第十一章 二次函数-【一本】2024年中考训练方案 数学

089 第十一章 二次函数 点 23 二次函数的图象与性质 答案1P036 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.一次函数的图条与 康束 性质 会画一次函数的图象，通过图象了解一次函数的性质，知道一次函数 2二次函数的图象与 系数与图象形状和对称轴的关系。 染染泉 a,b,c的关系 明考向 考向1 二次函数的图象与性质 (2)顶点式：y=a(x一h)十k; 1.二次函数y=ux2十bx十c(a≠0)的图象与 (3)交点式（与x轴）：y=a(x-x)(x一x2). 3.二次函数图象的平移规律 性质 上加下减，左加右减. 二次项 a>0 典例1(1)已知抛物线y=(x-2)2十1，下列结 a<0 系数 论错误的是 () 开可 向上 向下 A.抛物线开口向上 方向 B.抛物线的对称轴为直线x=2 顶点 C.抛物线的顶点坐标为(2,1) 坐标 D.当x<2时，y随x的增大而增大 品时随 当x< 品时，盾王 (2)二次函数y=ax2十bx十1与一次函数y= x的增大而减小：当 的增大而增大；当x 2ax十b在同一平面直角坐标系中的图象可能 增减性 是 ) I>- 时y面 会时，y随x的 的增大而增大 增大而减小 当x=一 2a 时，%e= 当x=一 时 最值 4ac-分 Aac-b Aa 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx十c(a≠0，a,b,c为常 数)； 090 解析(1)，a=1>0, 房向2二次函数的图象与Q,b,c的关系、 抛物线开口向上，故A选项不符合题意： 1.二次函数y=ax8十bx十c(a≠0)的图象与系 ,抛物线的对称轴为直线x=2,故B选项不 数的关系 符合题意； 作用 说明 ,抛物线的顶点坐标为(2,1)，故C选项不符 合题意； 决定抛物线的 a>0 开口向上 当x<2时，y随x的增大而减小，故D进 4 开口方向 a<0 开口向下 项符合题意 故选D. 与y轴的交 c>0 点在工轴 (2),二次函数y=ax2+bx+1图象的对称 上方 轴为直线x= 会一次函数y=2ax十6的 决定抱物线与 y轴的交点的 抛物线过 c=0 图象与x轴的交点为（一品0， 位置，交点坐 原点 标为(0c2 .一次函数的图象与二次函数图象的对称轴 与y轴的交 的交点在x轴上，故选项A正确 c<0 点在x轴 故选A. 下方 答案(1)D(2)A 对称轴在y ah0 规律方法 轴左侧 多种函数图象的识别，一般先确 决定对称轴的 定其中一种函数的图象（如一次函数、反比 6 位置，对称轴为 对称轴在y 2a ab0 例函数)，再根据函数图象得到该函数解析 直线x=-6 轴右侧 式中字母的特点，最后结合二次函数图象的 对称轴是 b=0 开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选 y轴 项进行逐一分析，得出结论 与x轴有 -4ac>0 两个交点 变式训练1抛物线的函数解析式为y=3(x 决定抛物线与 2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度，将 与x轴有 -1acx轴交点的一ac=0 一个交点 y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新 个数 的平面直角坐标系中的函数解析式为() 与x轴没有 -4a<0 A.y=3(x+1)2+3 交点 B.y=3(x-5)2+3 对于抛物线的对称轴，当α，b同号时在y轴 C.y=3(x-5)2-1 左侧，当a,b异号时在y轴右侧.这个规律可 D.y=3(x+1)2-1 简记为“左同h异” 091◆ 2.借助二次函数的图象判断特殊形式的代数式 0),.关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0 的符号 (a≠0)的两根分别为一3和1，故③正确： 代数式 方法 ④，对称轴为直线x=一1，且开口向上，∴.离 对称轴越近，y值越小.点（一4，），（一2， 2a+十b 总与1此校 y2),(3,y)均在二次函数图象上，y<y1< 2a-b 会与-1比较 为，故④不正确：⑤，当x=一1时，y取得最 a十b+c 当x=1时，看其纵坐标 小值，∴.a-b十c≤am2+bm十c(m为任意实 a-b+c 当x=一1时，看其纵坐标 数)，a一b≤m(am十b),故⑤不正确.故正 Au+26+c 当x=2时，看其纵坐标 确的结论有①②③，共3个.故选C Au-2b+c 当x=一2时，看其纵坐标 答案C 典例2如图，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)图 规律方法 利用函数图象解决与系数有关 象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0)， 问题的一般方法 对称轴为直线x=一1，结合图象给出下列 (1)先把需要判断的结论进行归类：可归成 结论： 由图象直接推断和无法由图象直接推断 ①a十b+c=0; 两类； ②a-2b+c<0; (2)寻求可直接推断出结论对应的图象信 ③关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 息，如a,b,c的正负性、△=b2一ac与0的 (a≠0)的两根分别为一3和1： 关系、增减性、最值与0的关系、对称性、某 ④若点（一4,1），（一2，y2),(3,)均在二次 些，点的纵坐标表示成关于a,b,c的关系式 函数图象上，则y<y2<y3: 与0的关系； ⑤a一b<m(am十b)(m为任意实数). (3)对于无法由图象直接推断出的结论， 其中正确的结论有 般由对称轴或条件中点的坐标或一些特殊 X=- 点的坐标代入相应的等式后，经过一系列变 形再进行推斯 变式训练2在平面直角坐标系中，已知二次函 数y=ax2十hx十c(a≠0)的图象如图所示，有 A1个 B.2个C.3个 D.4个 下列5个结论：①abc>0;②2a-b=0;③9u+ 解析①：'二次函数y=a.x2十b.x十c(a≠0) 3b+c>0;④b3>4ac:⑤a+c<b. 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1， 其中正确的结论有 0),a十b十c=0,故①正确：②，抛物线的 对称轴为直线工=一会-16=2弘“抛 物线开口向上，与y轴交于负半轴，.a>0, c0,.a一2b十c=c一3a<0,故②正确；③由 对称性得抛物线与x轴的另一交点为（一3， A.1个 B.2个C.3个D.4个 092 过真题 5.[2023·上海]一个二次函数y=ax2+bx十c ·。A组基础题。。 图象的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左 1.[2023·广西]将抛物线y=x2先向右平移3 侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解 个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 析式可以是 .(写出一个即可) 的抛物线是 ( 6.[2022·黑龙江牡丹江]如图，已知抛物线y A.y=(x-3)2+4 B.y=(x+3)2+4 一x+bx十c与x轴交于A(-1,0),B(3,0) C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)3-4 两点，与y轴交于点C,顶点为D. 2.[2023·辽宁大连]已知抛物线y-x2-2x- (1)求该抛物线的解析式。 1,则当0≤x≤3时，函数的最大值为() (2)连接BC,CD,BD.若P是BD的中点，连 A.-2 B.-1 C.0 D.2 接CP,则线段CP的长是 3.[2023·四川成都]如图，二次函数y=a.x2十 注：抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的对称轴是 x一6的图象与x轴交于A(一3,0)，B两点， 直线x=一 下列说法正确的是 () 顶点坐标是(-会，a。)。 A.抛物线的对称轴为直线x=1 R抛物线的顶点坐标为（一2一6】 C.A,B两点之间的距离为5 D.当<一1时，y随x的增大而增大 4.[2022·湖南株洲]已知二次函数y=a.x2+ bx一c(a≠0)，其中b>0,c>0,则该函数的图 象可能为 ( 093 7.[2021·安徽]已知抛物线y=ax2一2x+ A.s<-1 B.s<0 1(a≠0)的对称轴为直线x=1. C.0<s1 D.-1<s<0 (1)求a的值. 11.[2023·湖北武汉]抛物线y= (2)若点M(,y),N(x,y)都在此抛物线 ax2十bx十c(a,b,c是常数，c<0) 上，且一1<x1<0,1<x2<2.比较y1与y2的 经过(1,1)，(m,0),(n,0)三点，且 大小，并说明理由 n≥3.有下列四个结论：①b<0;②4ac一b< (3)若直线y=m(m>0)与抛物线y=ax2- 4a;③当n=3时，若点(2，t)在该抛物线上， 2x十1交于点A,B,与抛物线y=3(x-1)2 则>1；④若关于x的一元二次方程ax2十 交于点C,D,求线段AB与线段CD的长度 bx十c=x有两个相等的实数根，则0<m≤ 之比 号其中正确的是 ,(填序号) 12.[2023·浙江绍兴]已知二次函数y=一x2十 bx+c. (1)当6=4，c=3时， ①求该函数图象的顶点坐标： ②当一1≤x≤3时，求y的取值范围。 (2)当≤0时，y的最大值为2：当x>0时， y的最大值为3，求二次函数的解析式。 ··。B组能力题·· 8.[2022·广西贺州]已知二次函数y= 2x2一4x一1，当0≤x≤a时，y取得的 最大值为15，则a的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 9.[2022·四川南充]已知点M(x,y),N(x2, y)在抛物线y-mx一2mx十n(m≠0)上， 当x1十x2>4且x1<x2时，都有y1<y2,则m 的取值范围为 A.0m≤2 B.-2m<0 C.n>2 D.m<-2 10.[2023·湖南岳阳]若一个点的坐标满足(k, 2k),则我们将这样的点定义为“倍值点”.若 关于x的二次函数y=(t十1)x2+(t十2)x十s (s,t为常数，t≠一1)总有两个不同的“倍值 点”，则s的取位范周是 ) ◆094 13.[2021·北京在平面直角坐标系xOy中，点 15.【创新考法】如图，“爱心”图案是由抛物线 (1,m)和点(3，n)在抛物线y=ax2+bx y=一x2十k的一部分及其关于直线y=x (a>0)上. 的对称图形组成，点A,B是“爱心”图案与 (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴. 其对称轴的两个交点，点C,D,E,F是图案与 (2)已知点(-1，y1),(2,y2),(4,y3)在该抛 坐标轴的交，点，且点C的坐标为（一√6,0） 物线上.若m<0,比较y1,y2,y的大小，并 (1)求的值及DF的长； 说明理由 (2)求AB的长. ··C组创新题·· 14.【创新考法】新定义：在平面直角坐标系中， 对于点P(n,n)和点P'(,n'),若满足n≥ 0时，n'=n一4；m<0时，n=一n,则称点 P(m,n)是点P(m,n)的限变点.例如：点 P(2,5)的限变点是P'(2,1),点P(-2, 3)的限变点是P:'(-2,一3).若点P(m,n) 在二次函数y=一x2十4：x十2的图象上.，则 当一1≤m≤3时，其限变点P'的纵坐标n'的 取值范围是 ( A.-2≤n√≤2 B.1≤n≤3 C.1≤n≤2 D.-2n'≤3 095 考点 24 二次函数与方程、不等式之间的关系 答案1P039 知考情 考向分布 考频 课标要求 1二次函数与方程 康染 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象 2二次函数与一元二次不 求一元二次方程的近似解。 最绿业 等式之间的关系 明考向 考句个 二次函数与方程 二次函数与一元二次方程之间的关系 (1)在二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)中， 当y=0时，x的取值就是一元二次方程ax2+ bx十c=0(a≠0)的解，即y=ax2十bx十c(a≠0) A或-3 B-或-3 的图象与x轴交点的横坐标就是·元二次方程 c或-3 n.或-3 ax2十bx十c=0(a≠0)的实数根. 抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与x轴交点的个 解析二次函数的解析式为y=一x2十2x十 3=-(x-1)2+4, 数由b一4cac的符号来确定. ∴.抛物线y=一x2十2x十3的顶点坐标为(1,4) (2)一元二次方程ax2+bx十c=k(a≠0)的解就 当y=0时，即一x2+2x十3=0， 是直线y=k与抛物线y=ax2+b.x十c(a≠0)的 解得x1=一1，x2=3, 交点的横坐标 .抛物线y=一x2十2x十3与x轴的交，点为 (3)直线y=mx十n与抛物线y=ax2十hr十c(a≠ A(一1,0)，B(3,0),如图所示. y=x十n, 0)的交点坐标就是方程组 的解 把抛物线y=一x2十2x十3在x轴上方的部 y=ax+bx+c 分沿x轴翻折到x轴下方， 典例1将二次函数y=一x2+2x+3的图象在 则翻折部分的抛物线解析式为y=(x一1)2 x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数 4(-1≤x3), 的图象如图所示.当直线y=x十b与新函数 .顶点坐标为M(1,一4). 的图象恰有3个公共点时，b的值为() 如图，当直线y=x十b过点B时， 096 直线y=x十b与该新函数的图象恰有3个公 典例2已知抛物线y=ax2十bx十c上的部分点 共点， 的横坐标x与纵坐标y的对应伯如表所示： .3十b=0,解得b=一3. 当直线y=x十b与抛物线y=(x一1)2一4 (一1≤x≤3)相切时， 直线y=x十b与该新函数的图象拾有3个公 以下结论止确的是 共点， A抛物线y=ax2十bx十c的开口向下 即(x一1)2一4=x十b有两个相等的实数根， B.当x<3时，y随x的增大而增大 整理，得x2-3x一b一3=0，∴△=（一3)2 C.方程ax2+bx+c=0的根为0和2 1(一b-3)=0,解得b=- 4 D.当y>0时，x的取值范同是0<x<2 综上，6的值为-3或一头故选A 解析将(-1,3)，(0,0)，(1，一1)代入y= ax2+bx十c, 3=a-b+c, =x+ 得0=c, -1=a十b十c, a=1, 解得b=一2， 答案A c=0, 二次函数与一元二次不等式之间 .y=x2-2x=(x-1)2-1. 考向2 的关系 ,a=1, a.x3+bx+c>0(a≠0)或ax2+ y=ax2+bx+c(a≠0) ∴抛物线开口向上，故A错误，不符合题意. bx十c<0(a≠0) ",图象的对称轴为直线x=1,且开口向上， ax十x十c>0(a≠0)的解集 x>I时，y随x的增大而增大，故B错误， 是x<或T> 不符合题意。 ”y=x2-2x=x(x-2), ax十r十c<0(a≠0)的解集 ∴.当x=0或x=2时，y=0,故C正确，符合 是<<x 题意 ,抛物线开口向上，与x轴的交点坐标为(0， ax十hx十c>0(a≠0)的解集 0),(2,0), 4a<0 是x<xx x<0或x>2时，y>0,故D错误，不符合 题意 ac十bx十c<0(a≠0)的解集 是x≤x或x> 故选C 答案C 097 过真题 。A组基础题。。 1.[2022·山东潍坊]若抛物线y=x2十x十c与 x轴只有一个公共点，则c的伯为() A-1 B C.-4 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 2.[2023·湖南衡阳]已知m>n>0,若关于x的 5.[2022·江苏无锡]把二次函数y=x2+4x十 方程x2十2x一3一m=0的解为，(< m的图象向上平移1个单位长度，再向右平 x2),关于x的方程x2+2x一3一n=0的解为 移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与 坐标轴有且只有一个公共点，那么n应满足 x,x,(x3<x4),则下列结论正确的是() 的条件为 A.<< 6.[2021·山东济宁]如图，二次函数y=ax2+ B.1<<4<xg b.x十c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点 C.h<xg<x3< A,对称轴为直线x=1,有下列结论 D.I<t<n<n! ①abc<0;②2a十b=0:③3a+c>0;④关于x 3.[2021·广西贺州]如图，已知抛物线y= 的方程ax2十bx十=0(a≠0)必有一个根大 ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y), 于-1且小于0. 其中正确的是 (填序号) B(1,y)两点，则关于x的不等式a.x2+c≥ 一kx十m的解集是 012\3 7.[2022·山东青岛]已知二次函数y=x2+ m.x十m2一3(m为常数，>0)的图象经过点 A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 P(2,4) C.-3≤r1 D.-1≤x3 (1)求m的值； 4.[2023·山东烟台]如图，抛物线y=ax2十bx十 (2)判断二次函数y=x2十x十m2一3的图 c的顶点A的坐标为(-号，m),与x轴的一 象与x轴交点的个数，并说明理山. 个交点位于(0,0)和(1,0)之间.有以下结论： ①abc>0:②2h十c>0:③若图象经过点（一3， y),(3,y2),则y1>y2:④若关于x的一元二 次方程ax2+bx+c一3=0无实数根，则m< 3.其中正确结论的个数是 ) ◆098 12.[2021·湖北荆州门小爱同学学习二次函数 ,··B组能力题·· 后，对函数y=一(x|一1)进行了探究.在 8.[2022·贵州钥仁]如图，抛物线y=ax2十 经历列表、描点、连线步骤后，得到如图所示 bx十c(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴 的函数图象.请根据函数图象，问答下列 交于点C.若∠OAC=∠OCB,则ac的值为 问题： B 54-3-2/1 A.-1 B.-2 C.-2D.-3 9.[2021·四川遂宁]已知二次函数y=a.x2十 bx十c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个 结论： ①abr>0:②W<4ac:③2c<3b:④a+ (1)观察探究： b>n(am十b)(m≠1)；⑤若方程 ①写山该函数的一条性质： ax2十bx十c|=1有四个根，则这四 ②方程-(|x一1)2=一1的解为 个根的和为2. ③若方程一(|x一1)2=a有四个实数根，则 其中正确的结论有 a的取值范围是 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (2)延仲思考： 将函数y=一(x|一1)2的图象经过怎样的 平移可得到函数y,=一(x一21一1)2+3的 图象？写出平移过程，并直接写出当2< y≤3时，月变量x的收值范围 -10 第9题图 第11题图 10.[2023·福建]已知抛物线y=ax2-2ax十b (a>0)经过A(2n+3,y1),B(n一1，y2)两 点，若A,B两点分别位于抛物线对称轴的 ··C组创新题·· 两侧，且y1<2,则n的取值范围 13.【新定义问题】规定：若两个函数边，y2的图 是 象关于y轴对称，则称这两个函数互.为“Y 11.[2022·内蒙古赤峰]如图，抛物线y 函数”.例如：函数y=2x十2与y2=一2x十 一x2一6x-5交x轴于A,B两点，交y轴于 2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为 点C.若D(m,m十1)是抛物线上的点，则点 “Y函数”.若函数y=kx2十2（兔一1）x十k一3 D关于直线AC的对称点的坐标为 (k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个 交点，则其“Y函数”的解析式为036 第十一章 二次函数 -1. 当1x3时,y随x的增大而增大, 二次函数的图象与性质 '.当x一3时,y取得最大值,最大值为y-2 变式训练1 C 根据题意可知,将抛物线y 故当0x3时,函数的最大值为2. 故选D. 3(x-2)*-1向下平移2个单位长度,再向右 3.C.二次函数y=ax^*}十x-6的图象与x轴 平移3个单位长度后所得抛物线的函数解析式 为-3(x-5)②-1.故选C 交于A(-3,0),B两点, 变式训练2 B ..9a-3-6-0,解得a-1, .图象开口向下 .0. 心.抛物线对应的函数解析式为y一士x-6 (2+)# ,对称轴为直线x一一 2 坐标为(一-.-25),故A,B选项不正确,不 .b--2a0. .图象与y轴的交点在x轴的上方, 符合题意; ..c>0. ,=10,抛物线开口向上,当x一1时; .abc<o. v随:的增大而减小,故D选项不正确,不符 .①错误. b-1. 合题意;当y=0时,x2-x-6=0,解得x ._ 2a -3,x-2,..B(2,0),.AB-5,故C选项正 .2a--. 确,符合题意.故选C 4.C:c>0, *2a-6-0. .②错误. '-0. 由图象可知,当x一3时,v~0. 故A,D选项不符合题意; '9a-3+c0 当0时,0. .③错误. '.对称轴为直线x一- ·抛物线与x轴有两个交点 故B选项不符合题意; .'6-4ac0. 当a0时,>0. '.b24ac. .④正确. .对称轴为直线x一一 当a=-1时,y0. 故C选项符合题意,故选C. .-b+co 5.y=-*-1(答案不唯一) ,:抛物线一 .'a十c. ar^{一r士c对称轴左侧的部分是上升的, .正确. '.抛物线开口向下,即a<0. 故正确的为④ ·.抛物线y三ax{}十bx十c的顶点在y轴正半 故选B. 轴上. b_o,即b-o,c>0, 1.A 将抛物线y一x^{}先向右平移3个单位,再向 上平移4个单位,得到的抛物线是y一(x一3)+ .二次函数的解析式可以是y一一+1. 4.故选A. 6.解:(1).抛物线y=一x-bx十c与x轴交于 2.D .--2-1-(-1-2 A(-1,0),B(3,0)两点, '.对称轴为直线x-1. -2. 解得 1-9+3-c-0. a-10. 1c-3. .抛物线的开口向上, '.抛物线的解析式为y--r十2x+3. ·当0x<1时,y随x的增大而减小 (2)·=-x-2r-3--(x-1)2+4, .当x一0时,y取得最大值,最大值为y .D(1,4). 037) 把x-0代入y--r+2x+3,得y-3 当m<o时,此时{<m, # .C(0,3). .P是BD的中点,..P(2,2). 即2n4. '.CP=(2-0)+(2-3)-. 此时n无解 7.解:(1)根据题意可知,抛物线y-ar{-2x+1 综上所述,n的取值范围为0<n2 方法2:由y<y可得, (mx?-2n^}x+n)-(mx-2m^x+n)0 .a-1. 整理,得m(x-x)(x+x-2m)>0. (2)y>y.理由如下; .x十x4且r<x, 由(1)可知,抛物线的解析式为=^-2x+1 '当m0时,x+x-2m>0, (x-1). 即2m 4.解得m2. .=1>0,抛物线的对称轴为直线x-1 ..0m2; .当x1时,y随x的增大而增大,当x<1 当m0时,x+x-2m<0. 时,y随x的增大而减小。 即2m>4,此时无解. .-1<x<0,1<x<2, 综上所述,m的取值范围为0 n 2.故选A. “1<1-x<2,0<x-1<1. 10.D 将(,2)代入二次函数,得2一(十 结合函数图象(图略)可知,当抛物线开口向上 1)^-(t十2)十s. 时,距离对称轴越远,函数值越大,yy. 整理,得(t+1)b十th十s-0 (3)联立y=m(m0)与y-(x-1),可得 由题意可知(t十1)十th一s一0总有两个不 A(1+m,m),B(1-m,m),'AB=2m 相等的实数根 联立y=m(m0)与y=3(x-1),可得 ',A--4s(t+1)-2-4st-4$0 (1+”),D(1-”,),. cn= .对丁任意实数5总成立,..(一4s)}十16s 16s*+16s0,解得-1~0 ### 故选D. 11.②③④ ①图象经过点(1,1),c0,即抛物线 与v轴的负半轴有交点,如果抛物线开口向 #23m# 上,那么抛物线与x轴的交点都在(1,0)的 左侧. 8.D '二次函数y=2*-4-1=2(-1)-3, “在(n,0)中,n3,..抛物线与x轴的一个 &.抛物线的对称轴为直线x一1.顶点坐标为 交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧 (1,-3). '.抛物线开口一定向下,即a~0. 当-15时,即2(-1)-3-15 把(1,1)代入y-ax?-hx十c,得a十b十c=1, 解得x-4或x--2. 即-1-a-c. .当0<x<a时,y取得的最大值为15 .a0,c<0...b>0,故①错误; 'a-4. ②:a<o,b>0,c<o,f0,方程ax十 故选D. 9.A 方法1:由题意可得抛物线的对称轴为直线 bx一c-0的两个根的积大于0,即mn0. .n3,..m0,..mn1.5,即抛物线的 2m 2 .当x+x4且x<x时,都有<y 对称轴在直线x1.5的右侧 .当m→0时,此时m, '.抛物线的顶点在点(1,1)的右侧 2 .4ac-621. 即02m4. 4a 解得0<n2; .'4a0, 038 '.4ac-b<4a,故②正确 13.解:(1).m-3,n-15, ③由②可得,当n一3时,抛物线的对称轴在 '.点(1,3),(3,15)在抛物线上 直线x-1.5的右侧. 将(1,3),(3,15)代入y=ax^②}+bx, [3-a+6, '.点(1,1)到对称轴的距离大于点(2.t)到对 a-1, 得 解得{ 称轴的距离 115-9a+36, -2. .<0...抛物线开口向下,..距离抛物线越 “.y-x+2x-(x+1)-1. 近的函数值越大,..1,故③正确 '.该抛物线的对称轴为直线x一-1. ④一元二次方程ax{}十bx十c三x可变形为 (2)方法1:.y-ax-bx(a>0), x*+(-1)x+c-0. .抛物线开口向上且经过原点。 .方程有两个相等的实数根,A一(一1)^②} 当6一0时,抛物线顶点为原点,x0时,y随 lac-0. r的增大而增大,n>m0不满足题意; 由①,得a+6+c=1,即1--a-c, 当0时,抛物线的对称轴在y轴左侧,同 '(-c)②-4ac=0,即a2+2ac+c2-4ac= 理,nm0不满足题意; 0.(a-c)-0.,a-c-0,即a-c. 当b0时,抛物线的对称轴在v轴右侧,由 .点(m,0).(n.0)在抛物线上 m0,易知x=1时,m 0,x-3时,n>0. '.m,n为方程ax②-bx十c=0的两个根, 即抛物线和工轴的2个交点,一个为点(0, 0),另一个在点(1,0)和点(3,0)之间; a .→3...→3,:<m,故④正确. '.抛物线的对称轴在直线x一 n ##}#,}# 综上所述,正确的结论有②③④. 12.解:(1)①:=4,c=3,y=-x*+4r-3= -(x-2)2+7. &该函数图象的顶点坐标为(2,7). (-)### ②.该二次函数图象的项点坐标为(2,7),且 一1x3,'.当x-2时,有最大值7 “.2-(-1)>3-2,,当x=-1时,y有最小 -1)# 值,最小值为-(-1-2)十7--2, '.当-1<x<3时,y的取值范围是-2< 点(4,)与对称轴的距离为 <7. (-##)### (2).x0时,y的最大值为2;x0时,y的 最大值为3. '.y<y<y. '.抛物线的对称轴x一 方法2;点(1,n)和点(3,n)在抛物线y ..b0. r+bx(a>0)上,',a+6-m,9a+36=n. :m<0..'.(a+b)(9a+3b)<0 .抛物线开口向下,0时,y的最大值为2. .c-2. 心a十与3a十b异号; -4(1)-#_3 '>o,'3a-b>a+b, 4×(-1) '.a+b0,3a+b0. .b-士2. ·点(-1,y),(2,y),(4,y)在该抛物线上, “b0,.,b-2,..二次函数的解析式为y= '.y=a-b,-4a+2b,-16a+4$$ -”+2x+2. “-y=(16a+4b)-(a-b)=5(3a-b 039 o..y>y. .--(a-b)-(4a+2b)--3(a-b>$ .y>y2. --n 综上可知,>y. ty-n 14. D ,效 由题意可知,当n0时,n'=一n^+$ &2 $m-2-4--(m-2)*+2,当0 m 时,-2n2. 当n 0时,n'-n-lm-2-(m-2)?-6 3.D .y-kx+m与y--kx十m的图象关于y *.当-1<m 0时,-2<n 3. 综上,当-1<n3时,其限变点P的纵坐标 轴对称, n'的取值范围是-2n<3 '直线y=-kx十n与抛物线y=ax十c的交 故选D. 点A',B与点A,B也关于y轴对称 .A(-3,y),B(1,y), 15.解:(1)把C(-,0)代入y=-x+中 '.A'(3,y),B(-1,) 得0--6十是..-6, '.不等式ax②}十c-hx十n的解集是-1 '抛物线的解析式为y=-x*十6, c3.故选D :D(0,6).OD=6. 4.C ①.抛物线y=ax+bx-c的顶点A的坐 又C(-6,0)0-v6. 标为(-1)-1 由对称的性质知,OF-OC一/ 'DF=OD+OF=6+/6 [y-:. (2)联立 解得 或 由题图可知,抛物线开口向下,即a<0. --“十6, y--3 ..b0. -2: 当x=0时,y-c>o,.,abc>0,故①正确. -2. ②由题图可知,当x=1时,y=a十b十c0. *.A(2,2),B(-3.-3), 由①可知,a=,'-+c0,即2十c<0,故 *AB- (-3-2)+(-3-2)-2. ②错误. ③·直线x-一 二次函数与方程、不等式之间的关系 &.设(一3,y),(3,y)两点到对称轴的距离分 1.B .抛物线y-x2-x-c与x轴只有一个公 别为d,d。, 共点, 则d= -3-(-)-,=3 .方程x十x-c=0有两个相等的实数根 *△--4ac-1*-4x1·c-0 (-)-b>d.# .c1 由题图可知,距离对称轴越近的点对应的函数 故选B. 值越大,>y,故③正确 2.B 关于x的方程-十2x-3-m=0的解为抛 ④.关于x的一元二次方程ax{}十bx十c-3- 物线y-x*+2x-3与直线y=n的交点的横 0无实数根,..抛物线y一ax十x十c与直线 y-3无交点. 坐标,关于x的方程-?-2x-3--0的解为 “抛物线的顶点坐标为A(-.n), 抛物线y-x2+2x-3与直线y-n的交点的 横坐标,如图,由图可知,x x<x x、故 '.n3,故①正确 选B. 综上所述,正确的结论有①③④.故选C 040 5.m3 ·把二次函数y=x*+4x十n=(x- 9.A ①由二次函数的图象开口向下,得a<0.再 2)*+n一4的图象向上平移1个单位长度,再 向右平移3个单位长度。 .平移后的函数解析式为y=(x十2一3)×- 图象与y轴正半轴相交,得c0...abc0,故 m-4-1=(x-1)+m-3-x-2+m-2 ①错误; &.平移后抛物线的对称轴为直线x=1 ②二次函数图象与x轴交于不同的两点,则 .平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个 一4ac0,.'.4ac,故②错误; 公共点: *A-4-4(m-2)0 2a .m3. 又当x=-1时,v0,即a-+c0 6.①②① 由题图可得,a<0,60,c>0 '.2a-2+2c>0.-3+2c<0,2c3 则abc0,故①正确 故③正确; b. -1,--2a,2a+b-0,故② ④x一1时函数有最大值,当x=1时的y 2 值大于当x一m(m关1)时的y值, 正确; 即a-b+c>n(an十b)-c,.a+b>m(am+b) ·函数图象与x轴正半轴的交点在点(2,0)和 (m1)成立,故④正确; (3,0)之间,对称轴是直线x一1,..函数图象与 将:输下方二次函数的图象翻折到工轴上 x轴的另一个交点在点(0,0)和点(一1,0)之 方,与直线y-1有四个交点即可. 间,故④正确; “当x--1时,y=a-b十c<0,y-a- 由二次函数图象的轴对称性知关丁对称轴对 称的两个根的和为;2,四个根的和为4,故5 2a+c0,.'3a十c0.故③错误 错误. 故答案为①②④ 故选A. 7.解:(1)将P(2,4)代入y-x2+nx+n-3. 10.-1<n<0 抛物线的对称轴为直线x一 得4-4+2m+n-3,解得m-1,m--3 -2a-1. 又.n0,..n-1. 2a (2)与x轴有2个交点,理由如下: .0.',抛物线开口向上 “.n=1-+r-2 当点A在对称轴x三1的左侧,点B在对称轴 ,A--4ac-1+8-90, x一1的右侧时, '二次涵数y-x”一x-2的图象与x轴有2 (2n-3<1, 个交点. 由题意,得n-11, 8.A 没点A(x,0),B(,0),C(0.c) 1-(2n+3)n-1-1, 'OC-c. 不等式组无解; .OAC-OCB,OCAB 当点B在对称轴x一1的左侧,点A在对称轴 .△OACo△OCB. r-1的右侧时, [2n-3>1, 由题意,得n-1<1, 即c-|x·x。--x·x. 1-(qn-1)>2n+3-1, 令ar②十bx十c-0, 解得-1<n0. 综上所述,n的取值范围为-1<n0. 11.(-5,-4)或(0,1) 把D(m,n十1)代人抛物 线 y---6x-5,得m-1--n-6m-5. 'ac一-1.故选A. 解得m--1,m--6, 041) '点D的坐标为(-1,0)或(-6,-5) '点E的坐标为(-3,-2) 当y-0时,即-x2-6x-5-0$ .点D与点D关于直线AC对称 解得x--1或x--5, ..E是DD的中点 *A(-5,0),B(-1,0). 点D的坐标为(0,1). 当x-0时,y--5, 综上,点D关于直线AC的对称点的坐标为 '.OC-OA-5. (-5.-4或(0,1). '.△AOC是等腰直角三角形 12.解:(1)①函数图象关于y轴对称(答案不唯一) .OAC-45” ②x--2或x-0或x-2 ①如图1,点D的坐标为(-1,0),点D为点 ③-1<a0 D关于直线AC的对称点,此时点D与点B (2)将函数y=一(x-1)的图象向右平移 重合,连接AD 2个单位长度,再向上平移3个单位长度可得 到函数y--(x-2-1)+3的图象 当2<y<3时,自变量工的取值范围是0 (D) <4且z2. $3. y=2x-3或y=-+4-4.函数y= +2(-1)x--3(为常数)的“Y函数” 图象与x轴只有一个交点 图1 ·.函数-+2(-1)x+-3(为常数 .点D与点D关于直线AC对称 的图象与x轴也只有一个交点. ·AC是BD的垂口平分线. 当-0时,函数解析式为y=一2x-3,它的 'AB-AD'=-1-(-5)-4,且CAD'= “Y函数”的解析式为y一2x-3,它们的图象 OAC-45*, 与x轴都只有一个交点 ./OAD-90. 当0时,此函数是二次函数 .点D的坐标为(一5,一4). ,它们的图象与x轴都只有一个交点 ②如图2,点D的坐标为(一6,一5),点D为 '#*+2(-1)x+ -3-0只有一个实 点D关于直线AC的对称点,AC与BD交于 数根, 点E. *-[2(-1)*-4(-3)-0 _ 解得--1, .D *原函数的解析式为=--4x-4=-(x+ ###)# 2)2. '它的“Y函数”的解析式为y--(x-2)?- -2-4x-4. 图2 综上所述,“Y函数”的解析式为y-2x-3或 ·点D(-6,-5), y--*十4c-4. '.点D在直线y一x十1上,此时直线y一x+ 1过点B. 二次函数的综合应用 '.BD AC,即点D在直线y一x十1上 变式训练1解:(1)设y-kx十b(50 x80) A(-5,0),C(0,-5), [50十-100. 将(50,100),(80,40)代入,得 .直线AC的解析式为y=-x-5. 80+b-40. .AC与BD交于点E,..-x-5-x-1 --2. 解得 .--3. b-200, 042 'y--2x+200(50<x<80). (5,3.2), (2)设电商每天获得的利润为x元, '.y-a(r-5)-32 则w-(-40)(-2+200)=-2x+280- 将(0,0.7)代入上式,得0.7-25a+3.2. 8000--2(x-70)+1800 .-2<0,对称轴是直线x=70,且50<x< 80..当x一70时,取得最大值,最大值为 .- 1800. -1.6. 答:该电商将每千克的售价定为70元时每天获 得的利润最大,最大利润是1800元 解得x-1或x-9. 1.A .3-1-2(m)或9-3-6(m), 2.D 令-0,则10t-5-0 '.当小红的头顶恰好接触到水柱时,她与爸爸 解得红一0(不合题意,舍去),-2 的水平距离是2m或6m &球蝉起后又回到地面所用的时间7一2.故 6.解:(1)由题意,得力-500-10(x一50)= 选D. -10x十1000. 当x=660时,--10$60+1000-40 $0\ (2)由题意,得W-(x-40)(-10x+1000)- 解得x-10,x=-4(不合题意,舍去) -10-1400-40000--10(-70 *+ ·A(10,0). 9000..每盒售价不得少于50元,日销售量不 O-10m 盒. [>50, 低 350 子 4.解:(1)根据题意知较大矩形地块的宽为2xm. 即 长为24---2x(8-x)m, >350, 3 [r50, 解得50x65.-10 ·.(x+2x)(8-x)-36 -10x+1000350. 解得x-2或x-6. 0...当x一65时,W取得最大值,此时W-8 经检验,x-6时,3x-18>10,不符合题意 750. 舍去, 答:当每盒售价定为65元时,日销售利润W最 .c-2. 大,最大利润是8750元. 答:此时:的值为2. (3)小强的说法正确,小红的说法不正确,理 (2)设矩形养殖场的总面积是ym^②} 由:设日销售额为y元, “墙的长度为10m. 则y=x·=x(-10x+1000)=-10r}- 1000=-10(-50)+25000.-10<0 一当x-50时,y取得最大值,此时y-25000 根据题意,得y=(x-2x)(8-x)=-3x*- 由(2)可知,当x一65时,W取得最大值, 24.--3(x-4)+48 '小强的说法正确 .-3<0. 当日销售利润不低于8000元时,即-10(-- 70)?+90008000,解得60x80 3 ·.50 x65,..当日销售利润不低于8000元 (10)4)十48-140. 3 时,60 x65,故小红的说法不正确 7.解:(1)增种28棵果树时,该果园每棵果树的平 大为140{ 均产量为66kg 3 (2)设y与x之间的函数解析式为y一x十b 5.解:(1)由题意可知,抛物线的顶点坐标为 把(10,75),(28,66)代入,得 043 $10 +$-75,$ 值范围是5x7. 解得 $ 2$ +6 -6 6 $ -80, 心y与x之间的函数解析式为y-- 令y-40,得一 '.自变量x的取值范围为0<x80 #1×71+1,解得-117<1. (3)由题意,得=(60-x)(-1x+80)= .n为整数,心,符合条件的n的整数值为4 和5. 10.解:(1)由题意,得抛物线的解析式为y一 a(+1)(x-3)-a(x-2x-3). 将C(0,3)代入,得-3a-3,解得a--1. '当工一50时,w取得最大值,最大值是 故抛物线的解析式为v=一x2十2x+3. 6050. 心当增种果树50棵时,果园的总产量最大,最 (2)由点B,C的坐标,得直线BC对应的函数 大是6050kg. 解析式为y--r十3. 8.19 如图,过点P作y轴的平行线交CB于点H, 建立平面直角坐标系如图所示 ” 连接PC,PB. 1 H 由题意,得A(-40,4),B(40,4),H(0,20) 设抛物线的解析式为y=ax*-20. 设点P(m,-n②}+2m+3),则点H(m,-m+ 将A(-40,4)代入,得4-1600a+20 3),'PH=-m-2m+3-(-m+3) -m{十3m, . S△rnc-Sr-S△n-PH·OB- 若两辆消防车同时后退10m,则抛物线y ##(1-}-m)×3-3(7-)}+.# (+10)2-20. .3o..当m- _-_ 100 大,最大值力为2},此时点P的坐标为(315).# 令0,解得19.故两条水杜相遇点H阻 地面19m. (3)存在. 9.解:(1).抛物线C:-a(x-3)+2..'.抛牧 由(1),得抛物线的对称轴为直线x一1, 线C最高点的坐标为(3,2). .设点M(1,t),N(,q). “.点A(6,1)在抛物线C:y-a(x-3)+2 ①若CM为菱形的边, 上,.1-a(6-3)+2, 则BC$-(CM^*,即3+3-1}+(-3),解得$ -17+3,--17+3. .[3+1-0+):.-4,q-t-3, 当x-0时,c-1. .. (2)嘉嘉在到点A的水平距离不超过1m的 l0+t-3+, 范围内可以接到沙包,点A的横坐标工的取 .N.(4,17),N(4.-17); 044 将点 P(335)向左平移5个单位长度,得 ②若CM为菱形的对角线, 则BC$ -BM^{,即3-3-(3-1)+^*,解得$ 点#(--3). -14,--14. 设M(-4,m),N(n,+4n+). 10--3+t, *N(-2.14+3),N(-2.-14+3) ①当EF,MN为对角线时,EF,MN的中点 重合: 综上所述,点N的坐标为(4, \17)或(4. - 17)或(-2,14-3)或(-2,- 14 3). 11.解:(1)把点A(0,-4),B(4,0)代入y= #(#).# c--4. [6--1. 解得 18+4十c-0. --4. ②当FM,EN为对角线时,FM,EN的中点 .抛物线的函数解析式为y--x--4. 重合, f0-4-- (2)由点A(0,-4),B(4,0)易得直线AB的 ##7# 函数解析式为y一x-4. 点P(,--4),则 D-+1-4 =25. ##(一)-一-) 2 .N(-13). $.PC--(-4)--1+2, ③当FN,EM为对角线时,FN,EM的中点 PC+PD--1+2t-+t+4- 重合, +3.4--(-)+-25. -1<0. 第 #_.# .N(-15.13). ##(#}3). 综上所述,点N的坐标为(,45)或(一. 13)或(6153). .新抛物线的对称轴是直线工---4 2## 12.解:(1).抛物线的对称轴是直线x一-1, -4. 在#-}4-中今#-0,-# .点C的坐标为(0,2)..,c-2 '.抛物线的解析式为y=ax②+2ax+2. .r(o,). ·点A(-3,0)在抛物线上, '.9a-6a+2-0. 045 'a=- r--4, 解得{=1, #1-0 ’(舍去)或{ .D(-4.-10). (2)①当点D在x轴上方时,如图1,记BD与 AC的交点为点E .$AD=4AB· 1yol-$4×10-20 .ABD= /BAC..'AE=BE ,直线:--1垂直平分AB '点E在直线x一-1上. .点A(-3,0),C(0,2). .点P在y轴在侧的抛物线上,.设点P的 坐标为(m,-0#-}+2)(<o).# 心直线AC的解析式为y- 过点P作v轴的平行线,交直线BD于点F 3 (图略), .点E的坐标为(一1,). #.(#) .点A(一3,0)和点B关于直线x=-1 #PF-}-o-#△+-(#-)= 对称, 12 -0, '点B的坐标为(1,0) #.S$nro F·(rx-)-1×2+ ## 2-8×5-10.v.m--5或m-2(含去) 或m=-1或m=-2,.,点P的坐标为(-5, -8)或(-1,8)或(-2,2). 第十二章 线段与角、相交线与平行线 2 图1 图2 线段与角 ②当点D在x轴下方时,如图2 ABD 变式训练1 72* .COD=90”,AOB= BAC,.'.BD//AC.由①,知直线AC的解析 90{,AOD-108{*, '. AOC=A0D-C0D-108”-90-18$ '. COB-AOB-A0C-90{-18^{*-72^* 1.A 2.D 3.74.325 30”-60-0.5', 19'+0.5-19.5', 19.5'-60-0.325 . 74*-0.325*-74.325° “抛物线的解析式为y-- 4.30 由作图方法可知,OC是AOB的平分线 .联立 5.100 如图,根据直角三角尺的性质, 得 DFE-45^*},E- B-90$$$$