2.1 圆的方程【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

2.1圆的方程 【考点归纳】 考点一：求圆的标准方程 考点二、圆的一般方程 考点三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数） 考点四：由圆的一般方程求半径和圆心 考点五： 圆的对称问题和定点问题 考点六： 定点到圆上的最值问题 考点七：圆的方程综合性问题 【知识梳理】 知识点一：圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二：点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 知识点三：圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 【题型归纳】 题型一：求圆的标准方程 1．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二、圆的一般方程 4．（22-23高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 . 6．（22-23高二上·北京石景山·期末）在中，，B和C．则的外接圆方程为 ． 题型三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数） 7．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高三下·河南·阶段练习）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：由圆的一般方程求半径和圆心 10．（22-23高二上·江苏泰州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，9 D．，9 11．（22-23高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 12．（21-22高二上·天津武清·阶段练习）若直线始终平分圆的周长，则的最小值是 ． 题型五： 圆的对称问题和定点问题 13．（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 14．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 题型六： 定点到圆上的最值问题 16．（21-22高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高二上·广东江门·期中）已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二上·江苏无锡·期中）直线与直线交于点，点是圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型七：圆的方程综合性问题 19．（23-24高二上·江苏淮安·期中）在中，的内心． (1)求内切圆方程； (2)求外接圆方程． 20．（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的圆的方程： (1)圆心为点，且过原点； (2)圆心在y轴上，半径为3，且与x轴相切； (3)圆心在x轴上，半径为3，且与圆外切； (4)圆心在直线上，且过点，半径为5. 21．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【高分演练】 一、单选题 22．（23-24高二下·山东烟台）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 23．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C． D． 29．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知P，Q分别是圆C：、圆D：上的动点，O是坐标原点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（22-23高二·江苏·假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 31．（22-23高二·江苏·假期作业）若直线始终平分圆的周长，则的取值可能是(　　) A． B．- C． D．2 32．（22-23高二上·全国·期末）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 33．（22-23高二上·江苏·阶段练习）设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 三、填空题 34．（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 . 35．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 36．（2023高二上·全国·专题练习）圆上的点到直线的距离的最大值为 . 37．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知圆M经过．若点，点Q是圆M上的一个动点，则的最小值为 ． 四、解答题 38．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为. 39．（23-24高二上·全国·课后作业）写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点的单位圆； (2)圆心为，半径是5； (3)圆心为，经过点； (4)圆心在x轴上，经过与两点． 40．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 41．（22-23高二上·四川南充·期末）已知方程. (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1圆的方程 【考点归纳】 考点一：求圆的标准方程 考点二、圆的一般方程 考点三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数） 考点四：由圆的一般方程求半径和圆心 考点五： 圆的对称问题和定点问题 考点六： 定点到圆上的最值问题 考点七：圆的方程综合性问题 【知识梳理】 知识点一：圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二：点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 知识点三：圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 【题型归纳】 题型一：求圆的标准方程 1．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的标准方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程, 又经过，两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程. 故选：A. 2．（22-23高二上·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设圆C的方程为，将点的坐标代入方程列出方程组，解出即可得结果. 【详解】设圆C的圆心坐标为，半径为，则圆C的方程为， 由点和点在圆C上， 可得①，②， 由①②可得， 故圆C的标准方程为. 故选：A. 3．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 题型二、圆的一般方程 4．（22-23高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可. 【详解】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 5．（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法及圆的一般方程即可求解. 【详解】设圆的一般式方程为：， 因为圆经过点, 所以,解得， 所以圆的一般式方程为：. 故答案为：. 6．（22-23高二上·北京石景山·期末）在中，，B和C．则的外接圆方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，代入点的坐标求解即可． 【详解】由题意设圆的方程为， 代入三个点的坐标可得，解得， 所以的外接圆方程为， 故答案为：． 题型三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数） 7．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 8．（22-23高三下·河南·阶段练习）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案. 【详解】因为方程，即表示圆， 等价于0，解得或. 故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 题型四：由圆的一般方程求半径和圆心 10．（22-23高二上·江苏泰州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，9 D．，9 【答案】A 【分析】将圆方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径. 【详解】由方程可得， 故圆心坐标为，半径为3． 故选：A. 11．（22-23高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】36 【分析】先求出的圆心和半径，从几何意义求解的最大值，即圆心与点距离加上半径的平方，从而求出最终结果. 【详解】实数满足，即表示以为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离的平方，则最大值为圆心与点距离加上半径后的平方，故的最大值为． 故答案为：36 12．（21-22高二上·天津武清·阶段练习）若直线始终平分圆的周长，则的最小值是 ． 【答案】20 【分析】由题意，圆C的圆心在直线L上，从而可得，又表示点到直线上的点的距离的平方，从而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】解：因为直线始终平分圆的周长， 所以直线必过圆的圆心，即圆心在直线上， 所以，则表示点到直线上的点的距离的平方， 所以的最小值是， 故答案为：20. 题型五： 圆的对称问题和定点问题 13．（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 14．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 15．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 题型六： 定点到圆上的最值问题 16．（21-22高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记点，则，数形结合可知当为直线与圆的交点，且点在线段上时，取最大值，即可得出的最大值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 记点，则，如下图所示： 当点为直线与圆的交点，且点在线段上时，取最大值，即， 因此，的最大值为. 故选：B. 17．（22-23高二上·广东江门·期中）已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知点为圆外一点，利用点到圆心的距离加半径，即为的最大值. 【详解】将代入，得， 所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径， 所以， 则的最大值为：， 故选：D. 18．（22-23高二上·江苏无锡·期中）直线与直线交于点，点是圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得直线过定点，直线过定点，且，从而得点在以为直径的圆上，又点是圆上的动点，从而可得的最大值为与两圆半径之和，再计算即可得解． 【详解】解：由题意可得直线过定点，直线过定点，当时，， 当时，的斜率，的斜率，因为，得， 点A在以为直径的圆上（不包含O），且圆心，半径， 又点是圆上的动点，且圆心，半径， 的最大值为． 故选：C. 题型七：圆的方程综合性问题 19．（23-24高二上·江苏淮安·期中）在中，的内心． (1)求内切圆方程； (2)求外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可求解半径，即可得圆的方程， （2）根据相切可计算长度，根据长度关系可得,进而根据垂直以及对称求解点坐标，根据直角三角形的性质，可得外接圆圆心的位置，即可求解圆心和半径. 【详解】（1）由可得直线方程为：， 即， 所以到的距离为， 因此内切圆的半径为，圆心为， 所以内切圆方程为 （2）设直线与内切圆相切于点，内切圆半径为，连接, 由于, 而且,所以， 所以, 由于平分，所以,因此， 所以为以为直角的直角三角形, 由则, 方程为 又轴，所以直线，关于对称，因此， 因此直线方程为, 联立，的方程，解得， 故, 因此的中点坐标为，且为外接圆圆心， 外接圆的半径为, 故外接圆方程为 20．（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的圆的方程： (1)圆心为点，且过原点； (2)圆心在y轴上，半径为3，且与x轴相切； (3)圆心在x轴上，半径为3，且与圆外切； (4)圆心在直线上，且过点，半径为5. 【答案】(1) (2)或. (3)或. (4)或. 【分析】根据题意，设出圆的标准方程，结合题设条件，确定圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】（1）解：因为圆心为点，设所求圆的方程， 又因为圆过原点，可得圆的半径， 所以所求圆的方程为. （2）解：因为圆心在y轴上，半径为3，设所求圆的方程， 又因为圆与x轴相切，可得， 所以所求圆的方程为或. （3）解：因为圆心在轴上，半径为3，设所求圆的方程为， 又因为圆与圆外切，可得圆心距等于两圆的半径之和， 即，解得，所以圆的方程为或. （4）因为圆心在直线上，且半径为，设圆的方程为， 又因为圆过点，可得，解得或， 所以所求圆的方程为或. 21．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)，M的轨迹是一个圆. 【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可； （2）画出图形，运用相关点法求解即可. 【详解】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆G的方程为. 方案二：选条件② 直线恒过点. 因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆G经过点， 所以圆的半径，所以圆G的方程为，即. 方案三：选条件③ 设圆G的方程为， 由题意可得，解得， 则圆G的方程为，即. （2）设，因为M为线段的中点，所以， 因为点P是圆G上的动点，所以， 即， 所以M的轨迹是一个圆.    【高分演练】 一、单选题 22．（23-24高二下·山东烟台）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 23．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 24．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的条件可得结果. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 25．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 26．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 27．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值. 【详解】圆，圆心，半径为， 则圆心关于x轴的对称点为， 则， 当且仅当三点共线时取得最小值， 结合图像可知. 故选：C 28．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆上的点到直线的最大距离，再利用面积公式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，为点到直线的距离， 又点在圆上， ， 又， ， 面积的最大值是. 故选：A. 29．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知P，Q分别是圆C：、圆D：上的动点，O是坐标原点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，根据阿氏圆，三角形相似得到，故，结合图形得到最小值为，得到答案. 【详解】因为，取，则，， 所以，又， 所以∽，故，， 则， 连接，与圆相交于点，与圆相交于点， 此时取得最小值， 最小值为. 故选：D 二、多选题 30．（22-23高二·江苏·假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 【答案】BC 【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可. 【详解】对于A，当时，， 若，则C是圆； 若，则C是点； 若，则C不存在.故A错误. 对于B，当时，，且， 则C是圆，故B正确. 对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确. 对于D，当，时，， 若，则表示一元二次方程， 若，则表示抛物线，故D错误. 故选：BC 31．（22-23高二·江苏·假期作业）若直线始终平分圆的周长，则的取值可能是(　　) A． B．- C． D．2 【答案】ABC 【分析】由题可知直线过圆心，有，代入利用二次函数的性质求出范围即可判断. 【详解】由题可知直线过圆心，有，即， 则，故ABC符合题意． 故选：ABC． 32．（22-23高二上·全国·期末）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【答案】BCD 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 可圆的圆心坐标为， A中，当时，此时半径为，所以A错误； B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确； D中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确． 故选：BCD. 33．（22-23高二上·江苏·阶段练习）设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 【答案】AB 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 三、填空题 34．（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点坐标代入，就可求得外接圆方程. 【详解】设外接圆方程为， 因为原点，，三点都在圆上，所以有 ，解得，则圆的方程为， 故的外接圆方程为. 故答案为： 35．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】利用两点间距离几何意义求解最值. 【详解】设点，由实数满足可得： 点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 设点，则的几何意义为动点到定点的距离， 由，则点在圆外， 结合图形可知，. 的最大值是. 故答案为：.    36．（2023高二上·全国·专题练习）圆上的点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故答案为： 37．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知圆M经过．若点，点Q是圆M上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆的一般方程为， 由于圆经过，，， 所以有，解得， 所以圆的一般方程为，即标准方程为. 则圆的圆心，半径， 且， 因为， 当且仅当与同向时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 38．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解； （2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解. 【详解】（1）所求圆的半径. 又因为圆心为， 所以所求圆的方程为. （2）设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. 39．（23-24高二上·全国·课后作业）写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点的单位圆； (2)圆心为，半径是5； (3)圆心为，经过点； (4)圆心在x轴上，经过与两点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，找出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程． 【详解】（1）圆心为，半径为1，圆的方程为． （2）圆心为，半径为5，圆的方程为． （3）圆心为，半径为， 圆的方程为． （4）和两点构成的线段的中垂线所在的方程为， 由于圆心在轴上，所以圆心为， 所以半径为， 所以圆的方程为． 40．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解； （2）设点，，由得，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为， 它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为； （2）设，，由，得， 所以，又点在圆上，故， 所以，化简得的轨迹方程为 41．（22-23高二上·四川南充·期末）已知方程. (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值 【分析】 （1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围； （2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案. 【详解】（1）若此方程表示圆，则， 解得， 即实数m的取值范围是； （2）由（1）可知，此时圆E：， 圆心坐标为，半径为1， 因为圆F和圆E关于y轴对称， 所以圆F圆心坐标是，半径是1， 故圆F方程为， 则圆心到直线的距离， 故到直线的距离的最大值为，最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$