第十五章 解直角三角形-【一本】2024年中考训练方案 数学

137 第十五章 解直角三角形 考点 锐角三角函数 答案 P059 知考情 考向分布 考题 课标要求 1.求三角函数值 1.利用相似的直角三角形,探素并认识锐角三角函数(sinA.cosA,tanA). 知道30{}:45*:60角的三角函数值。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的 2利用特殊角的三角 对应锐角. 函数值求值 明考向 考向1 求三角函数值 1 锐角三角函数的定义 定义:如图,在Rt△ABC中,C一90{*,A B,C的对边分别是a,b,c,则有 A的正弦:sinA-; 设每个小正方形的边长为a,由图可知CD 4a.AD-3a: 乙A的余弦:cosA- 'AC-AD+CD-(3a)+(4a)-5a . sin A-CD4a_4 AC55. 答案 典例1如图,在6×6的正方形网格中,△ABC 变式训练1如图,在4×4的正方形网格中,已 的顶点A,B,C都在网格线上,且都是小正方 知点A,B,C,D,O均在格点上,其中点A,B. 形边的中点,则sinA一 D在O上,E是线段CD与O的交点,则 /BAE的正切值为 解析 如图,过点C作CDAB于点D 138 考句2 典例2在△ABC中,若 sinA- +(cos B- 利用特殊角的三角函数值求值。 特殊角的三角函数值 2){-0,则_C的度数是 三角 : 函数 450 30{ 60 :在△ABC中, , sinA- (o B- 解析 - 5 k1~ sina )y_,:-$nHo-- os B, oos a ' A-30$, B-6 0$$$$$ 固#) 'C-180{-30*-60”-90°。 tana 3 答案 90{ 过真题 处,AB与CD相交于点P,则cosAPC的 A组基础题 。。。 值为 C ) 1. [2022·天津]tan45{的值等干 ~ #B C.# A.2 B.1 2. [2021·云南]在ABC中,ABC=90{*$若 B.2#5 . 5 ) B.503 A.00 D.80 C.60 6.[2023·四川广元]如图,在平面直角坐标系 3 中,已知点A(1,0),点B(0,一3),点C在 3. [2022·山东滨州]在Rt△ABC中,若 C 轴上,且点C在点A的右方,连接AB,BC.若 90{,AC=5,BC-12,则 sin A 的值 为 B组能力题 4.[2022·湖北荆州]如图,在平面直角坐标系 中,点A,B分别在x轴负半轴和v轴正半轴 上,点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC 过点O作OP/AB,交AC的延长线于点P ) ,。 C组创新题 若P(1,1),则tan OAP的值是 。。。 7.【新定义问题】定义一种运算: sin(a+③)-sin acos {+cos asin B. sin(a-③)-sin acos B-cos asin B 例如;当a-45^{,8-30{时,sin(45^{*}+30}) D.3 ##3#1# .则sin15*的值为 5.[2022·四川广元]如图,在方格纸中,每个小 正方形的边长都相等,点A,B,C,D都在格点 139 考点 解直角三角形及其应用 答案 P060 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.解直角三角形 鱼 2.解直角三角形 能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题 的应用举例 明考向 考向1 解直角三角形 AC-AB-BC-10-8-6 常用关系 即AC的长为6 (2)如图,连接CF,过点F作BD的垂线,垂 三边关系 十产一”(勾股定理) 足为E. 两锐角间 乙A十/B-90* 的关系 CFD sinA-cos B-a. 方法1::BF为边AD上的中线 即F为AD的中点, 边角间 的关系 在Rt△ACD中,由勾股定理,得 AD-AC+CD=6+4-213 $~ab-ch# 面积关系 ..CF-v13. .CF-FD,FE 1CD. 典例1如图,在△ABD中,AC |BD,BC=8. .CE-CD-2. 在 Rt △EFC 中,EF一 CF-CE= 中线. (求AC的长; (13)2-22-3, B (2)求tanFBD的值 D BE8十210 解 方法2:'.BF为边AD上的中线. BC-8..'.AB-10. '.F是AD的中点 在Rt△ACB中,由勾股定理,得 .'FE IBD,AC IBD...FE//AC :140 ,FE是△ACD的中位线, (2)求古树A,B之间的距离.(结果保留 $FE-AC<3.CFF-CD=2. 根号) __-.-_- '在 Rt△BFE中,tan FBD- 点拔 解此类题的一般方法:(1)构造直角三 解 (1)如图,过点A作AE |1,垂足为E. 角形;(2)理清直角三角形的边角关系;(3)利 设CE-xm..CD-60m. 用特殊角的三角函数值解答问题 *.DE=CE+CD-(x+60)m 考句2 解直角三角形的应用举例 . ACB-15*,BCD-120*$ 解直角三角形的实际应用 :. /ACE-180$-/ACB-BCD-45, 图形 定义 'AE-CE-xm 在视线与水平线所 在Rt△ADE中,ADE-30*, 视线 成的角中,视线在 仰角、俯角 水平线上方的是仰 .tan30*AF. 视线 角,视线在水平线 下方的是俯角 解得x-303十30. 坡面的垂直高度 经检验,c一303十30是原分式方程的解, 与水平宽度/的比 叫坡度(坡比),用 .,AE-(30/3+30)m 坡度 字母:表示:坡面 (坡比) 答:河的宽度为(30/③十30)m 坡角 与水平面的夹角。 叫坡角,i-tana= _{ 1200 30 {15一 30 北 #30A. 点A,B,C分别位 于点O的北偏东 ,45 (2)如图,过点B作BF /,垂足为F 方向角 30*、南偏东60{、北 (名 60B 则CE-AE-BF-(30 3+30)m,AB-EF 偏西45{*(西北方 向)的方向上 ./BCD-120*, '. BCF=180*- BCD-60 典例2如图所示,九年级(1)班数学兴趣小组为 30v3+30 了测量河对岸的古树A,B之间的距离,他们 ③ 在河边与AB平行的直线/上取相距60m的 (30+10③)m,..AB=EF=CE-CF C.D两点,测得 /ACB-15^{*,BCD-120* ADC-30*。 303+30-(30+103)-203(m) (1)求河的宽度; 答:古树A,B之间的距离为20/③m 141。 点拨 “化斜为直”解非直角三角形的方法 (光线的折射忽略不计,结果保留根号) (1)作垂线(或高):将非直角三角形分割成两 个直角三角形 (2)计算:在含有特殊角的直角三角形中,利 用特殊角的三角函数值分别计算, 变式训练1小宾想利用测量知识计算湖中小山 的高度,如图所示,站在湖边看台上可以清晰 地看到小山倒映在平静的湖水中.他在点C 处测得小山顶端的仰角为45{*,小山顶端A在 水中的倒影A的俯角为60{}已知点0到湖 面的距离OD-3m,OD | DB,AB DB.A B,A三点共线,AB-AB,求小山的高度AB 过真题 者眼睛与地面距离CD-1.7m,BD-11m. A组 基础题 则旗杆AB的高度约为 m.(结果取 1.[2022·广西北部湾经济区]如图,某博物馆 整数,③~1.7) 大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB ( 与AC的夹角为g,则高BC是 12米 2) D0 A. 12sing米 B. 12cosa米 .米 D.2米 3. [2022·山东威海]小军同学想利用所学的 cosa “锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河 2.[2022·内蒙古赤峰]如图,为了测量校园内 流宽度.如图所示,他先在河岸设立A,B两 旗杆AB的高度,儿年级数学应用实践小组 个观测点,再选定对岸河边的一棵树记为点 根据光的反射定律,利用镜子、皮尺和测角仪 M.测得AB-50m,MAB-22*,MBA 等工具,按以下方式进行测量:把镜子放在点 67^{ 请你依据所测得的数据求出这段河流的 O处,然后观测者沿着水平直线BO后退到点 宽度.(结果精确到0.1m,参考数据; D,这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A,此 sin22~3. . 8,c0220~1. 1,tan220~ 时测得观测者观看镜子的俯角a一60{,观测 :142 sin 67*~12. 的树影BC的长为m,则大树AB的高为 ( ) M -D C- A. n(cosg-sina) _......-.. _._-... , B. m(sina-cos a) C. n(cosg-tang) 7” ) D.m_n sing cos a 水平地面 6. [2022·海南]无人机在实际生活中应用广 泛,如图所示,小明利用无人机测量大楼的高 度,无人机在空中P处,测得楼CD的楼顶D 处的俯角为45*,测得楼AB的楼顶A处的俯 4. [2023·山东临沂]如图,灯塔A周围9nmile 角为60{*}已知楼AB和楼CD之间的距离BC 内有暗礁,一艘渔船由东向西航行至B处,测 为100米,楼AB的高度为10米,在楼AB的 得灯塔A在北偏西58^{}方向上,继续航行 A处测得楼CD的D处的仰角为30{(点A B.C,D,P在同一平面内). 6nmile后到达C处,测得灯塔A在西北方 (1)填空:APD一 度,ADC一 向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,那 度: 么是否会有触礁的危险?(参考数据;sin32} (2)求楼CD的高度(结果保留根号) (③)求此时无人机距离地面BC的高度。 0. 530,cos 32*0. 848,tan32*~0.625 sin 58{~0. 848,cos 58{}~0. 530,tan58* 1.600) 。 C B 7.[2022·贵州遵义]如图1所示是一种太阳能 路灯,它由灯杆和灯管支架两部分构成,如图 2.AB是灯杆,CD是灯管支架,灯管支架CL B组能力题 与灯杆间的夹角 BDC一60*},综合实践小组 的同学想知道灯管支架CD的长度,他们在 5.[2022·湖北十堰]如图,坡角为g的斜坡上 地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角 有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光 为60,在点下处测得灯管支架项部C的仰角 线与水平线成45{}角沿斜坡照下时,在斜坡上 为30*,测得AE-3m,EF-8m(点A,E,F 143。 在同一条直线上).根据以上数据,解答下列 续表 问题: 测算发射塔的高度 (1)求灯管支架底部距离地面的高度AD的 长(结果保留根号) (2)求灯管支架CD的长度.(结果精 A处角乙1 {士) 确到0.1m,参考数据。/③~1.73) 背景 -4排 处仰角乙2 大拇指尖和中指尖 之间的最大距离 素材 “4 -3祚一 D 2祚→ B处仰角乙3 C处仰角乙4 图3 经讨论,只需选择其中两个合适的位置,通过 阁1 图2 测量、换算就能计算发射塔的高度 问题解决 分析规划 选择两个观测位置: 点 和点 任务1 写出所选位置观测角 获取数据 的正切值,并量出观 测点之间的图上距离 计算发射塔的图上高 任务2 推理计算 度MN 楼房实际宽度DE为 任务3 12m;请通过测量. 换算高度 换算来计算发射塔的 实际高度 C组创新题 。。 注:测量时,以答题纸上的图上距离为准,并 精确到1mm. 8.【综合与实践】根据背景素材,探索解决问题 测算发射塔的高度 某兴趣小组在 -墙楼房窗口 处测算远处小 B 山坡上发射塔 的高度MN(如 CDE 背景 图1),他们通过 图1 素材 自制的测角仪 (如图2)在A, 激光源 B.C三个位置 观测,测角仪上 一铅锤 的示数如图3 一支杆 所示 图2059 ∴·∠A=∠CBE=∠D=90°， ∴.△AHG∽△CHA, ∴∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°， ·∠C=∠DBE, 智黑 ∴.△ABC∽△DEB. 设BC=CD=AD=a,则CA=√2a, (2②由D,知△ABC△DEB小S-0 =35,即BC=3y5 √2aV5 ,. 2 2 “品-是解得DB=3,即线段BD的长为3 第十五章 解直角三角形 6.证明：(1)AB=AC,∴.∠B-∠C ·∠BDE=180°-∠B-∠DEB, 考点32 锐角三角函数 ∠(EF=180°-∠DEF-∠IDEB, ∠DEF=∠B,∴·∠BDE=∠CEF. 变式训练1 12 由题意，得∠BDE=∠BAE.在 又，∠B=∠C,∴.△BDE∽△(CEF (2:△BDBn△CER,票-票 △BDC中，∠DBC=90,.an∠BDC= BD 2= E是BC的中点， 号∴∠BAE的止切俏为分 E-c得-器是保 1.B 又.'∠DEF=∠C,∴.△DEF∽△ECF, 2.D AC-100,sin A60, ∴.∠DFE=∠EFC,即FE平分∠DFC .AB=√AC一BC=80.故选D 7.解：(1)如图1，连接CG. ! ,∠C=90°，A(C=5,B=12, 由题意，得∠GCE=∠ACB, 3号 ∴.∠GCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE, .AB=√122+5=13， 即∠A(G=∠BCE. B12 又瓷-能-，- ..sin A-AB13 4.C如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q △AM△BcE0瓷-E. H 0Q元 OP∥AB, .△OCP△BCA, ∴.CP:AC=(C:BC=1:2. 图1 图2 ∠A=∠AQP=90°， (2)如图2，过点H作HM⊥AG .(CO∥PQ, 由(1)，知△BEC∽△AGC, ∴.OQ:AO=CP:AC=1:2. ∴.∠AGC=∠BEC=135 : ,∠CGF=45,A,G,F三点共线， P(1,1) ..PQ-0Q-1, .∠AGH=45 .AO=2, ,HM⊥AG,HG=√2，.HM=M=1. AH=√5.∴.AM=2,∴.AG=3. tan∠0r-8z1-号 能-厄5E-39 故选C 2 5.B如图，把AB向上平移1个单位长度到 :∠AHG=∠CHA,∠AGH=∠CAH=45°， DE,连接CE ◆060 D 7,6-2 B sin15°=sin(45-30) =sin 45cos 30-cos 45sin 30 号×9-竖×号 2 山题意可知ED∥AB, =62 .∠APC=∠EID 44 由勾股定理，得EC=√②+1平=√5，DC= =6-2 √4'+2=2√5，DE=√32+4=5 (5)2+(25)2=52..EC-LDC=DE, 考点33解直角三角形及其应用 ,△DCF为直角三角形，∠DCE=90°. os∠APC-0LEDC---2号， DC_25 变式训练1解：如图，过点O作OE⊥AB于点 E,则BE-OD=3m 故选B. 6.(号，0）设Ca,0),则0c=a. 点A(1,0),点B(0,-3), .(0A=1,AC=a-1,(0B=3, BC=√a3+3z=√Wa+9. 在R△0AB中，tan∠OBA-8胎-号 an∠ABC-3,∴∠OBA=∠ABC 设AE-xm, 则AB=(x十3)m,A'E=(x十6)m. 如图，过点C作CD∥y轴，交BA的延长线于 :∠AOE=45, 点D,∴.∠OBA=∠D=∠ABC D .OE=AE=x m. ∠A'OF=60°， 点tn60S-3, OE 即+6=3， 解得x=3+3V3, .AB=3十3√5-3=(6+3V3)m. ',∠AOB=∠ACD, △0BA△cDA8器-器 答：小山的高度AB为(6十3√3)m 1L.A在RMBC巾，ina- BC 又∠D=∠ABc,CD=BC爱-0 :AB=12米， 3 1 .BC=12sina米.故选A. a+9 a-1' 2.17由题意可得，∠A(OB=∠C(0D=a=60°. 解得a=0(个不合题意，合去)或a=}, 在Rt△COD中，CD=1.7m, m60=咒-3,2品-3， ∴c(号，0).故答案为（号，0） 解得DO≈1(m). 061 ∴.B()=BD-D(O≈11-1=10(m). 在R△A0B中，am60-铝-0-5， 解得AB≈17(m), B ∴.旗杆AB的高度约为17m D 3.解：如图，过点M作MNAB,垂足为N. 水平地陶 M -D 在R△BCD中，，BC=,∠BCD=a, ∴.BD=BC·sin∠BCD=sina, (CD=BC·cos∠3CD=mcos a. 在Rt△ACD中，∠ACD=5°， 设MN=xm ..AD=CD=mcos a, 在RL△ANM中，∠MAN=22°， .AB AD-BD mcos a-msin a= 1an22-5 ∴AN=MN 2z(m). m(cos a-sin a). 2 5 放选A 在Rt△MNB中，∠MBN=67, 6.解：(1)：∠MPA=60°，∠NPD=45, ∴.BN=MN ∴∠APD=180°-∠MPA-∠NPD=75. tan67≈ 1212(m). 如图，过点A作AE⊥(CD于点E. 5 由题意，得∠DAE=30°， .'AB=50 m, .∠ADC=180°-90°-30°=60 .'.AN+BN=50 m, 故答案为75,60 ÷+=0, (2)由题意，得AE=BC=100米，EC-AB= 解得x≈17.1. 10米. 答：这段河流的宽度约为17.1m 在Rt△AED中，∠DAE=30°， 4.解：不会有触碟危险.如图，过点A作ADBC m0--号p器-g 于点D 北 解得DE=1003(米)， 中东 3 .CD=DE-EC=1005-30米 3 C B 答：楼CD的高度为100，-30米， 3 设AD=n mile. 由题意，得∠ABD=32°，∠ACD=45°，BC= (3)如图，过点P作PG_B:于点G,交AE于 6 n mile. 点F 在Rt△A(CD中，∠A(CD=∠CAD=45, 由题意，得∠PFA=∠AED=90°，F=AB= ∴AD=CD=n mile.. 10米. MN∥AE, 在Rt△ABD中，an∠ABD-品，即G千 ∴.∠PAF=∠MPA=60° 0.625, ∠ADE=60, 解得x≈10. !: .∠PAF=∠ADE 10>9,∴.如果渔船不改变航线继续向西航 :∠DAE=30°， 行，不会有触碾危险 ∠PAD=30°. 5.A如图，过点C作水平地面的平行线，交AB ∠APD=75, 的延长线丁点D,则∠BCD=a. .∠ADP=180°-∠PAD-∠APD=75, ◆062 ·∠ADP=∠APD, ..AP=DA, ∴，△APF≌△DAF(AAS), ∴.PF=AE=100米， .PG=PF+FG=100+10=110(米). 设MF=xmm,则MG=(x十4)mm. 答：此时无人机距离地面BC的高度为110米， M 60y845W a∠MAF--, D tan∠MBG=+4-1 BG 3 .'.AF=4x mm,BG=(3x+12)mm. 430°.F AF=BG,∴.4x=3x+12, B G 解得x=12,即MF=12mm, 7.解：(1)在R△DAE中，∠AED=60°，AE=3m, .'.AF=BG=4x=48 mm. ,.AD=AE·tan60°=33m “tan∠FAN=F-1, 答：灯管支架底部距离地面的高度AD的长为 AF8· .'FN=6 mm, 3√5m ∴.MN=MF+FN=12+6=18(mm). (2)如图，延长F交AB于点G. 任务3：测得图上DE=5mm,设发射塔的实际 G60 「C 高度为hm. 由题意，得品-兴 解得=43.2(m). 60 30° 答：发射塔的实际高度为43.2m E ∠DAE=90°，∠AF=30°， 微专题五解直角三角形应用中的常见模型 ∴∠DGC=90°-∠AFC=60. 1.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. ,∠GD=60°， ∴△[DGC是等边三角形， →东 ..DC=DG. 609 45 .AE=3 m,EF=8 m, ∴，AF=AE+EF=11m 由题意，得AB=40×2=80(km),∠CAB= 在R△ARG中，AG=AF·an30°=11X5 30°，∠ABC=45, 号3m, ∠ADC=∠BDC=90°， ..AD=3CD,BD=CD, DC=DG=G-D-8-33=号3≈ 'w3CD-(CD=80, 解得CD=40√3-40≈29.2(km). 1.2(m). 答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离约 答：灯管支架CD的长度约为1.2m 为29.2km 8.解：答素不唯一.任务1：AB 2.解：如图，过点D作DE⊥BC,垂足为E an∠1=8tan∠2=}，ta∠3=3 ,测得图 AD =3:4 上AB=4mm. B FE 任务2：如图，过，点A作AF⊥MN于点F,过点 由题意，得AF⊥BC,DE-AF. B作BG⊥MN于，点G,则FG=AB=4mm. 斜面AB的坡度i=3:4,