高二数学期中模拟卷02（新高考地区专用，空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 2．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 4．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以.    故选：C. 5．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为符合题意， 所以“”是“∥”的充分不必要条件 故选：B 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示：    根据题意可知，由椭圆定义可得， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得，即； 结合整理可得，即， 解得或（舍）. 故选：C 7．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式， 代入点的坐标，可得关于的方程， 圆，的半径，是该方程的两个不同实根， 所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得． 当点在轴上时，， 此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切， 且，满足． 同理，当点在轴上时，，同样满足． 故选：C. 8．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 由题意知：； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC 11．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 【答案】ACD 【详解】如图，直线l与交于G， 对于A，若，则，所以， 所以，故A正确； 对于B，设，则，且即， 所以， 所以，故B错误； 对于C，由题意可知是中位线，故，故C正确； 对于D，设点，则直线， 因为直线平行于x轴，所以点的中点， 所以由点G在直线l上且得， 解得，即， 因此，故D正确. 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点在圆上，点，当最小时， . 【答案】 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 13．下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 【答案】①③ 【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设，则，； 综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误； 对于③，在直线上，， 则，，③正确； 对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误. 故答案为：①③. 14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ． 【答案】 【详解】由已知平面，平面， 所以, 因为平面，平面， 所以， 所以，又， 所以，又的面积是面积的倍，所以， 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，， 设点的坐标为，则，，由已知， 所以，所以，其中，， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧， 过点作，因为平面，所以平面，即平面， 所以为三棱锥的高，所以三棱锥的体积， 因为，，所以， ， 所以当时，取最大值，最大值为，所以当时，三棱锥体积取最大值，最大值为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【详解】（1）证明：由可得：， 令，所以直线过定点．.....................5分 （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得，.....................7分 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小，.....................11分 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为......................13分 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面. (1)求证：平面平面； (2)设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明平面平面，. 又，且平面，平面. 平面.又，且平面， 平面.平面， 平面平面......................6分 （2）由（1）知，所以四边形为正方形，即，且有. 以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，设平面的一个法向量， 则即取，同理可得平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为......................15分 17．（15分）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为.......................5分 （2）由题意设，，如图所示： 联立，整理得， ， 则，， 故 设直线l与x轴的交点为，又，则， 故， 结合，解得.......................15分 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）∵平面平面，且平面平面， 且，平面，∴平面，∵平面，∴， 又，且，平面，∴平面；.......................5分 （2）取中点为，连接， 又∵，∴．则， ∵，∴，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则由，得，令，则． 设与平面的夹角为， 则；......................11分 （3）假设在棱上存在点点，使得平面. 设，， 由（2）知，，，，则，， ， 由（2）知平面的一个法向量． 若平面，则， 解得，又平面， 故在棱上存在点点，使得平面，此时........................17分 19．（17分）已知圆O的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数）， ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围． 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为． 过点的圆O的切线方程为或．......................5分 （2）①设点，则， ， ，，， 又，化简得， P为圆O上任意一点，， 又，，解得，常数． .......................12分 ②由①知，，，点，圆， 设，M是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：， 解得．......................17分   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 4．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 11．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点在圆上，点，当最小时， . 13．下列关于直线方程的说法正确的是 . ①直线的倾斜角可以是； ②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为； ③过点的直线的直线方程还可以写成； ④经过，两点的直线方程可以表示. 14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面. (1)求证：平面平面； (2)设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知圆O的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数）， ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 , ,a b c   为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A．a b   ，c b   ，a c   B． 2a b   ，b  ，a c   C．2a b   ，2c b   ，a b c     D．a b   ，a b c     ， c  2．直线 1 : 1 0l x   与直线 2 : 3 2 0l x y   的夹角为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 3．设定点  1 0, 2F  ，  2 0, 2F ，动点 P满足条件  1 2 4 0PF PF m m m     ，则点 P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 4．如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E为BC的中点， 1 1 3 CF CC ，则异面直线EF 与 1 1B D 所成角的余弦值为（ ） A． 2 3 B． 3 6 C． 3 26 26 D． 4 21 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．已知直线 l： 3 0mx y   和直线n：  23 2 1 0m x m y    ，则“ 1m   ”是“ l∥n ”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y M a b a b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ，点 P在M 上，Q为 2PF 的中点，且 1 2 1,FQ PF FQ b  ，则M 的离心率为（ ） A． 3 3 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 2 7．已知两个不同的圆 1C ， 2C 均过定点 ( , )A a b ，且圆 1C ， 2C 均与 x轴、 y 轴相切，则圆 1C 与圆 2C 的半径之 积为（ ） A． ab B．2 ab C． 2 2a b D． 2 2 2 a b 8．如图所示，四面体 ABCD的体积为V ，点M 为棱BC的中点，点 ,E F分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段 AF 的中点，过点N 的平面 与棱 , ,AB AC AD分别交于 , ,O P Q，设四面体 AOPQ的体积为V ，则 V V  的最小值为（ ） A． 1 4 B． 1 8 C． 1 16 D． 1 27 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线 1l ， 2l 的方向向量分别是  2,3, 1a    ，  2, 3,1b     ，则 1 2l l// B．两个不同的平面 ，  的法向量分别是  2,2, 1u   ，  3,4,2v   ，则  C．直线 l的方向向量  1 1 2a , ,  ，平面 的法向量是  6,4, 1u   ，则 l  D．直线 l的方向向量  0,3,0a  ，平面 的法向量是  0, 5,0u   ，则 / /l  10．已知直线 : 0  l kx y k ，圆  2 2 0 0: 6 5 0, ,C x y x P x y    为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． 2 20 0x y 的最大值为 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 B． 0 0 y x 的最大值为 2 5 5 C．直线 l与圆C相切时， 3 3 k   D．圆心C到直线 l的距离最大为 4 11．已知直线 : ( 0)l y kx k  交椭圆 2 2 2 2 1 x y a b   于 A，B两点， 1F ， 2F 为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆 的左、右顶点，在椭圆上与 2F 关于直线 l的对称点为 Q，则（ ） A．若 1k  ，则椭圆的离心率为 2 2 B．若 1 3MA MB k k   ，则椭圆的离心率为 3 3 C． 1/ /l FQ D．若直线BQ平行于 x轴，则 3k   第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知点 P在圆 2 2( 5) ( 5) 16x y    上，点    4,0 , 0, 2A B ，当 PBA 最小时， PB  . 13．下列关于直线方程的说法正确的是 . ①直线 sin 2 0x y    的倾斜角可以是 π 2 ； ②直线 l过点  2,3 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 1 0x y   ； ③过点  0 0,P x y 的直线 0Ax By C   的直线方程还可以写成    0 0 0A x x B y y    ； ④经过  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点的直线方程可以表示 1 1 1 2 1 2 y y x x y y x x      . 14．正方体 1 1 1 1ABCD ABC D－ 的棱长为3， P是侧面 1 1ADD A（包括边界）上一动点，E是棱CD上一点，若 APB DPE  ，且 APB△ 的面积是 DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE－ 体积的最大值是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知直线 l的方程为：    2 1 1 7 4 0m x m y m      . (1)求证：不论m为何值，直线必过定点M ； (2)过点M 引直线 1l 交坐标轴正半轴于 A B、 两点，当 AOB 面积最小时，求 AOB 的周长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（15 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AA 平面 1 1, , , 2ABC AB AC AB BC AB BC    . (1)求证：平面 1 1ABC 平面 1ABC； (2)设点 P为 1AC的中点，求平面 ABP与平面BCP夹角的余弦值. 17．（15 分）已知椭圆 C：   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的焦距为2 2 ，离心率为 2 2 . (1)求 C的标准方程； (2)若 5 ,0 2 A     ，直线 l：  3 0 2 x ty t   交椭圆 C于 E，F两点，且 AEF△ 的面积为 46 2 ，求 t的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（17 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面PAD 平面 ABCD，PA PD ，AB AD ，PA PD ， 1AB  ， 2AD  ， 5AC CD  . (1)求证：PD 平面PAB . (2)求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值. (3)在棱PA上是否存在点M ，使得 //BM 平面 PCD?若存在，求出 AM AP 的值；若不存在，请说明理由. 19．（17 分）已知圆 O的方程为 2 2 4x y  ． (1)求过点  2, 1 的圆O的切线方程； (2)已知两个定点  ,2A a ，  ,1B m ，其中 Ra ， 0m  ． P为圆O上任意一点， PA n PB  （ n为常数）， ①求常数n的值； ②过点  ,E a t 作直线 l与圆 2 2:C x y m  交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段 NE的中点，求实数 t的取值 范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 , ,a b c   为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A．a b   ，c b   ，a c   B． 2a b   ，b  ，a c   C．2a b   ，2c b   ，a b c     D．a b   ，a b c     ， c  【答案】B 【详解】对于 A，设    a b x c b y a c           ，即      a b x c b y a c ya xb x y c                  ，解得 1x y  ， 所以a b   ， c b   ，a c   共面，不能构成空间的一个基底，故 A 错误； 对于 B，设  2a b xb y a c         ， ,x y 无解， 所以 2 , ,a b b a c       不共面，能构成空间的一组基底，故 B 正确； 对于 C，设    2 2a b x c b y a b c             ，解得 1 2 x y     ， 所以2 , 2 ,a b c b a b c           共面，不能构成空间的一个基底，故 C 错误； 对于 D，设  a b x a b c yc           ，解得 1 1 x y     ， 所以 , ,a b a b c c         共面，不能构成空间的一个基底，故 D 错误. 故选：B. 2．直线 1 : 1 0l x   与直线 2 : 3 2 0l x y   的夹角为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】B 【详解】设两直线的倾斜角分别为 ,  ，由 1 : 1 0l x   ，则 π 2   ， 由 2 : 3 2 0l x y   ，则 3 tan 3   ，即 π 6   ， 则两直线夹角为 π π π 2 6 3      . 故选：B. 3．设定点  1 0, 2F  ，  2 0, 2F ，动点 P 满足条件  1 2 4 0PF PF m m m     ，则点 P 的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【详解】因为 0m  ，所以 4 4 2 4m m m m     ， 当且仅当 2m  时等号成立， 当 2m  时， 1 2 4PF PF  ，而 1 2 4F F  ，此时点 P 的轨迹是线段 1 2F F ； 当 2m  时， 1 2 1 24PF PF F F   ， 此时点 P 的轨迹是以 1F 、 2F 为焦点的椭圆． 综上所述，点 P 的轨迹是以 1F 、 2F 为焦点的椭圆或线段 1 2F F . 故选：D. 4．如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 为BC 的中点， 1 1 3 CF CC ，则异面直线EF 与 1 1B D 所成角的余弦值为（ ） A． 2 3 B． 3 6 C． 3 26 26 D． 4 21 21 【答案】C 【详解】如图，以 D 为原点，分别以 1, ,DA DC DD 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为 2，则      1 1 2 0,0, 2 , 2, 2, 2 , 1, 2,0 , 0, 2, 3 D B E F      . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 所以 1 1 (2, 2,0)D B   ，又 2 1,0, 3 EF        所以 1 1 1 1 1 1 · 2 0 0 2 3 3 26 cos , 26| || | 4 13 26 2 2 1 2 2 9 3 EF D B EF D B EF D B                  . 故选：C. 5．已知直线 l ： 3 0mx y   和直线n ：  23 2 1 0m x m y    ，则“ 1m   ”是“ l ∥n ”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当 //l n时，   22 1 3m m m   ，解得 0m  或 1m   ， 当 0m  时，两直线分别为 1 3, 2 y y   ，符合题意， 当 1m   时，两直线分别为 3 0,3 3 1 0x y x y       符合题意， 所以“ 1m   ”是“ l ∥ n ”的充分不必要条件 故选：B 6．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y M a b a b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ，点 P 在M 上，Q为 2PF 的中点，且 1 2 1,FQ PF FQ b  ，则M 的离心率为（ ） A． 3 3 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 2 【答案】C 【详解】如下图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 根据题意可知 1 1 2 2PF F F c  ，由椭圆定义 1 2 2PF PF a  可得 2 2 2PF a c  ， 又Q为 2PF 的中点，可得 PQ a c  ， 因为 1FQ b ，由勾股定理可得 2 2 2 1 1F Q PQ PF  ，即     2 22 2b a c c   ； 结合 2 2 2b c a  整理可得 2 22 0c ac a   ，即 22 1 0e e   ， 解得 1 2 e  或 1e   （舍）. 故选：C 7．已知两个不同的圆 1C ， 2C 均过定点 ( , )A a b ，且圆 1C ， 2C 均与 x轴、 y 轴相切，则圆 1C 与圆 2C 的半径之 积为（ ） A． ab B．2 ab C． 2 2a b D． 2 2 2 a b 【答案】C 【详解】当点A 在第一象限时，圆 1C ， 2C 的方程为 2 2 2( ) ( ) ( 0)x r y r r r     的形式， 代入点 ( , )A a b 的坐标，可得关于 r 的方程 2 2 22( ) 0r a b r a b     ， 圆 1C ， 2C 的半径 1r ， 2r 是该方程的两个不同实根， 所以 2 1 2rr a  2b ，同理，当点A 在第二、三、四象限时也可得 2 2 1 2rr a b  ． 当点A 在 y 轴上时， 0a  ， 此时圆 1C ， 2C 的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在A 点处相切， 且 1 2r r b  ，满足 2 2 2 1 2rr b a b   ． 同理，当点A 在 x轴上时， 0b  ，同样满足 2 2 21 2rr a a b   ． 故选：C. 8．如图所示，四面体 ABCD的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点 ,E F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段 AF 的中点，过点N 的平面 与棱 , ,AB AC AD 分别交于 , ,O P Q ，设四面体 AOPQ 的体积为V ，则 V V  的最小值为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 A． 1 4 B． 1 8 C． 1 16 D． 1 27 【答案】C 【详解】连接 AM ， 由题意知：    1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 6 AN AF AD DF AD DM AD AM AD                       1 1 1 1 1 1 3 6 2 3 12 12 AD AB AC AD AB AC             ； 令 AO x AB AP y AC AQ z AD         ，则 AO AB x AP AC y AQ AD z          ， 1 1 1 12 12 3 AN AO AP AQ x y z         ， , , ,N O P Q 四点共面， 3 1 1 1 1 1 3 12 12 3 432x y z xyz      （当且仅当 1 4 x y z  时取等号）， 1 16 xyz  ； 设点C 到平面BAD 的距离为d ，则点 P 到平面BAD 的距离为 AP d yd AC   ， 又 1 sin 2BAD S AB AD BAD   ， 1 sin 2AOQ S AO AQ BAD   ， 1 13 1 16 3 AOQ BAD S ydV AO AQ y xyz V AB ADS d            ，即 V V  的最小值为 1 16 . 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线 1l ， 2l 的方向向量分别是  2,3, 1a    ，  2, 3,1b     ，则 1 2l l// 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 B．两个不同的平面 ，  的法向量分别是  2,2, 1u   ，  3,4,2v   ，则  C．直线 l 的方向向量  1 1 2a , ,  ，平面 的法向量是  6,4, 1u   ，则 l  D．直线 l 的方向向量  0,3,0a  ，平面 的法向量是  0, 5,0u   ，则 / /l  【答案】AB 【详解】两条不重合直线 1l ， 2l 的方向向量分别是  2,3, 1a    ，  2, 3,1b     ，则b a    ，所以 1 2l l// ，A 正 确； 两个不同的平面 ， 的法向量分别是  2,2, 1u   ，  3,4,2v   ，则  2 3 2 4 1 2 0u v          ，所以   ，B 正确； 直线 l 的方向向量  1 1 2a , ,  ，平面 的法向量是  6,4, 1u   ，则  1 6 1 4 2 1 0a u          ，所以 / /l  或 l  ，C 错误； 直线 l 的方向向量  0,3,0a  ，平面 的法向量是  0, 5,0u   ，则 5 3 u a    ，所以 l  ，D 错误． 故选：AB 10．已知直线 : 0  l kx y k ，圆  2 2 0 0: 6 5 0, ,C x y x P x y    为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． 2 20 0x y 的最大值为 5 B． 0 0 y x 的最大值为 2 5 5 C．直线 l 与圆C 相切时， 3 3 k   D．圆心C 到直线 l 的距离最大为 4 【答案】BC 【详解】圆C 的方程可化为  2 2 23 2x y   ，所以圆C 的圆心为  3,0C ，半径 2r  . 3OC  ，𝑃(𝑥 , 𝑦 )是圆上的点， 所以 2 2 0 0x y 的最大值为   2 3 2 25  ，A 选项错误. 如图所示，当直线OP 的斜率大于零且与圆相切时， 0 0 y x 最大， 此时 3, 2, 5OC PC OP   ，且 2 2 5 tan 55 OPk POC    ，B 选项正确. 直线 : 0  l kx y k ，即  1y k x  ，过定点  1,0 ， 若直线 l 与圆C 相切，则圆心  3,0C 到直线 l 的距离为2， 即 2 3 2 1 k k k    ，解得 3 3 k   ，所以 C 选项正确. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 圆心  3,0C 到直线 l 的距离 2 2 3 4 1 1 k k k d k k      ， 当 0k  时， 0d  ， 当 0k  时， 2 2 4 4 4 11 1 k d k k      ，所以 D 选项错误. 故选：BC 11．已知直线 : ( 0)l y kx k  交椭圆 2 2 2 2 1 x y a b   于 A，B 两点， 1F ， 2F 为椭圆的左、右焦点，M，N 为椭圆 的左、右顶点，在椭圆上与 2F 关于直线 l 的对称点为 Q，则（ ） A．若 1k  ，则椭圆的离心率为 2 2 B．若 1 3MA MB k k   ，则椭圆的离心率为 3 3 C． 1/ /l FQ D．若直线BQ平行于 x 轴，则 3k   【答案】ACD 【详解】如图，直线 l 与 2QF 交于 G， 对于 A，若 1k  ，则 (0, )Q c ，所以b c ， 所以 2 2 2 1 2 222 c c c e a b c c       ，故 A 正确； 对于 B，设𝐴(𝑥 , 𝑦 )，则  0 0,B x y  ，且 2 2 0 0 2 2 1 x y a b   即   2 2 2 02 0 2 b a x y a   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 所以  2 2 20 2 22 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 · 3MA MB b a x y y y bak k x a x a x a x a a               ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 1 1 3 3 b a c c e e a a a          ，故 B 错误； 对于 C，由题意可知OG 是中位线，故 1//l F Q，故 C 正确； 对于 D，设点  0 0,B x y ，则直线 0 0 : y l y x x  ， 因为直线BQ平行于 x 轴，所以点  0 0 2, ,Q x y F Q 的中点 0 0,2 2 c x y G       ， 所以由点 G 在直线 l 上且 2 1F G lk k   得 0 0 0 0 0 0 0 0 · 2 2 · 1 y y c x x y y x c x         ， 解得 0 1 2 x c ， 2 2 0 3 4 c y  即 0 3 2 y c  ， 因此 0 0 3 2 3 1 2 cy k x c      ，故 D 正确. 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知点 P 在圆 2 2( 5) ( 5) 16x y    上，点    4,0 , 0, 2A B ，当 PBA 最小时， PB  . 【答案】3 2 【详解】设圆 2 2( 5) ( 5) 16x y    的圆心为 (5,5)M ，半径为 4， 如图所示：当 PBA 最小时， PB与圆 M 相切，连接 ,MP BM ， 则 PM PB ， 2 2| | (0 5) (2 5) 34BM      ，而 | | 4MP  ， 由勾股定理得 2 2| | | | | | 3 2PB BM MP   ， 所以当 PBA 最小时， | | 3 2PB  . 故答案为：3 2 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 13．下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线 sin 2 0x y    的倾斜角可以是 π 2 ；②直线 l过点  2,3 ， 并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 1 0x y   ；③过点  0 0,P x y 的直线 0Ax By C   的直线方程 还可以写成    0 0 0A x x B y y    ；④经过  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点的直线方程可以表示为 1 1 1 2 1 2 y y x x y y x x      . 【答案】①③ 【详解】对于①，当sin 0  时，直线方程为： 2x   ，此时直线倾斜角为 π 2 ，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时， 3 : 2 l y x  ，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设 :l x y a  ，则 2 3 1a     ， : 1 0l x y    ； 综上所述：过点  2,3 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： 3 2 y x  或 1 0x y   ，②错误； 对于③，  0 0,P x y 在直线 0Ax By C   上， 0 0 0Ax By C    ， 则 0 0Ax By C Ax By C     ，    0 0 0A x x B y y     ，③正确； 对于④，若 1 2x x 或 1 2y y ，则过    1 1 2 2, , ,A x y B x y 两点的直线无法表示为 1 1 1 2 1 2 y y x x y y x x      ，④错误 . 故答案为：①③. 14．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D－ 的棱长为3， P 是侧面 1 1ADD A （包括边界）上一动点，E 是棱CD上一点，若 APB DPE  ，且 APB△ 的面积是 DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE－ 体积的最大值是 ． 【答案】 9 2 8 【详解】由已知 AB 平面 1 1ADD A ， AP 平面 1 1ADD A ， 所以 AB AP , 因为DE 平面 1 1ADD A ，DP 平面 1 1ADD A ， 所以DE DP ， 所以 90BAP EDP    ，又 APB DPE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 所以 APB DPE ∽ ，又 APB△ 的面积是 DPE 面积的9倍，所以 3 AP DP  ， 以点D为原点， 1, ,DA DC DD    为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，则  3,0,0A ，  0,0,0D ， 设点 P 的坐标为  ,0,x z ，则0 3x  ，0 3z  ，由已知 3AP PD ， 所以  2 2 2 23 3x z x z    ，所以 2 2 3 9 0 4 8 x z x    ，其中0 3x  ，0 3z  ， 所以点 P 的轨迹为以点 3 ,0,0 8      为圆心， 9 8 为半径的圆在侧面 1 1ADD A 内的一段圆弧， 过点 P 作 1/ /PQ DD ，因为 1DD 平面 ABCD，所以PQ 平面 ABCD，即PQ 平面 ABE ， 所以 PQ为三棱锥P ABE 的高，所以三棱锥P ABE 的体积 1 3 3 3 2 2P ABE ABE V S PQ PQ z    ， 因为 2 2 3 9 0 4 8 x z x    ，0 3z  ，所以 2 3 9 4 8 z x x    ， 0 3x  ， 所以当 0x  时， z 取最大值，最大值为 3 2 4 ，所以当 0x  时，三棱锥 P ABE－ 体积取最大值，最大值为 3 3 2 9 2 2 4 8   .故答案为： 9 2 8 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知直线 l 的方程为：    2 1 1 7 4 0m x m y m      . (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ； (2)过点M 引直线 1l 交坐标轴正半轴于 A B、 两点，当 AOB 面积最小时，求 AOB 的周长. 【详解】（1）证明：由    2 1 1 7 4 0     m x m y m 可得：  2 7 4 0m x y x y      ， 令 2 7 0 3 4 0 1 x y x x y y            ，所以直线 l 过定点  3,1M ．.....................5 分 （2）由（1）知，直线 1l 恒过定点  3,1M ， 由题意可设直线 1l 的方程为   1 3 0y k x k    ，设直线 1l 与 x轴， y 轴正半轴交点为 ,A B， 令𝑥 = 0，得 1 3By k  ；令 0y  ，得 1 3Ax k   ，.....................7 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 所以 AOB 面积    1 1 1 11 3 3 9 6 2 2 S k k k k                    1 12 9 6 6 2 k k             ， 当且仅当 1 9k k    ，即 1 3 k   时， AOB 面积最小，.....................11 分 此时  6,0A ，  0,2B ， 2 26 2 2 10AB    ， AOB 的周长为6 2 2 10 8 2 10    . 所以当 AOB 面积最小时， AOB 的周长为8 2 10 ......................13 分 16．（15 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 平面 1 1, , , 2ABC AB AC AB BC AB BC    . (1)求证：平面 1 1AB C 平面 1A BC ； (2)设点 P 为 1AC 的中点，求平面 ABP 与平面BCP夹角的余弦值. 【详解】（1）证明 1AA  平面 ,ABC BC 平面 ABC ， 1AA BC  . 又 1,AB BC AA AB A   ，且 1,AA AB 平面 1 1ABB A ， BC 平面 1 1ABB A . 1AB  平面 1 1 1,ABB A BC AB  .又 1 1 1,AB AC A C BC C   ，且 1 ,AC BC 平面 1A BC ， 1AB 平面 1A BC . 1AB  平面 1 1AB C ， 平面 1 1AB C 平面 1A BC ......................6 分 （2）由（1）知 1 1AB A B ，所以四边形 1 1ABB A 为正方形，即 1 2AA AB  ，且有 2 2AC  . 以点A 为原点，以 1,AC AA 所在直线分别为 ,y z 轴，以过A 点和 AC 垂直的直线为 x轴，建立空间直角坐标系 A xyz ，如图所示， 则          1 10,0,2 , 0,2 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2, 2 , 0, 2,1A C B B P ， 所以      2,0,1 , 0, 2,1 , 2, 2,0BP AP CB       ，设平面 ABP 的一个法向量𝑛 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 则 0, 0, BP n AP n           即 2 0, 2 0, x z y z       取  1, 1, 2n   ，同理可得平面BCP的一个法向量  2, 2, 2m  ， 所以    2, 2, 2 1, 1, 2 2 2 1 cos , 22 2 4 1 1 2 2 2 2 m n m n m n                   ， 所以平面 ABP 与平面BCP夹角的余弦值为 1 2 ......................15 分 17．（15 分）已知椭圆 C：   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的焦距为2 2 ，离心率为 2 2 . (1)求 C 的标准方程； (2)若 5 ,0 2 A     ，直线 l：  3 0 2 x ty t   交椭圆 C 于 E，F 两点，且 AEF△ 的面积为 46 2 ，求 t 的值. 【详解】（1）由题意得，2 2 2c  ， 2c  ， 又 2 2 c e a   ，则 2a  ， 则 2 2 2 2b a c   ， 所以 C 的标准方程为 2 2 1 4 2 x y   .......................5 分 （2）由题意设  1 1,E x y ，  2 2,F x y ，如图所示： 联立 2 2 3 2 1 4 2 x ty x y         ，整理得  2 2 72 3 0 4 t y ty    ， 0  ， 则 1 2 2 3 2 t y y t     ，  1 2 2 7 4 2 y y t    ， 故     2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 22 9 7 16 14 4 2 22 t t y y y y y y t tt           设直线 l 与 x 轴的交点为 3 ,0 2 D       ，又 5 ,0 2 A      ，则 3 5 4 2 2 AD         ， 故 2 1 2 2 1 16 14 46 2 2 2 2AEF t S AD y y t         ， 结合 0t  ，解得 2t  .......................15 分 18．（17 分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面 ABCD，PA PD ，AB AD ，PA PD ， 1AB  ， 2AD  ， 5AC CD  . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 (1)求证：PD 平面PAB . (2)求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值. (3)在棱PA 上是否存在点M ，使得 //BM 平面 PCD ?若存在，求出 AM AP 的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）∵平面PAD 平面 ABCD，且平面PAD平面 ABCD AD ， 且 AB AD ， AB 平面 ABCD，∴ AB 平面PAD ，∵PD 平面PAD ，∴ AB PD ， 又PD PA ，且PA AB A ， ,PA AB 平面PAB，∴PD 平面PAB；.......................5 分 （2）取 AD中点为O，连接 ,CO PO， 又∵PA PD ，∴PO AD ．则 1AO PO  ， ∵ 5CD AC  ，∴CO AD ，则 2 2 5 1 2CO AC OA     ， 以O为坐标原点，分别以 , ,OC OA OP    所在直线为 , ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， 则 (0,0,1)P ， (1,1,0)B ， (0, 1,0)D  ， (2,0,0)C ， 则 (1,1, 1)PB    ， (0, 1, 1)PD     ， (2,0, 1)PC    ， ( 2, 1,0)CD     ， 设  , ,n x y z 为平面 PCD的一个法向量， 则由 0 0 n PD n PC         ，得 0 2 0 y z x z       ，令 1z  ，则 1 , 1,1 2 n        ． 设 PB与平面 PCD的夹角为 ， 则 1 1 1 32sin cos , 31 1 1 3 4 n PB n PB n PB             ‖ ；......................11 分 （3）假设在棱PA 上存在点M 点，使得 //BM 平面 PCD . 设 AM AP   ，  0,1 ， 由（2）知， (0,1,0)A ， (1,1,0)B ， (0,0,1)P ，则 (0, 1,1)AP    ， ( 1,0,0)BA    ，  ( 1,0,0) (0, , ) 1, ,BM BA AM BA AP                    ， 由（2）知平面 PCD的一个法向量 1 , 1,1 2 n        ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 若 //BM 平面 PCD，则 1 1 2 0 2 2 BM n             ， 解得 1 4   ，又BM  平面 PCD， 故在棱PA 上存在点M 点，使得 //BM 平面 PCD，此时 1 4 AM AP  ........................17 分 19．（17 分）已知圆 O 的方程为 2 2 4x y  ． (1)求过点  2, 1 的圆O的切线方程； (2)已知两个定点  ,2A a ，  ,1B m ，其中 Ra ， 0m  ． P 为圆O上任意一点， PA n PB  （ n 为常数）， ①求常数n 的值； ②过点  ,E a t 作直线 l 与圆 2 2:C x y m  交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段 NE 的中点，求实数 t的取值 范围． 【详解】（1）圆 2 2: 4O x y  的圆心坐标为𝑂(0,0)，半径为2， 当过点  2, 1 的圆 O 的切线斜率不存在时，切线方程为 2x  ； 当斜率存在时，设切线方程为  1 2y k x   ，即 2 1 0kx y k    ． 由 2 2 1 2 1 k k     ∣ ∣ ，解得 3 4 k  ，则切线方程为3 4 10 0x y   ． 过点  2, 1 的圆 O 的切线方程为 2x  或3 4 10 0x y   ．......................5 分 （2）①设点𝑃(𝑥, 𝑦)，则 2 2 4x y  ，        2 2 2 22 , 1PA x a y PB x m y        ， PA n PB  ， 2 22PA n PB  ，        2 2 2 222 1x a y n x m y         ， 又 2 2 4x y  ，化简得 2 2 2 2 2 22 4 8 2 2 5ax y a mn x n y m n n       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 P 为圆 O 上任意一点， 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 8 5 a mn n a m n n         ， 又 0m  ， 0n  ，解得 2 2 1 n a m       ，常数 2n  ． .......................12 分 ②由①知， 2a  ， 1m  ，点  2,E t ，圆 2 2: 1C x y  ， 设 0 0( , )M x y ，M 是线段 NE 的中点， 0 0(2 2,2 )N x y t  ， 又M ，N 在圆C 上，即关于 0 0,x y 的方程组     2 2 0 0 2 2 0 0 1 2 2 2 1 x y x y t         有解， 化简得 2 2 0 0 2 0 0 1 8 4 7 0 x y x ty t         有解， 即直线 28 4 7 0x ty t    与圆 2 2: 1C x y  有交点， 则圆心  0,0 到直线的距离 2 2 7 1 64 16 t d t     ∣ ∣ ， 化简得：   4 2 2 2 22 15 5 3 0, 5 0t t t t t        ， 解得 5, 5t    ．......................17 分 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C B C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．①③ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）证明：由可得：， 令，所以直线过定点．.....................5分 （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得，.....................7分 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小，.....................11分 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为......................13分 16．（15分） 【详解】（1）证明平面平面，. 又，且平面，平面. 平面.又，且平面， 平面.平面， 平面平面......................6分 （2）由（1）知，所以四边形为正方形，即，且有. 以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，设平面的一个法向量， 则即取，同理可得平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为......................15分 17．（15分） 【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为.......................5分 （2）由题意设，，如图所示： 联立，整理得， ， 则，， 故 设直线l与x轴的交点为，又，则， 故， 结合，解得.......................15分 18．（17分） 【详解】（1）∵平面平面，且平面平面， 且，平面，∴平面，∵平面，∴， 又，且，平面，∴平面；.......................5分 （2）取中点为，连接， 又∵，∴．则， ∵，∴，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则由，得，令，则． 设与平面的夹角为， 则；......................11分 （3）假设在棱上存在点点，使得平面. 设，， 由（2）知，，，，则，， ， 由（2）知平面的一个法向量． 若平面，则， 解得，又平面， 故在棱上存在点点，使得平面，此时........................17分 19．（17分） 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为． 过点的圆O的切线方程为或．......................5分 （2）①设点，则， ， ，，， 又，化简得， P为圆O上任意一点，， 又，，解得，常数． .......................12分 ②由①知，，，点，圆， 设，M是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：， 解得．......................17分   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知 , ,a b c   为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A．a b   ，c b   ，a c   B． 2a b   ，b  ，a c   C．2a b   ，2c b   ，a b c     D．a b   ，a b c     ， c  2．直线 1 : 1 0l x   与直线 2 : 3 2 0l x y   的夹角为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 3．设定点  1 0, 2F  ，  2 0, 2F ，动点 P满足条件  1 2 4 0PF PF m m m     ，则点 P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 4．如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E为BC的中点， 1 1 3 CF CC ，则异面直线EF 与 1 1B D 所成角的余弦值为（ ） A． 2 3 B． 3 6 C． 3 26 26 D． 4 21 21 5．已知直线 l： 3 0mx y   和直线n：  23 2 1 0m x m y    ，则“ 1m   ”是“ l∥n ”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y M a b a b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ，点 P在M 上，Q为 2PF 的中点，且 1 2 1,FQ PF FQ b  ，则M 的离心率为（ ） A． 3 3 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 2 7．已知两个不同的圆 1C ， 2C 均过定点 ( , )A a b ，且圆 1C ， 2C 均与 x轴、 y 轴相切，则圆 1C 与圆 2C 的半径之 积为（ ） A． ab B．2 ab C． 2 2a b D． 2 2 2 a b 8．如图所示，四面体 ABCD的体积为V ，点M 为棱BC的中点，点 ,E F分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段 AF 的中点，过点N 的平面 与棱 , ,AB AC AD分别交于 , ,O P Q，设四面体 AOPQ的体积为V ，则 V V  的最小值为（ ） A． 1 4 B． 1 8 C． 1 16 D． 1 27 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线 1l ， 2l 的方向向量分别是  2,3, 1a    ，  2, 3,1b     ，则 1 2l l// B．两个不同的平面 ，  的法向量分别是  2,2, 1u   ，  3,4,2v   ，则  C．直线 l的方向向量  1 1 2a , ,  ，平面 的法向量是  6,4, 1u   ，则 l  D．直线 l的方向向量  0,3,0a  ，平面 的法向量是  0, 5,0u   ，则 / /l  10．已知直线 : 0  l kx y k ，圆  2 2 0 0: 6 5 0, ,C x y x P x y    为圆C上任意一点，则下列说法正确的是 （ ） A． 2 20 0x y 的最大值为 5 B． 0 0 y x 的最大值为 2 5 5 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … C．直线 l与圆C相切时， 3 3 k   D．圆心C到直线 l的距离最大为 4 11．已知直线 : ( 0)l y kx k  交椭圆 2 2 2 2 1 x y a b   于 A，B两点， 1F ， 2F 为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆 的左、右顶点，在椭圆上与 2F 关于直线 l的对称点为 Q，则（ ） A．若 1k  ，则椭圆的离心率为 2 2 B．若 1 3MA MB k k   ，则椭圆的离心率为 3 3 C． 1/ /l FQ D．若直线BQ平行于 x轴，则 3k   第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知点 P在圆 2 2( 5) ( 5) 16x y    上，点    4,0 , 0, 2A B ，当 PBA 最小时， PB  . 13．下列关于直线方程的说法正确的是 . ①直线 sin 2 0x y    的倾斜角可以是 π 2 ； ②直线 l过点  2,3 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 1 0x y   ； ③过点  0 0,P x y 的直线 0Ax By C   的直线方程还可以写成    0 0 0A x x B y y    ； ④经过  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点的直线方程可以表示 1 1 1 2 1 2 y y x x y y x x      . 14．正方体 1 1 1 1ABCD ABC D－ 的棱长为3，P是侧面 1 1ADD A（包括边界）上一动点，E是棱CD上一点，若 APB DPE  ，且 APB△ 的面积是 DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE－ 体积的最大值是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知直线 l的方程为：    2 1 1 7 4 0m x m y m      . (1)求证：不论m为何值，直线必过定点M ； (2)过点M 引直线 1l 交坐标轴正半轴于 A B、 两点，当 AOB 面积最小时，求 AOB 的周长. 16．（15 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AA 平面 1 1, , , 2ABC AB AC AB BC AB BC    . (1)求证：平面 1 1ABC 平面 1ABC； (2)设点 P为 1AC的中点，求平面 ABP与平面BCP夹角的余弦值. 17．（15 分）已知椭圆 C：   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的焦距为2 2 ，离心率为 2 2 . (1)求 C的标准方程； (2)若 5 ,0 2 A     ，直线 l：  3 0 2 x ty t   交椭圆 C于 E，F两点，且 AEF△ 的面积为 46 2 ，求 t的值. 18．（17 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面 ABCD，PA PD ，AB AD ，PA PD ， 1AB  ， 2AD  ， 5AC CD  . (1)求证：PD 平面PAB . (2)求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值. (3)在棱PA上是否存在点M ，使得 //BM 平面 PCD ?若存在，求出 AM AP 的值；若不存在，请说明理由. 19．（17 分）已知圆 O的方程为 2 2 4x y  ． (1)求过点  2, 1 的圆O的切线方程； (2)已知两个定点  ,2A a ，  ,1B m ，其中 Ra ， 0m  ． P为圆O上任意一点， PA n PB  （ n为常数）， ①求常数n的值； ②过点  ,E a t 作直线 l与圆 2 2:C x y m  交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段 NE的中点，求实数 t的取 值范围． 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 4．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 11．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点在圆上，点，当最小时， . 13．下列关于直线方程的说法正确的是 . ①直线的倾斜角可以是； ②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为； ③过点的直线的直线方程还可以写成； ④经过，两点的直线方程可以表示. 14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面. (1)求证：平面平面； (2)设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知圆O的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数）， ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$