专题02 分式与分式方程（考点串讲）八年级数学上学期鲁教版五四制

八年级新鲁教版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲02 分式与分式方程 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 七大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期中真题对应考点练 考点透视 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 分式有意义的条件：B≠0； 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.   知识点3：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点4：分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点5：分式的乘除 知识点6：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： 知识点7：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： 知识点8：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点9：分式方程应用 (1) 审：审清题意，找出相等关系； (2) 设：设出未知数； (3) 列：列出方程； (4) 解：解这个分式方程； (5) 验：验根（包括两方面：①是否是分式方程的根；②是否符合题意）； (6) 答：写答案. 题型剖析 题型一 分式的判定 例1．下列各式中是分式的是（      ） A． B． C． D． xy 【答案】A 【详解】解：A、满足分式的定义，是分式，故符合题意； B、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； C、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； D、xy中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，根据分式的定义逐项判断即可。 举一反三 1．下列各式：，，3a+ ，，﹣，，其中分式有（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：，3a+ ，中，分母不含有字母，不是分式； ，，﹣分母中含有字母，是分式，共3个． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式．根据分式的定义逐个判断即可． 题型二 分式有意义及无意义的条件 例1．在关系式y=中，自变量x的取值范围为（     ） A．x＞2 B．x≠2 C．x＜2 D．x≠2且x≠0 【答案】B 【详解】由题意得，2x－4≠0， 解得：x≠2，     故选：B． 【点拨】此题考查了函数自变量有意义的条件，根据关系式y=中2x－4不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 举一反三 1．若分式无意义，则x的值为（       ） A．1 B．－1 C．－1或1 D．0 【答案】C 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴x=1或－1， 故选：C． 【点拨】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 题型三 含乘方的分式乘除混合运算 例1． 例2． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点拨】本题考查零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、含乘方的分式乘除运算． （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案； （2）先乘方再计算乘除，再约分即可求解． 举一反三 1．计算： 【答案】 【详解】 【点拨】本题考查分式乘除运算，涉及约分、分式乘除运算法则等知识，先将除法转化为乘法，再约分即可得到答案，熟练掌握分式乘除运算法则是解决问题的关键． 题型四 分式加减乘除混合运算 例1．化简： 【答案】 【详解】解：原式 【点拨】本题主要考查分式的化简，先运算括号的分式，然后运算除法，最后运算减法解题即可． 举一反三 1．化简： 【答案】 【详解】解： 【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则与顺序是解题的关键．先算括号里，再算括号外的即可． 题型五 分式化简求值 例1．先化简，再求值： ，其中 【答案】 【详解】解： 当 ，原式= = 【点拨】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再把x的值代入计算即可． 举一反三 1．先化简： ，再从 ， 中选择一个合适的m值代入求值． 【答案】 ，当 时，原式 ． 【详解】解： ∵m=1或±2时，原分式无意义 ∴ m=-1 当m=-1时，原式＝-3 【点拨】先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从±1，±2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 题型六 解分式方程及其增根问题 例1．已知关于x的方程． （1）当k= 时，此方程的解为x=1； （2）当k= 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 【答案】 0 4 k＞-4且k≠4 【详解】解：， 去分母，得：k －2(x －2)=2x， 去括号，得：k －2x +4=2x， 移项、合并，得：4x =k+4， 系数化为1，得：x=+1， （1）∵方程的解为：x=1， ∴+1=1，解得：k=0， 故答案为：0； （2）∵方程会产生增根， ∴2(x－2) =0， ∴x=2， ∴+1=2， 解得：k=4 故答案为：4； （3）∵方程的解是正数， ∴+1＞0且+1≠2， 解得：k＞-4且k≠4， 故答案为：k＞-4且k≠4． 【点拨】本题考查含参数的分式方程，熟练掌握解分式方程以及根据分式方程解的情况确定分式方程中的参数的方法是解题的关键． （1）先化简分式方程为x=+1，将x=1代入求解即可； （2）当2(x－2) =0时可产生增根，即x=2时，代入x=+1求解即可； （3）结合解为正数且没有增根，得+1＞0且+1≠2，求解即可． 举一反三 1．解分式方程： 【答案】x=1 【详解】解： ， ∴x2―x―2= x2―3x， ∴2x=2， 解得：x=1， 经检验，x=1是分式方程的解． 【点拨】本题考查了解分式方程，先去分母，合并同类项，即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 题型七 分式方程的应用 例1．车间准备加工1000个零件，在加工了400个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的2倍，结果共用5天完成了任务．若设该车间原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该车间原来每天加工x个零件， 根据题意得：， 故选：D． 【点拨】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解决问题的关键．根据共用5天完成任务，等量关系为：先加工的400个零件用的时间+引进后新工艺后加工的600个零件用的时间=5，即可列出方程． 举一反三 1．中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》的套数的2倍，求每套《三国演义》的价格． 【答案】每套《三国演义》的价格为80元 【详解】解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为(40+x)元，由题意，得：， 解得：x=80； 经检验，x=80是原方程的解， 答：每套《三国演义》的价格为80元． 【点拨】本题考查分式方程的实际应用，设每套《三国演义》的价格为x元，根据每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》的套数的2倍，列出分式方程进行求解即可． 易错易混 易错题型一——利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【答案】B 【详解】解： ． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的分子分母都乘以或除以一个不为0的整数，分式的值不变，即可得到答案． 易错题型二——已知分式恒等式，确定分子或分母 1．若 （A，B为有理数），那么A= ，B= ． 【答案】 2 ﹣1 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 解得：A=2，B=﹣1， 故答案为：2；﹣1． 【点拨】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解即可． 易错题型三——分式方程的无解问题 1．若关于x 的分式方程无解，则m 的值是 ． 【答案】3 【详解】解：去分母，得m－3=x－1， x=m－2． ∵关于x的分式方程无解， ∴最简公分母x－2=0， ∴x=1， 当x=1时，得m =3， 即m的值为3． 故答案为：3． 【点拨】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到x=m－2，由于关于x的分式方程无解，则最简公分母x－2=0，求得x，进而可求得m． 易错题针对训练 1．已知实数A，B满足 ，求A+B的值． 【答案】3 【详解】∵ ∴ ，解得A=2，B=1， ∴A+B=3． 【点拨】根据分式的性质对通分，运算得 ，由此可得 方程组 ，解方程组即可求得 A，B的值． 2．若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是 ． 【答案】-1 【详解】， 去分母，得1+m=x－4， 解得x=m+5． ∵原方程有增根， ∴x－4=0， 即x=4， ∴m+5=4， 解得m = -1． 故答案为：-1． 【点拨】本题主要考查了分式方程的增根，先去分母，可求出方程的根，再根据原方程有增根，得x－4=0，可求出m的值． 3．将下列各式中x，y（x≠0，y≠0）的值均扩大2倍后，分式值一定不变的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分式中x，y（x≠0，y≠0）的值都扩大为原来的2倍， A、 ，分式值变为原来的，故本选项不符合题意； B、 ，分式值改变了，故本选项不符合题意； C、 ，分式值没有改变，本选项符合题意； D、 ，分式值改变了，故本选项不符合题意； 故选：C． 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市7年级上册期末] 要使分式有意义，则x的取值范围是（     ） A．x≠﹣1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠1 【答案】D 【详解】解：由题意得：x﹣1≠0，则得x≠1， 故选：D． 【点拨】根据分式在意义的条件：分母不为零，则可求得x的取值范围． 2. [2023年济宁市7年级上册期末] 一辆旅游巴士为了使从甲地到乙地的行驶时间缩短为原来的，行驶路线由国道改为高速公路．两地之间的高速公路全长200km，比原来国道的长度少了20km，每小时行驶的路程比在原来国道上多45km．设该旅游巴士在原来国道上行驶的速度为xkm/h，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：旅游巴士在原来国道上行驶的速度为xkm/h，则在高速公路上的行驶速度为（x+45）km/h， 高速公路全长200km，国道的长度为220km， 则由走高速公路的时间是走国道时间的， 可列方程为， 故选A 【点拨】根据题意找出高速公路的长度，在高速公路行驶的速度，国道的长度，在国道行驶的速度，根据时间的关系，可列方程． 3． [2023年泰安市7年级期中] 先化简，再代入一个合适的a求值： 【答案】3+2a；当a=0时，原式=3（答案不唯一） 【详解】解： =3+2a， ∵a≠2，a≠， ∴当a=0时，原式=3． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．   4. [2023年济宁市7年级上册月考] 某校八年级某班的师生到距离8千米的农场学农，出发1.5小时后，小亮同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达农场．已知小亮骑车的速度比队伍步行的速度每小时快6千米．若设队伍步行的速度为每小时x千米，则可列方程 ． 【答案】 【详解】队伍步行用的时间为：，小亮骑自行车用的时间为：， 所列方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． $$