第十四章 相似-【一本】2024年中考训练方案 数学

◆130 第十四章相似 31 相似 答案P055 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段：通过建筑、艺术上的实例 1,相似三角形的 业泉块 了解黄金分割， 性质与判定 2通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比。 3掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似：两边成比例 2.相似三角形的 且夹角相等的两个三角形相似：三边成比例的两个三角形相似，”了解相似三 实际应用 角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比：面积比 3.位似图形的性 等于相似比的平方。 质及作图 6.了解图形的位似，知道利月位似可以将一个图形放大或缩小 7会利月图形的相似解决一些简单的实际问题. 明考向 向1 相似三角形的性质与判定 的比叫做黄金比，且船-5一0.618 2 1.比例的性质 C B ()基本性质：号-ad=c,(a6cd≠0) 3.平行线分线段成比例 (1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得 ②合比性质：号--兴 6 d 的对应线段成比例！ 3)等比性质：合-首==%（6十d+…十 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两 边（或两边的延长线），所得的对应线段成 n≠0)g士c十…十m-a 比例. 'b十d+…十nb 4.相似三角形 2.黄金分割 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例 如图，一般地，如果点C把线段AB分成两条 ②相似三角形的对应高的比、对应中线的比 线段AC和BC(AC>BC),且铝-%，那么 性质和对应角平分线的比都等于相似比 ③相似三角形的周长比等于相似比，面积 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB 比等于相似比的平方 131 ①平行于三角形一边的直线与其他两边（或其 变式训练1如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于 他两边的延长线)相交，截得的三角形与原 A,B两，点，DC是⊙O的切线，C是切点，已知 三角形相似 判定 ∠D=30°，DC=√3. ②两角对应相等，两三角形相似 (1)求证：△BOC△BCD: ③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 (2)求△BCD的周长， ④三边对应成比例，两三角形相似 典例1如图所示，在△ABC 中，点D,E分别在AB,AC 上，且加瓷-下列结 B 论正确的是 A.DE BC=1:2 B.△ADE与△ABC的面积比为1：3 C.△ADE与△ABC的周长比为1：2 D.DE∥BC 解析 0能 ..AD:AB=AE:AC=1:3. 考向2 相似三角形的实际应用 .'∠A=∠A,.△ADEC∽△ABC, 1.利用相似三角形的有关性质解决现实生活中 ∴.DE:BC=1:3,故A错误； 的实际问题，如利用光的反射定律求物休的 △ADE与△ABC的面积比为1：9，周长比 高度及利用影子计算建筑物的高度，同一时 为1：3，故B和C错误； .△ADE∽△ABC,∴.∠ADE=∠B, 刻同一地点，物高与彭长成正比，即身痘- 影张 .DE∥BC,故ID正确.故选D 建筑物的高度 建筑物的影长 答素D 2.运用相似三角形的判定条件和性质解决实际 规律方法 判定三角形相似的方法 问题的方法 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边 (1)将实际问题转化为相似三角形问题； (或其他两边的延长线)相交，所构成的三角 (2)找出一对相似三角形： 形与原三角形相似。 (3)根据相似三角形的性质，表示出相应的 (2)条件中若有一组对应角相等，可再找一 量，并求解。 组对应角相等或再找此角所在的两边对应 典例2如图，利用标杆DE测量 B 成比例.若已知角为直角时，还可以考虑证 楼高BC,点A,D,B在同一 明斜边、直角边对应成比例， 直线上，DE⊥AC,BC⊥AC (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角 垂足分别为E,C.若测得D A 相等或第三边对应成比例 AE=1 m,DE=1.5 m,CE= 5m,则楼高BC是多少？ ◆132 解，DE⊥AC,BC⊥AC, 考向3位似图形的性质及作图 .DE∥BC,∴.△ADEc△ABC 典例3在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶 '暖中店品BC=9m 1 1.5 点分别为A(2,1),B(2,0),O0,0).若以原点 答：楼高BC是9m, O为位似中心，以2为相似比将△AOB放大， 则点A的对应点的坐标为 规律方法 应用三角形相似解决实际问题 解析如图，观察图象可知，点A的对应点的 (1)建立数学模型，把实际问题转化为数学 坐标为(4,2)或（一4，一2）. 问题： (2)找到相似三角形并证明； (3)根据相似三角形的性质列出等式，代入 数值后计算； H (4)不能直接计算时设出未知数，列方程 (组)求解 答案 (4,2)或(-4，-2) 变式训川练2如图，小明和小华利用阳光下的影 规律方法 在平面直角坐标系中，如果位似 子来测量一建筑物顶部旗杆AB的高.在某 变换是以原点为位似中心，相似比为克，那 一时刻，他们在阳光下分别测得该建筑物OB 的影长O℃为16m,OA的影长OD为20m, 么位似图形对应，点的横，纵坐标的比等于 小明的影长FG为2.4m,其中O,C,D,F,G 或一k。 五点在同一直线上，A,B,(O三点在同一直线 变式训练3如图，在平面直角坐标系中，△AC 上，且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高 的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1), EF为1.8m,求旗杆AB的高. C(1,1). B (1)画出与△ABC关于x轴对称的△ABC; (2)以原点O为位似中心画出△AB,C2,使 它与△ABC位似，且相似比为21. 133 过真题 AE ,。。A组基础题。。 一三，△口 1.[2022·浙江丽水]如图，五线谱是由等距离 等长度的五条平行的横线组成的，同一条直 线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段 5.[2023·浙江丽水]小慧同学在学习了浙江教 AB=3,则线段BC的长是 育出版社出版的数学教材九年级上册“4.1比 例线段”3节课后，发现学习内容是·个逐步 特殊化的过程，请在横线上填写适的数值， 感受这种特殊化的学习过程， 是四8品 8瓦 A号 B.1 c D.2 比例线段 出现比例中项线段 出现特殊线段比 2.[2023·山东聊城]如图，该几何体是山一个 6.[2023·上海]如图，在梯形ABCD中，AD∥ 大圆锥截去上部分的小圆锥后剩下的部分 BC,点F,E分别在线段BC,AC上，且 若该几何休上、下两个圆的半径分别为1和 ∠FAC=∠ADE,AC=AD 2,原大圆锥高的剩余部分OO为√2，则其侧 (1)求证：DE=AF; (2)若∠ABC=∠CDE,求证：AF=BF·CE. 面展开图的面积为 (01 A.√3π B.23r C.33x D.4√3π 3.[2022·浙江嘉兴]如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，∠A=60°，直尺的一边与BC 重合，另一边分别交AB,AC于点D,E.点 B,C,D,E处的读数分别为15,12,0,1，则直 尺宽BD为 ·。B组能力题·· 7.[2023·四川南充]如图，数学活动课上，为测 量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放 4.[2023·四川乐山]如图，在□ABCD中，E是 置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆 线段AB上一点，连接AC,DE交于点F.若 底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看 ◆134 到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面的高 (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形 度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离 BFED的面积. 为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗 杆的高度为 11.[2022·山东秦安]如图，在矩形ABCD巾， A.6.4mB.8m C.9.6mD.12.5m 点E在DC上，DE=BE,AC与BD相交于 8.[2021·四川绵阳]如图，在△ACD中，AD 点O,BE与AC相交于点F. 6,BC=5,AC=AB(AB+BC),且△DABC∽ (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC: △IDCA.若AD=3AP,Q是线段AB上的动 (2)找山图中与△OBF相似的三角形，并说 点，则PQ的最小值是 ( 明理由； 2 发⑥ C⑤ 8 0. (3)若OF=3,EF=2,求DE的长。 2 2 第8题图 第9题图 9.[2022·山东威海]如图所示的图形是由12 个有公共顶点O的直角三角形拼成的，已知 ∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM 30°.若S0=1,则图中与△AOB位似的三 角形的面积为 ··C组创新题·· A()°B(》C()°D.() 12.【古代数学问题】《九章算术》中记战了一种 10.[2022·浙江杭州]如图，在△ABC中，点D, 测量古井水面以上部分深度的方法，如图所 E,F分别在边AB,AC,BC上，连接DE, 示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 EF.已知四边形BFED是平行四边形， AB,从木杆的顶端B观察并水水面D,视线 - BD与井口的直径AC交于点E.如果测得 AB=1m,AC=1.6m,AE=0.4m,那么 (1)若AB=8,求线段AD的长； CD= m. D055 故答案为EF=BE-DF,2a. ∠DBC=60 (2)①结论：EF=BE十(CF ,∠ABC=∠ACB=30, 理由：如图，延长FC到点T,使得CT=BE,连 ·∠ABE=30=∠ACM, 接AT. ∴.△BAC≌△CAM(ASA), ∴.BE=CM,AE=AM. .BD=BC, ∴.DE=BM. 同理可得DF=CN,AF=AN, ∠EAF=∠MMN, AB=AC,∠BAC=120°， .△EAF2△MAN(SAS), ∴.∠ABC=∠ACB=30° ..EF=NM, ,△BCD是等边三角形， ..DE+DF-EF-BM+CN+MN=6. ∴∠DBC=∠DCB=60°， ,∠D=60°，∠EFD=90°， ∴.∠ABD=∠ACD=90°， ∴.∠DEF=30°， .∠ACT=90=∠ABE. ..DE=2DF. .AB=AC,BE=CT, 设DF=x,则DE=2x,EF=√3x, ∴.△ABE≌△ACT(SAS), .3x+3x=6, ∠BAE=∠CAT,AE=AT, ∴.x=3-3, ∴·∠EAT=∠BMC=120°. .DE=2x=6-23 :∠EAF=60°， .∠TAF=60°-∠EAF. 当∠DEF=90°时，同理可得DE=3-√3. 又：AF=AF, 综上所述，线段DE的长度为3一√3或6-2√3. .△AFE≌△AFT(SAS), 第十四章相似 ..EF=TF, ..EF=CT+CF=BE+CF. 31 相似 ②△DEF的周长不变 变式训练1解：(1)证明：，DC是⊙O的切线， AB=AC=2W3,∠ABC=30°， ·∠OCD=90° .BC=2AB·cos30°=6， ∠D=30, ,八DEF的周长为EF+DE十DF=BE+ .∠BO=∠D+∠OD=30°+90°-120°. CF+DE+DF=BD+CD=2BC=12. OB=OC..∠B=∠0XB=30, (3)如图，当∠EFD=90时，延长FA交BC于 ∴.∠DCB=∠CXD+∠0XB=120°， 点M,延长EA交BC于点N. ∴∠BC=∠DCB. D ∠B=∠B,∴.△BOC∽△BCD (2)∠B=∠D=30°，∴.BC=DC=√3. 过点C作CE⊥BD于点E(图略)，则BD= 2DE.CE- :∠EAF=60°，∠BAC=120°， 在Rt△DCE中，由勾股定理，得 ∴.∠EAF+∠BAC=180°， ∴.∠BAE+∠CAF=180°. DE=VDC-CE=号BD=3, :∠CAF+∠(AM=180°， △BCD的周长为CD-BC十BD=3十2W3. ∴.∠BAE-∠CAM. 变式训练2解：，AD∥EC, ,△DBC是等边三角形， .∠ADO=∠FEGF ◆056 ,A(O⊥(OD,EF⊥PFG, ,A0=1 ∴.∠AOD=∠EFG=90°， A0十22解得A0=2 ∴.△AODO△EFG, 在Rt△A(B中，AB=V√A(+OB=√3. 器-器脚8-器40-15m 在R1△AO中，AC=AO+O=2√5， 同理可证人BOC∽八AOD, 其侧面展开图的面积为2×2√3π一1× 器-8品器品012m √3π=3√3元故选C .AB=A0-B0=15-12=3(m). 323 3 由题意，得DE=1,BC=3. 答：旗杆AB的高是3m 在Rt△ABC中，∠A=60°， 变式训练3解：(1)如图，△ABC1即为所求 则AB=BC,=3=3. (2)如图，△AgB2(C即为所求. ian A 3 伊 ,DE∥BC .△ADEC∽△ABC, 器器脚吧 解得BD=23 31 4号 ,四边形ABD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD, 能-号设AE=2a,则BE=a .AB=CD=5a. 1.C如图，过点A作横线的垂线，交点B所在 AB∥CD,∴.AEF∽ACDF, 的横线于点D,交点C所在的横线于点E, 则0架即品=2。 5膘-景-是 解得BC= 故答案为 故选(C 52当号=2时，a=2c, e BD ∴.=√2c, 号意是=， C 2.C如图，连接AO, 即g-=名=E, 6.证明：(1)'AD∥BC,∠ACF=∠DAC ,∠FAC=∠ADE,AC=AD, .△ACF≌△DAE(ASA),∴，DE=AF (2)由(1)，知△ACF2△DAE,.∠AFC= ∠DEA,.∠AFB=∠DEC 由趣意，得OB∥OC,.AOB∽八AOC, '∠ABC=∠CDE,.AMBF∽ACDE, A0=0B AOOC 器 057 ∴.AF·DE=BF·CE. DE=AF,AF=BF·CE cos∠A0B-8G0B= 7.B如图.，AB⊥BD,DFBD, 同理，0心- 2OB,.0=（ A,… .∠ABC=∠EIDC=90° 9 :∠ACB=∠DCE,.MBCn∧EDC, c-(后oA 0瓷即品品 由位似图形的横念可知，△(GOH与△AOB位 解得ED=8(m).故选B. 包且相似比为（后子 S△Aw=1, 777777777777 ∴sa-[(后)门-( aA:△DAB△DCA,8部-B费 故选C 10.解：(I),四边形BFED是平行四边形， AD=6,BC=5, .DE∥BF,即DE∥BC, 专6西-BD,解得BD=4(负值合去)， 5+BD .△ADEC△AB, .D=BD+B=9, 8- 船思鲁 AB=8, .AD=2. ∴AC=号AR (2)由(1)，知△ADE0△ABC. .'AC=AB(AB++BC), 腮= (AB)'-AB(AB-5), -(股-(”- ∴.AB=4. △ADE的面积为1， 如图，过点B作BH⊥AD于点H. .△ABC的面积为16. ,四边形BFED是平行四边形， ,EF∥AB,EF=BD, ∴，△EFC∽△ABC 由，-0=A=AD,BD=8AD, .AB=BD=4, AB月 ∴AH-号AD-3. ∴△EF℃的面积为9， .平行四边形BFED的面积为S△一 在Rt△ABH中，BH=√AB-AH SA0-S△E=16-9-1=6. √42-3=7. 11.解：标记角如图所示. .AD=3AP,AD=6,.AP=2. 当PQAB时，PQ的值最小. :∠AQP=∠AHB=90°，∠PAQ=∠BAH, 6 ∴.△APQn△ABH, 指-器星90县做选N (1)证明：在矩形ABCD中，OD=OC,AB∥ CD,∠BCD=90°， 9.C在Rt△AOB中，∠AOB=30°. ∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90 ◆058 .DE=BE, 设AE=x. ∠2=∠1. ,E是AC的中点，.AC=2AE=2x 又，BE平分∠CBD, .∠1=∠6， AD=8,AB=10,小是高 ∴∠3=∠6， 解得x=2/10或x=-2/10(舍去)， .∠6+∠5=90°， .AE=2√10. ..BF AC. 2.证明：如图，过点E作EF∥AD,交BC于点F. (2)与(OBF相似的三角形有人ECF, △BAF.理由如下： 由(1)可得∠1=∠2，∠2=∠4，.∠1=∠4. 又：∠AFB=∠BFO H ∴.△BAFC∽△OBF D F ∠1=∠3，∠EFC=∠(OFB, :E是AC边的中点，AE=EC=号AC .△ECF∽△OBF EF∥AD,∴.△ACDc∽△ECF (3)由(2)，知八ECF入OBF, ..EF_CF 0-瓷-瓷-2AD-E,DF-GR OF BF 号-器即F-2版 ,BC=3BD,∴，BD=DF=CF. ,DH∥FE,∴.△BDH∽△BFE, 在矩形ABCD中，对角线互相平分， 踪器DH=歌 ,∴.O0A=OC=OF十F(=3+FC, AD=2EF,∴.AD=4DH, ∴.301=2BF+9.① ..AH=AD-DH=3DH. △BAF∽△OBF, 3.证明：(1)，'∠ABE=∠DE,∠AEB=∠DFC, 器崇 △ABBn△DCR畏器 ∴.BF=OF·AF .AF=OA+OF=0A+3, 2器-器殿-器 ∴.BF8=3(OM-3).② 又：∠BEC=∠AED,∴△BCE∽△ADE, 联立①②，可得BF=1一√19（负值舍去）， .∠DAC=∠CBD :.DE=BE=EF+BF=2+1-19= 4解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 3+19. .CD∥BF,∠A=∠C, 12.3山题意知AB∥CD,.△ABE△CDE, ∠CDE=∠F, '.△(CDEc△AFD. 部器 (2),'四边形ABCD是平行四边形. CD-1.CD-3 0.4 '.CD∥BF,CD=AB,AD∥BC, .△BEFP△CED,△BEFP△ALDF, 微专题四相似三角形常见的经典模型 .BF_BE_1 'CD CE2' 1.解：(1)证明：：∠A=60°，∠ADE-50 ∠AED=180°-60°-50°=70° 器-号Swm=45m=4 ∠B=70°，∴.∠AED=∠B .SAF=9S△5r=9, ∠A=∠A,.△ADE△ACB .SW边为AMD=SAF一SAEr=8, 2)南，知△ADB△ACB,是怎 .S行球形一S△cED十Sa彩ED=4十8=12. 5.解：(1)证明：CA⊥AD,ED⊥AD,CBBE,