精品解析：广东省深圳市福田区深圳市耀华实验学校2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题

2024−2025学年度第一学期 耀华实验学校初中部八年级数学学科9月考试试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数，，，，，，中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. ＋1的结果是介于下列哪两个数之间（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0 A. ①② B. ③⑤ C. ②④ D. ①⑤ 7. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A 2，3，4 B. 6，8，10 C. 8，11，12 D. 10，14，15 8. 如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，b面积分别为5和13，则c的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 9. 有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为（ ）． A. B. C. D. 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ） A. 121 B. 110 C. 100 D. 90 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知正实数a 的两个平方根分别是b、c 则代数式a+b+c+bc的值是___________ 12. 如图，中，，于点D．则的长为_____． 13. 1﹣的相反数是_____________. 14. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 15. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积是__________． 三、解答题（本题有7小题，共55分） 16 计算 （1） （2） （3） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+2）2的值． 19. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 20. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 21. 长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 22. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图4的网格中，并标出字母所表示的线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年度第一学期 耀华实验学校初中部八年级数学学科9月考试试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数，，，，，，中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数统称为无理数，据此定义逐项分析判断． 【详解】解：，，，为有理数； 是无理数，是无理数， ，为开方开不尽的数，为无理数， 为开方开不尽的数， 为无理数，故无理数有3个， 故选B． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根、无理数等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案． 【详解】A、3+4=7≠5，利用勾股定理逆定理判定△ABC不为直角三角形，故此选项符合题意； B、32+42=52，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意； C、根据三角形内角和定理可以计算出∠C=90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查勾股定理逆定理，解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【详解】解：A、=3，故不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、=，故不是最简二次根式； D、=，故不是最简二次根式； 故选B． 【点睛】本题考查最简二次根式，涉及二次根式的性质，属于基础题型 4. ＋1的结果是介于下列哪两个数之间（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 分析】由题意根据算术平方根性质对无理数进行估算即可得出答案. 【详解】解：∵，即， ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查实数的估算，熟练掌握算术平方根性质进行无理数估算是解题的关键. 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义对A、D进行判断；根据平方根的定义对B进行判断；根据立方根的定义对C进行判断． 【详解】解：A. ，所以选项A错误； B. ，所以选项B错误； C. ，所以选项C正确； D. ，所以选项D错误； 故选C． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根、平方根．解题关键在于掌握运算法则． 6. 下列说法正确的是（ ） ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0 A. ①② B. ③⑤ C. ②④ D. ①⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根．根据平方根的定义和立方根的定义即可求解． 【详解】解：① 负数没有平方根，故说法正确； ②一个实数的立方根是正数，0或负数，故原说法错误； ③负数没有平方根，故原说法错误； ④任何一个非负数的平方根有可能大于这个数，例如，的平方根是，而，故原说法错误； ⑤平方根等于它本身的数是0，说法正确． 综上，正确的说法是①⑤． 故选：D． 7. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 8，11，12 D. 10，14，15 【答案】B 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A. ，不能能构成直角三角形，故不是勾股数； B. ，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； C. ，不能构成直角三角形，故不是勾股数； D. ，不能构成直角三角形，故不是勾股数． 故选：B 【点睛】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 8. 如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即 ∴b的面积的面积的面积， ∴c的面积的面积的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 9. 有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图最短路径问题，勾股定理，根据两点之间线段最短可求出结果，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答． 【详解】解：如图， 则的长就是蚂蚁爬行的最短距离， ∵分别是的中点， ∴ ， ∴由勾股定理得：， ∴蚂蚁爬行的最短距离为， 故选：． 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ） A. 121 B. 110 C. 100 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长与相交于点，延长与相交于点，首先利用勾股定理解得的值，再证明，易得，进一步求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，延长与相交于点，延长与相交于点， ∵，，， ∴， 根据题意，可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得， 则有， 又∵， ∴， ∴长方形的面积． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知正实数a 的两个平方根分别是b、c 则代数式a+b+c+bc的值是___________ 【答案】0 【解析】 【分析】由题意得b+c=0，a=b2，b=-c，再代入计算即可． 【详解】根据平方根的定义及性质，可得：a=b2，b=-c， 所以 a=b（-c）=-bc， 所以 a+b+c+bc=-bc+（-c）+c+bc=0． 故答案为0. 【点睛】本题考查了代数式的求值及平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．熟练掌握平方根的定义是解题关键. 12. 如图，中，，于点D．则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，等积法求线段的长．解题的关键是掌握勾股定理． 13. 1﹣的相反数是_____________. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据相反数的定义解题即可. 【详解】1−的相反数是：−1， 故答案为：−1. 【点睛】本题考查相反数的定义.掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数，是解题的关键. 14. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 15. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠性质得到，设，得到线段ED，BE的长度表达式，然后在中根据勾股定理求出AE的长度，最后根据三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：∵将长方形折叠，使点B与点D重合， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， 解得：， ∴的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，三角形面积．解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式计算三角形面积． 三、解答题（本题有7小题，共55分） 16. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂、绝对值、算术平方根、零指数幂，再计算加减法即可； （2）根据二次根式加减混合运算法则计算即可； （3）根据乘法分配律展开，先计算乘法，再计算减法即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题关键． 【小问1详解】 解： ， ， 解得：； 【小问2详解】 或 解得：或． 18. 已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+2）2的值． 【答案】-1. 【解析】 【分析】先估算的范围，确定a，b的值，再代入代数式即可解答． 【详解】解：∵2＜＜3， ∴a=2，b=﹣2， ∴（﹣a）3+（b+2）2=（﹣2）3+（﹣2+2）2=﹣8+7=﹣1． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围． 19. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 20. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 【答案】水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答． 【详解】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴ 即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺． 21. 长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 【答案】线段的长为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由折叠的性质可，，，利用勾股定理求得，进而得到，设，则再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在长方形中，，， 由折叠的性质得，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即线段的长为． 22. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图4的网格中，并标出字母所表示的线段． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设BD=x，是边上的高，利用勾股定理列出方程即可求出BD； （3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即 （2） 在中， 在中， 所以， 解得 （3）∵图形面积为：(a+b)(a+2b)=a²+3ab+b² ∴边长为：(a+b)，(a+2b) 由此可画出的图形为： 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$