专题02 分式与分式方程（期中复习讲义）八年级数学上学期鲁教版

专题02 分式与分式方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 分式的概念与性质 准确理解分式概念，掌握分式有/无意义及值为零的条件；熟练运用分式的基本性质进行约分和通分。 基础必考。多以选择题、填空题出现，考查对概念的理解。分式值为零的条件是高频易错点，需同时满足分子为零且分母不为零。 2. 分式的运算（加减乘除） 熟练掌握分式的乘除、乘方及加减运算法则，特别是异分母分式的通分与加法；能进行分式的混合运算并化简求值。 核心主干，解答题必考。常以计算题或化简求值题形式出现。混合运算是难点，要求步骤清晰、结果最简。代入求值时需注意分母不为零。 3. 分式方程及其解法 理解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，重中之重是检验增根。 解答题核心考点。解法步骤（去分母、解整式方程、检验）是固定流程。“检验”步骤是扣分关键点，忘记检验会直接导致失分。 4. 分式方程的应用 能够准确分析实际问题中的数量关系，合理设元，列出分式方程并求解，最后对结果进行解释和检验。 应用题主流题型。常与行程、工程、销售等问题结合。难点在于从文字中提炼等量关系。列方程前的分析和解方程后的“双检验”（检验解和实际意义）是得分关键。 复习建议： · 分层复习：可以按照此列表的顺序进行复习，从“概念”到“运算”再到“应用”，层层递进，巩固基础。 · 重点突破：针对“分式运算”和“分式方程应用”这两个核心大题考点，需要进行专项训练，提升熟练度和准确率。 · 规避失误：时刻牢记“分式值为零的条件”和“解分式方程必须检验”这两个最容易失分的关键环节，养成良好解题习惯。 知识点01 分式的概念 形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 知识点02 分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ，，且均表示的是整式。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。符号法则：B或同时改变其中两个的符号，分式的值不变 知识点03 分式约分与通分 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. ①分式的约分：即要求把分子与分母的公因式约去.，是一个恒等变形。为此，首先要找出分子与分母的公因式. 找公因式的方法： （1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 （2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式 ②分式的通分：把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式的变形过程叫通分。通分前后分式的值不变；找最简公分母是通分的关键 找最简公分母到方法（分母均为单项式） 1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含所有因式或字母的最高次幂。 3、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数） 找最简公分母到方法（分母均为多项式） 1、先把分母因式分解。 2、各分母系数的最小公倍数。 3、各分母所含所有因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数） 知识点04分式的乘除法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2.分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3.分式的乘方：分式的乘方需要把分子、分母分别乘方。 ，（n为正整数） 知识点05分式方程的解法 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2、分式方程的解法 (1)去分母，把分式方程转化为整式方程； (2)解这个整式方程，求得方程的根； (3)检验，把解得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果最简公分母不为0，则它是原分式方程的根． 3、分式方程的增根(1).增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的取值范围扩大，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程分母为0，就会产生增根．也就是说增根是分式方程转化后的整式方程的根，而不是原分式方程的根． (2).分式方程的增根有两个特征： ①增根使分母为0； ②增根是分式方程化成的整式方程的根． 知识点06分式方程的应用 列分式方程解应用题与列其他方程解应用题的步骤基本相同，但需要注意的是进行双验根，既要检验是不是原方程的根，还要检验是不是使实际问题有意义． 题型一 分式的判断 易｜错｜点｜拨 判断代数式是否为分式，关键看分母是否含有字母。形式为A/B，且B中含有字母。整式与分式的根本区别在于分母，与分子形式无关。注意π是常数而非字母，分母含π的仍是整式。 【典例1】（21-22八年级下·四川眉山·期中）下列代数式中是分式的为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，其中分式的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 分式有意义的条件 易｜错｜点｜拨 分式有意义的条件是分母不为零。解题时令分母等于零，求出使分母为零的字母取值，则分式有意义的条件是字母取除此之外的所有值。多分母分式需保证所有分母均不为零。 【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【变式1】（21-22八年级上·山东济宁·期中）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东德州·期末）若分式无意义，则 ． 题型三 分式的值为零的条件 易｜错｜点｜拨 分式的值为零需同时满足两个条件：分子为零且分母不为零。解题时先由分子为零解出参数值，再逐一代入原式分母检验，舍弃使分母为零的增根。两者缺一不可。 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如果代数式的值为0，那么实数满足（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）若分式的值为0．则的值为 【变式2】（25-26八年级上·山东·课后作业）已知分式的值为0，则的值为 ． 【变式3】（24-25八年级下·山东济南·期中）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 * * 0 * … A． B． C． D． 题型四 利用分式的性质进行变形 易｜错｜点｜拨 分式变形基于分式基本性质：分子分母同乘（或除以）同一非零整式，值不变。常用于系数化整、变号（分子分母及分式本身三者符号同时改变两处，值不变）及通分、约分的预备工作。 【典例1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如果把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小为原来的 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若把分式（a、b均不为0且）中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的9倍 D．不变 【变式2】（19-20八年级下·湖北黄石·期中）下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【变式3】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 题型五 分式的求值 易｜错｜点｜拨 直接代入求值需确保分母不为零。整体代入法则需观察已知条件与所求分式的关系，常通过设参数、变形已知等式或构造倒数式来简化计算，体现了整体思想和转化思想。 【典例1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为 ． 【变式2】（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【变式3】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【变式4】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 题型六 最简分式的判定 易｜错｜点｜拨 最简分式需满足：分子分母已无公因式。判定关键是看分子分母是否已进行因式分解，并检查是否还有可约去的公因式。约分必须彻底，结果可以是整式或最简分式。 【典例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期中）若分式是最简分式，则表示的整式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个 题型七 分式的乘除法与分式的约分 易｜错｜点｜拨 运算遵循法则：分子乘分子、分母乘分母；除法转化为乘法。核心是“先因式分解，后约分”，将除法变乘法后，寻找分子分母中的公因式并约去，使运算最简化，结果应为最简分式或整式。 【典例1】（2024·山东济南·二模）代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）化简： ． 【变式3】（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）化简：的结果是 ． 【变式4】（24-25八年级上·山东烟台·期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 【变式5】（24-25八年级上·山东聊城·期中）分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 题型八 含有乘方的分式乘除法运算 易｜错｜点｜拨 处理乘方时，需将分子、分母分别乘方，并遵循积的乘方法则。混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，最后进行约分。运算中需注意符号，负数的偶次方为正，奇次方为负。 【典例1】（24-25九年级下·河北廊坊·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 【变式4】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 题型九 分式的加减运算 易｜错｜点｜拨 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。异分母分式则先通分转化为同分母。关键是找最简公分母：系数取最小公倍数，字母取最高次幂。结果必须化为最简形式。 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）计算：的结果是 ． 【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【典例2】（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ (1)老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 【变式1】（24-25八年级下·山东日照·开学考试）下列关于分式的计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）已知为整式，若计算的结果为，则 ． 【典例3】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式1】（21-22八年级下·河南南阳·期中）若，则式子的值是（  ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 题型十 分式的加减运算的应用 易｜错｜点｜拨 此类问题常表现为列式并计算，如行程、工程问题。关键在于根据题意准确列出分式，再运用加减运算法则进行计算。计算后需结合实际问题背景，检验结果的合理性并进行解释。 【典例1】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东威海·期末）小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（   ）． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修． (1)试用含、的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间和； (2)请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 题型十一 分式的化简求值问题 易｜错｜点｜拨 遵循“先化简，再求值”原则。综合运用分式的加、减、乘、除、乘方运算法则对复杂分式进行化简，通常结果为一个最简分式。最后将给定数值代入计算，代入前务必确认使化简后的式子有意义。 【典例1】（23-24八年级上·山东淄博·期中）先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． 【变式1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（23-24八年级上·山东日照·期末）先化简：，再从，0，1，2中取一个合适的数作为的值代入求值． 题型十二 解分式方程 易｜错｜点｜拨 步骤为：去分母（方程两边同乘最简公分母，化为整式方程）、解整式方程、检验（将解代入最简公分母，若为零则为增根需舍去）。检验是必不可少的步骤，旨在排除增根，确保解的合法性。 【典例1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）解下列分式方程： (1)； (2) 【变式1】（23-24八年级上·山东淄博·期中）解方程． (1) (2) 【变式2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型十三 根据分式的根的情况求参数 易｜错｜点｜拨 已知分式方程根的情况（如解为正数、负数、增根等），求参数取值范围。先按解分式方程步骤求出用参数表示的根，再根据题目条件列出关于参数的方程或不等式，并务必考虑分母不为零这一隐含条件。 【典例1】（20-21八年级上·山东泰安·期中）已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【变式1】（19-20八年级下·四川达州·期末）（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【变式2】（20-21八年级上·山东泰安·期中）若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 题型十四 分式方程应用题常见类型 答｜题｜模｜板 审设列解验答：严格遵循这六步。“验” 这一步包含两层含义： · 数学检验：检查解出的根是否使原分式方程的最简公分母为零（是否为增根）。 · 实际意义检验：检查解是否符合实际情境（如速度、时间不能为负数，人数必须为正整数等）。 2. 寻找等量关系：这是列方程的核心。可以通过关键词（如“相等”、“比…多/少”、“是…的几倍”）或表格法梳理题目中各数量之间的关系。 3. 统一单位：在列方程前，确保所有物理量（如路程、速度、时间）的单位是统一的。 【典例1】（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【变式1】（24-25九年级上·山东枣庄·期末）某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米．学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划的平均速度为千米时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展跳跳绳活动，计划购买甲、乙两种品牌跳绳．已知甲品牌跳绳的价格是乙品牌跳绳的倍，100元购买乙品牌跳绳的数量比购买甲品牌跳绳多3条． (1)甲品牌跳绳与乙品牌跳绳每条各是多少元？ (2)某班级欲购买这两种跳绳共50条，并且购买乙品牌跳绳不超过10条，请你帮他们设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）研究表明植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用在体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，垂柳每天固碳81克所需的种植面积是杨树每天固碳40.5克所需种植面积的3倍，而杨树每天单位面积固碳量比垂柳多0.15克． (1)求垂柳、杨树每天单位面积固碳量． (2)某园林打算种植这两种树木共600平方米，且种植垂柳的面积不少于种植杨树的面积的一半．如何种植才能使每天的总固碳量最多？最多为多少克？ 【变式4】（2025九年级·山东青岛·专题练习）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则M可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×）  ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√）  ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 5．（23-24八年级上·山东淄博·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解分式方程： (1)； (2)． 7．（22-23八年级上·山东烟台·期中）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 8．（20-21八年级上·湖南长沙·阶段练习）某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． (1)求一件型商品的进价分别为多少元？ (2)若该外地客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于型的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？ (3)在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 3．（24-25八年级上·山东聊城·期中）已知，，且．则 ． 4．（13-14八年级上·云南·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． x的取值 4 a 16 分式的值 无意义 0 0.1 b 6．（24-25八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值，其中． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地每捆A种菜苗价格的倍，用500元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的A种菜苗少4捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共200捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．求本次购买最少花费多少元， 8．（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2023·山东聊城·中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 4．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 5．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 7．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 8．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 试卷第2页，共56页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式与分式方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 分式的概念与性质 准确理解分式概念，掌握分式有/无意义及值为零的条件；熟练运用分式的基本性质进行约分和通分。 基础必考。多以选择题、填空题出现，考查对概念的理解。分式值为零的条件是高频易错点，需同时满足分子为零且分母不为零。 2. 分式的运算（加减乘除） 熟练掌握分式的乘除、乘方及加减运算法则，特别是异分母分式的通分与加法；能进行分式的混合运算并化简求值。 核心主干，解答题必考。常以计算题或化简求值题形式出现。混合运算是难点，要求步骤清晰、结果最简。代入求值时需注意分母不为零。 3. 分式方程及其解法 理解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，重中之重是检验增根。 解答题核心考点。解法步骤（去分母、解整式方程、检验）是固定流程。“检验”步骤是扣分关键点，忘记检验会直接导致失分。 4. 分式方程的应用 能够准确分析实际问题中的数量关系，合理设元，列出分式方程并求解，最后对结果进行解释和检验。 应用题主流题型。常与行程、工程、销售等问题结合。难点在于从文字中提炼等量关系。列方程前的分析和解方程后的“双检验”（检验解和实际意义）是得分关键。 复习建议： · 分层复习：可以按照此列表的顺序进行复习，从“概念”到“运算”再到“应用”，层层递进，巩固基础。 · 重点突破：针对“分式运算”和“分式方程应用”这两个核心大题考点，需要进行专项训练，提升熟练度和准确率。 · 规避失误：时刻牢记“分式值为零的条件”和“解分式方程必须检验”这两个最容易失分的关键环节，养成良好解题习惯。 知识点01 分式的概念 形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 知识点02 分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ，，且均表示的是整式。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。符号法则： B或同时改变其中两个的符号，分式的值不变 知识点03 分式约分与通分 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. ①分式的约分：即要求把分子与分母的公因式约去.，是一个恒等变形。为此，首先要找出分子与分母的公因式. 找公因式的方法： （1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 （2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式 ②分式的通分：把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式的变形过程叫通分。通分前后分式的值不变；找最简公分母是通分的关键 找最简公分母到方法（分母均为单项式） 1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含所有因式或字母的最高次幂。 3、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数） 找最简公分母到方法（分母均为多项式） 1、先把分母因式分解。 2、各分母系数的最小公倍数。 3、各分母所含所有因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数） 知识点04分式的乘除法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2.分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3.分式的乘方：分式的乘方需要把分子、分母分别乘方。 ，（n为正整数） 知识点05分式方程的解法 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2、分式方程的解法 (1)去分母，把分式方程转化为整式方程； (2)解这个整式方程，求得方程的根； (3)检验，把解得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果最简公分母不为0，则它是原分式方程的根． 3、分式方程的增根(1).增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的取值范围扩大，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程分母为0，就会产生增根．也就是说增根是分式方程转化后的整式方程的根，而不是原分式方程的根． (2).分式方程的增根有两个特征： ①增根使分母为0； ②增根是分式方程化成的整式方程的根． 知识点06分式方程的应用 列分式方程解应用题与列其他方程解应用题的步骤基本相同，但需要注意的是进行双验根，既要检验是不是原方程的根，还要检验是不是使实际问题有意义． 题型一 分式的判断 易｜错｜点｜拨 判断代数式是否为分式，关键看分母是否含有字母。形式为A/B，且B中含有字母。整式与分式的根本区别在于分母，与分子形式无关。注意π是常数而非字母，分母含π的仍是整式。 【典例1】（21-22八年级下·四川眉山·期中）下列代数式中是分式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，注意是数字．根据分式的定义，对照选项分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可． 【详解】解：代数式，，的分母中不含有字母，都不属于分式， 的分母中含有字母，属于分式， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键．根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得，是分式的有：，，，共个， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，其中分式的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义．根据分式的定义：即分母中含有字母的式子叫做分式，即可一一判定． 【详解】解：，，都是整式，不是分式， ，是分式，共个； 故选：C． 题型二 分式有意义的条件 易｜错｜点｜拨 分式有意义的条件是分母不为零。解题时令分母等于零，求出使分母为零的字母取值，则分式有意义的条件是字母取除此之外的所有值。多分母分式需保证所有分母均不为零。 【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 【变式1】（21-22八年级上·山东济宁·期中）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，由此计算即可得解，熟练掌握分式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使分式有意义，分母不能等于零，即， 解得， 因此，的取值范围是， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·山东德州·期末）若分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件——分式的分母等于0是解题的关键．根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 题型三 分式的值为零的条件 易｜错｜点｜拨 分式的值为零需同时满足两个条件：分子为零且分母不为零。解题时先由分子为零解出参数值，再逐一代入原式分母检验，舍弃使分母为零的增根。两者缺一不可。 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如果代数式的值为0，那么实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子为零，分母不等于零，据此解答． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）若分式的值为0．则的值为 【答案】 【分析】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子，分母，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为0时分母，且分子两个条件求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0． ∴且， 解得． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东·课后作业）已知分式的值为0，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的值为0的条件．直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故答案为：2． 【变式3】（24-25八年级下·山东济南·期中）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 * * 0 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握分式的性质是解题的关键．由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0， 分式可能是． 故选：B． 题型四 利用分式的性质进行变形 易｜错｜点｜拨 分式变形基于分式基本性质：分子分母同乘（或除以）同一非零整式，值不变。常用于系数化整、变号（分子分母及分式本身三者符号同时改变两处，值不变）及通分、约分的预备工作。 【典例1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如果把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质将原式中的x、y都扩大3倍后进行约分即可． 【详解】解：如果把分式中的x、y都扩大3倍得， 则分式的值扩大3倍， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若把分式（a、b均不为0且）中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的9倍 D．不变 【答案】B 【分析】将分式中的a、b分别扩大为原来的3倍，代入计算后与原式比较即可确定变化情况 题目主要考查分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：原分式为， 将、均扩大为原来的3倍，即替换为和，得到新分式： 化简为： ∴分式的值扩大为原来的3倍， 故选B 【变式2】（19-20八年级下·湖北黄石·期中）下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 题型五 分式的求值 易｜错｜点｜拨 直接代入求值需确保分母不为零。整体代入法则需观察已知条件与所求分式的关系，常通过设参数、变形已知等式或构造倒数式来简化计算，体现了整体思想和转化思想。 【典例1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式2】（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键． （1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0； （2）分式的分母为0时，分式无意义； （3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数； 【详解】（1）解：当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0， 所以，解得， 此时，所以当时，y的值为0； （2）当分母为0时，分式无意义，则时，即时分式无意义； （3）因为y的值为正数，所以可得：①或②， 解①得，此时无解，解②得，解为， ∴当时，y的值为正数． 【变式4】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 题型六 最简分式的判定 易｜错｜点｜拨 最简分式需满足：分子分母已无公因式。判定关键是看分子分母是否已进行因式分解，并检查是否还有可约去的公因式。约分必须彻底，结果可以是整式或最简分式。 【典例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握分子分母不含公因式的分式叫做最简分式成为解题的关键． 根据最简分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意；     B、 ，是最简分式，符合题意；     C、 ，不是最简分式，不符合题意；     D、，不是最简分式，不符合题意． 故选B． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期中）若分式是最简分式，则表示的整式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：A、，分式不是最简分式，不符合题意； B、，分式是最简分式，符合题意； C、，分式不是最简分式，不符合题意； D、，分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 题型七 分式的乘除法与分式的约分 易｜错｜点｜拨 运算遵循法则：分子乘分子、分母乘分母；除法转化为乘法。核心是“先因式分解，后约分”，将除法变乘法后，寻找分子分母中的公因式并约去，使运算最简化，结果应为最简分式或整式。 【典例1】（2024·山东济南·二模）代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘法，约分，熟练掌握分式乘法法则是解题的关键． 先将每一个分式分子因式分解，再约分，然后根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 【变式2】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分．根据分式的基本性质进行约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）化简：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，将分式的除法转化为分式的乘法，同时将分式的分子、分母进行因式分解，然后进行约分得到最简分式．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键． 【详解】解： ， 即的结果是． 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·山东烟台·期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法运算．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 【变式5】（24-25八年级上·山东聊城·期中）分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算规则是解题关键； （1）直接利用分式的乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变成乘法，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （3）先对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （4）先将除法变成乘法，同时对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型八 含有乘方的分式乘除法运算 易｜错｜点｜拨 处理乘方时，需将分子、分母分别乘方，并遵循积的乘方法则。混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，最后进行约分。运算中需注意符号，负数的偶次方为正，奇次方为负。 【典例1】（24-25九年级下·河北廊坊·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式，约分，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先平方，后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先运算乘方，然后把除法转化为乘法约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【变式3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式4】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的乘方，乘除混合运算； （1）把除法化为乘法运算，再约分即可； （2）先计算乘方，再计算乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型九 分式的加减运算 易｜错｜点｜拨 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。异分母分式则先通分转化为同分母。关键是找最简公分母：系数取最小公倍数，字母取最高次幂。结果必须化为最简形式。 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）计算：的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．直接根据分式的减法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：1． 【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【典例2】（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ (1)老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 【答案】(1)嘉嘉最先出错的是第①步，淇淇最先出错的是第②步； (2)， 【分析】本题考查了异分母分式减法，分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则判断即可； （2）根据异分母分式减法法则进行计算，然后再把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉最先出错的是第①步，原因是直接去掉了分母； 淇淇最先出错的是第②步，原因是合并时分子减分子，符号错误． （2）解： ， 当时，原式． 【变式1】（24-25八年级下·山东日照·开学考试）下列关于分式的计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的加、减、乘法运算，分式的约分逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、 ，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）已知为整式，若计算的结果为，则 ． 【答案】 【分析】由可得，故，从而．本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故答案为： 【典例3】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通分，然后根据分式的加法进行计算即可求解； （2）根据分式的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【变式1】（21-22八年级下·河南南阳·期中）若，则式子的值是（  ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据代数式的值可得，代入将化简后的分式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选A 【点睛】本题考查了分式的减法运算，求分式的值，整体代入是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十 分式的加减运算的应用 易｜错｜点｜拨 此类问题常表现为列式并计算，如行程、工程问题。关键在于根据题意准确列出分式，再运用加减运算法则进行计算。计算后需结合实际问题背景，检验结果的合理性并进行解释。 【典例1】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·山东威海·期末）小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（   ）． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，用合适的分式表示出来． 【详解】解：∵小明上坡路走的时间：，下坡路走的时间：， 总时间为：； 小丽花费的时间为：， ∴． ∴小丽比小明在路上花费的时间少． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修． (1)试用含、的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间和； (2)请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 【答案】(1)； (2)甲队谁先完成任务，理由见详解 【分析】本题考查了分式加减运算，完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据题意可得出，解出即可．则 （2）用比较出大小即可． 【详解】（1）解：甲共用时间为天，，解得， 乙用的时间为， （2）解：甲队先完成任务，理由如下： ， ∵，且， ∴，， ∴ ∴乙的时间更长，即甲队先完成任务， ∴甲队先完成任务． 【变式3】（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 【答案】(1)> (2)，理由见解析 (3)①，；②小李加油方式平均油价更低 【分析】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先求出，再根据除法的计算法则即可求解； （2）化简，由且，可得，进而求解； （3）①根据：加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量，列代数式即可；②用小李的平均油价减去小刘的平均油价，如果大于0则小刘的省钱，如果小于0则小李的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：>； （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵，且 ∴， ∴， ∴， 即； （3）①小李两次所加油的平均单价为： （元/升）； 设小刘每次加油量为V升． ∴小刘两次加油的平均单价为： （元/升）； 故答案为：，； ② ， ∵,,且， ∴， ∴， ∴， 即， 答：小李加油的平均单价低． 题型十一 分式的化简求值问题 易｜错｜点｜拨 遵循“先化简，再求值”原则。综合运用分式的加、减、乘、除、乘方运算法则对复杂分式进行化简，通常结果为一个最简分式。最后将给定数值代入计算，代入前务必确认使化简后的式子有意义。 【典例1】（23-24八年级上·山东淄博·期中）先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴当时，原式． 【变式1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算进行化简，再代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】（23-24八年级上·山东日照·期末）先化简：，再从，0，1，2中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】此题考查了分式的化简求值．根据分式的除法和分式的减法进行化简得到结果，再把字母的值代入求值即可． 【详解】解： ， ，， ，， 当时， 原式． 题型十二 解分式方程 易｜错｜点｜拨 步骤为：去分母（方程两边同乘最简公分母，化为整式方程）、解整式方程、检验（将解代入最简公分母，若为零则为增根需舍去）。检验是必不可少的步骤，旨在排除增根，确保解的合法性。 【典例1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）解下列分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是先去分母，转化为整式方程，最后不要忘记检验． （1）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可； （2）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可． 【详解】（1）解：， 两边同时乘以，得：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1，得， 检验：当时，， ∴是该方程的解； （2）解： 两边同时乘以，得 去括号得， 移项合并同类项得， 解得： 检验，当时， ∴是原方程的增根，原方程无解． 【变式1】（23-24八年级上·山东淄博·期中）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程无解． 【变式2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)原方程无解 (2) (3)原方程无解 (4) 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键，注意要检验． （1）先去分母，去括号，再移项合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验即可． （2）先去分母，去括号，再移项合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验即可． （3）先去分母，去括号，再移项合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验即可． （4）先去分母，去括号，再移项合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验即可． 【详解】（1）解：， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 将代入， 故是原方程的增根，原方程无解． （2）解：， ∴， 去分母得， 去括号得 移项合并同类项得，， 解得， 将代入， 故是原分式方程的解． （3）解：， ∴， 去分母得， 去括号得 移项合并同类项得，， 解得， 将代入， 故是原方程的增根，原方程无解． （4）解：， ∴， 去分母得， 去括号得 移项合并同类项得，， 解得， 将代入， 故是原方程的根． 题型十三 根据分式的根的情况求参数 易｜错｜点｜拨 已知分式方程根的情况（如解为正数、负数、增根等），求参数取值范围。先按解分式方程步骤求出用参数表示的根，再根据题目条件列出关于参数的方程或不等式，并务必考虑分母不为零这一隐含条件。 【典例1】（20-21八年级上·山东泰安·期中）已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解求解参数，解一元一次不等式，正确解出分式方程是求解此题的前提． 先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是非负数”即可求出的取值范围． 【详解】解：原式去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， 解得， 综上：且， 故选：A． 【变式1】（19-20八年级下·四川达州·期末）（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1）或6；（2）且 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． （1）先解方程可得，再根据这个分式方程有增根可得或，由此即可得； （2）先解方程可得，再根据这个分式方程的解是正数可得，然后根据方程有解可得，由此即可得． 【详解】解：（1）， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵这个分式方程有增根， ∴或，即或， ∴或， 解得或， 所以的值为或6． （2）， ， 解得， ∵这个方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵这个方程有解， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围为且． 【变式2】（20-21八年级上·山东泰安·期中）若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程与求不等式组的整数解，解题的关键是掌握分式方程和不等式组的解法．解分式方程得到，进而得到，且，解不等式组得到，进而得到，求出，且，且，即可求解． 【详解】解：， 解得， 整数使得关于的分式方程的解为正数，且， ，且， ， 解得， 不等式组有且只有个整数解， ， ， ∵，且， 可取和， 满足条件的和为． 题型十四 分式方程应用题常见类型 答｜题｜模｜板 审设列解验答：严格遵循这六步。“验” 这一步包含两层含义： · 数学检验：检查解出的根是否使原分式方程的最简公分母为零（是否为增根）。 · 实际意义检验：检查解是否符合实际情境（如速度、时间不能为负数，人数必须为正整数等）。 2. 寻找等量关系：这是列方程的核心。可以通过关键词（如“相等”、“比…多/少”、“是…的几倍”）或表格法梳理题目中各数量之间的关系。 3. 统一单位：在列方程前，确保所有物理量（如路程、速度、时间）的单位是统一的。 【典例1】（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为80吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 【变式1】（24-25九年级上·山东枣庄·期末）某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米．学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划的平均速度为千米时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从实际问题抽象出分式方程，设大巴车原计划的平均速度为千米时，根据结果正好按原计划到达目的地列方程求解即可． 【详解】解：途中大巴车平均每小时比原计划多走，且大巴车原计划的平均速度为千米时， 大巴车实际的平均速度为千米时． 根据题意得：． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展跳跳绳活动，计划购买甲、乙两种品牌跳绳．已知甲品牌跳绳的价格是乙品牌跳绳的倍，100元购买乙品牌跳绳的数量比购买甲品牌跳绳多3条． (1)甲品牌跳绳与乙品牌跳绳每条各是多少元？ (2)某班级欲购买这两种跳绳共50条，并且购买乙品牌跳绳不超过10条，请你帮他们设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)甲品牌跳绳与乙品牌跳绳每条各是50元与20元 (2)最钱的方案是甲品牌跳绳购买40条，乙品牌跳绳购买条 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，找到数量关系列出方程或不等式是解题的关键； （1）设乙品牌跳绳每条x元，甲品牌跳绳每条元，根据等量关系： 100元购买乙品牌跳绳的数量比购买甲品牌跳绳多3条；列出分式方程，并解方程即可； （2）设甲品牌跳绳购买m条，则乙品牌跳绳购买条，根据不等关系：购买乙品牌跳绳不超过10条，列出一元一次不等式，并求得m的取值范围；再设购买的费用为w元，得到关于m的函数式，由一次函数的性质即可求得最省钱的方案． 【详解】（1）解：设乙品牌跳绳每条x元，甲品牌跳绳每条元， 由题意得：， 解得：， 经检验得是原方程的解，且符合实际， 则甲品牌跳绳每条（元）； 答：甲品牌跳绳与乙品牌跳绳每条各是50元与20元； （2）解：最钱的方案是甲品牌跳绳购买40条，乙品牌跳绳购买条； 理由如下：设甲品牌跳绳购买m条，则乙品牌跳绳购买条， 由题意得：， 解得：； ， ∴ 设购买的费用为w元，则， ∵一次项系数， ∴w随自变量的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时最省钱的方案是甲品牌跳绳购买40条，乙品牌跳绳购买条． 【变式3】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）研究表明植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用在体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，垂柳每天固碳81克所需的种植面积是杨树每天固碳40.5克所需种植面积的3倍，而杨树每天单位面积固碳量比垂柳多0.15克． (1)求垂柳、杨树每天单位面积固碳量． (2)某园林打算种植这两种树木共600平方米，且种植垂柳的面积不少于种植杨树的面积的一半．如何种植才能使每天的总固碳量最多？最多为多少克？ 【答案】(1)垂柳每天单位面积固碳量是0.3克，杨树每天单位面积固碳量是0.45克 (2)种植200平方米垂柳、400平方米杨树可使每天的总固碳量最多，最多为240克 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设垂柳每天单位面积固碳量为克，则杨树每天单位面积固碳量为克．由题意，得，再解方程即可； （2）设垂柳的种植面积为平方米，则杨树的种植面积为平方米．由题意，得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设垂柳每天单位面积固碳量为克，则杨树每天单位面积固碳量为克．由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意．此时． 答：垂柳每天单位面积固碳量是0.3克，杨树每天单位面积固碳量是0.45克． （2）解：设垂柳的种植面积为平方米，则杨树的种植面积为平方米． 由题意，得， 解得． 设种植这两种树木每天的总固碳量为克． 则． 随的增大而减小． 当时，有最大值，最大值为．此时． 答：种植200平方米垂柳、400平方米杨树可使每天的总固碳量最多，最多为240克． 【变式4】（2025九年级·山东青岛·专题练习）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 【答案】(1)种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； (2)购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据用14400元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进个种书架，则购进个种书架，根据购进种书架数量不少于种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； （2）设购进个种书架，则购进个种书架， 由题意得：， 解得：， 设购买总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，， 答：购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则M可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质，进行判断作答即可． 【详解】解：由分式的基本性质可得，， ∴M可以是，C符合要求； 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×）  ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√）  ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质及最简分式的判断．需逐一分析各小题的正确性，计算得分总和即可得到答案． 【详解】解：① 代数式的分母不含字母，不是分式；的分母含字母，是分式，故此题做对，得20分． ② 分式有意义需分母，即，故此题做对，得20分． ③ 分式值为0时，分子得，但时分母为0，舍去，故，故此题做错，不得分． ④ 分式变形为需分子分母同乘非零数，而非加1，变形错误，故此题做错，不得分． ⑤ 分式分子无法分解，分母可提取公因式，但无公共因式，是最简分式，此题做对，得20分． 综上，得分分， 故选B． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0，则分式分子等于0，且分母不等于0是解题的关键． 根据分式值为0的条件得到，且，求解即可． 【详解】解：∵的值为0， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解答本题的关键．把变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级上·山东淄博·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可． （2）先通分计算括号内的运算，然后再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 （2） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 7．（22-23八年级上·山东烟台·期中）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米 【分析】本题考查分式方程的应用，根据“路程速度时间”这一等量关系，列出方程解决即可． 【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米． 8．（20-21八年级上·湖南长沙·阶段练习）某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． (1)求一件型商品的进价分别为多少元？ (2)若该外地客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于型的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？ (3)在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)一件型商品的进价为160元，一件型商品的进价为150元 (2)见解析 (3)方案3购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量关系列出方程和不等式式解题的关键． （1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元，根据数量总价单价，结合“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进A型商品m件，则购进B型商品件，根据“A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于78件”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案； （3）利用总利润每件的利润销售数量，可分别求出3种进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元，依题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意，所以． 答：一件型商品的进价为160元，一件型商品的进价为150元． （2）解：设购进型商品件，则购进型商品件， 依题意得 解得， 又∵为整数，即可以为78，79，80， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进型商品78件，B型商品82件； 方案2：购进型商品79件，B型商品81件； 方案3：购进型商品80件，B型商品80件． （3）解：方案1获得的利润为（元）； 方案2获得的利润为（元）； 方案3获得的利润为（元）． ∵， ∴方案3购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 3．（24-25八年级上·山东聊城·期中）已知，，且．则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了分式的值，首先利用，设，，，进而代入求出即可． 【详解】解：∵，且， ∴设，，， ∴． 故答案为：2． 4．（13-14八年级上·云南·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查分式方程的增根问题．先去分母，化成整式方程，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即增根， 把代入得， 解得， 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． x的取值 4 a 16 分式的值 无意义 0 0.1 b 【答案】20 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时分式无意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为， ∴， ∴； ∴分式为， ∴根据表格可知：，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值．先计算括号内的分式的加法运算，再约分后可得结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地每捆A种菜苗价格的倍，用500元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的A种菜苗少4捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共200捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．求本次购买最少花费多少元， 【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元 (2)本次购买最少花费6000元 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用与一次函数的应用，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． （1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， ， 解得， 检验：将代入， 是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元； （2）解：设：购买A种菜苗m拥，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：，解得：， 又， ， y随m的增大而减小， ∴当时，花费最少， 此时， ∴本次购买最少花费6000元． 8．（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2023·山东聊城·中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得：， ∵，即：， ∴， 又∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验． 2．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题． 【详解】解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 4．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 5．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 7．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 试卷第2页，共56页 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $