精品解析：河南省周口市沈丘县中英文学校等2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024-2025学年第一学期第一次教学测评九年级数学 注意事项： 1． 此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100 分钟． 2． 请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题 (每小题3分，共30分) 1. 下列式子中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】、、是二次根式， ∵＜0 ∴不是二次根式 故选D． 【点睛】此题主要考查二次根式的识别，解题的关键是熟知二次根式有意义的条件． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、，不是一元二次方程，故C不符合题意； D、，是一元二次方程，故D符合题意； 故选：D 3. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，所以此选项正确； B．，所以此选项错误； C．，所以此选项错误； D．，所以此选项错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4. 用配方法解一元二次方程：时，方程两边同时加上（ ） A. B. 7 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，由于二次项系数为1，那么只需要把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解： ，即， 故选：D． 5. 若方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可． 【详解】解：由题可知：“△＜0”， ∴, ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握． 6. 下列各组根式中，能合并的是（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】首先把二次根式化简，化简后被开方数相同的能够合并． 【详解】解：A、，2与不能合并，故错误； B、，与能合并，正确； C、，|b|，不能合并，故错误； D、与不能合并，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的定义，解决本题的关键是熟记同类二次根式的概念． 7. 关于x的一元二次方程 的两个根分别是3，，则p、q的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后解方程即可得到p和q的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴，． 故选：B． 8. 若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系判断第三条边的长度，然后再求周长． 【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，，，这不满足三角形的三边关系； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系，此时周长为． 综上可知，三角形的周长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论和三角形三边关系，通过二次根式的比较确定第三边的长度，再求周长． 9. 若，，则a与b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，点P，Q分别从A，B两点出发沿方向向终点C匀速运动，其速度均为．设运动时间为ts，则当面积是的面积的一半时，t的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设后，的面积是面积的一半，根据三角形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设后的面积是的面积的一半，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 二、填空题 (每小题3分，共15分) 11. 一元二次方程的常数项是______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程化成一元二次方程的一般式，即可求解． 【详解】解：化简整理，得 ∴常数项为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式，是常数，且，其中叫二次项， 叫一次项，c是常数项是解题的关键． 12. 计算：_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 若一元二次方程 的两个实数根分别是的两条边，则这个直角三角形的面积为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及勾股定理，熟练掌握方程的解法及勾股定理是解本题的关键．求出方程的解确定出直角三角形的两边，进而求出两直角边，得出面积即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当4是直角边时，两直角边为3，4，面积为； 当4是斜边时，根据勾股定理得：， 此时两直角边为3，，面积为， 综上所示，该直角三角形的面积是6或． 故答案为：6或． 14. 字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示 x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为_________________． 【答案】3或1 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，分当，即时，当，即时，两种情况根据新定义建立方程求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为3或1， 故答案为：3或1． 15. 斐波那契(年)是意大利数学家，他研究了一列数，被称为斐波那契数列．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数．斐波那契数列中的第n个数可以用表示，斐波那契数中的第4个数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】将n=4代入计算即可得，注意其中用到平方差公式进行化简． 【详解】解：把n=4代入，可得： ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，关键在于要利用平方差公式与完全平方公式进行计算． 三、解答题 (本大题共8个小题，共75分) 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则计算，再算加减即可． 【详解】解：原式= = = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 18. 已知关于x的方程，求证：不论m为何值时，方程总有实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m-2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根． 详解】证明：情况一：当时，．得，有实数根． 情况二：当时，此方程为一元二次方程． ∵． ∴不论m为何值时，，即， ∴方程总有实数根． 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，以及根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根，会分类讨论是解答此题的关键． 19. 先化简，再求值： 其中 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化等知识，根据分式的性质，乘法公式的运用进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）已知： 是该方程一个根，求m的值； （2）当时，该方程的两个根是等腰的两边长，求该三角形的面积． 【答案】（1）0或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，等腰三角形的定义，勾股定理，掌握相关定义语定理是解题的关键． （1）将代入方程算出即可； （2）根据求出方程的两个根，之后进一步确定等腰三角形的腰以及底边，根据勾股定理得到底边上的高，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：是该方程的一个根， ， 解得或者； 【小问2详解】 解：当时，得， 解得，， ，， 该等腰三角形的腰为，底边长为， 底边上的高线为， 该等腰三角形的面积为． 21. ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． （1）已知，其中x是一个整数，且0＜y＜1，请求出的值； （2）小丽说：“若a代表的整数部分，b代表它的小数部分，则我这个钱包里的钱数是元，”请你计算钱包里的钱数． 【答案】（1）17 （2）1元 【解析】 【分析】（1）根据意义求出x和y的值，再代入式子计算即可； （2）估算的大小，确定a和b的值，再代入式子计算即可． 【小问1详解】 ∵，∴ ， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，∴ ，， ∴， ∴这个钱包里的钱数为1元． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义和平方差公式的运用是解题的关键． 22. 定义新运算“”：当时，；当时，． （1）当时，求的值． （2）若，求x的值． 【答案】（1）6 （2）或 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． （1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可． 小问1详解】 解：当时， ； 【小问2详解】 当时，即：时，， 解得： ； 当时，即：时， 即， 解得：， ∵， ∴． 所以x的值是或 23. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；① ；② ；③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ；④ （1）请用不同的方法化简：； a：参照③式得____________； b：参照④式得____________； （2）化简； （3）化简：（n为正整数）． 【答案】（1），； （2）－ （3） 【解析】 【分析】（1）a：将的分子分母同乘以进行化简，b：将2改写为，进而转化为利用平方差公式即可化简； （2）先将各项进行分母有理化，最后合并即可； （3）先将各项进行分母有理化，最后合并即可． 【小问1详解】 解： a： ， b： ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：原式＋ ＋ －＋－ － －； 【小问3详解】 解：原式＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ． 【点睛】本题考查分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式的二次根式，熟练掌握分母有理化技巧是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期第一次教学测评九年级数学 注意事项： 1． 此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100 分钟． 2． 请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题 (每小题3分，共30分) 1. 下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程：时，方程两边同时加上（ ） A. B. 7 C. D. 1 5. 若方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组根式中，能合并的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 关于x的一元二次方程 的两个根分别是3，，则p、q的值为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 8. 若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 或 9. 若，，则a与b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，在中，，，，点P，Q分别从A，B两点出发沿方向向终点C匀速运动，其速度均为．设运动时间为ts，则当的面积是的面积的一半时，t的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 (每小题3分，共15分) 11. 一元二次方程的常数项是______． 12 计算：_____________ 13. 若一元二次方程 两个实数根分别是的两条边，则这个直角三角形的面积为__________________． 14. 字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示 x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为_________________． 15. 斐波那契(年)是意大利数学家，他研究了一列数，被称为斐波那契数列．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数．斐波那契数列中的第n个数可以用表示，斐波那契数中的第4个数是______． 三、解答题 (本大题共8个小题，共75分) 16. 解方程：． 17 计算： 18. 已知关于x的方程，求证：不论m为何值时，方程总有实数根． 19. 先化简，再求值： 其中 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）已知： 是该方程的一个根，求m的值； （2）当时，该方程的两个根是等腰的两边长，求该三角形的面积． 21. ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． （1）已知，其中x是一个整数，且0＜y＜1，请求出的值； （2）小丽说：“若a代表的整数部分，b代表它的小数部分，则我这个钱包里的钱数是元，”请你计算钱包里的钱数． 22. 定义新运算“”：当时，；当时，． （1）当时，求的值． （2）若，求x的值． 23. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；① ；② ；③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ；④ （1）请用不同的方法化简：； a：参照③式得____________； b：参照④式得____________； （2）化简； （3）化简：（n为正整数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$