ∵点F是AC的中点， ∴EF＝AC． 二．菱形的性质（共3小题） 2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，则OH的长为（　　） A． B．10 C．5 D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝20， 又∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝20×BD＝100， ∴BD＝10， ∵DH⊥AB， ∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点， ∴OH＝BD＝10＝5． 故选：C． 3．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023个菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOB＝90°，OB＝BD，OA＝AC，DA＝AB＝1， ∵∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴BD＝AB＝AD＝1， ∴OB＝BD＝， ∴AO＝＝＝， ∴AC＝2AO＝， 同理可得：AC1＝3， ∴第1个菱形的边长＝1＝（）0， 第2个菱形的边长＝＝（）1， 第3个菱形的边长＝3＝（）2， … ∴第2023个菱形的边长＝（）2022， 故选：B． 4．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为 　4　． 【答案】4． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝8，且∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点， ∴BE⊥AD，且∠A＝60°， ∴AE＝4，BE＝AE＝4， ∴PE＝BE＝4． 故答案为：4． 三．矩形的性质（共10小题） 5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10， ∴AO＝DO＝AC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF， ∴12＝×5×EO+×5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF＝， 故选：C． 6．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 【答案】D 【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26， 又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20， ∴2a2﹣8a+26＝20， ∴（a﹣3）（a﹣1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， ∵CM2＝OM2+OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2+MP2＝CP2， ∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9， 解得：a＝． ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 7．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D． 【答案】B 【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD， ∵∠MON＝90°， ∴OE＝AB＝2． 在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2． 在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD， ∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2． 故选：B． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：如图，连接AP、EF， ∵PE⊥AB，PF⊥AD， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°． ∴四边形AEPF为矩形． ∴AP＝EF． ∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值． ∵点P从B点沿着BD往D点移动， ∴当AP⊥BD时，AP取最小值． 下面求此时AP的值， 在Rt△BAD中， ∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8， ∴BD＝＝＝＝10． ∵S△ABD＝＝， ∴AP＝＝＝． ∴EF的长度最小为：． 故本题选B． 9．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　9或18　． 【答案】9或18． 【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1）， ∵∠CED′＝90°， 根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝18； （2）当∠ED′A＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E， △CD'E为直角三角形， 即∠CD′E＝90°， ∴∠AD′E+∠CD′E＝180°， ∴A、D′、C在同一直线上， 根据勾股定理得AC＝＝30， ∴CD′＝30﹣18＝12， 设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x， 在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2， 即x2+144＝（24﹣x）2， 解得x＝9， 即DE＝9； 综上所述：DE的长为9或18； 故答案为：9或18． 10．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于　56　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合， ∴∠CFP＝∠GFP，HE∥GF ∴∠CFG＝2∠GFP＝124°， ∴∠HFG＝180°﹣∠CFG＝56°， ∴∠EHF＝∠HFG＝56°． 故答案为56． 11．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， 过点A作AD⊥x轴于点D， 过点B作BE⊥x轴于点E， 过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F， 则AF⊥CF， 延长CA交x轴于点H， ∵四边形AOBC是矩形， ∴OB＝AC，AC∥OB， ∴∠CAF＝∠CHO＝∠BOE， ∵∠AFC＝∠OEB＝90°， ∴△AFC≌△OEB（AAS）， ∴CF＝BE＝4﹣1＝3， 故答案为：3． 12．如图，在长方形ABCD中，，AD＝4，E，F分别为AD，BC上的两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF、CE，那么AF+CE的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，则四边形ABHE是矩形， ∴EH＝AB＝． ∵∠EHF＝90°，∠EFH＝60°， ∴∠FEH＝30°． ∴EF＝2FH． ∴FH＝1，EF＝2． 设BF＝x，则CH＝4﹣x﹣1＝3﹣x， ∴AF+EC＝+． 欲求AF+EC的最小值，相当于在x轴上 寻找一点P（x，0）， 使得P到M（0，），N（3，）的距离和最小（如图1中）， 作点M关于x轴的对称点F，连接FN， ∵F（0，﹣），N（3，）， ∴直线FN的解析式为y＝x﹣． 令y＝0，可得x＝， ∴x＝时，PM+PN的值最小，此时NF＝AF+EC＝． 故答案为：． 13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止． （1）求四边形PBCQ的面积； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设运动时间为t， 则AP＝t，CQ＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°， ∴BP＝4﹣t， ∴四边形PBCQ的面积＝（PB+CQ）•BC＝4×2＝4（cm）2； （2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形， ∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t， ①当PQ＝DQ＝4﹣t时， 如图1，过P作PH⊥DQ于H， 则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t， ∵CQ＝t， ∴HQ＝4﹣2t， ∵PH2+HQ2＝PQ2， ∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2， 解得：t＝2，t＝， ②当PQ＝PD时， 如图2，过P作PH⊥DQ于H， 则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t， ∵CQ＝t， ∴HQ＝4﹣2t， ∴4﹣2t＝t， ∴t＝， ③当DQ＝PD时， ∴DQ＝4﹣t， ∴PD＝DQ＝4﹣t， ∵AP2+AD2＝PD2， ∴t2+22＝（4﹣t）2， ∴t＝， 综上所述，当t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 14．如图，在矩形ABCD中，O是AB的中点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP＝AB，连接CP并延长，交AD于点N． （1）判断△ABP的形状，并说明理由． （2）若M为DC的中点，求证：PN＝AN． 【答案】（1）△ABP是直角三角形；（2）证明见解析． 【解答】（1）解：△ABP是直角三角形．理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴AO＝OB＝AB． ∵OP＝AB， ∴OP＝OA＝OB． ∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO． ∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°， ∴∠APO+∠BPO＝90°． ∴∠APB＝90°． ∴△ABP是直角三角形． （2）证明：如图，延长AM，BC交于点Q， ∵M是CD的中点， ∴DM＝CM． ∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC， ∴△ADM≌△QCM（ASA）． ∴AD＝CQ＝BC． ∵∠BPQ＝90°． ∴PC＝BQ＝BC． ∴∠CPB＝∠CBP． ∵∠OPB＝∠OBP， ∴∠OBC＝∠OPC＝90°． ∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°． ∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA， ∴∠APN＝∠PAN． ∴PN＝AN． 四．矩形的判定（共1小题） 15．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点， ∴AD＝AB， ∵点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EF＝AB， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分； （2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形， 理由：∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵AF＝BC， ∴AF＝DE， 由（1）得：四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． 五．矩形的判定与性质（共1小题） 16．下列命题错误的是（　　） A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等 【答案】C 【解答】解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误； 平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确； D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误； 故选：C． 六．正方形的性质（共18小题） 17．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 【答案】B 【解答】解：如图，连接BD， ∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC， ∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15° ∵∠BCM＝∠BCD＝45°， ∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°， ∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60° ∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上， ∴∠AMD＝∠AMB＝60° 故选：B． 18．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 【答案】B 【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝． 故选：B． 19．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】D 【解答】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO； ∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°， ∴∠AOE＝∠DOF； 在△AOE与△DOF中， ， ∴△AOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF（设为λ）； ∴△EOF是等腰直角三角形， 由勾股定理得： EF2＝OE2+OF2＝2λ2； ∴EF＝OE＝λ， ∵正方形ABCD的边长是4， ∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度）， 由题意可得：2≤λ≤2， ∴2≤EF≤4． 所以线段EF的最小值为2． 故选：D． 20．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A．4 B．2 C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：连接AC、CF，如图： ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°， ∴∠ACF＝90°， ∵BC＝8，CE＝4， ∴AC＝8，CF＝4， 由勾股定理得，AF＝＝4， ∵H是AF的中点，∠ACF＝90°， ∴CH＝AF＝2， 故选：B． 21．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（　　） A． B． C．﹣1 D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴AB＝BC＝2， ∴AC＝， ∵以A为圆心，AC为半径画圆交x轴负半轴于点P， ∴AP＝AC＝， 又∵点A（1，0）， ∴OP＝﹣1， ∴点P（1﹣，0）， 故选：D． 22．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°， 又∵AB＝AE， ∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°． 故选：B． 23．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：设大正方形的边为a，小正方形的边长为b， 矩形的边长为a、b，如图所示： ∵大正方形，有6张，小正方形有5张，矩形有 4张， ∴构成边长最大是为9正方形，其中有两边为9， 则需要5个边长为3的正方形，另外两边的边长 都为3+2+2+2＝9也可以满足3a＝3b+a， 即2a＝3b． 故选：D． 24．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个的面积分别是a、b、c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．a+b+c B．a+c C．a+2b+c D．a﹣b+c 【答案】B 【解答】解： ∵∠ACB+∠DCE＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠DCE＝∠BAC， ∵AC＝CE，∠ABC＝∠CDE ∴△ABC≌△CDE， ∴BC＝DE， 在直角△ABC中，AB2+BC2＝AC2， 即，AB2+DE2＝AC2， ∵S3＝AB2，S4＝DE2 ∴S3+S4＝c 同理S1+S2＝a 故可得S1+S2+S3+S4＝a+c， 故选：B． 25．如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连接AK、MK．下列结论：①EF＝AM；②AE＝DF+BM；③BK＝；④∠AKM＝90°．其中正确的结论有　3　个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作FG⊥AB于G，则AD＝GF＝AB， ∵AM⊥EF， ∴∠BAM＝∠GFE， ∵∠BAM＝∠GFE，∠ABM＝∠EGF，GF＝AB， ∴△ABM≌△FGE， ∴EF＝AM， 故①正确； 由题可得：AG＝DF，GE＝BM， ∴AE＝AG+GE＝DF+BM； 故②正确； 如图，过K作KQ⊥AB于Q，KT⊥BC于T， ∵∠KBQ＝45°， ∴△BQK是等腰直角三角形， ∴BK＝KQ＜AK， 故③错误； ∵DB平分∠ABC， ∴KQ＝KT， 又∵AM的垂直平分线交BD于K， ∴KA＝KM， ∴Rt△AQK≌Rt△MTK， ∴∠AKQ＝∠MKT， 又∵∠QKT＝∠MKT+∠MKQ＝90°， ∴∠AKQ+∠MKQ＝90°， 即∠AKM＝90°， 故④正确； 故答案为：3． 26．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　4或2　． 【答案】4或2． 【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°， 设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理x2+62＝（2x）2， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴AE＝4， ∵点F为AE的中点， ∴AF＝EF＝2， 分两种情况： ①过M作MG⊥BC，G为垂足，则MG＝DC＝AD， 在Rt△MGN和Rt△ADE中， ， ∴Rt△MGN≌Rt△ADE（HL）， ∴∠NMG＝∠EAD， ∴∠NMG+∠AMF＝90°， ∴∠EAD+∠AMF＝90°， ∴∠AFM＝90°， 在Rt△AFM中，∠DAE＝30°，AF＝2， 设MF＝m，则AM＝2m， 由勾股定理，得 4m2﹣m2＝12， 解得m＝2（负值舍去），则AM＝4； ②方法一：根据对称性由①可知：AM＝6﹣4＝2， 方法二：如图，过N作NG⊥AD于G，过M作MH⊥AE于H， 则NG＝CD＝AD， 在Rt△ADE和Rt△NGM中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△NGM（HL）， ∴∠GNM＝∠DAE＝30°， ∴∠GMN＝60°， △AMF中，∠GMN＝∠MAF+∠AFM， ∴∠AFM＝∠DAE＝30°， ∴AM＝MF， ∵MH⊥AF， ∴AH＝FH， 设MH＝x，则AM＝2x，AH＝FH＝x， ∵F是AE的中点， ∴AE＝2AF＝4AH＝4x， Rt△ADE中，∠DAE＝30°， ∴DE＝AE＝2x，AD＝DE＝6x， ∵AD＝6，即6x＝6， x＝1，即AM＝2x＝2； 故答案为：4或2． 27．如图，若正方体的棱长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为 　a2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：找到CD的中点N，连接BN． 正方形ABCD中，AC为BD的垂直平分线，∴OB＝OD， ∵在△OAD和△OAB中，AB＝AD，OA＝OA ∴△OAD≌△OAB， 又∵， 所以阴影部分面积为△OAD和△OAB的面积和． 根据中位线定理M、N分别为AB、CD的中点， ∴CE＝EO＝OA，∴O到AD的距离为CD长度的． ∴S△ADO+S△ABO＝2S△ADO＝2××a×＝． 故答案为． 28．如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 　20　． 【答案】20． 【解答】解：如图，连接BE，CG， ∵正方形ABDE和正方形ACFG， ∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAG＝∠CAE， ∴△BAG≌△EAC（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AHB＝∠OHE， ∴∠EOH＝∠BAH＝90°， ∴∠EOG＝∠BOC＝90°， ∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2， ∵AB＝3，AC＝1， ∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2， ∴BE2+CG2＝18+2＝20， ∴BC2+EG2＝20． 故答案为：20． 29．如图，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，则边AB的长度为 　　． 【答案】． 【解答】解：将四边形EFGH的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1﹣S2+S3＝8y+x﹣（4y+x）+x＝10，故x+4y＝10， 所以S2＝x+4y＝10， ∴AB＝． 故答案为：． 30．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　①②③　． 【答案】①②③． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ∴矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 31．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE，AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有：　①②③④　（请填上序号）． 【答案】①②③④． 【解答】解：∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE， 而AB＝DC，∠BAE＝∠CDE， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE＝∠DCE， 故①正确； ∵DH＝DH，AD＝CD，∠ADH＝∠CDH， ∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠EAG＝∠DCE， 而∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠EAG+∠AEB＝90°， ∴AG⊥BE， 故②正确； ∵△CDE和△BDE同底等高， ∴S△CDE＝S△BDE， 而S△CDE﹣S△EHD＝S△BDE﹣S△EHD， ∴S△BHE＝S△CHD， 故③正确； ∵△ADH≌△CDH， ∴AH＝CH， 而AB＝CB，∠EAG＝∠DCE， ∴∠HAB＝∠HCB， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴∠AHB＝∠CHB， 而∠EHD＝∠CHB， ∴∠AHB＝∠EHD， 故④正确， 故答案为：①②③④． 32．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示 ∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90° ∴∠1＝∠2， ∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°， ∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：AE＝EF成立， 理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠FEG+∠AEB＝90°． ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴∠MAE＝∠CEF． ∵AB＝BC， ∴AB+AM＝BC+CE， 即BM＝BE． ∴∠M＝45°， ∴∠M＝∠FCE． 在△AME与△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． （3）存在， 理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF， 在△ADM与△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（ASA）， ∴DM＝AE， 由（2）AE＝EF， ∴DM＝EF， ∴四边形DMEF为平行四边形． 33．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 【答案】（1）证明见解答部分； （2）AF＝5或． （3）MN的长度为或． 【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°， ∴∠AED＝∠AFB， 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）． （2）解：∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF＝x， ∴BE＝CF＝4﹣x， ∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF ＝4×4﹣×4•x﹣（4﹣x）•x﹣×4•（4﹣x） ＝8﹣2x+x2， ∴y＝x2﹣2x+8＝， 解得，x1＝3，x2＝1， ∴AE＝3或AE＝1， ∴AF＝DE＝5或． （3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF， ∵点M是DE的中点， ∴DM＝ME， ∵AB∥CD， ∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM， ∴△DPM≌△EAM（AAS）， ∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1， 当AE＝3时，BF＝DP＝3， ∴CF＝CP＝1， ∴PF＝， ∴MN＝PF＝； 当AE＝1时，BF＝EP＝1， ∴CF＝CP＝3， ∴PF＝3， ∴MN＝PF＝； 综上，MN的长度为或． 34．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD， ∴∠GAD＝∠EAB， 在△GAD和△EAB中， ， ∴△GAD≌△EAB， ∴EB＝GD； （2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝5， ∴BD⊥AC，AC＝BD＝5， ∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝， ∵AG＝2， ∴OG＝OA+AG＝， 由勾股定理得，GD＝＝， ∴EB＝． 七．正方形的判定（共1小题） 35．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）线段OE与OF的数量关系 　OE＝OF　．（填空）； （2）若CE＝8，CF＝6，则OC＝　5　．（填空）； （3）当点O运动到 　AC的中点处　，且∠BCA等于 　90°　时，四边形AECF是正方形．（填空） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠1＝∠2． ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠3． ∴∠2＝∠3． ∴OE＝OC． 同理可证OC＝OF． ∴OE＝OF． 故答案为：OE＝OF． （2）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠ACB，∠5＝∠ACD， ∴∠ECF＝∠2+∠5＝（∠ACB+∠ACD）＝90°， ∴△ECF是直角三角形， 又∵CE＝8，CF＝6， ∴由勾股定理得EF＝10， ∵OE＝OF， ∴Rt△CEF中，CO＝EF＝5， 故答案为：5； （3）当点O运动到AC的中点时，且∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形． 理由如下：∵O为AC中点， ∴OA＝OC， ∵由（1）可得OE＝OF， ∴四边形AECF为平行四边形； 由（2）可得∠ECF＝90°， ∴四边形AECF为矩形，∠5＝∠6＝45°，∠2＝∠3＝45°， ∴∠3＝∠6， ∴CE＝CF， ∴平行四边形AECF是正方形． 故答案为：AC的中点处，90°． 八．轴对称-最短路线问题（共1小题） 36．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连 接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【解答】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∵AP＝CQ， ∴AD﹣AP＝BC﹣CQ， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， 则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， 连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5， ∴CE＝＝13． ∴PC+PB的最小值为13． 故选：D． $$