第六章 一元二次方程-【一本】2024年中考训练方案 数学

042 第六章 一元二次方程 2 元二次方程及其解法 答案 P013 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.一元二次方程及根的概念 染★桌 1理解配方法 2.一元二次方程的解法 象最泉染 2能月配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 明考向 考句1 一元二次方程及根的概念 续表 只含有二个未知数，并且未知数的最高 元二次方程ax2十6bz十c=0(a,,c为 概念 常数，且4≠0)的求根公式： 次数是2的整式方程 公式法 -6±B-4ac(-4ac≥0) 一般形式 ax十ba十c=0(a≠0】 2a 设x,x2是一元二次方程2十x十(=0 把ax2十x十c=0(a≠0)化为形如 根 (a≠0)的两实数根，则ax好十b,十c=0, (x-n)(px一q)=0(m,n,p,g为常 ux十b2十c=0 因式分解法 数，m中≠0)的形式，则mz一n=0或 典例1已知方程x2十x一3=0的一个根是1， 一9=0，所以4=： 则m的值为 解析把x=1代入x2十mc一3=0，得1十 典例2解方程：x2一x一2=0. m-3=0,解得m=2. 解方法1（配方法）：把常数项移到方程右 边，得x2一x=2. 答案2 变式训川练1已知m是·元二次方程x2十x一 配方，得2-x+(-2》=2+(-》, 6=0的一个根，则代数式m2+m的值等 于 即(-2》=是 去向2 一元二次方程的解法 开方，得红一=士 对于形如(x一a)2=b(b≥0，b是常数) 解得x=2,x2=一1. 直接开平方法 的方程，求出x一a=土5，则一a士 方法2（公式法）：a=1,b=-1,c=-2, 5,4一aB ,.2-4ac=(-1)2-1×1×(-2)=9>0. 把ax2十6bx十c=0(a≠0)配方为 配方法 (x士m)2=(0)的形式（当n<0时， ∴x=-b士yB-4ae--(-1)士5 2a 2×1 方程没有实数根)，再开方 ∴.x1=2,x2=-1. 043 方法3（因式分解法）：因式分解，得(x一2)· 变式训练2小敏与小葭两位同学解方程3(x一 (x十1)=0，解得x1=2,x2=一1. 3)=(x一3)2的过程如下： 点拔1.用配方法解题的关键步骤： 小敏： 小霞： (1)把常数项移到等号的右边； 两边问除以x一 移项，得3(.x-3)一(x一3)2=0. (2)把二次项的系数化为1； 3,得3=x一3， 提公因式，得(x一3)(3-x一 (3)等式两边同时加上一次项系数一半的 划x=6. 3)=0, 平方 则x-3=0或3一x-3=0, 选择用配方法解-一元二次方程时，最好使方 解得=3，=0. 程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的 你认为她们的解法是否止确？若止确，请在 倍数 框内画“/”；若错误，请在框内画“×”，并写 2.用公式法解一元二次方程的步骤： 出你的解答过程。 (1)化方程为一殷形式； (2)找出a,b,c； (3)求6-4ac; (4)代入公式x=一b土B-4ac 2a 过真题 4.[2021·辽宁丹东]若实数k,b是一元二次方 ·。A组基础题。· 程(x十3)(x一1)=0的两个根，且k<b,则· 1.[2021·黑龙江牡丹江]已知关于x的一元二 次函数y=kx十b的图象不经过 () 次方程(m一3)x2十mx=9x十5化为一般形 A.第一象限 B.第二象限 式后不含次项，则m的值为 C C.第三象限 D.第四象限 5.[2023·山东枣庄]若x=3是关于x的方程 A.0 B.±3 a.x-bx=6的解，则2023-6a十2h的值 C.3 D.-3 为 2.[2022·天津]方程x2+4x+3=0的两个根 6.[2021·黑龙江齐齐哈尔]解方程：x(x一7)= 为 ( 8(7-x). Ax1=1,2x2=3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1x2=-3 D.x1=-1,x2=-3 3.[2022·山东聊城]用配方法解一元二次方程 3x2十6x一1=0时，将它化为(x十a)2=b的 形式，则a十b的值为 () B名 C.2 D青 ◆044 7.[2022·贵州贵附](1)a,b两个实数在数轴上 10.[2021·贵州黔西南州]三角形两边 的对应点如图所示. 的长分别为2和5，第三边的长是 日0b一 方程x2-8x十15=0的根，则该三 用“<”或“>”填空：a b,ab 角形的周长为 (2)在初中阶段我们已经学习了·元二次方 11.[2023·江苏连云港]若W=5x2-4xy十 程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和 y2一2y十8x十3(x,y为实数)，则W的最小 因式分解法.请从下列一元二次方程巾任选 值为 两个，并解这两个方程。 12.[2021·湖北荆州]已知a是不等式5(a一2)+ ①x2+2x-1=0;②x2-3x=0;③x2-4x= 86(a一1)十7的最小整数解，请用配方法 M;④x2-1=0 解关于x的方程x2+2ax+a十1=0. ···B组能力题··· 8.[2021·山东滩坊]若菱形两条对角线的长是 方程x2一6x十8=0的两个根，则该菱形的边 长为 () A.5 B.4 C.25 D.5 ··C组创新题·· 9.[2022·四川遂宁]已知m为方程x+3x 2022=0的根，那么m3+2m2一2025m+ 13.【新定义问题】对于实数p,9,我们用符号 2022的值为 min{p,q}表示p,q两数中较小的数，如 A.-2022 B.0 min{1,2}=1.若min{(x-1)2,x2}=1,则 C.2022 D.4044 T= 045 点 13 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 答案1P015 知考情 考向分布 考频 课标要求 1一元二次方程根的 泉来 判别式 1,会州一元二次方程根的判别式判：方程是否有实根及两个实根是 否相等。 2.一元二次方程根与 2了解一元二次方程的根与系数的关系， 系数的关系 明考向 考句1一元二次方程根的判别式 显然有解 一元二次方程a,x2十bx十c=0(a,b,c为常数且 综上所述，k的取值范国是≥故选D a≠0)根的情况与判别式的关系 答案D 判别式 根的情况与判别式的关系 变式训练1关于x的一元二次方程x一 一4at≥0，方程有两个不相等的 (兔一3)x一飞十1=0的根的情况，下列说法正 实数根 确的是 () }-4ac :一4ac=0,方程有两个相等的实 A.有两个不相等的实数根 数根 B.有两个相等的实数根 #一4ac<0,方程没有实数根 C.无实数根 典例1若关于x的方程(-1)2x2+(2k+1)x+ D.无法确定 1=0有实数根，则的取值范用是( 考句2 一元二次方程根与系数的关系、 A>且≠判 B>且k判 如果一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0) C>号 D≥号 的两个根分别是，，那么西十x2=一 解析①当飞一1≠0，即k≠1时，此方程为一 元二次方程 ,关于x的方程(-1)”x2十(2k十1)x十1 注意 0有实数根， 求解时不能忽视“△≥0”这一隐含条件. ∴.△=(2k+1)2-4×(k-1)2×1=12k-3≥ 典例2已知关于x的一元二次方程x十2mx十 0解得≥是 m2十m=0有实数根. ②当一1=0，即k=1时，方程为3x+1=0, (1)求m的取值范围； 046 (2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2,且 0(a≠0)，计算出b一4ac的值，再根据根的 x十x2=12,求m的值， 情况建立方程或不等式求解 解(1)根据题意，得△=(2)2-4(m十m)≥ (2)利用根与系数的关系解题时，常见的变 0,解得m≤0. (2)根据题意，得x1十x2=一2n,x1x2= 形有+1=西十，+=（G十) m2十m. 2x1x2,|x1一x2|=√(x1+x2)一4x1x2等. :x号十x=(x1十x2)2-2x1x2=12, ∴.(-2m)2-2(m2+m)=12,即2-m-6=0, 解得m1=一2，m2=3(不合题意，舍去). 变式训练2已知一元二次方程x2+x一2021= 故m的值为一2. 规律方法 0的两根分州为m,,则十的值 (1)利用根的判别式解题时， 般先将方程化为一般形式ax2十bx十c= 为 过真题 是 ··A组基础题·· 5.[2023·湖南怀化]已知关于x的·元二次力 1.[2023·山东滨州]一元二次方程x2+3x一 程x2十mx一2=0的·个根为一1，则m的值 2=0根的情况为 ( 为 ,另一个根为 A.有两个不相等的实数根 6.[2022·四川眉山]设x1,x2是一元二次方程 B.有两个相等的实数根 x2+2x一3=0的两个实数根，则x+x的值 C.没有实数根 为 D.不能判定 7.[2023·浙江杭州门设一元二次方程x2十bx十 2.[2022·北京]若关于x的一元二次方程x2+ c=0.在下列的四组条件巾选择其巾一组b,c x十m=0有两个相等的实数根，则实数m的 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并 位为 ( 解这个方程 A.-4 R一 ①b=2,c=1;②6=3，c=1;③b=3,c=-1; D.4 ④b=2,c=2. 3.[2022·四川宜宾]若关于x的元二次方程 ax2十2x一1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 A.a≠0 B.a>-1且a≠0 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1 4.[2022·湖北孝感]若一元二次方程x2一4x十 3=0的两个根分别是x1,x2,则x1x2的值 047 ·。B组能力题·· ·。C组创新题·· 8.[2021·湖南邵阳]在平面直角坐标系巾，若 13.【阅读理解】阅读材料，解答问题： 直线y=一x十m不经过第一象限，则关于x 材料1为解方程(x2)2一13x2+36=0, 的方程x十x十1=0的实数根的个数为 我们把x看作一个整体，然后设y=x2,则 原方程可化为y2一13y十36=0.经过运算， A.0 B.1 原方程的解为x1=2,x2=一2，x3=3,x:= C.2 D.1或2 一3.我们通常把以上这种解决问题的方法 9.[2021·贵州遵义]在解一元二次方 叫做换元法 程x2十px十g=0时，小红看错了常 材料2已知实数，n满足m2一m一1=0， 数项q,得到方程的两个根是一3,1： n2一n-1=0,且m≠n,显然m,n是方程 小明看情了次项系数力，得到方程的两个根 x2一x一1=0的两个不相等的实数根 是5，一4，则原来的方程是 () 山根与系数之间的关系可知m十n=1,m= A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0 -1. C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0 根据上述材料，解决以下问题： 10.[2023·四川泸州]若一个菱形的两条对角 (1)直接应用： 线长分别是关于x的一元二次方程x2一 方程x4一5x2+6=0的解为 10x十m=0的两个实数根，且其面积为11， (2)间接应用： 则该菱形的边长为 () 已知实数a,b满足2a一7a2+1=0,26 A.√3 B.2W3 C.√1M D.2√1M 7b+1=0,且a≠b,求a+6的值. 11.[2021·山东枣庄]若等腰三角形的一边长 (3)拓展应用： 是4，另两边的长是关于x的方程x2一6x十 已如实数，y清足十证=，f一=7， n=0的两个根，则n的值为 12.[2021·满北判门]已知关于x的一元二次 且>0，求+的值 方程x2一6x十2m一1=0有x1,x2两个实 数根 (1)若x1=1,求x2及m的值， (2)是否存在实数，满足(x1一1)(x2一1) m”5?若存在，求出实数m的值：若不存 6 在，请说明理由. 048 考点 元二次方程的应用 答案 P016 知考情 考向分布 考频 课标要求 列一元二次方程解 金绿 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 决实际问题 明考向 考句 列一元二次方程解决实际问题、 典例1某杂交水稻科研团队在增产攻坚第一阶 常见的一元二次方程的应用问题 段实现水稻亩产量700kg的目标，第三阶段 设：为原来量，平均增长率为x%,增长次数 实现水稻亩产量1008kg的甘标. 变化率 为2，则增长后的量b-a(1十x%),若平均 (1)如果第二阶段、第三阶段水稻亩产量的增 问题 下降率为x%,下降次数为2，则下降后的量 长率和同，求水稻亩产量的平均增长率： b=a(1-x%) (2)按照(1)中水稻亩产量的增长率，科研团 1.如图1，设阴影部分的宽为x,则S白= (a-2x)(b-2x2 队期望第四阶段水稻亩产量达到1200kg,请 2.如图2，设阴影部分的宽为x,则S立白= 通过计算说明他们的日标能否实现. (a-x)(b-x2: 解(1)设水稻亩产量的平均增长率为x 面积 3.如图3，设阴影部分的宽为x,则S 问题 依题意，得700(1十x)3=1008, (a-x)(b-x】 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意， 舍去). 图1 图2 图3 答：水稻亩产量的平均增长率为20%. 1.常用公式：利润=售价一成本：总利润=每 (2)1008×(1+20%)=1209.6(kg). 销售 件利润×销售量； .1209.6>1200, 问题 2.销售问题中，单价每涨a元，少卖b件.若 他们的目标能实现 涨价y元，则少卖(×0)件 规律方法 对于平均增长（或降低）率问题： 1.单循环淘汰赛问题：设x队共进行了m场 循环赛 比赛，则m=x-1) 若基数为a,平均增长率为x,则第n次增长 2 问题 后的数量为a(1十x)";若基数为a,平均降低 2.互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠 送一张，共赠送m张，则m=x(.一1） 率为x,则第n次降低后的数量为a(1一x)” 049 变式训练1列方程（组）解应用题： 有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱 茶园的长和宽， 贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积 为600m的矩形试验茶园，使于成功后大面 积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m, 另外三面用69m长的筒笆围成，其中一边开 过真题 多少（请用方程知识解答）？ ··A组基础题 2021年07月月 1.[2022·黑龙江佳木斯]2022年北京冬奥会女 二三四五六 123 往堂 子冰壶比赛中有若干支队伍参加了单循环比 45678910 11121314151617 赛，若单循环比赛共进行了45场，则参加比 18192021222324 25262728293031 赛的队伍共有 A.8 B.10 C.7支 D.9支 2[2021·黑龙江龙东地区]有一个人忠了流行 性感冒，经过两轮传染后共有144个人患了 5.[2022·四川眉山]建设美丽城市，改造老旧 小区.某市2019年投人资金1000万元，2021 流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染 仟投入资金1AM0万元，现假定每仟投人资金 的人数是 ( 的增长率相同。 A.14 B.11 (1)求该市改造老口小区投入资金的年平均 C.10 D.9 增长率 3.[2023·重庆B卷]为了加快数字化城市建 (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个 设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月 小区80万元.2022年为提高老旧小区品质， 新建了301个充电桩，第三个月新建了500 每个小区改造费用增加15%.如果投人资金 个充电桩.设该市新建智能充电桩个数的月 的年增长率保持不变，求该市在2022年最多 可以改造多少个老旧小区 平均增长率为x,根据题意，请列出方 程 4.[2021·山西]2021年7月1日是建党100周 年纪念日，在本月月历上可以用一个方框圈 出A个数（如图所小），若圈出的四个数中，最 小数与最大数的乘积为65，则这个最小数是 ◆050 6.[2021·山东菏泽]列方程（组）解应用题： 8.[2022·贵州毕节]2022年北京冬奥会期间， 端个节期间，某水果超市调查某种水果的销 某网店直接从T厂购进A,B两款冰墩墩钥 售情况，下面是满查员的对话： 匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销 小干：该水果的进价是每千克22元 售价一进货价》 小李：当销售价为每千克38元吋，每天可售出 A款钥匙扣 B款钥匙扣 160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将 送货价/（元/件） 30 25 增加120千克 销售价/（元/件） 45 37 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每 (1)该网片第一次用850元购进A,B两款冰 大要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾 墩墩钥匙扣共30件，求A,B两款冰墩墩钥匙 客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克 扣分别购进多少件 多少元 (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网 店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣共 80件（进货价和销售价都不变），且进货总价 不高于2200元.应如何设计进货方案，才能 获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，该网店打算把B款冰 墩墩钥匙扣调价销售.如果按照原价销售，平 均每天可售4件.经调查发现，每降价1元， 平均每天可多售2件，将B款冰墩墩钥匙扣 的销售价定为每件多少元时，平均每天的销 售利润为90元？ ·。B组能力题。· 7.[2022·山东泰安]我国古代若作《四元玉鉴》 记裁“买椽多少”问题：“六贯二白一十钱，遣 人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱淮与一 株椽.”其大意是：现请人代买一批椽，这批椽 的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好 等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株 椽？设这批椽共有x株，则下列方程符合题 意的是 () A.3(x-1)x=6210B.3(x-1)=6210 C.(3x-1)x=6210D.3x=6210 051+ 9.[2022·湖北宜昌]某造纸)为节约木材，实 11.【创新考法】【问题提出】某校九年级(1)班 现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使 共有48名同学，如果每两名同学之间通一 冉生纸项日的生产规模不断扩大.该厂3,4 次电话，那么全班同学共通多少次电话？ 月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生 【模型构建】用点A1,A2,A,…,As分别表示 纸的产量比3月份的2倍少100吨. 第1名同学、第2名同学、第3名同学、…、 (1)求4月份再生纸的产量. 第48名同学，人数x与通话次数y之间的 (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5 关系如图所示： 月份生纸的产量比上月增加m%,5月份每 吨再生纸的利润比上月增加0.5m%,则5月 份中生纸项目的月利润达到66万元，求m 2 A =2 =3 =4 =5 x=6 的值 w=1 =3 =6 (3)已知4月份每吨再生纸的利润为1200 【问题解决】(1)第四个图中y的值为 元，至6月份每吨内生纸利润的月平均增长 ,第五个图中y的值为 率与6月份再生纸产量比上月增长的白分数 (2)通过探索发现，通话次数y与人数x之 相同，6月份再生纸项月月利润比上月增加了 间的函数解析式为 ,当x= 25%.求6月份每吨中生纸的利润是多少元. 48时，对应的y= (3)若儿年级(1)班全体女生相互之间共通 话190次，则该班共有多少名女生？ ···C组创新题·· 10.【新定义问题】给定一个矩形，如果存在另一 个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周 长和面积的2倍，那么我们称这个矩形是给 定矩形的“加倍矩形”.当已知矩形的长和宽 分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线的 长为013 小原分式方程的解是x= 解得a>-2且a≠1， 2 .-2<a≤5且a≠1， 8.解：设乙班学生平均每小时挖xkg土豆，则甲 ,所有满足条件的整数4的值之和为一1十 班学生平均每小时挖(x十100)kg土豆 0-2+3+4+5=13. 根据题唐，得1500-1200 x+100 12.解：(1)设乙种粽子的单价为x元，测甲种粽 解得x=400. 子的单价为2x元 经检验，x=400是原方程的解，且符合题意。 依题意，得800_1200=50，解得x=1 答：乙班学生平均每小时挖400kg土豆. 经检验，x=4是原分式方程的解，.2x=8. 9.解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为 答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价 x元 为4元. 根据意意，得-平器6×4， (2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子 解得x=0.2. (200-m)个. 经检验，x=0.2是原方程的解，且特合题意. 依题意，得8m十4(200一m)≤1150， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为 解得m≤87.5. 0.2元. 答：最多购进87个甲种粽子 10.D方程两边同乘x(2x十1)，得2(2x十1)=m,x. 13.解：(1)设普通水稻的亩产量是xkg,则杂交 去括号，得4x十2=mx 水稻的亩产量是2江kg 移项、合并同类项，得(4一m)x=一2. 依题意，得7200_9600=4， ,方程无解，.4-m=0或2x十1=0，.n= 2.c 解得x=600. 4或x= 一2n解得m4或m=0 2 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， 故选D. 则2.x=2×600=1200. 11.13 号3受+1,0 答：普通水稻的亩产量是600kg,杂交水稻的 亩产量是1200kg. 4x+a<x-1.② (2)设把y亩B块试验田改种杂交水稻. 解不等式①，得x<一2. 解不等式②，得x<-4 依题意，得9600一600 (7200-y）+ 600 3 1200y≥17700， x于的不等式知+1 的解集 解得y≥1.5. 4x+a<x-1 答：至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻。 为x<-2, 第六章 一元二次方程 g1-2 考点12 一元二次方程及其解法 解得a≤5. 方程9±昌+2=2可化为a十2-y一2 变式训练16，m是一元二次方程x2十x y-1 1-y 6=0的一个根， 2(y-1), .将x=m代人方程x2十x一6=0， 解得) 得m2+m-6=0,即m+m=6. 变式训练2解：小敏：×：小霞：× :关于y的分式方程±号+壮2=2的解为 y-1十1-y 正确的解答过程如下： 止数， 移项，得3(x一3)-(x-3)2=0. 号2>0且-10， 提公因式：得(x一3)(3x十3)=0， 则x-3=0或3-x十3=0， ◆014 解得x1=3,x2=6. 8.A解方程x2-6x+8=0,得x1=4,x2=2. 1.D化简方程，得(m一3)x2十(2-9)x 如图，令AC=4,BD=2.四边形ABCD是菱 5=0. 形，·∠A0D=90°，A0=(C=2,B)=DO=1. 由题意，得m一3≠0且m2一9=0，解得m= 在Rt△AOD中， 一3.枚选D. 由勾股定理，得AD=√A)+OD=√2+1严= 2.D,'x2+4x十3=0， √5.故选A. .(x+1)(x十3)=0，x十1=0或x十3=0， ∴.1=-1，x2=-3. 故选D. 3.B移项，得3x2-6x=1 9.B,m为方程x2+3x-2022=0的根， 两边同时乘子，得2+2x=子 .∴.m2+3m-2022=0,m2+3m=2022, ∴.原式=3+3n2-m2-3mm-2022m-2022= 配方，得2+2x+1=}一1，即x+1=青 m(m2十3m)-(m2+3m)-2022m十2022= a=l6=合 2022m-2022-2022m+2022=0. 故选B. a十b-子故选B 10.12斛方程x2-8x+15=0,得x1=3,x2=5. 当第三边的长为3时，2+3=5，不符合三角形 4.C实数，b足一元二次方程(x一3)(x一1)=0 三边关系定理，不能组成三角形，命去；当第 的两个根，且<，∴.是=一3，=1， 二边的长为5时，符合二角形三边关系定理， ∴.一次函数y=一3.x一1的图象经过第一、二、 能组成三角形，此时三角形的周长为2一5一 四象限，不经过第三象限.故选C 5=12. 5.2019把x=3代入方程，得9a-3b=6, 11.-2方法1：W=5x2-4xy十y2-2y-8x-3 即3u-b=2, =x2+4x2-4xy十y2-2y+8x十3 则原式=2023-2(3a一b)=2023一4=2019. =4x2-1xy+y2-2y十x2+8.z+3 6.解：移项，得x(x一7)-8(7-x)=0, =(2x-y)2-2y十x2+4.x+4x+3 则x(x-7)一8(x一7)=0. =(2x-y)3+4.x-2y+x2+4x+3 提公图式，得(x一7)(x十8)=0， =(2x-y)2-2(2x-y)+1-1+x2-4x- 解得=7,2=一8. 4-4+3 7.解：(1)由题图知a<0<h,∴ab,al0. =[(2x-y)2+2(2x-y)-1T+(x2+4x+4)-2 故答案为<，< =(2x-y+1)2+(x+2)2-2. (2)①利用公式法解方程x2十2x一1=0， ,x,y均为实数， △=-4ac=22-4×1X(-1)=8>0, .(2x-y+1)2≥0，(x-2)≥0， x=-b=y-4ac--2±22 .Ww≥-2， 2a 2 ,W的最小值为一2。 .x1=-1十√2，x2=-1-√2. 方法2：由题意，得5x2+(8-4y)x+(y2 ②利用因式分解法解方程x2一3x=0, 2y+3-W)=0. .x(x-3)=0,.=0,x2=3. x为实数，△≥0， ③利用配方法解方程x2一1x=4, ∴.(8-1y)-20(y2-2y十3-W)≥0， 方程两边同时加4，得x2一4x一4=8， 即5W≥(y+3)2-10≥-10， .(x-2)2=8,.x-2=±2√2， .W≥-2， ∴.x1=2十2v2,x2=2-2v2. .W的最小值为一2. ④利用因式分解法解方程x一4=0， 12.解：解不等式5(a-2)十8<6(a一1)+7， .(x十2)(x-2)=0,.x=-2,x2=2 得>一3，则不等式的最小整数解为一2. 015 将a=-2代入方程x2+2ax+a十1=0： ,方程的两根之积为￡=一2， 得x2-1x-1=0. 配方，得(x一2)2=5. .方程的另一个根为一2÷(-1)=2. 6.10,x1,x2是一元二次方程x2一2x一3=0 两边开平方，得x一2=十5， 的两个实数根， x1=2十√5，x2=2-√5. 01十2=-2，x1x2=-3, 13.2或-1，min(x-1)2,x2}=1 .x+x=(0-x2)2-2x1x2=(-2)2-2 .(x-1)2=1或x2=1. (-3)=10. 当(x一1)2=1时，解得x1=2,x2=0.当x=0 7,解：使这个方程有两个不相等的实数根， 时，x=0,不符合题意，∴x=2; .形-4ac>0,即>4c, 当x2=1时，解得x1=1,2=一1.当x=1 ②③均可选择 时，(x一1)2=0，不符合题意，x=一1. 选②解方程，则这个方程为x2+3x十1=0， 综上所述，x的值为2或-1. “x=一b+Y-ac=-3士5 2a 2 房点13 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 --3+ 2 ,x=-3-5 2 变式训练1A根据题意，得△=[一（一3）2- 4(-k+1) 或选③解方程，则这个方程为x2+3x-1=0, =2一6十9十1一4 x--b+公-4ac--3±3 =k2-2k+5 2a =(k-1)2-4. =3+/1 ,(k-1)2≥0， 2 ,4=3,压） 2 ∴.(-1)2-4>0，即△>0， 8.D,直线y=一x一m不经过第一象限， ,方程有两个不州等的实数根 .m≤0. 当m=0时，方程mx2十x十1=0是一元一次 故选A 方程，有一个根； 变式训练2 1 2021 一元二次方程x2一x 当m<0时，关于x的方程mx2十x十1=0为 2021=0的两根分别为，2， 一元二次方程.，△=1一4m>0, .m-n=一1，mm=-2021, ∴.关于x的方程n.x2十x十1=0有两个不相等 +是--22 的实数根。 m n mn 放选D. 1.A由题意，得△=32-4×1×(-2)=17>0， 9.B设此方程的两个根是a,A.根据题意，得α十 ,方程有两个不州等的实数根.故逃A 8=一=一2,8=g=一20，则以&，8为根的一 20根据题意，得△-1一4m=0,解得m-是 元二次方程是x2+2x一20=0.故选B. 10.0方法1：设菱形的两条对角线长分别为 故选C a.b. 3.B由题意，得 fa≠0， 1a-b=10, 22+4a>0, .a>-1且a+0. 由题意，得 ab=22, 故选B. 4.3:x1,2是一元二次方程x2一4x一3= ·菱形的边长为（侣）+( 0的两个根，.由根与系数之间的关系，得 合后+8 1-2 v√(a-b)2-2eb 20x2=3. 5.一12将x=一1代入原方程可得1一m一 210-4-75=√m. 2=0, 解得m=一1. 方法2：由题意，得2n=11,解得m=22, ◆016 ,.一元二次方程为x2-10x一22=0. -3. 解得x1=5+3,x2=5√3， (2)a≠6， 则该菱形的边长为(+)'+(。 .a2≠6或a=b(a=-b). ①当a≠b时，令a2=m,b=n,则m≠n, √14.放选C ∴.2m2-7m+1=0,2m2-7n十1=0， 11.8或9当4为腰长时，将x=1代人x2 ∴.m,n是方程2x2一7x十1=0的两个不相等 6x十n=0,得42一6X1十n=0, 的实敏根， 解得n=8. 当n=8时，原方程为x2一6x十8=0，解得 T1=2,x2=4. 此时a+b=m2+2=(m十n)2-2mn=45 ,2十4>4，∴n=8符合题意. 当4为底边长时，关于x的方程x2一6x十n= ②当ad2-6(a=-b)时，a2-6=7±y页 4 0有两个相等的实数根， ∴.△=(-6)2-4×1×n=0,解得n=9. 光时a+=2a=2ayr-2(生④) 当n=9时，原方程为x2-6x十9=0，解得 45±74T 2x1=x2=3. 4 ,3十3=6>4，.n=9符合题意. 综上所述，n的值为8或9. 综上所迷，a+6=45或a'+6=45十7/④ 4 4 12.解：(1)根据题意，得△=(-6)2一4(2m 1)≥0，解得m≤5. (83)今证=，-8=9，则分+p-7=0,g 十x2=6,x4=2m-1,x=1, 9-7=0. ∴.1十x2=6,x2=2m-1, >0, .x2=5,7m=3. 品≠n岸 (2)存在.m=2. p,9是方程x8一x一7=0的两个不相等的 若(x-1D(x-1)=m5 6 实数根， 对-a十+1=5写： …p+q=-1,g=-7, 故1+n2=p2+q=(p一9)2-2pg=15. 卑2m-1-6+1n写 m 整理，得m2一8十12=0， 考点4一元二次方程的应用 解得=2,2=6. 变式训练1解：设茶园垂直于墙的一边长为 ,m≤5且m≠5， xm,则另一边的长度为(69十1一2x)m .m=2, 根据题意，得x(69-1一2x)=600. 六存在实数m满足（五-1）(4一1)=6 -5' 整理，得x一35x十+300=0， m=2. 解得2x=15,x2=20. 13.解：(1)令y=x2,则原方程可化为y2一5y- 当x=15时，70一2x=40>35,不符合题意， 6=0. 含去； 固式分解，得(y一2)(y-3)=0, 当x=20时，70一2x=30<35,符合题意. 1=2,y2=3, 答：这个茶园的长和宽分别为30m,20m. x2=2或x2=3, 1.B设参加比赛的队伍共有x支.根据题意，得 x=√2，x2=-2,4=3,x4=一3. x(x1D=45, 2 故答案为1=√2,2=一√2，=√3,4= 解得x=10或x=一9（不合题意，舍去），∴.参 017 加比赛的队伍共有10支.故选B. 10件. 2.B设每轮传染中平均一个人传染了x个人， (2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B 依题意，得1-x十x(1十x)=144,即(1十x)2 款冰墩墩钥匙扣(80一m)件 144,解得x=11,x2=一13（不合题意，舍去）. 由题意，得30m十25(80一m)2200, 故选B. 解得m≤40. 3.301(1+x)=500 设销售利润为w元，则w=(45一30)m一(37 4.解：设这个最小数是x,则最大数是x十8. 25)(80一7m)=3n十960， 依题意，得x(x+8)=65. w是关于m的一次函数，且3>0， 整理，得x2十8x-65=0, 随着的增大而增大， 解得x1=5,x=-13(不合题意，舍去). .当m=0时，销售利涧最大，最大销售利涧 答：这个最小数是5. 为3×40+960=1080（元）. 5.解：(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平 答：购进A款冰墩墩钥匙扣40件，B款冰景墩 均增长率为x 钥匙扣40件时销售利润最大，最大销售利润为 依题意，得1000(1十x)2=1440, 1080元. 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍 (3)设B款冰缴墩朝匙扣降价a元销售，则平 去). 均每天可多售2a件. 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长 由题意，得(4十2a)(37-25-4)=90, 率为20%. 解得a1=3,a2=7. (2)设该市在2022年可以改造y个老旧小区， 答：将B款冰墩墩钥匙扣的销售价定为每件34 依题意，得80×(1+15%)y≤1440×(1+ 元或30元时，平均每天的销售利润为90元. 20%,解得≤器 9.解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月 份再生纸的产量为(2x一100)吨. 又y为正整数，y的最大值为18， 由题意，得x一(2x一100)=800， 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧 解得x=300. 小区 .2x-100=500. 6.解：设这种水果的销售价每千克降低x元 答：4月份再生纸的产量为500吨. 由题意，得 (2)由题意，得500(1-m%)×1000×(1+ (88-x-22)(160-音·120)-3640， 0.5m%)=660000, 解得m%-20%或m%=一3.2（舍去）. 整理，得x2-12x十27=0，解得x=3或x=9. ,.m=20 要尽可能让顾客得到实惠，∴x=9, (3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增 ∴.38-9=29. 长率为y,5月份再生纸的产量为a吨. 答：这种水果的销售价为每千克29元. 由题意，得1200(1+y)·a(1十y)=(1+ 7.A,这批椽买有x株，每株橡的运费是3文， 25%)×1200(1十y)·a, 少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等丁一株 .1200(1+y)=1500. 椽的价钱，.一株椽的价钱为3(x一1)文 答：6月份每吨再生纸的利涧是1500元. 依题意，得3(x一1)x=6210.放选A 10.2√/13设“加倍矩形”的长为x,则宽为8一x. 8.解：(1)设A,B两款冰墩墩钥匙扣分别购进x 依题意，得x(8-x)=2×3×1. 件和y件。 整理，得x2-8x十6=0， 由题意，得 x-y=30, 30x-25y=850, 解得x=4+√10，z2=4-√10 解得=20， 当x=4+√10时，8-(4十√10)=4-√/10< 1y=10. 4一√10，符合题意 答：A,B两款冰墩墩钥匙扣分别购进20件和 当x=4-√/10时，8-(4-√V10)=4+√10≥ ◆018 4一√10，不符合题意，舍去 12m一5>0解得m>3. .“加倍矩形”的对角线的长为 6-2m<0, 4解：解不等式①，得x1. √(4+√10)3+(4-√/10)2=2/13 解不等式②，得x≥一3. 11.解：(1)观察题图，可知第四个图中y的值为 所以原不等式组的解集为一3≤x<1. 10,第五个图中y的值为15 fx-2≤2x,① 故答案为10,15. 5.解： (21=21,3=32,6=43,10=54 x-11+2红.@ 3 2 2 2 2 解不等式①，得x≥—2. 15=6y-≥2 解不等式②，得2<4， 2 '.原不等式组的解集是一2≤x<4, 当x=48时，y=48X(48-）=1128. 2 该不等式组的整数解是一2，一1,0,1,2,3. -2+(-1)+0+1+2+3=3, 故答案为y=x,D(≥2)，1128. .该不等式组的所有整数解的和是3. 2 (3)依题意，得(，1=190. 6.解：(1)根据题意，得P=3×(合-2）=3× 2 化简，得x2-x-380=0, (-)=-5. 解得x1=20,x2=一19（不合题意，舍去）. (2)由数轴可知，P≤7， 答：该班共有20名女生. 第七章不等式（组） 即3（得-m7, 解得m≥一2 方点15 一元一次不等式（组） m为负整数，m=一1，一2. 7.A,a>b,∴.当a>0时，a2>ah:当a≤0时， 变式训练1解：去括号，得5x-1<8+2x. a≤ab,故①结论错误； 移项，得5x-2x<8-1. a>b,.当1a>|b1时，a2>2,当a≤1b 合并同类项，得3x<7. 时，a≤，故②结论错误； 系载化为1，得<号 a>b,.a-b>2b,做③结论错误； a>b,b>0,a>b>0, 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： ←分故团结论正确， 5-4-3-2-10127345 .正确的个数是1.故选A 8.A解不等式红，得m一3<x<3. 变式训练2解：解不等式x-1<0,得x<1. 由题意，得一2m+3<-1, 解不等式22≥一1，得x≥-台 解得-5≤m<一4.故选A. 不等式组的解集为一号<<1， 9.m≥一1解不等式红 3 ∴，不等式组的签数解为一1,0. 2x-m≥x, 变式训练3C解不等式x十6<4x一3，得 得 {x≥-1， x>3.,x>m且不等式组的解集为x>3, (x≥n. .m≤3.故选C 不等式组的解集为x≥m,.≥一1. 1.AC 2x+3y=3+a,① 10.6(答案不唯一) x-2y=6.② 2A2<0,“x-1<0,r<1.故选A ①-②，得x-y=a-3. 3.m>3,点A(2m-5,6-2m)在第四象限， ,十y>22,