2.2 直线与圆的位置关系【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

2.2：直线与圆的位置关系 【考点归纳】 · 考点一：判断直线与圆的位置关系 · 考点二：由直线与圆的位置关系求参数 · 考点三：圆的弦长问题 · 考点四：圆的弦长求参数或者方程 · 考点五：圆的切线方程问题 · 考点六：直线与圆的应用 · 考点七：直线与圆的位置求距离的最值问题 · 考点八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 【知识梳理】 知识点一：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识点二：直线与圆的方程解决实际问题 仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案． 【题型归纳】 题型一：判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 2．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 4．（24-25高二上·全国）已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·吉林长春）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：圆的弦长问题 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 8．（23-24高二上·四川南充·期末）直线与圆交于两点，则的最小值是（    ）． A．3 B．6 C． D． 9．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 题型四：圆的弦长求参数或者方程 10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 12．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型五：圆的切线方程问题 13．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知圆，从点观察点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 15．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与圆的应用 16．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ）    A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 17．（23-24高二上·江苏扬州）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二上·江西·阶段练习）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ） A． B． C． D． 题型七：直线与圆的位置求距离的最值问题 19．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 21．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 题型八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 22．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 23．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知圆的圆心在轴上，点是圆的上任一点，且当点的坐标为时，到直线距离最大． (1)求圆的方程； (2)经过原点，且斜率为的直线与圆交于两点．求证：为定值． 24．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是. (1)求曲线C的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且， ①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标； ②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值. 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高二上·全国）已知实数，若直线与圆的两个交点恰好关于直线对称，则（    ） A． B． C．4 D．2 26．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线绕原点逆时针旋转与圆相交于两点，则（    ） A． B． C．2 D． 29．（24-25高二上·全国·课后作业）过直线所过的定点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高二上·全国·课后作业）某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（    ） A． B． C． D． 31．（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 32．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 34．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 三、填空题 35．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 36．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆上恰有三个点到过点的直线的距离为1，写出一个满足条件的直线的方程为 . 37．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 38．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，若圆关于直线对称，则的最小值为 ，此时直线的一般式方程为 . 四、解答题 39．（24-25高二上·全国）已知圆关于直线对称的圆恰好经过点. (1)求圆的标准方程； (2)在轴上存在一点，使得过点的直线与圆和圆都相交，且被两圆所截的弦长相等，求实数的取值范围. 40．（24-25高二上·吉林长春）已知圆，直线. (1)若直线l被圆截得弦长为，求直线l的方程； (2)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦的中点M的轨迹方程. 41．（24-25高二上·江苏南通）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： (1)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； (2)以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 42．（24-25高二上·江苏徐州）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2：直线与圆的位置关系 【考点归纳】 · 考点一：判断直线与圆的位置关系 · 考点二：由直线与圆的位置关系求参数 · 考点三：圆的弦长问题 · 考点四：圆的弦长求参数或者方程 · 考点五：圆的切线方程问题 · 考点六：直线与圆的应用 · 考点七：直线与圆的位置求距离的最值问题 · 考点八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 【知识梳理】 知识点一：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识点二：直线与圆的方程解决实际问题 仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案． 【题型归纳】 题型一：判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 2．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 【答案】A 【分析】方法一利用直线过定点，定点代入圆方程判断直线与圆的位置关系；方法二利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系；方法三利用直曲联立，有两个交点时判别式大于零. 【详解】方法一：直线恒过定点，而,所以点在圆内，故直线与圆相交.选A. 方法二：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A. 方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x并整理，得，则，所以直线与圆相交.故选A. 故选：A. 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】由题意，可判断直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系. 【详解】， 直线转化为， 所以直线恒过定点， 由，所以点在圆内， 故直线与圆相交. 故选：B. 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 4．（24-25高二上·全国）已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离小于半径可得； 【详解】圆的标准方程是， 圆心， 由题得， 解得． 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 6．（24-25高二上·吉林长春）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围. 【详解】如图所示. 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 题型三：圆的弦长问题 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 8．（23-24高二上·四川南充·期末）直线与圆交于两点，则的最小值是（    ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】首先求出直线所过定点，再求出圆心到直线的距离的最大值，最后利用弦长公式即可得到答案. 【详解】当，，则直线过定点，代入圆的方程得，则该定点在圆内， 即，则圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为， 的最大值为该定点到圆心的距离，即， ，因为， 所以， 故选：D. 9．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可. 【详解】直线：过定点， 圆：，圆心，半径 因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时， 弦长最短为， 故选：C    题型四：圆的弦长求参数或者方程 10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径，设圆心到直线的距离为，用表示出的面积，由面积为50解出，再结合点到直线的距离公式解出的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，则， 所以的面积，解得. 又，所以，化简，得，解得. 故选：A. 11．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得， 所以，直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为， 因为，即点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短， ，直线的斜率为，所以，，解得． 故选：B． 12．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当直线的斜率不存在时，不合要求，设直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出或，得到直线方程. 【详解】由题意知，，设圆的半径为，则， 当直线的斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到直线距离为， 此时，舍去， 设直线的方程为，即， 点到直线的距离， 又， 故，解得或， 代入得或． 故选：D 题型五：圆的切线方程问题 13．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 14．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知圆，从点观察点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切线为，应用点线距离公式求切线方程，再根据已知求切线与直线的交点纵坐标，即可得参数范围. 【详解】设过点与圆相切的直线为， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为． 由A向圆C引2条切线，只要B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在的直线上， 在中，取，得， 从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需或， 所以a的取值范围是. 故选：D 15．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 题型六：直线与圆的应用 16．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ）    A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系,    则，，圆方程， 直线方程：，即， 设到距离为，则， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 设监测时间为，则（小时）， 外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时. 故选：C. 17．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 18．（22-23高二上·江西·阶段练习）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：C. 题型七：直线与圆的位置求距离的最值问题 19．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选：D. 20．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可. 【详解】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    21．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    题型八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 22．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程； （2）设，定点，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标． 【详解】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【点睛】方法点睛：解析几何中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 23．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知圆的圆心在轴上，点是圆的上任一点，且当点的坐标为时，到直线距离最大． (1)求圆的方程； (2)经过原点，且斜率为的直线与圆交于两点．求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当到直线距离最大时，与垂直，可求出圆心的坐标，从而可以求出圆的方程； （2）直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理求出，再由代入即可得出结论. 【详解】（1）由题意，垂直直线，设圆心， 当的坐标为时，， ，， ，，所以半径为， 圆的标准方程为； （2）由题意直线的方程为， 联立，消得， 恒成立， ，. ∴为定值. 24．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是. (1)求曲线C的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且， ①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标； ②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；定点②详见解析. 【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程； （2）①首先设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标； ②由几何图形可知，，再利用直角三角形，协办的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 由题意可知，， 所以， 整理得到曲线的方程为； （2）①设直线的方程为，，，， 联立，得， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以且， 所以直线的方程为，即直线过定点； ②如图所示： 因为为定值，且于点，所以为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，此时为定值， 因为，，所以由中点坐标公式得， 所以存在定点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹法求圆的方程，以及定点问题，定点问题的关键是设出直线，然后利用韦达定理求出参数的关系，即可得到对应的定点坐标. 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高二上·全国）已知实数，若直线与圆的两个交点恰好关于直线对称，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】把圆的一般方程变成标准方程后求出圆心，由直线经过圆心，且与直线垂直列方程组求出即可； 【详解】圆化为，圆心的坐标为. 根据题意，直线经过圆心，且与直线垂直， 从而可得 解得 所以. 故选：C. 26．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的一般方程可得出圆心，半径为2，利用弦长公式可得圆心到直线的距离，可得结果. 【详解】由圆可得， 即圆心，半径为2， 要使，则圆心到直线的距离， 所以，解得.又因为，所以. 故选：A 27．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，则，得， 所以过点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即. 故选：B. 28．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线绕原点逆时针旋转与圆相交于两点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据两直线垂直斜率关系得出直线方程为，再求弦心距，最后根据勾股定理计算弦长即可. 【详解】直线绕原点逆时针旋转后，两条直线垂直， 所以旋转后直线的斜率为，直线方程为， 由题意得圆的圆心，半径，所以圆心到直线的距离，则． 故选：D. 29．（24-25高二上·全国·课后作业）过直线所过的定点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题意求出切点，利用线段垂直的性质求出，再利用直线方程的点斜式求解方程即可. 【详解】将直线变形为， 故直线过定点，我们把进行化简， 得到圆的标准方程是，圆心，半径为1， 显然过点的直线是圆的切线，从而求得切点， 根据题意，可知直线与直线垂直，又直线的斜率， 由，解得， 所以直线的方程为，即，故B正确. 故选：B 30．（24-25高二上·全国·课后作业）某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】适当建立平面直角坐标系，根据直线与圆的位置关系，结合弦长的求法可得拱桥的水面跨度，进而得解. 【详解】    由题意，建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，，， 其中为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为， 则， 解得，， 则圆形拱桥的水面跨度为， 故选：B. 31．（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 二、多选题 32．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 33．（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 【答案】AB 【分析】选项A，将方程变形成，即可求解；选项B，将圆变形标准形式，即可求解；选项C，利用直线与圆的位置关系，即可求解；选项D，利用直线过圆心，即可求解. 【详解】对于选项A，直线的方程可化为，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 34．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A.由圆的对称性可知，直线过圆心，B.判断直线所过的定点，当定点为弦的中点时，弦长最短，结合弦长公式，即可求解，C.利用数量积的坐标表示，结合圆的方程，即可判断，D.利用切线长公式，结合直线与圆的位置关系，即可判断D. 【详解】对于A，若圆关于直线对称，则圆心在直线上， 将代入方程解得，故正确. 对于，直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短， 此时，圆心到直线的距离为 弦长为，故错误. 对于，设，，，， 由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确. 对于，因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确.    故选：ACD 三、填空题 35．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【详解】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 36．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆上恰有三个点到过点的直线的距离为1，写出一个满足条件的直线的方程为 . 【答案】（或 【分析】根据圆的半径知，只需圆心到直线的距离为 1即可，分直线斜率是否存在讨论即可得解. 【详解】由题得，圆心，半径为2， 故圆恰好与轴相切，圆心到轴的距离为2. 又直线过点，当直线的斜率不存在时， 直线的方程为，圆心到直线的距离为1， 此时圆上恰好有三个点到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离为，即， 则直线方程为，即. 故答案为：（或 37．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 【答案】. 【分析】取中点为，连接，，确定点的轨迹为以为直径的圆，根据得到答案. 【详解】取中点为，连接，如图所示： 则，又，， 故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为， 因为，， 所以，即，则. 故答案为：. 38．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，若圆关于直线对称，则的最小值为 ，此时直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准式方程可得圆心，即可根据直线经过圆心得，利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】圆，整理得，则的圆心为， 由题意得直线过圆心，所以， 又，所以. （当且仅当时，取“）.此时直线方程为，即. 故答案为:. 四、解答题 39．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆关于直线对称的圆恰好经过点. (1)求圆的标准方程； (2)在轴上存在一点，使得过点的直线与圆和圆都相交，且被两圆所截的弦长相等，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出圆的方程，再代入点，即可求得，从而可得圆的方程； （2）分直线与直线平行和直线经过两圆连心线和对称轴所在直线的相交两种情况分别求解即可. 【详解】（1）解：由题意得圆的标准方程为，圆心， 设圆的圆心坐标为，根据题意可得，解得， 从而可得圆的方程为， 又圆恰好经过点，则，解得， 则圆的方程为； （2）解：根据题意，圆和圆关于直线对称， 若直线与直线平行且与两圆相交，直线被两圆所截的弦长一定相等， 此时， 设，由直线与两圆都相交，可得，解得； 若直线经过两圆连心线和对称轴所在直线的交点时， 此时直线的方程， 联立，解得， 故， 设直线：， 当与两圆都相交时，， 化简得，解得， 综上所述，满足题意的的取值范围是. 40．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆，直线. (1)若直线l被圆截得弦长为，求直线l的方程； (2)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程； （2）设动点，由几何关系得动点M满足的向量关系，可求得轨迹方程. 【详解】（1）圆化为标准方程为， 圆心，半径， 设圆心到直线l的距离为d，因为弦长为，则，解得， 所以，解得，故直线方程为或. （2）直线，直线过定点，且斜率存在， 设弦AB的中点， 则，所以，即， 点也满足方程，此时点与点重合，直线l的斜率不存在，不合题意， 所以弦的中点M的轨迹方程为. 41．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： (1)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； (2)以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分直线 l 的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，然后利用弦长公式求解即可； （2）分外切、内切两种情况，利用圆心之间的距离和半径之间的关系求解即可. 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以，则圆A方程为， 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知. 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． （2）两圆的圆心之间的距离为. 当两圆外切时，圆的半径为； 当两圆内切时，圆的半径为. ∴圆的方程为或. 故答案为：或. 42．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【详解】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$