第十二章 线段与角、相交线与平行线-【一本】2024年中考训练方案 数学

106 第4模块 三角形 第十二章 线段与角、相交线与平行线 考点 26 线段与角 答案 P045 知考情 考向分布 考频 课标要求 1会比较线段的长短，理解线段的和、弟，以及线段中点的意义. 2学握基本事实：两点确定一条直线。 1.线段长度的 3.学握基本事实：两点之间线段最短 计算 4理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的面离. 5理解角的概念，能比较角的大小：认识度、分、秒等角的度量单位，能进行 简单的单位换算，会计算角的和、差， 6能用尺规作图：作一角等于已知角：作一个角的平分线 7理解余角、补角等概念，探索并孿握同角（或等角）的余角相等、同角（或 等角)的补角相等的性质. 2角度的计算 8理解角平分线的摄念（新增），探素并证明角平分线的性质定理：角平分线 上的点到角的两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在 角的平分线上 明考向 烤向1 线段长度的计算 解析 根据题意分两种情况： 两个基直线的基本事实：两点确定一条直线 木串实线段的基本事实：两点之间线段量短 图1 图2 线段的巾点：如图1，点3在 ①如图1，，AB=4,BC=2,.AC=AB-BC= 直线 线段AC上，且AB-BC, 图1 则点B叫做线段AC的中 2.:D是线段AC的中点，AD=2AC A B 点，即有AB=BC-2AC 图2 2×2=1 线段的和与差：如图2，在线段AC上取点 B,则有AC-AB+BC:AB-AC一BC: ②如图2，，AB=4,BC=2,.AC=AB十 BC=AC-AB BC=6.D是线段AC的中点，∴.AD= 典例1已知线段AB=4,在直线AB上作线段 BC,使得BC=2.若D是线段AC的中点，则线 合AC-2X6=8. 段AD的长为 () 综上所述，线段AD的长为1或3.故选C A.1 B.3 C.1或3D.2或3 答案C 107 解析(1)，'点O在直线AB上，且∠AOC= 规律方法 线段长度的几种计算方法 5317'28, (1)利用几何图形的直观性求两线段长度 .∠BC=180°-∠A(C=180°-53°1728= 的差； 12642'32”. (2)利用线段中点的性质求线段长； (2)'AD平分∠CAB,DE⊥AB,DC⊥AC, (3)利用分类讨论图形的多样性求线段长： ..DC=DE=3. (4)利用解方程的方法求线段长. BD=5,∴，BE=√BD-DE=√-3=4 答案 (1)12642'32(2)4 考向2 角度的计算 度、分，秒的换算：1°=60,1'=60 规律方法 (1)解有关两角互余、互补的题 定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角 目时，抓住两角互余、互补的关系式是解决 余角 互为余角，简称互余 这类问题的关键， 性质：同角（或等角）的余角相等 若a,3互余，则x十3=90°或B=90°一x: (定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个 若a,8互补，则a十B=180°或8=180°-a 补角 角互为补布，简称互补 角 (2)已知一个角，可以直接计算出这个角的 性质：同角（或等角）的补角相等 角 定义：如图，OP是∠AOB的平分线，则 余角和补角：已知一个角的余角和它的补角 分 有∠AOP=∠OP=2∠A0B 之间的关系，可以设未知数列方程解答， (3)双角平分线模型 性质：角的平分线上的点到角的两边的 布平分线 如图，已知∠AOB,作射线O,OD,OE,使 距离相等 OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则 逆定理：角的内部到角 的两边的距离相等 ∠DOE= ∠AOB. 的点在角的平分线上 典例2(1)如图，点(O在直线AB上，∠A(OC= 5317'28”,则∠B0℃的度数是 (OC在∠AOB内部) (OC在∠AOB外郎) (2)如图，在△ABC巾，∠C=90°，AD平分 变式训练1如图，将两个三角尺的直角顶点重 ∠CAB,DE⊥AB于点E.若CD=3,BD=5, 合.若∠AOD=108°，则∠COB= 则BE的长为 ◆108 过真题 5.[2023·湖北十堰]一副二角尺按如图所示的 、·。A组基础题。。 方式放置，点A在DE上，点F在BC上.若 1.[2021·浙江台州门小光准备从A地去往B地 ∠EAB=35°，则∠DFC= 打开导航，显示两地之问的距离为37.7km ·。B组能力题·。 但导航提供的三条可选路线长却分别为 45km,50km,51km(如图).能斛释这一现 6.[2022·河北]如图，在平面内将长度分别为 1,5,1,1,d的线段首尾顺次相接组成凸五边 象的数学知识是 形，则d可能是 () 37.7km 5 A.1 B.2 C.7 D.8 7.[2021·黑龙江大庆]如图，3条直线 常规路线红绿灯少，收费多方案三 56 min 59 min 59 min 两两相交最多有3个交点，4条直线 45 km 50km 51 km 两两相交最多有6个交点，按照这样 A.两点之间线段最短 的规律，则20条直线两两相交最多 B.垂线段最短 有」 个交点. C.三角形两边之和大于第三边 D.两点确定一条直线 2.[2023·河北]淇洪一家要到命圣地西柏坡 参观.如图，西柏坡位于祺淇家南偏西70°的 方向，则淇淇家位于西柏坡的 C组创新题 北 8.【创新考法】如图，已知四条线段a,b,c,d中 淇淇家 的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线 70° 上，请借助直尺判断该线段是 () 西杭坡 挡板 A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向 C.北偏西20方向 D.北偏东70°方向 3.[2021·内蒙古兴安盟]741930' 4.[2023·湖南岳阳]如图，①在OA,OB上分别 A.a B.b C.c D.d 截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以点 9.【创新考法】如图，数轴上O,A两点之间的距 D,E为圆心，以大于号DE的长为半径画狐， 离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳 动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从 两弧在∠A(OB内交于点C;③作射线(O.若 点A1跳动到AO的中点A2处，第3次从A ∠A()B=60°，则∠A(OC= 点跳动到AO的中点A:处.点P按照这样 D 的规律继续跳动到点A:,A,Ag,…,Am（n≥ 3,n是整数)处，那么线段AAn的长度为 第4题图 第5题图 109 考点 27 相交线与平行线 答案1P046 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.与对顶角、内 1理解对顶角的摄念，探索并掌握对顶角相等的性质. 2理解垂线、垂线段等概念，能州三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. 错角、同位 3理解线段垂直平分线的概念，探案并证明线段垂直平分线的性质定理：线段 角、同旁内角 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段芮端距离相等的点 相关的计算 在线段的垂直平分线上」 4,能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线， 5掌握基本事实：在同一平面内（新增），过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2与线段的垂直 6理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离 平分线相关的 7识别同位角、内错角、同旁内角。 8理解平行线概念. 计算 9掌握平行线基本事实1，Ⅱ. 10深索并证明平行线的判定定理 11掌握平行线的性质定理I,探素并证明平行线的性质定理Ⅱ。 3.平行线的判定 12能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 13能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线（新增）. 与性质 14.了解平行于同一条直线的两条直线平行， 15通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义 16结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念， 会识别两个五逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立， 4.命题 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判新一个命题是错误的， 18通过实例体会反证法的含义. 明考向 与对顶角、内错角、同位角、同旁 考向1 内角相关的计算 典例1如图，AB与CD相交于点O,OE是 共 举例：对顶角有∠1与∠3，∠2与∠4 ∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB,则 对顶角 顿 性质：对顶角相等 ∠AOD= 度 点 举例：邻补角有∠2与∠3，∠3与∠4， E 的邻补角 ∠4与∠1∠1与∠2 角 性质：邻补角互补 A /O B 相交线 同位角：/1与/5，/2与/6，/3与 D (如图) ∠7，∠4与∠8 解析，OE平分∠AOC,O:平分∠EOB 内错角：∠2与∠8， 46 .∠AOE-∠COE,∠COE=∠BOC, 线八角 32 ∠3与∠⑤ ∴.∠AOE-∠COE-∠BOC 815 同旁内角：∠2 76 ,'∠AOE+∠COE+∠B(C=180°， 与∠5，/3与/8 .∠BOC=60°， ◆110 ∴.∠AOD=∠BOC=60°. 解析：DE垂直平分BC, 答案60 ..DB=DC, 规律方法 ∴.CAM即=AB+AD+BD=AB+AD+DC= 在角的计算中，要注意角的和、 AB+AC=12, 差，倍、分关系，找出要求的角与已知角的关 .△ABD的周长是12. 系式，从而求出角.当题中给出比值关系时， 答案12 常常设未知量，利用方程思想解决几何 者向3 平行线的判定与性质 问题 公理：经过直线外一点，有口只有一条 直线与已知直线平行 变式训川练1如图，与∠1是内错角的是( 推论：果两条直线与第三条直线平行， 平行公理 那么这两条直线也立科相半行 及推论 注：①在同·平面内，垂直于同条直线 平 的两条直线平行：两条平行线间的 距离处处相等 A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 同位角相等三两直线平行 青向2 与线段的垂直平分线相关的计算、 性质和 判定 2内情角担授两直线平行 1.垂线 判定 3同旁内角互补在暖两宜线平行 在同一平面内，过一点有且贝有一条直线 典例3如图，AB∥CD,EF⊥CD于点F.若 与已知直线亚直 性质 ∠BEF=150°，则∠ABE= () 连接直线外一点与直线上各点的所有线 垂线 A 段中，垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂 E 线段长度 FD 2.线段垂直平分线 A30 B.40° 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端 C.50° D.60° 线段垂直 的亞离相等 解析方法1：知图1，过点E作EG∥AB. 平分线 逆定理：到线段两端距高相等的点在线段 的垂直平分线上 --G 典例2如图，在△ABC中，AB=5,AC=7,直线 DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D, FD 图1 则△ABD的周长是 ,AB∥CD, GE∥CD, .∠GEF+∠EFD=180. ,EF⊥CD, 111 .∠EFD=90°， 考向4 命题 .∴∠GEF=180°-∠EFD=90° 1.命题 ,∠BEF=∠BEG+∠GEF=150°， 命题：判断一件事情的语句 .∠BEG=∠BEF-∠GEF=60°. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的 .GE∥AB, 命题 ∴.∠ABE=∠BEG=60° 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立 方法2：如图2，延长BE交CD于点II. 的命题 A 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题 设是另·个命题的结论，而这个命题的结论 E 是另个命题的题设，挪么这两个命题叫做 HFD 互逆命题. 图2 ,EF⊥CD, 2.定理 正确性经过推理证实得到的真命题 .∠EFH=90°. 典例4下列命题是假命题的是 () .∠BEF=150, A.任意一个二角形中，三角形两边的差小于 .∠EHF=∠BEF-∠EFH=60°. 第三边 .AB∥CD B.三角形的中位线平行于三角形的第三边， ∴∠ABE=∠EHF=6O°. 并且等于第三边的一一半 答素D C.如果一个角的两边分别平行于另一个角的 规律方法 解答“拐角”型问题的方法 两边，那么这两个角定相等 方法1：经过“拐，点”作平行线，建主已知角 D.··组对边平行且相等的四边形是平行四 与未知角的联系，化“未知”为“已知” 边形 解析如果一个角的两边分别平行于另一个 方法2：延长“拐角”的一边，构造三角形，利 角的两边，那么这两个角相等或互补，故选项 用三角形的外角的性质解决问题。 C是假命题，符合题意：选项A,B,D是真命 题，不符合题意.故选C 变式训练2如图，直线AB∥CD,AE⊥CE于点 答案C E.若∠EAB=120°，则∠ECD的度数是 变式训练3能说明命题“若x为无理数，则x 也是尤理数”是假命题的反例是 () A.x=√2-1 B.x=√/2+1 A.120 B.100 C.x=3√2 C.150° D.160 D.x=√3-√2 ◆112 过真题 ·。A组基础题·· 方案Ⅱ GE一B A 1.[2023·山东临沂]在同一平面内，过直线1外 F D 一点P作1的垂线m,再过点P作n的垂线 H n,则直线l与n的位置关系是 () ①作一直线GH,交AB,CD于点E,F; ②测量∠AEII和∠CFG的大小： A.相交 B.相交且垂直 ③计算180°-∠AEH-∠CFG即可. C.平行 D.不能确定 对于方案I,Ⅱ，下列说法止确的是() 2.[2022·湖南娄底]一杆种在称物时的状态如 A.方案T可行，方案Ⅱ不可行 图所示，已知∠1=80°，则∠2= B.方案I不可行，方案Ⅱ可行 C.方案I,Ⅱ都可行 D.方案I,Ⅱ都不可行 5.[2022·江苏无锡]下列命题巾，是真命题的 A.20 B.80° C.100° D.120 有 () 3.[2023·四川宜宾]如图，AB∥CD,且∠A ①对角线相等且互相平分的四边形是矩形； 40°，∠D=24°，则∠E等于 () ②对角线互相垂直的四边形是菱形； B ③四边相等的四边形是正方形： ④四边相等的四边形是菱形 D A.①② B.①④ C.②③D.③④ 6.[2021·辽宁锦州]如图，在△ABC中，AC= A.40 B.32° C.24° D.16 4,∠A=60°，∠B=45°，BC边的垂直平分线 4.[2022·河北]现要求作业纸上两相交直线 DE交AB于点D,连接CD,则AB的长为 AB,CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作 业纸内，所以尤法直接测量.两同学提供了如 图所示的间接测量方案： 方案I M 第6题网 第？题图 C 7.[2023·江西]将含30°角的直角三角尺和直 ①作直线GI,交AB,CD于点E,F: 尺按如图所示的方式放置，已知∠α-60°，点 ②利用尺规作∠HEN=∠CFG; B,C对应的刻度分别为1cm,3cm,则线段 ③测量∠AM的大小即可. AB的长为 cm. 113 8.[2022·湖北武汉]如图，在四边形ABCD中， ·。C组创新题·· AD∥BC,∠B=80°， (1)求∠BAD的度数 11.【真实问题情境】【生活常识】射到平面镜上的 (2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD= 光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线》 50°.求证：AE∥DC 与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面 镜，若人射光线AO与水平镜面的夹角为∠1， 反射光线()B与水平镜面的夹角为∠2， 则∠1=∠2. 【应用探究】有两块平面镜OM,ON,入射光线 AB经过两次反射后，得到反射光线CD (1)如图2，若(OM⊥(N,试证明AB∥CD: (2)如图3，光线AB与CD相交于点P,若 ∠MON=46°，求∠BPC的度数： (3)图4，光线AB与CD所在的直 线相交于点P,∠MON=a,∠BPC= B,试猜想α与B之间满足的数量关 系，并说明理由。 M ·。B组能力题·· B 3 人射光线 9.[2023·湖北宜昌]如图，小颖按如下方式操作 反射光线 62 261 直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a, M 0 b,c.如果∠1=70°，那么∠2的度数为( ) 图1 图2 A.110° B.70° C.40° D.30 M A B P D2. D 463 B N 第9题图 第10题图 图3 图4 10.[2021·贵州铜仁]直线AB,BC,CD,EG如图 所示，∠1=∠2=80°，∠3=40°，则下列结论 错误的是 ( AAB∥CD B.∠EBF=40 C.∠FCG+∠3=∠2D.EF>BE045 a=-6=2a=- x=一4， 3 物线的解新式为y=一号- y=0 y10 3x2. (2)①当点D在x轴上方时，如图1，记BD与 D(-4,-9》 AC的交点为点E, : ,∠ABD=∠BAC,∴.AE=BE 5am==×49-9 33 ,直线x=一1垂友平分AB, : SADOP= 2 3 ,点E在直线x=一1上 ,点A(-3,0),C(0,2), 点P在y轴左侧的抛物线上，设点P的 直钱AC的解新式为y=号一2 坐标为(m,-号m-专m+2om<0. 过点P作y轴的平行线，交直线BD于点F 当x=一1时，y=3: 4 (图略)， 点E的坐标为（一1，专） ,点A(一3,0)和点B关于直线x=一1 ..PF= 对称， 号m-m+2-(号m号) .点B的坐标为(1,0)， .直线BE的解析式为y=一 +号，即直 2 5am=Pp(aa-x)=号X号e 2 线！的解析式为y=一 3· 2m一号引X5=10,m=-5或m=2(含去) 或m=一1或m=一2，.点P的坐标为(-5， -8)线{-1,8)或(-2,2). 第十二章线段与角、相交线与平行线 图1 图2 房岩钱段与角 ②当点D在x轴下方时，如图2.∠ABD= ∠BAC,∴.BD∥AG.由①，知直线AC的解析 变式训练172°∠C()D=90°，∠A(OB= 90°，∠AOD=108°， 或为y=号x+2直线BD的解折式为y .∠A(=∠A(0D-∠C)D=108°-90°=18°， 号一号即直线1的解折式为y=号一号 .∠(0B=∠AOB-∠AO=90°-18=72° 1.A 综上，直线{的解析式为y=一 +号或y 2 2.D 3.74.32530”÷60=0.5', 号红 19-0.5=19.5, (3)由(2，知直线BD的解折式为)y一号。一号 19.5÷60=0.325°， 74°+0.325=74.325 抛物线的解祈式为三号 3x2, 4.30由作图方法可知，(O℃是∠AOB的平分线， 22 y=3x-3 ∴∠A0C-号∠A0B=号X60°=30 联立 3x2 2 5.100如图，根据直角三角尺的件质， y=- 3x+2, 得∠DFE=45°，∠E=∠B=90. ◆046 :∠1=∠2，∴∠EΛB=∠BFE=35°， ∴.∠DFC=180°-35-45°=100°. 考点27 相交线与平行线 D 变式训练1C根据内错角的定义知∠1的内 错角是∠4.战选C 变式训练2C如图，延长AF,交DC的延长线 于点F 6.0在平面内将长度分别为1,5,1,1，d的线 段首尾顺次相接组成凸五边形， .1-d+1+1>5月1+5-1+1>d, D ∴.d的取值范围为2<d<8, :AB∥CD,·∠EAB+∠AFC=180° .d可能是7. :∠EAB=120°，.∠AFC=60° 故选C AE⊥CE,.∠AEC=90° 7.190中题意可得，3条直线两两相交最多有 又：∠AEC=∠AFC+∠ECF, (1十2)个交点，4条直线两两相交最多有 ,∠FCF=∠AFC-∠AFC=30°， (1十2一3)个交点，则5条直线两两相交最多有 .∠ECD=180°-30°=150°.故选C (1十2十3十)个交点…n条直线两两相交最多 变式训练3C 右1+2+3+…+(m一1)=m(个交点.当 1.C 2 2.C如图. n=20时，n。1D=20×(20-12=190,故20 条直线两两相交最多有190个交点， 8.A利用直尺画出图形如下： 由平行线的性质，得∠3=∠1=80° 挡板 .∠2+∠3=180°， .∠2=180°-80°=100°.故选C 3.DAB∥CD,.∠ACD=∠A=40°. bc :∠ACD=∠D+∠E,∠D=24°， 可以看出线段a与m在一条直线上.故选A .∠E=40°-24°=16°.故选D 1 9.4一2因为数轴上0，A两点之间的距离为 4.C方案⊥，，'∠HEN=∠CFG,'.MN∥CD. 根据“两直线平行，内错角相等”可知，直线AB, 4,所以动点P从点A出发，第1次跳动到AO CD所夹锐角与∠AEM州等，故方案I可行 的中点A处时，A0=2×1, 方案Ⅱ.根据三角形内角和定理可知，直线 第2次从点A跳动到A,O的巾点A:处时， AB,CD所夹锐角与180°-∠AEH一∠CFG A0-(2)'×4. 相等，故方案Ⅱ可行.枚选C. 5.B对角线相等且互相平分的四边形是矩形， 同理可知，第次从点A,跳动到A。1O的中 故①为真命题： 点A,处时，A,0=()”×4, 对角线生相垂直的四边形不一定是菱形，故② 为假命题： 所以A4,=A0-A.0=4-（2）”×4= 四边相等的四边形是菱形，故③为假命题， ④为真命题. 4-202 故选B. 047 6.2+23:DE是BC边的垂直平分线， '∠1=∠EBF+∠EFB, ∴.DB=DC ·∠EBF=40°=∠EFB,∴.EF=BE,枚B正 ∴.∠DCB=∠B=45, 确，不符合题意，D错误，符合题意； .∠ADC=∠DB+∠B=90°. ∠2是△FCC的一个外角，∠FCC+ :∠A=60°，∠ACD=30°， ∠3=∠2，故C正确，不符合题意. 故选ID. ∴在R△ACD中，AD-AC-2. 11.解：(1)证明：由题意，得∠1=∠2，∠3=∠4. 由勾股定理，得DC=√AC一AD=√华-2= ,'OM⊥ON, 23, .∠3+∠2=90， .∠1+∠4=90°， ..AB=AD+DB=AD+DC=2-23. .∠1+∠2+∠3+∠4=180°. 7.2:直尺的两边平行，.∠ACB=∠a=60 ,∠1+∠2+∠3+∠4+∠ABC+ :∠A=60°，∴△ABC是等边三角形. ∠BCD=360°， 点B,C对应的刻度分别为1cm,3cm, ∴.∠ABC+∠BCD=180°， ∴.BC=2cm, .AB∥CD .AB=BC=2cm,.线段AB的长为2cm.故 (2)∠MON=46°， 答案为2. ,∠2+∠3=180°-∠M0N=134°. 8.解：(1)AD∥BC, ∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠B+∠BAD=180 .∠PCB十∠PBC=360°-2（∠2+∠3）= ,∠B=80°， 360°-134°×2=92°， .∠BAD=100° .∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180°- (2)证明：AE平分∠BAD, 92=88. ∴∠DAE=合∠BAD=0 (3)猜想：3=2a.理由如下： AD∥BC :∠BPC+∠PBD=∠MON+∠4，∠4= .∠AEB=∠DAE=50 ∠3=∠MON+∠2，∠1=∠2=∠PBLD, :∠BCD=50, .3+∠1=a十a+∠1， ∴∠AFB=∠BCD, ,f=2a .AE∥DC 第十三章 三角形 9.C如图，由题意，得∠1=30°，b∥c, .∠3=∠1=70° 28 三角形及其性质 :∠3=∠4+∠5， 变式训练1C,三角形的两边长分别为5cm .∠5=40°， 和8cm,.第二边的长x的取值范围为3cm< ∴∠2=∠5=40°，故选C x<13cm,.第三边的长可能是6cm 故选C 变式训练2B,∠1=180°-（∠A十∠AEB), ∠AEB=∠B+∠C .∠1=180°-（∠A十∠B+∠C) 10.D,∠1=∠2=80°， =180°-(35°+25+50) .AB∥CD,故A正确，不符合题意； =180°-110° ,∠3=40°，.∠EFB=∠3=40 =70°.故选B.