模型10 瓜豆原理-【一本】2024年中考训练方案 数学

模型10 瓜豆原理 典型例题 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动 (1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1,小亮以BE为边作 等边三角形BEF,如图1.求CF的长 图1 图2 (2)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三 角形BEF,如图2.在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长 (3)△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边 三角形BMN,如图3.在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长， 0 图3 图4 (4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过 程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH,其中点F,G都在直线AE上，如图4.当点E到达 点B时，点F,G,H与点B重合，则点H所经过的路径长为 ,点G所经过的路径 长为 思路分析ノ (1)由题意可得，△ABE≌△CBF,则CF=AE=1. (2)点E在点C处时，CF=AC;点E在A处时，点F与点C重合.故点F运动的路径长= AC=3. (3)类比（②）的思路可知，取BC的中点H,点M在点C处时，HN=CD-35,点M在点 D处时，点N与点H重合.故点N所经过的路径长=CD=3y3 2 (4)类比(2)(3)可得，连接AC,BD,相交于点O,取AB的中点M,BC的中点N,连接MF, NH.当点E在点B处时，点F,B,H重合，点G和点B重合；当点E在点C处时，点F和 点O重合，点G与点C重合， ·42· ○模型解读 “瓜豆模型”，顾名思义“种瓜得瓜，种豆得豆”，它表示一个动点随另一个动点运动而运 动，我们称为主动点和从动点.在运动过程中，主动点和从动点的运动轨迹是一致的，如本 题(2)中点E为主动点，点F为从动点，点E在线段AC上移动，点F的运动轨迹为线段 C℃（如图），轨迹都是线段，这类模型的典型特征就是双动点，一个主动点，一个从动点. E 令规范解答」 43 ○模型总结) 模型一直线轨迹 【条件】两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP：AQ是定值). 【结论】 (1)如图1，P,Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等 于MN与BC的夹角). B 图1 (2)如图2，P,Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ(由△ABC∽△AMN,可得AP: AQ=BC:MN). M(Q B(P) 图2 模型二圆的轨迹 如图，为了便于区分动点P,Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点” 【条件】两个定量 主动，点、从动，点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）： 主动，点、从动点到定，点的距离之比是定量(AP:AQ是定值). Q 【结论】 (1)主动点、从动点与定，点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ= ∠OAM; (2)主动点、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP：AQ= AO:AM,也等于两圆半径之比. 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，点Q与点P的关系相当于旋转十伸缩. .44· 提能特训 1.如图，点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),C为坐标平面内一点，BC=1,M为线段 AC的中点，连接OM,则OM的最大值为 () B A.√2+1 B2+号 C.2√2+1 D2E-2 2.如图，⊙O的半径为1，A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD= CD,∠A=30°.点E在BND上运动（不与点B,D重合），过点C作CE的垂线，与EB的 延长线交于点F. (1)当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长， (2)当点E运动到什么位置时，CF取到最大值？求出此时CF的长. B 备用图 .45. 3.已知等边三角形ABC,过点A作AC的垂线l,P为L上一动点（不与点A重合），连接 CP,把线段CP绕点C按逆时针方向旋转60°得到CQ,连接QB. (1)如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系： (2)如图2，当点P,B在AC同侧且AP=AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ; (3)如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P,B分别位于直线AC的异侧，且△APQ 的面积等于号，求线段AP的长 图1 图2 图3 ·46· 4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,将△ABC绕点B顺时针旋转得到 △A'BC,其中点A,C的对应点分别为点A',C (1)如图1，当点A'落在AC的延长线上时，求AA'的长 (2)如图2，当点C落在AB的延长线上时，连接CC,交A'B于点M,求BM的长， (3)如图3，连接AA',CC,直线CC交AA'于点D,E为AC的中点，连接DE.在旋转过 程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由。 M E B B A B 图1 图2 图3 ·47· 5.在△ABC中，AC=AB,∠BAC=a,D为线段AB上的动点，连接DC,将DC绕点D顺 时针旋转a得到DE,连接CE,BE. D B D B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当a=60时，求证：△CAD2△CBE. (2)如图2，当ana-子时， ①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由 ②若AC=5,H是BC上一点，在点D移动的过程中，CE十EH是否存在最小值？若存 在，请直接写出CE十EH的最小值；若不存在，请说明理由. ·答案P119 ·48·119 ∠ADB=45°，AB=2,作△ABD的外接圆() (因求CD最小值，故同心O在AB的右侧)，连 接O,过点O作OE⊥BC于点E :∠ADB=45°，∴∠AOB=90, ∴△AOB为等腰直角三角形， .A(0=B0=sin45°·AB=√2. ∠(0B4=45°，∠ABC=90°， 图1 图2 ∴.∠OBE=45°， 模型10 瓜豆原理 △OBE为等腰直角三角形， 【典型例题】 ∴.Of=BE=sin45°·OB=1, 解：(1)，△ABC和△BEF都是等边三角形， ∴.CCE=BC-BE=3-1=2. ∴.BA=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60°. 在Rt△OEC中， .∠ABE+∠(CBE=∠CBF+∠CBE, OC=√OE2+CE2=√1+4=√5. ∴，∠ABE-∠CBF,∴，△ABE≌△CBF(SAS), 当O,D,C三点共线时 ∴.(CF=AE=1. CD的值最小，为CD=OC-OD=5-√2. (2)如图1，连接(CF 故答案为√5-√2 4.解：(1)15 (2)如图1，取BD的中，点O,连接AO,CO ∠BAD=∠BCD=90°，∴.点A,B,C,D共 图1 圆，∴.∠BDC=∠BAC .∠BDC=25°，∴.∠BAC=25 由(1)，知入ABE2入CBF,.CF=AE,∠BCF= (3)如图2，在正方形ABCD中，AB=AD ∠BAE=60°. :∠ABC=60°，∠BCF=∠ABC,.CF∥AB. CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG. 在△ABE和△DCF中， 又点E在点C处时，CF=AC,点E在点A处 ·AB=DC, 时，点F与点C重合，∴点F所经过的路径长为 〈∠BAE=∠(DF, AC=3. AE=DF, (3)如图2，取BC的中点H,连接HN ∴.△ABE≌△DCF(SAS),∴.∠1=∠2. 在△ADG和△CIDG中， ‘AD=CD, ∠ADG=∠CIDG, DG=DG, 图2 .△ADG2△CDG(SAS),∴∠2=∠3， ∴.∠1=∠3. BH=2BC,∴BH=号AB. :∠BAH+∠3=∠BAD=90°，.∠1+ CDLAB,.BD-AB,.BH-BD. ∠BAH=90°，.∠AHB=180°-90°=90. 取AB的中点O,连接OH,OD,则OH-AO= :个BC和∧BMN都是等边三角形，.BM= BN,∠ABC=∠MBN=60°，∴.∠DBM+ 2AB-1. ∠MBH=∠HBN-∠MBH, 在Rt△AOD中，OD=√AO+AD= ∴·∠DBM=∠HBN, ∴.△DBM≌△HBN(SAS),∴.HN=DM, √-2=5. ∠BHN=∠BDM=90°，'.NH⊥BC. 根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,∴.当 O,D,H三，点共线时，DH的长度最小， 又：点M在点C处时，N=CD=3,点M在 最小值为(OD一OH=√5一1. 点D处时，点N与，点H重合，.点N所经过的 (解法2：可以理解为点H是在以点()为圆心， AB为直径的半圆⊙O上运动，当O,H,D三点 路径长为CD=3yB 2 共线时，DH长度最小) (4)如图3，连接AC,BD,相交于点O,取AB的 故答案为5-1. 中点M,BC的中点N,连接MF,NH. ◆120 D 即OM的最大值为2+2·故选B 2.解：(1)如图，当点E运动到与点C关于直径 BD对称时，CE⊥AB于点K. 图3 ∴MF=BM=BN=2AB,点F的运动轨证是以 点M为圆心，BM长为半径的圆. :∠ABC=∠FBH=90°，∴.∠ABC-∠FBC= 由题意知CK=号，：BD为O0的直径， ∠FBH-∠FBC,即∠ABF=∠CBH, .△MBF≌△NBH(SAS),∴.NH=MF= ∴.CE=2CK=√3 BM=BN,∴点H在以点N为圆心，BN长为半 CF⊥CE,.∠ECF=90° 径的圆上 :∠CDB=∠CEB=60°， 当点E在点B处时，点F,B,H重合，点G和 .CF=CE·tan60°=√3XW3=3. 点B重合： (2),点E在BND上运动，∠CDB=∠(CEB=60. 当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点 C重合. 在RAECF中，m60-需， 连接CH,O CF=3CE,当CE最大时，CF取得最 由上证明可得，NH=NB=NC, 大值， ∠BHC=90°，点C,G,H三点共线， '.当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大 ∴·∠AGC=90°. 值为23. 点O是AC的中点，∴.(G是Rt△AGC斜边中 3.解：(1)AP=BQ 线，点G在以，点O为圆心，OB长为半径的 (2)证明：在等边三角形ABC中，AC=BC, 圆上， ∠ACB=60°，由旋转可得，CP=CQ, 3 90×2π× ∠PQ=60 3 ,点H所经过的路径长 360 4,点 ·∠ACB=∠PCQ,∴.∠ACB-∠PB= 90X2mX32 ∠PCQ-∠PCB,即∠ACP=∠BCQ, 2 _32 .△ACP≌△BCQ(SAS),.AP=BQ, G所经过的路径长= 360 4R. ∠CBQ=∠CAP=90°..BQ=AP=AC=BC 故多案为是，3。 =AB. ∠BAP=30°，∠ABP=∠APB=75°， 【提能特训】 ∴.∠CBP=∠ABC+∠ABP=135°， 1.B如图.，C为坐标平面内一点，C=1, ∠CBD=45°，∴∠QBD=45°，∠CBD= 点C在⊙B上，且半径为1. ∠QBD,即BD平分∠CBQ, 取(OD=(A=2,连接CD. '.BD⊥CQ且点D是CQ的中，点， 即直线PB垂直平分线段CQ. B. (3)①当点Q在直线1上方时，如图1所示，延 长BQ交1于点E,过点Q作QF⊥l于点F, D O B ,AM=CM,OD=OA,.OM是△ADC的中 Q 位线，OM=合DC PA 图1 当OM最大时，(CD最大当D,B,C三点共线 由题意可得，AC=BC,PC=CQ,∠PCQ= 时，且点C在DB的延长线上时，OM最大. ∠ACB=60°，'.∠ACP=∠BCQ, ,OB=OD=2,∠BOD=90°，.BD=22, '.△ACP≌△BQ(SAS),∴，AP=BQ,∠CBQ ∴.CD=22-1, =∠CAP=90°. ∴0M=D=E- ,∠CAB=∠ABC=60°， ∴.∠BAE=∠ABE=30 121 ∴.∠BEF=60°. .1M'=AC-A'C=8. ”AB=AC=4,∴AE=BE=4y3 (2)如图1，点过C作(CE∥A'B交AB于点E, 3 过点C作CD⊥AB于点D. 设AP=-,剥BQ=,EQ-4y5-2 C 3 在R△EFQ中，QF-9Q-(45-小， AE DB 图1 5w-合AP·QF-9,即号 △ABC绕点B顺时针袭转得到△ABC, ·∠A'BC√=∠ABC,BC=BC=3. (5-)-9,解得一5或1-停，即AP CE∥AB,∴.∠A'BC'=∠CEB, ∠CEB=∠ABC,∴.(CE=BC=3. 的长为后该得 在RABC中，S=7AC·BC=7AD· ②当，点Q在直线1下方时，如图2所示，设BQ CD,AC=4,BC=3,AB=5, 交1于点N,过点Q作QM⊥1于点M. ..CD=AC.BC_12 AB 51 在Rt△CED中，DE=√CE-CD= √-（传T-号∴BE=2DB=s, CE=C'-BE=3+18-3 图2 55 由题意可得，AC=BC,PC=CQ,∠PCQ= cE/AB80器 ∠ACB=60°，.∠ACP=∠BCQ, '.△APC2△BCQ(SAS), -多BM= ∴.AP=BQ,∠CBQ=∠CAP=90°. 5 ,∠CAB=∠ABC=60°， (3)DE存在最小值，最小值为1.理由如下： ∴.∠BAN=∠ABN=30°， 如图2，过点A作AP∥A'C交CD的延长线 ∴.∠BNM=120°，∠QNM=60° 于点P,连接A'C. AB=AC=4,AN=BN=设AP= m,则BQ=m,∴NQ=m-43 3 图2 在k△NMQ中，QM-号NQ-g(m 八ABC绕.点B顺时针旋转得到AA'BC', .BC=BC,∠ACB=∠A'CB=90,AC= 4号)∴Se=AP.QM- 4 A'C', ∴.∠BC=∠B(CC,而∠ACP=180° ∠ACB-∠BCC'=90°-∠BCC, ∠A'C'D=∠A'CB-∠BCC=90°-∠BCC, 解得m=23士团（负值合去》。 ∴∠ACP=∠A'CD. 3 AP∥A'C,∴∠P=∠A'C'D, 棕上所这，AP的长为B或号或25青团 ∴∠P=∠ACP,∴.AP=AC,∴AP=A'C' 3 4.解：(1)∠ACB=90°，AB=5,BC=3, 在△APD和△A'CD中， ∠PDA=∠CDA', ∴.AC=/AB2-BC=L. ∠P=∠A'CD, ,∠ACB=90°，△ABC绕点B顺时针旋转得 AP=A'C', 到△ABC,点A'落在AC的延长线上， ∴△APD≌△A'CD(AAS),.AD=A'D, ∴∠A'CB=90°，A'B=AB=5. 即D是AA'的中，点. 在Rt△A'BC中，A'C=VAB2-BC=4, E为AC的中点，DE是△AA'C的中位 ◆122 线，DE=号AC 4w10 要使DE最小，只需AC最小，此时点A',C,B 共线，A'C的最小值为A'B一BC=AB- SACBR= 1 2 CR·BJ=号CB·RT, BC=2, :DE的最小值为2AC=1, 60×4/10 ..RT- 5 _24V10 W10 25 5.解：(1)证明：a=60°，AC=AB,∴.△ABC是 ,EC+EH=ER+EH≥RT,∴.EC+EH≥ 等边三角形，.CA=CB,∠ACB=60 ,将D(绕点D顺时针旋转&得到DE, 24,,:EC+EH的最小值为24 25 25 .DC=DE,∠CDE=60°，△(CDE是等边三 角形 模型11二次函数最值 .CD=CE,∠TDCE=∠ACB=60°， 【典型例题】 ∴.∠ACD=∠BCE, 解：(1)'抛物线y=ax2十hx十c与x轴交于 ∴.△CAID≌△CBE(SAS). A(一2,0)，B(6,0)两点， ,设抛物线的解析式为y=a(x一2)(x一6). 0能空现由如下： 点D(4,3)在抛物线上，.3=a(4十2)×(4 如图，过点C作(CK上AB于点K 6,解得a=一子，。抛物线的解桥式为y an∠CAK-祭-=浮可以假设CK=3, +2z-6)=-r+x-3. AK=4k,则A(=AB=5k, 4 直线1经过点A(一2,0)，D(4,3),∴.设直线1 BK=AB-AK=表， 的解析式为y=x十u(k+0), .BC=√BK2+CK=√10k ,∠A=∠CDE,AC=AB,CD=DE, (一2十n=0·解得 1 4n=3, =之直线1的解析式 ∴.∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC =1 △An△E瓷-票品鉴 为y=2x一1. ,∠ACB=∠LDCE,∴.∠ACD=∠BCE, (2)如图，过点P作PH⊥x轴，交AD于，点K.设 .△ACDO∽△BCE, 提瓷 -10 P(,-e-m+3),则Km,2m+1): 2· R ②存在，如图，过点C作CJ一BE交BE的延 长线于点J.作点C关于BE的对称点R,连接 BR,ER,过点R作RT⊥BC于点T. .AC=5,.AK=4,CK=3,BC=10. SAmD=2(cD-A).PK=3PK, 由①知△CADX∽△BCE,CK⊥AD,CJ⊥BE, 当PK的值最大时，人PAD的面积最大， CF-AC-I⑩ PK--- CJ BC 2 m+m+3-2m-1=-m C-31 n+2=-m-1+，其中a=-<0, 5 2,点F的运动轨迹是线段BE, C,R两点关于BE对称， 当m=1时，PK的值最大，最大值为号，此时 CR=2CJ-6/10 5 △PAD面叔的最大值为华，点P的坐标为 B=B-c=y-()Y'=(1,).