专题02 分式与分式方程（考点串讲）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

八年级新鲁教版（2024）数学上册期末考点大串讲 串讲02 分式与分式方程 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 五大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 知识点1．分式方程的定义及其解 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 　 解分式方程 知识点3. （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点4．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型剖析 题型一 分式有意义及无意义的条件 例1．在关系式y=中，自变量x的取值范围为（     ） A．x＞2 B．x≠2 C．x＜2 D．x≠2且x≠0 【答案】B 【详解】由题意得，2x－4≠0， 解得：x≠2，     故选：B． 【点拨】此题考查了函数自变量有意义的条件，根据关系式y=中2x－4不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 举一反三 1．若分式无意义，则x的值为（       ） A．1 B．－1 C．－1或1 D．0 【答案】C 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴x=1或－1， 故选：C． 【点拨】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 题型二 分式加减乘除混合运算 例1．化简： 【答案】 【详解】解：原式 【点拨】本题主要考查分式的化简，先运算括号的分式，然后运算除法，最后运算减法解题即可． 举一反三 1．化简： 【答案】 【详解】解： 【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则与顺序是解题的关键．先算括号里，再算括号外的即可． 题型三 分式化简求值 例1．先化简，再求值： ，其中 【答案】 【详解】解： 当 ，原式= = 【点拨】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再把x的值代入计算即可． 举一反三 1．先化简： ，再从 ， 中选择一个合适的m值代入求值． 【答案】 ，当 时，原式 ． 【详解】解： 题型四 解分式方程 例1.         解：最简公分母为（x＋2）（x－2）， 去分母得：（x－2）2－（x＋2）（x－2）=16， 整理得：－4x＋8=16， 解得： x=－2， 经检验x=－2是增根，故原分式方程无解． 举一反三 1. 解下列分式方程：        【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解． 解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0， 经检验x=0是分式方程的解； （2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3， 经检验x=﹣3是分式方程的解． 题型五 分式方程的应用题 例1.某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3 600米道 路的任务，按原计划完成总任务的三分之一后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务，原计划每小时抢修道路多少米？ 解：设原计划每小时抢修道路x米，根据题意，得 解得x＝280. 经检验，x＝280是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每小时抢修道路280米． 举一反三 1. 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h．那么： （1）小刚从家到学校需要多长时间？ （2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间． 解：（1）小刚从家到学校需要 （2）小丽从家到学校需要 小丽比小刚在路上花费时间少 因为 所以小丽在路上花费的时间少. 1.分解因式： x3－8 x2＋12 x ； 解：原式＝ x ( x2－8 x ＋12) ＝ x [ x2＋(－2－6) x ＋(－2)×(－6)] ＝ x ( x －2)( x －6). 2.若 x2＋ px －6可分解为两个一次因式的积，求整数 p 所有可能的值. 解：∵－6＝(－1)×6＝1×(－6)＝2×(－3)＝(－2)×3， ∴ p ＝－1＋6＝5或 p ＝1－6＝－5或 p ＝2－3＝－1或 p ＝－2＋3＝1， ∴整数 p 的值可能为5或－5或1或－1. 举一反三 易错易混 易错题型一——分式有意义 1.（1）当a=1,2，-1时，分别求出分式 的值； （2）当a取何值时，分式有意义？ 解：（1）当a=1时， 当a=2时， 当a=-1时， （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义. 由分母2a-1=0，得 所以，当 时，分式 有意义. 易错题型二——分式值为0 解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零. 的值为零. ∴当x = 1时分式 ∴ x ≠ -1. 而　x+1≠0， ∴x = ±1. 则　x2 - 1=0， 1. 当x为何值时，分式 的值为零? 易错题型三——分式方程解的范围 1.关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是_______________． 解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1. ∵关于x的方程 的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2. a＜－1且a≠－2 点拨：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0。 易错题针对训练 1. 已知x= , y= ，求 值. 【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值. 把x= ,y= 代入得 解：原式= 原式= 2. 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． (1)求普通列车的行驶路程； 解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米； (2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可． 解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得 解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，且符合题意， 则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)． 答：高铁的平均速度是300千米/时． 押题预测 1.[2023年烟台市8年级上册期末] 2. [2023年济宁市8年级上册期末] D 3． [2023年泰安市8年级期末] D 4. [2023年济宁市8年级上册期末] B 如果把分式　　 　中的x和y的值都扩大为原来 的3倍，则分式的值（　　） A.扩大为原来的3倍　 B.不变　 C.缩小为原来的　 D.缩小为原来的 5. [2023年临沂市8年级上册期末] 【答案】A 【分析】 根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解． 【详解】 由题意可得：且，解得． 故选A． 若分式的值等于0，则x的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产箱药品，则下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：设原计划平均每天可生产箱药品，则实际每天生产箱药品， 原计划生产4500箱所需要的时间为：， 现在生产6000箱所需要的时间为：， 由题意得：； 故选：D． 分式方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】 解： ， ∴， 经检验：是原方程的解；故选D． 已知方程－＝有增根x＝1，求k的值． $$