第十三章 三角形-【一本】2024年中考训练方案 数学

114 第十三章 三角形 三角形及其性质 答案 P047 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.三角形的三边 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念,了解三角形的 关系 稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理,掌握它的推论;三角形的外角等于与它不 2.三角形的内角 和与外角 相邻的两个内角的和 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 3.三角形中的重 4.了解三角形重心的概念 要线段 5.探素并证明三角形的中位线定理 明考向 考句1 三角形的三边关系 规律方法 运用三边关系主要解决的问题 1.三角形的分类 (1)判断三条线段能否组成三角形,在已知 (三边都不相等的三角形 “底边子腰长”的等腰一角形 的三条线段中,如果较短的两条线段的长度 等腰三角形 等边三角形 之和大于最长的第三条线段,那么这三条线 按角分:锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 段能组成一个三角形,否则不能组成一个三 2.三角形的三边关系:三角形的两边之和大于 角形. 第三边,两边之差小于第三边 (2)确定第三边边长的取值范围,设三角形 典例1三个数3,1-a,1-2a在数输上从左到 的两边长分别为a,b(a一b),则第三边长( 右依次排列,且以这三个数为边长能构成三 必须满足a一ca十b,由此便可确定第 角形,则a的取值范围为 三边边长的取值范围 解析 由三个数的大小关系,得3二1一a 1-2a,解得a一2.由三角形三边关系, 变式训练1已知三角形的两边长分别为5cm ( 得3+(1一a)>1一2a,解得a>-3.综上所 和8cm,则第三边的长可能是 ) A.2cr 述,-3a<-2. B.3cm C.6cm 答案 -3<<-2 D. 13cm 115 考向2 三角形的内角和与外角 续表 四线 图形 性质 1.内角和定理:三角形三个内角的和等于180 2.(1)三角形的外角等于与它不和邻的两个内 角平 角的和.如图,ACD一A十B 1-2-C 分线 AD是△ABC的角平 分线 AD-DB.AE-EC. 中位线 DE/BC且DE- (2)三角形的任意一个外角大于任何一个和 B C 它不相邻的内角. DE是△ABC的中位线 典例2一副三角尺按如图所 450 典例3如图,在△ABC中,E是 示的方式摆放,若 1一80{, 中线AD的中点,若△AEC的 ) 则2的度数是 ( 面积是1,则△ABD的面积 A.80* B.95* 是 C.100f D.110* 解析.E是AD的中点, 解析 如图,5-90{-30{- '.CE是△ACD的中线,..Sc=2Sc. $ 0”}3-1-45{*-35*, 30 .△AFC的面积是1,.'.S-2SAc-2. ..4-/3-35*, .AD是△ABC的中线,.'S-Sx=2. '. 2- 4+ 5-95。故选B 答案 2 答案 B 典例4如图,D,E分别是△ABC 变式训练2如图,点D,E分别在线段BC,AC 的边AB,AC的中点,连接 BE,过点C作CF/BE,交DE 上,连接AD,BE.若 A-35^{*}, B-2 5^$$$$ 的延长线于点F.若EF一3,则 ( C-50{,则1- ) DE的长为 解析 .D,E分别是△ABC的边AB,AC的 .CF/BE. '.四边形BCFE为平行四边形, B.700 A.60* C.75* D.85* .*.BC-EF-3. 考向3 三角形中的重要线段 图形 性质 四线 答案 BD-CD-C 中线 规律方法 三角形中位线定理中的两种关系 AD是ABC的中线 一是位置关系:三角形的中位线平行于第三 AD1BC.即/ADB 边;二是数量关系:三角形的中位线等于第 高线 三边的一半. -/ADC-90” AD是△ABC的高线 *116 过真题 A组基础题 。。。 1.[2023·湖南衡阳]下列长度的各组线段能组 C ( 成一个三角形的是 ) #### A. 1cm,2 cm,3 cm B. 3 cm,8 cm.5 cm C.4cm,5 cm,10 cm C.1 D. 4 cm,5 cm,6 cm 6. [2022·黑龙江哈尔滨]在△ABC中,AD为 2.[2021·四川乐山]如图,已知直线,,两 边BC上的高,ABC-30{*,CAD-20*},则 两和交,且2,若三50,则 3的度数 为 ~ BAC- ( A.120* B. 130* C.140* D.150* 7.[2023·四川眉山]如图,在△ABC中,AD是 中线,分别以点A,B为圆心,大于AB的长 为半径画孤,两狐交于点M.N.直线MN交 AB于点E,连接CE交AD于点F,过点L 作DG//CE,交AB于点G.若DG-2,则CF 第2题图 第3题图 的长为 3. [2022·浙江丽水]如图,在△ABC中,D,E F分别是BC,AC,AB的中点,若AB-6 BC一8,则四边形BDEF的周长是 . ) A.28 B.14 C.10 D.7 C组创新题 4.[2022·陕西副卷]如图,AD是△ABC的中 线,AB-4,AC-3.若△ACD的周长为8,则 8.【创新考法】如图1所示,将一张长为6的矩 八ABD的周长为 形纸片沿虚线折成3个矩形,其中左右两侧 距形的宽相等,若要将其用成如图2听示的 三校柱,则图中a的值可以是 __ a- B组能力题。。。 5.[2021·浙江宁波]如图,在△ABC中,B 图1 4$5*, C=60*,AD|BC于点D,BD- ③.若 图2 A.1 E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为 B.2 ) C.3 D.4 117 考点 全等三角形 答案 P048 知考情 考频 考向分布 课标要求 1.理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角 1.全等三角形的 2.掌握基本事实;两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 判定与性质 3.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 4.堂据基本事实,三边分别相等的两个三角形全等 5.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2.全等与几何 6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 变换 7.能用尺规作图;已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形:已知底 边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形. 明考向 考向1 全等三角形的判定与性质 典例1如图,在△ABC中,D是边BC上的点 (1.全等三角形的对应边相等,对应角相等 DE AC,DF AB,垂足分别为E,F,且 2.全等三角形的周长相等,面积相等 性质 DE-DF,CE-BF.求证:B-/C 3.全等三角形的对应线殿(角平分线、中线 高线,中位线)相等 sSS AS ASA AAS H (边边边)(边角边)(角边角)(角角边) 4| 证明 . DE |AC.DF|AB. ..CED-/BFD-90* 两个直 在△BDF和△CDE中, 两角分 角三角 [DF-DE, 两边及 两角及 别相等 形的舞 BFD-CED. 其夹边 且其中 三边分 其夹角 边与一 条直角 一组善 别相等 分别对 BF-CE, 应相等 角的对 边分别 .'.△BDF△CDE(SAS). 边相等 对应 相等 .B-C. -118 考高2 规律方法 全等与几何变换 1.判定两个三角形全等的思路 图形通过轴对称(翻折)、平移、旋转变换 [找夹角→SAS (1)已知两边找直角→HII.或SAS 后,得到新图形,它们是全等图形,这样的变换 找第三边→SSS 也叫全等变换 (2) 典例2如图,在△ABC中:点D在AB边上, 一边为角的对边→找另一角→AAS CB-CD,将边CA绕点C逆时针旋转到CE 已知一边 一边为角 [找夫角的另一边→SAS 的位置,使得 ECA一 DCB,连接DE交 及一角 找夹边的另一角→ASA 的邻边 AC于点F,且 B-70{,A-10* 我边的对角→AAS [找夹边→ASA (1)求证:AB-ED (3)已知两角 找其中一角的对边→AAS (2)求AFE的度数 2.证明两条线段或两个角相等的一般思路 首先看两条线段或两个角分别在哪两个三 角形中,明确证明哪两个三角形全等,需要 哪些条件,然后根据题目中的已知条件,探 解 索有助于证明这两个三角形全等的信息,最 (1)证明:.'ECA-DCB 后结合全等三角形的判定方法(AAS. . ECA十 ACD= DCB十/ACD ASA,SSS,SAS,HL)证明三角形全等,进 即/DCE- BCA. 而利用全等三角形的性质得出结论 由施转的性质,得CA一CE 变式训练1如图,已知 AOC= BOC,点P 在△BCA和△DCE中. 在OC上,PD ]OA,PE OB,垂足分别为 CB-CD, D,E.求证:△OPD△OPE. BCA- /DCE, AC-EC, '.△BCA△DCE(SAS). *.AB-ED. (2):CB-CD. .B- CDB-70{。 由(1)中结论,得 CDE= B-70 *.EDA=180*-BDE-180{$-7 0^*$ $$ 2-400 '. AFE-/EDA+/A-40*+10*-5 0 119。 过真题 4.[2022·福建]如图,点B,F,C,E在同一条百 A组 基础题 线上,BF-EC,AB=DE,B= E.求证$ 1. [2022·浙江金华]如图,AC与BD相交于点 A-D. O.OA=OD.OB=OC,不添加辅助线,判定 ( AABODCO的i依据是 D C A.sSS B.SAS C.AAS D.IIL 5.[2023·山东聊城]如图,在四边形ABCD中, 2. [2022·江苏扬州]如图,小明家仿古家具的 E是边BC上一点,且BE=CD,B 一块三角形玻璃坏了,需要重新配一块,小明 AED-/C 通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了 (1求证:/EAD- /EDA; 方便表述,将该三角形记为△ABC,提供下列 (2)若/C-60*,DE=4,求△AED的面积 各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合 要求的是 ( A.AB.BC.CA B. AB,BC. B C. AB,AC./B D. A,B,BC 3. [2022·江苏南通]如图,点B,F,C,E在一条 直线上,AB//ED,AC//FD,要使△ABC ADEF,只需添加一个条件,则这个条件可以 是 . 120 。。。 (2)若AB一a,求线段PH的长(结果用含 B组能力题 的代数式表示) 6.[2023·四川宜宾]如图,△ABC和△ADE是 以点A为直角顶点的等腰直角三角形,把 AADE以点A为旋转中心顺时针旋转,点M 为射线BD,CE的交点,若AB-③,AD-1 有以下结论:①BD=CE;②BD1CE;③当点 F在BA的延长线上时,MC-3-3 ;④在旋 2 转过程中,当线段MB最短时,八MBC的面 ( ~_ 9. [2021·浙江湖州]已知在△ACD中,P是 CD的中点,B是AD延长线上的一点,连接 BC,AP. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (1)如图1,若 /ACB=90*,CAD=60*$ 7.[2021·湖北鄂州]如图,在四边形ABDC中. BD-AC,AP-/3,求BC的长 AC=BC. ACB-90*,AD1BD于点D.若 (2)过点D作DE/AC,交AP的延长线于点 BD=2.CD=42,则线段AB 的长为 E,如图2所示.若 CAD-60*,BD-AC,求 证:BC-2AP #% 8. [2022·湖南怀化]如图,在等边三角形ABC 图1 图2 中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点 N.使CN=AM,连接MN交AC于点P MII|AC于点IL (1)求证:MP-NP; 121。 (3)如图3,若/CAD一45{*,是否存在实数m 11.【开放性试题】在①AD-AE,②/ABE 当BD=mAC时,BC-2AP?若存在,请直 /ACD,③FB=FC这三个条件中选择其中 接写出的值;若不存在,请说明理由 一个,补充在下面的问题中,并完成问题的 解答. 问题:如图,在△ABC中,ABC=ACB. 点D在AB边上(不与点A,B重合),点E 图3 在AC边上(不与点A,C重合):连接BE. CD,BE与CD相交于点F.若 求证:BE一CD.(选择个条件作答即可) C组创新题 。。。 10.【真实问题情境】如图,有一个池塘,要测池 塘两端A,B的距离,可先在平地上取一点 C.从点C不经过池塘可以直接到达点A和 点B,连接AC并延长到点D,使CD一CA 连接BC并延长到点E,使CE一CB,连接 DE,那么量出DE的长就是点A,B的距离 为什么?请结合解题过程,完成本题的 证明 证明:在DEC和ABC中. CD- CE '.ADEC/ABC(SAS). , 122 考点 等腰三角形与直角三角形 答案 P051 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.理解等腰三角形的概念,探素并证明等腰三角形的性质定理;等腰三角形的 1.等腰三角形的 性质与判定 两个底角相等:底边上的高线,中线及顶角平分线重合,探索并掌据等腰三 角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形,探索等边三角形的 性质定理:等边三角形的各角都等于60,探索等边三角形的判定定理:三个 2.等边三角形的 角都相等的三角形(或有一个角是60的等腰三角形)是等边三角形 性质与判定 2.理解直角三角形的概念,探素并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的 两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,掌握有两个角互 3.直角三角形的 余的三角形是直角三角形 性质与判定 3.探素勾股定理及其送定理,并能运月它们解决一些简单的实际问题 明考向 考向1 等腰三角形的性质与判定 作BF/AC,交AD的延长线于点F,在不添 1.两腰相等,两底角相等 加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上 的四个等腰三角形,且使写出的每个等腰三 性 的高、底边上的中线相互重合(简称 角形的顶角都等于45*. 匿1 “三线合”) 解 (1)证明:AB-AC,. B-/C 3.是轴对称图形,有一条对称轴 AB-AC, (1.有两边相等的一角形是等腰三角形 判定 在△ABD和△ACE中,B一C, 2.有两角相等的一角形是等腰三角形 面积计算公式:s-ah(a是底边长,h是底 BD-CE, ..△ABD△ACE(SAS). 边的高线) 典例1在△ABC中,AB-AC,点D,E在边BC .AD-AE. 上.BD-CE,连接AD,AE (2):AD-AE... /ADE-/AED .AED是△AEC的外角, .AED-/C十/EAC .DAC=/DAE十/EAC,/C-/DAE 图1 图2 .. AED-/DAC (1)如图1,求证:AD-AE; '/ADE-/DAC (2)如图2,当DAE-/C-45*时,过点B 同理AEB-/BAE 123。 .BF//AC,/C-45*, 四边形ABCE是矩形...AB-CE . FBD=45$$,F= DAC$ .' BDF-ADE. . F=/BDF. 二.满足条件的等腰三角形有八ABE,人ACD △DAE和八DBE ·.BPC-45*,APD-75*. '.CPD-180*-45*-75*-60。 考向2 等边三角形的性质与判定 .'CP-DP-a (1.具有等腰三角形的所有性质 2.三边相等 '八CPD是等边三角形, 性质3.三个内角都相等,日每一个角都等 *.CD-DP,/PDC-60* T60{ “./ADP-90*-75*-15*. (4.是轴对称图形,有三条对称轴 也l1 'EDC-15*+60*-75*. (1.三边都相等的三角形是等边三角形 '.EDC-APD 2.三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 在△EDC和△APD中 3.有一个角是60的等腰三角形是等 (CED-DAP-90”, 边三角形 EDC-/APD. CD-DP, 角形的边长,h是任意边的高线) ..△EDC/APD(AAS). 典例2如图,在一条宽度为线段AB的长的小 ..CE-DA 巷内,一个梯子的长为a,梯子的底端位于 *.AB-AD-c.故选D AB上的点P处.将该梯子的顶端放于巷子 答案 D 一侧墙上的点C处,点C到AB的距离BC为 规律发法 (1)等边三角形是一种特殊的等 b.梯子的倾斜角 BPC为45{*};将该梯子的顶 腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质。 端放于另一侧墙上的点D处,点D到AB的 等边三角形也是轴对称图形,并且有三条对 距离AD为c,且此时梯子的倾斜角APD 称轴. ( 为75*,则AB的长为 (2)等边三角形的判定方法的选择 0 ### ①若已知三边关系,则考虑运用等边三角形 的定义进行判定; ②若已知三角关系,则根据“三个角都相等 A.a B.b 的三角形是等边三角形”进行判定; ③若已知三角形是等腰三角形,则可再寻找 C.# # D.c 一个等于60{}的内角进行判定。 解析 如图,过点C作CE AD于点E,则047 6.2+23,DE是BC边的垂直平分线， I∠1=∠EBF+∠EFB, ..DB=DC, ∠EBF=40°=∠EFB,∴.EF=BE,故B正 ∴.∠DCB=∠B=45, 确，不符合题意，D错误，符合题意 ∴.∠ADC=∠DCB+∠B=90° ,∠2是△FCG的一个外角，∴∠FCG+ :∠A=60°，∴∠ACD=30°， ∠3=∠2，故C正确，不符合题意. 故选D. ∴在R△ACD中，AD=2AC=2 11.解：(1)证明：由题意，得∠1=∠2，∠3=∠4. 由勾股定理，得DC=√AC一AD=√-2= 'OM⊥ON, 23, .∠3+∠2=90°， ∠1+∠4=90°， ..AB=AD+DB=AD+DC=2+2V3. .∠1+∠2+∠3+∠4=180° 7.2,直尺的两边平行，∴.∠ACB=∠a=60°. :∠1+∠2+∠3+∠4+∠ABC+ ,∠A=60°，∴.△ABC是等边三角形 ∠BCD=360°， ,点B,C对应的刻度分别为1cm,3cm, .∠ABC+∠BCD=180°， ∴.BC=2cm, .AB∥CD .AB=BC=2cm,∴.线段AB的长为2cm,故 (2),∠MON=46°， 答案为2. .∠2+∠3=180°-∠M0N=134° 8.解：(1)AD∥BC ∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠B+∠BAD=180°. .∠PCB+∠PBC=360°-2（∠2+∠3）= ∠B=80°， 360°-134°×2=92°， ∴.∠BAD=100° .∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180° (2)证明：AE平分∠BAD, 92°=88° ∴∠DAE-7∠BAD=50 (3)猜想：B=2a.理由如下： ,AD∥BC '∠BPC+∠PBD=∠MON+∠4，∠4= ∴.∠AEB=∠DAE=50° ∠3=∠MON+∠2，∠1=∠2=∠PBD, '∠BCD=50°， ∴.3+∠1=a+a+∠1， ∴.∠AEB=∠BCD, .3=2a. ∴.AE∥DC 第十三章 三角形 9.C如图，由题意，得∠4=30°，b∥c, ∴.∠3=∠1=70° 考点28 三角形及其性质 ∠3=∠4+∠5， 变式训练1C,三角形的两边长分别为5cm .∠5=40°， 和8cm,,第三边的长x的取值范围为3cm< .∠2=∠5=40°.故选C x<13cm,∴.第三边的长可能是6cm. 故选C 变式训练2B:∠1=180°-（∠A+∠AEB), ∠AEB=∠B+∠C. ∴·∠1=180°-（∠A+∠B+∠C) 10.D,∠1=∠2=80°， =180°-(35°+25°+50) ∴AB∥CD,故A正确，不符合题意； =180°-110° :∠3=40°，∴.∠EFB=∠3=40°. =70°，故选B. ◆048 1.D 30°-90°=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD= 2.C如图，根据对顶角相等，得∠1=∠α=50°. 60°+20°=80°； 当△ABC为钝角三角形时，如图. B D ∠BAD=180°-∠ABC-∠ADB=180° b1⊥4， 30°-90°=60°，∠BAC=∠BAD-∠CAD= ∴∠2=90° 60°-20°=40°. :∠3是三角形的外角， 综上所述，∠BAC=80或40°. ∴.∠3=∠1+∠2=50°+90°=140°.故选C 8 3.B,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， 1.3 由作图可知MN是线段AB的垂直平 AB=6,BC=8, 分线， ∴DE=BF=AB=3, ∴.E是AB的中点，∴.CE是△ABC的中线. ,AD是△ABC的中线，且AD与CE交于点 EF-BD-BC-4, F,点F是△ABC的重心，CF=号CE .四边形BDEF的周长为2×(3十4)=14.故 DG∥CE,.△BDG∽△BCE, 选B. 4.9AD是△ABC的中线， =2,.CE=2DG=4, ..BD=CD. ,△ACD的周长为8， CF=号CB=是放答案为号 ∴.AC+CD+AD=8. 8.B由题意可知，围成的三棱柱的底面为等腰 AC=3, 三角形，且这个等腰三角形的腰长为a,底边长 ∴.BD+AD=CD+AD=5. 为6-2a. AB=4, 2a>6-2a, 由题意，得 ∴.AB+BD+AD=9, 16-2a>0, 即△ABD的周长为9. 解得<a<3. 5.C,AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90° 故选B. ∠B=45°，BD=3,∴AD=BD=√3. :∠C=60,AC=AD=5=2. 全等三角形 sin60° 2 变式训练1证明：：∠AOC=∠BOC,PD⊥ ,E,F分别为AB,BC的中点， OA,PE⊥OB,∴.PD=PE. EF=号AC-1故选C 在Rt△OPD和Rt△OPE中， OP=OP, 6.80或40°当△ABC为锐角三角形时，如图. PD=PE, '.Rt△OPD≌Rt△OPE(HL). 1.B 2.C ∠BAD=180°-∠ABC-∠ADB=180°-： 3.AB=DE(答案不唯一)，AB∥ED, 049 ∠B=∠E. ∴.∠EMB=∠DBC+∠BCM=∠DBC+ ,AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE. ∠BCA+∠ACE=45°-a+45°+a=90°， ,AB=DE,.△ABC≌△DEF(AAS).故答 .BD⊥CE,故②正确. 案为AB=DE ③当点E在BA的延长线上时，如图所示. 4.证明：，BF=EC, ∴.BF+CF=EC+CF, 即BC=EF, 在△ABC和△DEF中， AB=DE, 由②可知BDLCE,∴.∠DMC=∠EAC=90° ∠B=∠E, :∠DCM=∠ECA, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS), △DCk△ECAC-是 ∴.∠A=∠D 'AB=√3，AD=1,∴.CD=AC-AD=3- 5.解：(1)证明：，∠B+∠AEB+∠BAE=180°， 1,CE=√AE+AC=2, ∠AEB+∠AED+∠CED=18O, ∠B=∠AED,.∴∠BAE=∠CED S=5,解得MC=32 2 ,故③正确. I∠BAE=∠CED, ④如图所示，以点A为圆心，AD为半径画圆. 在△BAE和△CED中，{∠B=∠C BE=CD, ·△BAE≌△CED(AAS),.EA=DE, ∴.∠EAD=∠EDA, (2)如图，过点E作EF⊥AD于点F」 .∠BMC=90°， ∴.当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的 值最小 ,∠DMC=∠DAE=∠AEM=90°， 由(1)，知EA=ED. ∴.四边形AEMD是矩形 ,∠AED=∠C=60°， AE=AD,四边形AEMD是正方形， ∴.∠AEF=∠DEF=30 ∴.MD=AE=1. DE-4.DF-DE-2.AD=2DF-4, ,BD=EC=AC-AE=√2， EF=√DE-DF=√4-2=23， ∴.MB=BD-MD=√2-1. ∴S@m=2AD·EF=号X4X23=43 在Rt△MBC中，MC=√BC-MB= AB+AC-MB=V3+3-(2-1)2= 6.D①，△ABC和△ADE是以点A为直角顶 √2+1， 点的等腰直角三角形， ∴.BA=CA,DA=EA,∠BAC=∠DAE=90°， ∴.S80= 2MB·Mc=2×(2-1D(E+ ∴.∠BAD=∠CAE, .△BAD≌△CAE(SAS),∴.∠ABD= 1D=2,故④正确 ∠ACE,BD=CE,故①正确. 故选D. ②设∠ABD=∠ACE=a,∴·∠DBC=45°-a, 7.2/26 如图，过点C作CE⊥CD交AD于点E, ◆050 BC与AD的交点记作点F,∠ECD=90°. ..MP=NP. (2),△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC, ..AH=HQ. ,△QMP≌△CNP, ,'∠ACB=90°，∠ACB=∠ECD, ∴.QP=CP ∴.∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE, ∴PH=HQ+QP=AC. 即∠ACE=∠BCD. .AB=a,AB=AC, ∠ACB=90°，∴∠AFC+∠CAE=90° :∠AFC=∠DFB, ∴PH=2a ∴.∠DFB+∠CAE=90° 9.解：(1)，∠ACB=90°，∠CAD=60°，∴.AB= ,∠ADB=90°，∴∠DFB+∠CBD=90°， AC c0s60 6=2AC ∴.∠CAE=∠CBD. BD=AC,AD=AC,△ADC是等边三 又，'AC=BC,.△ACE≌△BCD(ASA), 角形，∠ACD=60° ..AE=BD,CE=CD. ,P是CD的中点，∴AP⊥CD. 在Rt△DCE中，CE=CD=4√2， ∴.DE=√2CD=√2X4W2=8. 在Rt△APC中，AP=3,AC=AP sin60=2, ,BD=2,∴AE=2, .BC=AC·tan60°=2√3 ,.AD=AE+DE=2+8=10. (2)证明：如图，连接BE 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB= √AD2+BD=√102+22=2W26. 8.解：(1)证明：如图所示，过点M作MQ∥BC, ,DE∥AC,∴∠CAP=∠DEP. 交AC于点Q,则∠QMP=∠N. P是CD的中点，CP=DP. I∠CAP=∠DEP, 在△CPA和△DPE中，{∠CPA=∠DPE, CP=DP, '.△CPA≌△DPE(AAS), △ABC是等边三角形，∴.∠A=∠B= :AP-EP-AE,AC-DE. ∠ACB=60° .'BD=AC,.'.BD=DE. ,MQ∥BC, 又，DE∥AC,∴.∠BDE=∠CAD=6O°， ∴△AMQ也是等边三角形， △BDE是等边三角形， ∴.AM=QM. .BD=BE,∠EBD=6O° .AM=CN, .BD=AC,..AC=BE. ∴.QM=CN. (AC=BE, 在△QMP和△CNP中， 在△CAB和△EBA中，{∠CAB=∠EBA, I∠QPM=∠CPN, AB=BA. ∠QMP=∠N, ∴.△CAB≌△EBA(SAS), QM=CN, .BC=AE,∴.BC=2AP ∴.△QMP≌△CNP(AAS), (3)存在这样的m,m=√2. 051 如图，过，点D作DE∥AC交AP的延长线于点 E,连接BE 530 等腰三角形与直角三角形 变式训练1A方法1：在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=2,BC=2√2， 由勾股定理，得AB=√AC+BC= 由(2)同理可得DE=AC,∠EDB=∠CAD= 45°，AE=2AP √22+(2√2)2=23 当BD=√2AC时，BD=√2DE. :D是AB的中点，BD=CD=2AB=5. :∠EDB=45°，作BF⊥DE于点F(图略)， 设DE=x. 则BD=√2DF,∴.DE=DF,即点E,F重合， 由勾股定理，得(W3)2-x2=(22)2一(3+ ∴.∠BED=90°，∴∠EBD=∠EDB=45°， x)2, ..BE=DE=AC. 同(2)可证，△CAB≌△EBA, 解得x= ,∴.在Rt△BED中，BE= ∴.BC=AE=2AP, BD-DE√-（'-25， ∴.存在m=√2，使得BC=2AP 1O.CA∠DCE=∠ACB CB DE=AB 方法2：Sce=AC·BC=×2×2= 11.解：选择条件① 22. 证明：“∠ABC=∠ACB,∴.AB=AC (AB=AC, D是AB的中点，Sam=2SAmc=2 在△ABE和△ACD中，∠A=∠A, 又由方法1，知CD=√3，∴.BE=√2×2÷√3= AE=AD, ∴△ABE2△ACD(SAS),.BE=CD. 2故选入 (或选择条件② 1.c 证明：，∠ABC=∠ACB, 2.D如图，设AB与x轴交于点C. ..AB=AC. I∠ABE=∠ACD, 在△ABE和△ACD中，{AB=AC, ∠A=∠A, '.△ABE≌△ACD(ASA), .'.BE=CD. OA=OB,OC⊥AB,AB=6, 或选择条件③ ∴AC-=2AB=3 证明：，∠ABC=∠ACB, ..AB=AC. 由勾股定理，得OC=√OA-AC=√⑤2-32= :FB=FC,∴.∠FBC=∠FCB,∴.∠ABC 4,.点A的坐标是(4,3). ∠FBC-∠ACB-∠FCB,即∠ABE=∠ACD. 故选D. I∠ABE=∠ACD, 3.D,(a-b)2+√2a-b-3+|c-3√2|=0， 在△ABE和△ACD中，AB=AC, (a-b)2=0, ∠A=∠A, ∴.{√2a-b-3=0, .△ABE≌△ACD(ASA),.BE=CD.) 1c-32=0, ◆052 a-b=0, a=3, .'BE=DE, ∴2a-b-3=0,解得b=3, ∴.CD=ED c-3√2=0 c=32, 7.C如图，将△AOB绕点B顺时针旋转60°得 ∴.a2+b=c2,且a=b, 到△CDB,连接OD ∴·△ABC为等腰直角三角形.故选D. 4.D根据已知可得OA=8,AB=AC=10. 在Rt△ABO中，OB=√AB-OA平= √102-82=6，∴.B(0,6).故选D. D 5.√6如图，连接BE 由旋转可知，BD=OB,∠OBD=60°，CD= OA=2, △BOD是等边三角形， ..OD=OB=1. .OD+OC=12+(W/3)2=4,CD2=22=4, ..OD:+0C=CD, :CE=3AE=1, .∠DOC=90°， .S△oB+S△c=SAc+S△D=S△mD+ ∴.AE=3,AC=4. 根据作图可知MN为AB的垂直平分线， Sm=×1x号+×1X=3 4 .'.BE=AE=3. 故选C 在Rt△ECB中，由勾股定理，得BC= 8.3-√5如图，过点A作AH⊥BC于点H. √BE-CE=2√2， ∴AB=√AC+BC=√42+(2W2)2=2√6. 由题意，得CD为Rt△ABC斜边上的中线， CD=号AB=6. BDH E C 6.解：(1)证明：BD是△ABC的角平分线， ,'△ABC是等边三角形，，AB=AC=BC= ∴·∠CBD=∠EBD. 6,∠BAC=60 DE∥BC :AH⊥BC,∴∠BAH=∠BAC=30,即 ∴∠CBD=∠EDB, ∠BAD+∠DAH=30°. ∴∠EBD=∠EDB. ∠DAE=30°，.∠BAD+∠EAC=30°， (2)CD=ED.理由如下： .∠DAH=∠EAC, .AB=AC, ∴∠C=∠ABC tan∠DAH=tan∠EAC-= 3 DE∥BC, ∴.∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, 在R△ABH中，BH=号AB=3,AH=AB· .∠ADE=∠AED, ∴.AD=AE, 血60-6×9-3…器--号 ∴.CD=BE .DH=√3，∴.BD=BH-DH=3-3. 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 故答案为3-√5. 053 9.√5或√13如图. 'G是DE的中点，∴.GH是△ECD的中 位线， ∴GH=2CD=2AD=1,GH/CD 设BE=a,则CH=EH=号CE=专BE= 2a. .∠ACB=90°，AC=BC=22, EF=AD=2,∴FH= 24-2. ∴.AB=√2AC=4. ,D为AB的中点， ,CD∥BE,.GH∥BE, .△FGH∽△FBE, ∴CD=AD=BD=2AB=2,∠ADC=90 1 又，∠ADQ=90°， a 2. ∴点C,Q,D在同一条直线上 整理，得a2-4a-4=0, 由旋转的性质，得 解得a=2十2√2或a=2-2√2（不合题意，舍 CQ=CQ=CP=1. 去)， 分两种情况： 当点Q在CD上时， 经检验，a=2十2√2是所列分式方程的解，且 在Rt△ADQ中，DQ=CD-CQ=1, 符合题意， ∴，AQ=√AD+DQ=√22+1P=√5： .BE=2+2√2 当点Q在DC的延长线上时， 11.0设水深为h尺，则芦苇长为(h+1)尺. 在Rt△ADQ中，DQ=CD+CQ=3, 根据勾股定理，得(h十1)2一h2=(10÷2)2, 解得h=12,.水深为12尺. ∴.AQ=√AD+DQ=√22+3=√13. 微专题三五大常考全等模型 综上所述，当∠ADQ=90°时，AQ的长为√5 或13. 1.证明：，AB∥DE, 10.解：(1)证明：，△ACD和△BCE均是等腰三 ∠A=∠EDF 角形，∴AD=CD,EC=EB,∠A=∠DCA 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠CBE,∴∠DCA=∠CBE, ∠A=∠EDF, .CD∥BE,∠DCE=∠BEF ∠B=∠E, .EF=AD,..EF=CD. BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(AAS), (CD=EF, ..AC=DF, 在△DCE和△FEB中，{∠DCE=∠FEB, ∴.AC-DC=DF-DC, EC=BE, 即AD=CF. ∴△DCE≌△FEB(SAS),∴.DE=FB. 2.证明：(1)在△ABO和△DCO中， (2)如图，取CE的中点H,连接GH. ∠AOB=∠DOC, ∠ABO=∠DCO, AB=DC, ∴.△ABO≌△DCO(AAS). (2)由(1)，知△ABO≌△DCO,