精品解析：2024年湖南省长沙市中考数学模拟试题

2023-2024学年中考数学模拟试题（长沙地区适用） 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔2688000米之遥，其中2688000用科学记数法表示应为（ ） A. 2.688×107 B. 26.88×105 C. 2.688×106 D. 0.2688×107 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A. 0.90 B. 0.82 C. 0.85 D. 0.84 4. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 某农场开挖一条长480米渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若，，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：_____． 12. 在中，，AC：BC=1：2，则sinB的值为________． 13. 关于x的分式方程有增根，则___________． 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝4，点A到边BC，CD距离分别为AM、AN，且AM=2 ，则∠MAN的度数为_____． 15. 如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转后得到对应四边形（旋转角小于180°），连接AC，若，则菱形ABCD旋转的角度是____度． 16. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为的值代入求值． 19. 超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． （1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 20. 如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 21. 新颁布的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，彰显劳动教育的重要性．为了解某校学生一周内劳动教育情况，随机抽查部分学生一周内课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图的图1和图2． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中m的值为 　 　，此次抽查数据的中位数是 　 　h； （2）求该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校学生一周内课外劳动时间不小于的人数． 22. 已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示． （1）求I关于R的函数表达式； （2）若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围? 23. 在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． （1）请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． （2）根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 24. 如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O半径． 25. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 26. 如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G； （1）如图1，当∠DAG=30° 时，求BE长； （2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； （3）如图3，在矩形ABCD中，E，G分别是BC、CD上的一点，AEEG，将△EGC沿EG翻折得，连接，若是以AE为腰的等腰三角形，则BE的值为 ．（直接写出答案） 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，若抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点是直线下方的抛物线上一点，过点作，交轴于点，且，求点的横坐标； （3）如图2，点在点的正下方，连接，交抛物线于点，直线交对称轴于点，作，交射线于点，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年中考数学模拟试题（长沙地区适用） 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔2688000米之遥，其中2688000用科学记数法表示应为（ ） A. 2.688×107 B. 26.88×105 C. 2.688×106 D. 0.2688×107 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：2688000＝2.688×106． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 3. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A. 0.90 B. 0.82 C. 0.85 D. 0.84 【答案】B 【解析】 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 4. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 5. 如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程即可． 【详解】由题意得： ． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 7. 如图，是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若，，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，根据圆内接四边形性质定理，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，由直径所对的圆周角是直角可知，最后根据即可得到与之间的关系． 【详解】解：连接、、， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：连接、 ∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形． ∴， 则， 依题意，， ∴，则， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键． 9. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 10. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 在中，，AC：BC=1：2，则sinB的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设AC=x，则BC=2x，根据勾股定理得，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，即可得． 【详解】解：设AC=x，则BC=2x， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点． 13. 关于x的分式方程有增根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出． 【详解】， 解：方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根． 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝4，点A到边BC，CD的距离分别为AM、AN，且AM=2 ，则∠MAN的度数为_____． 【答案】60°或120° 【解析】 【分析】运用平行四边形、锐角三角函数以及垂直的性质,分两种情形画图讨论解答即可． 【详解】解：如图1： ∵AM⊥BC，AB=4,AM=2 ∴ ∴∠MAB=30° 又∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD ∵AN⊥DC ∴AN⊥AB,即∠NAB=90° ∴∠MAN=∠NAB+∠MAB=120° 如图2： 同理可得∠MAN=60° 故答案为60°或120°． 【点睛】本题考查了平行四边形、平行线的性质以及分类讨论，其中掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 15. 如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形（旋转角小于180°），连接AC，若，则菱形ABCD旋转的角度是____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键．根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ 即菱形ABCD旋转的角度是度， 故答案为： 16. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义． 连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解． 【详解】连接， ∵轴 ∴ 故答案为：3 三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】先算括号，后算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序是解题关键． 18. 先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式运算法则把所给代数式化简，然后从的范围内选取一个使原分式有意义的整数代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，且为整数， ∴可取的整数为－2，－1，0，1，2， ∵要使分式有意义， ∴，且， ∴只能取±2， ∴当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，无理数的估算，以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 19. 超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． （1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 【答案】（1）A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元； （2）至少购进A种商品100件． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用： （1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元”列出方程组解答即可； （2）设购进A种商品件，则B种商品件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设A甲种商品每件进价x元，B种商品每件进价y元， 根据题意，得，解得：， 答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元． 【小问2详解】 解：设A种商品购进a件，则B种商品件， 根据题意，得， 解得：， 答：至少购进A种商品100件． 20. 如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平移的性质： （1）利用平移的性质得出四边形是平行四边形，得，再证明，进而利用证明即可； （2）根据角平分线的定义得出的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可． 【小问1详解】 证明：由平移可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在与中， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：平分，， ， ． 21. 新颁布的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，彰显劳动教育的重要性．为了解某校学生一周内劳动教育情况，随机抽查部分学生一周内课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图的图1和图2． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中m的值为 　 　，此次抽查数据的中位数是 　 　h； （2）求该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校学生一周内课外劳动时间不小于的人数． 【答案】（1）25，3 （2）该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间为 （3）该校学生一周内课外劳动时间不小于的人数为1400人 【解析】 【分析】（1）两个统计图结合计算出随机调查的总人数，用劳动4小时的人数除以调查总人数求出m，利用中位数的定义，中位数应是第20和21的中位数． （2）利用平均数的定义，计算出调查的总课外劳动时间除以调查人数即可． （3）计算出调查人数中不小于的人数占比再乘该校总人数得出答案． 【小问1详解】 解：人，． ∴． 中位数：． 故答案为：25，3； 【小问2详解】 解：． 答：该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间为． 【小问3详解】 解：人． 答：该校学生一周内课外劳动时间不小于3h的人数为1400人 【点睛】本题条形统计图和扇形统计图，中位数，平均数，样本估计总体，解题关键是掌握中位数和平均数的求法，会利用样本估计总体． 22. 已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示． （1）求I关于R的函数表达式； （2）若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围? 【答案】（1） （2）该可变电阻应控制在以上 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可解答； （2）结合图像和反比例函数，即可解答． 【小问1详解】 解：设 ，图象经过， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴该可变电阻应控制在及以上． 23. 在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． （1）请问方方所画三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． （2）根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 【答案】（1）有错，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图求几何体的体积，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图的定义． （1）根据几何体的三视图的定义及其画法进行判断即可； （2）根据三视图结合长方体的体积公式和圆锥的体积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：方方所画的三个视图中左视图错了， 正确的为： 【小问2详解】 解： ， 答：其体积． 24. 如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析 （2）cm． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，证出∠1＝∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线； （2）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，由勾股定理求出AD，证明△ADC∽△AED，得出对应边成比例，求出直径AC，即可得出⊙O的半径． 【小问1详解】 证明：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2， ∵AD平分∠CAM， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴MN∥OD， ∵DE⊥MN， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：连接CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝＝＝5， ∵DE⊥MN， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADC＝∠AED， 又∵∠2＝∠3， ∴△ADC∽△AED， ∴， 即， ∴AC＝， ∴OA＝AC＝， 即⊙O的半径为cm． 【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 25. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G； （1）如图1，当∠DAG=30° 时，求BE的长； （2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； （3）如图3，在矩形ABCD中，E，G分别是BC、CD上的一点，AEEG，将△EGC沿EG翻折得，连接，若是以AE为腰的等腰三角形，则BE的值为 ．（直接写出答案） 【答案】（1） （2） （3）当为等腰三角形时，或 【解析】 【分析】（1）先求出，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）如图所示，连接EG，先证Rt△GFE≌Rt△GCE得到CG=FG，设CF=FG=x，则DG=3-x，AG=3+x，在Rt△ADG中，，得到，由此求解即可； （3）分当为等腰三角形，时，当为等腰三角形，时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠B=90°， ∵∠DAG=30°， ∴∠BAG=60°， 由折叠的性质可知， ∴AE=2BE， 在Rt△ABE中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接EG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=∠C=90°， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 由折叠的性质可知，BE=FE，∠AFE=∠B=90°，AF=AB=3， ∴EF=EC，∠GFE=∠GCE=90°， 又∵EG=EG， ∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL）， ∴CG=FG， 设GF=FG=x，则DG=3-x，AG=3+x， 在Rt△ADG中，， ∴， 解得， ∴ 【小问3详解】 解：如图1所示，当为等腰三角形，时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， 由折叠的性质可知，， ∴， 设BE=x，则 在Rt△ABE中，， ∴， 解得， ∴； 如图2所示，当为等腰三角形，时，过点A作AH⊥于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠AHE=90°， 由折叠的性质可得， ∵AE⊥EG， ∴∠AEG=90°，， ∴∠AEB+∠CEG=90°， ∴∠AEB=∠AEH， 又∵AE=AE， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴BE=EH， ∵， ∴， ∵BE+CE=BC=4， ∴3BE=4， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，矩形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，若抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点是直线下方的抛物线上一点，过点作，交轴于点，且，求点的横坐标； （3）如图2，点在点的正下方，连接，交抛物线于点，直线交对称轴于点，作，交射线于点，求的大小． 【答案】（1） （2）点的横坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将，，代入抛物线解析式，得到，求出的值即可得出答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为：，设点的坐标为，从而求出直线的解析式为：，进而得出，表示出，解方程即可得出答案； （3）设点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为：，联立，得出，再利用待定系数法求出直线的解析式为：，从而得出，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而得出，即可得解． 【小问1详解】 解：，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 将，代入直线得：， 解得：， 直线的解析式为：， 点是直线下方抛物线上一点， 设点的坐标为， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ， ， ， ， ， 或， 点是直线下方的抛物线上一点， ， ， ， 解得：或， ， ， 点的横坐标为； 【小问3详解】 解：点在点的正下方， 设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 整理得：， ， 解得：，， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 点的横坐标为，纵坐标为， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 作，交射线于点， 点的横坐标为，纵坐标为， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合—线段问题，勾股定理求两点之间的距离等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$