练案(63)10.1 两个计数原理、排列、组合-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

5.(2023·福建泉州质检)港珠澳大桥海底隧道是当今 (2)试建立：与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱 世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建 顶的累加总下沉量； 设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国 (3)已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将 在隧道建设领域已达到世界领先水平.在开挖隧道施 超负荷，隧道有塌方风险.若规定每天下午6点为 工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程 调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调 施工的安全性，则需及时调整支护参数，某施工队对 整支护参数，才能避免塌方： 正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过 对监控量测结果进行回归分析，建立前：天隧道拱顶 附：①相关系数r= 含（属-)6- 的累加总下沉量（单位：毫米）与时间（单位：天）的 含（属-宫- 回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参 ②回归直线y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计 数.已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下表所示： 1234567 公式分别为：i= (x-x)(:-） .a=y-bx: 20.010.040.140.521.382.314.3 8(-) 研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数：= ③参考数据：√210=14.5，ln10=2.30. e“进行拟合.令u=血，计算得：=l,24,(4 0(-8)=22.37,(-)=27.5:u=-1.2,(4 -0(4-u)=25.2,(4,-u)2=30 (1)请判断是否可以用线性回归模型拟合“与：的关 系：（通常1l>0.75时，认为可以用线性回归模型 拟合变量间的关系) 练案[63] 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第一讲两个计数原理、排列、组合 竹A组基础巩固月 4.(2023·黑龙江哈尔滨质检)小张接到5项工作，要在 下周一、周二、周三、周四这4天中完成，每天至少完成 一、单选题 1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方 1.(2024·湖南部分重点中学联考)在如图所示的表格 式有 中填写1,2,3三个数字，要求每一行、每一列均有这 A.180种 B.480种 3个数字，则不同的填法种数为 C.90种 D.120种 5.(2023·江西省萍乡市模拟)如图， 给7条线段的5个端点染色，要求同 一条线段的两个端点不能同色，现有 4种不同的颜色可供选择，则不同的 A.6 B.9 C.12 D.18 2.(2023·高考新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体 染色方法种数有 () A.24种 B.48种 育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽 样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生， C.96种 D.120种 已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学 6.(2024·江苏扬州模拟)重庆八中五四须奖典礼上有 生，则不同的抽样结果共有 A,B,C,D,E,F共6个节日，在排演出顺序时，要求A, A.C。·C5种 B.C·C”种 B相邻，C,D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排 C.C·C种 D.Cn·C”种 法种数为 A.288种 B.144种C.72种 D.36种 3.(2024·黑龙江龙西北高中名校联盟联考)将编号为 1、23456的小球放人编号为1、2、345,6的六个 7.(2024·江苏南京六校联考)从2位男生，3位女生中 安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至 盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与 () 放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( 少有1位男生人选，则不同安排方法有 A.16种 B.36种 C.54种 D.96种 A.90 B.135 C.270 D.360 393 8.(2024·湖南名校联盟、河南焦作、陕西商洛阶段测三、填空题 试)位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第3引 13.(2024·江苏常州教育学会期中)将5本不同的书分 届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综 发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一 合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和 位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同 座综合小球馆.现安排包含甲、乙在内的6名同学到这 学，则不同的分配方案数为 (用数字作答) 4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安 14.(2024·浙江名校新高考研究联盟联考)杭州亚运会 排1个人，则甲，乙两人安排在相同场馆的方法种数为 举办在即，主办方开始对志愿者进行分配.已知射箭 场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会 说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语， 5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则 不同的选人方案共有 种，（用数字作答）. 15.(2024·湖南衡阳名校月考)在数学中，有一个被称 为自然常数（又叫欧拉数）的常数e≈2.71828.小明 A.96 B.144 C.240 D.360 在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6 9.(2024·河南洛阳创新发展联盟阶段测试)中国救援 位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排 力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献， 列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以 很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救 设置的不同密码共有 个 援队前往A,B,C三个受灾点执行救援任务，若每支救 B组能力提升 援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安 1.(2023·贵州遵义新高考协作体质检)现有甲、乙、丙 排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则 丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同 不同的安排方法种数是 学不站两端且两位老师必须相邻的站法有 () A.180 B.320 C.345 D.360 A.72种 B.144种 二、多选题 C.288种 D.576种 10.(2024·河北石家庄摸底)甲、乙、丙、丁、戊五人并排 2.（多选题)(2024·广东佛山S71联考)现安排甲、乙 站成一排，下列说法正确的是 丙、丁、戊5名同学参加2023年杭州亚运会志愿者服 A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排 务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排， 法有12种 则以下说法正确的是 B.若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为4 C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的 B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 排法共有72种 ACI D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排 C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1 法有24种 人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 11.(2023·辽宁模拟)某中学为提升学生劳动意识和社 (CC+CC)A; 会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共 D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从 6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳 事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则 动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每 不同安排方案的种数是CCA+CA 个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( 3.(2023·广东茂名一中模拟)由数字0,1,2,3,4组成 A.若1班不再分配名额，则共有C种分配方法 的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第 B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有C,种 88个数为 A.42031 B.42103 C.42130 D.42301 分配方法 4.(2024·南京师大苏州实验学校调研)有8个座位连 C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空 D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有 12.(2024·云南曲靖一中月考下列说法正确的是 种不同的坐法 5.(2024·浙江新阵地教育联盟联考)首个全国生态主 A.11×12×…×20可表示为A” 场日活动于2023年8月15日在浙江湖州举行，推动 B.5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手 能耗双控转向碳排放双控.有A,B,C,D,E,F共6项 10次 议程在该天举行，每个议程有半天会期.现在有甲 C.若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出 乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能 现的错误共有59种 容纳一个议程，若要求A,B两议程不能同时在上午举 D.4名老师派到两个学校支教，每个学校至少派1 行，而C议程只能在下午举行，则不同的安排方案一 人，则共有8种不同的分派方法 共有 种.（用数字作答）】 394[引申] 5.C由表 (1)252(2)156109(3)60(1)CCCC=360,360-108 端点 B D =252. (2)个位为0时有A号=60个：个位非0时有CAC=96个， 与A同色1 2 故四位偶数有156个：其中比2310大的偶数中 涂法 4 3 2 与A不同色 2 ①前三位为231的有1个： ②前两位为23第三位为4或5的有3个： 知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2+2)=96（种），故 ③前一位为2第二位为4或5的有9个： 选C. ④前一位为4的有C2A=24个： 6.BA,B相邻，湘绑作为一个节目与E、F进行全排列，然后把 ⑤前一位为3或5的各有C1A=36个，故共有109个 C,D插人其中的四个空挡中，排法总数为AAA=144.故 (3)13分别在百位、千位的有CCC=24个 选B. 13分别在十位，百位的有CCC=18个： 7.C当选择一个男生，二个女生时，不同的安排方法有C·C· 1,3分别在个位，十位的有CCgC=18个 A=36:当选择二个男生，一个女生时，不同的安排方法有C 故13相邻的四位数共有60个 C·A=18,所以不同安排方法有36+18=54种，故选C 角度2 8.C先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另 例：A由题知，可分两种情况考虑：第一种：分人数为1,23的三 外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，另一种方式是甲 组，共有CCC;·A号=360种：第二种：分人数为2,2,2的三 乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组.再把4组人 分到4个场馆，所以安摇方法种数为(C+C)A=240.故选C 组，共有CC.A=90种：所以不同的安排方法共有360+ 9.D若6支救援队按1,1,4分成3组，则不同的安排方法种数是 A 0=450种.故选A. CS·A=30,若6支救授队按1,23分成3组，则不同的安排 变式调练 1,B1,2.3.4.5,6组成没有重复数字的六位数.其中奇数不相 方法种数是CCCA号=240，若6支救援队按2,2,2分成3组， 邻，先排3个偶数，然后把3个奇数插人即可，共有AA=144 个，若2在第二位，则第一位一定为奇数.则从3个奇数中选择 则不同的安排方法种数是S A ·A号=90，故不同的安排方法种 个放在第一位上，此时还剩下2个偶数和2个奇数安排在后 数是360. 四位上，则先排2个偶数，然后把剩下2个奇数插空即可.此时 A 共有CAA号=36个，因此符合条件的六位数有144-36■108 10.BD由元=20（种）知A错：由心=72（种）知B正确：若甲 个，故选B. 在最右端有A=24(种)排法，若甲不在最右端有CCA号=54 2.B根据题意，甲，乙、丙、丁，戊五位同学选A,B,C三门德有校 种排法，54+24=78（种）知C错：由A=24(种)知D正确.故 本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分 选BD. 三组，有两类情况， 11.BD对于A,若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班 ①三组人数为1,13，此时有SCS.术=60种： 级，每个班级至少1个，根据插空法，有C种分配方法，故A A 错误： CEcC.=90种 对于B,若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配 2三组人数为2,21，此时有 到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C。种分配方 所以不同的报名方法共有60+90=150种.故选B. 法，故B正确： 对于C,D,若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用. 名师讲坛·素养提升 还有4个名领需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个 变式调练 班，有6种：②一个班3个名额，一个班1个名额，有A=30 B根据已知，可作出下图，如图知，不同的爬行线路有7条，叔 种：③两个班都是2个名额，有C=15种：④两个班1个名额 选B. 一个班2个名额，有CC=60:⑤四个班都是1个名额，有C =15种，则共有126种，故C错误，D正确.故选BD. 12.BCA”=10×11×12×13×…×20.故A错误：5人两两握 手，共握C=10(次)，故B正确：在5个位置中选3个位置填 A 人h,a,y,剩下2个位置填人p,共有A=60(种)，其中正确的 只有1种，则可能出现的错误共有60-1=59（种），故C正确： 将4人按3.1分派.共CCA=8种：将4人按2,2分派，共有 练案[63] CC.=6种，故每个学校至少派1人，共有14种分派方 A A组基础巩固 法，故D错误.故选C 1.C第一行填数有A:=6种填法，第二行填数有2种填法，第三 13.2165本书送4人共有CA=240.甲，乙送一人有A=24个 行填数只有1种填法.故总的填数方法有6×2×1=12种. 结果，240-24=216. 根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×0=0人，高 2.D 14.140若从只会韩语中选3人，则C(C+CC)=4×20=80 种，若从只会韩语中选2人，则CCC=6×10=60种，故不同 中部共轴取60×测=20根据组合公式和分步计数原理则不 的选人方案共有60+80=140种 15.36如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，两个2捆绑 同的抽样结果共有C·C0种，故选D. 看作一个元素与7,1全排列，排好后有4个空位.两个8插人 3.B在6个盒子中任选2个，放人与其编号相同的小球，有C= 其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，那么 15种，利下的4个盒子的编号与放人的小球缩号不同.假设这4 小明可以设置的不同密码共有A·C=36 个盒子的编号为3,4,5,6，则3号小球可以放进4,5,6号盒子，B组能力提升 有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选L.B教师排两端有C;ACA号=72种排法， 法，所以不同的放法种数为15×3×3=135种选法.故选B. 教师不排两端有AAA号=72种排法 4.A由题意可知不同的安排方式有CCA=180种，故选A 故共有72+72=144种排法.选B. 636 2.AD每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有43种安 排方法，A正确：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安 =-28y,故(1-x+)”的展开式中的系数为 排4项工作，有C写A种安排方法，B错误：先将5人分为3组. -28 女(+种分组方法，将分好的三组安排翻译，导游，利 考点突破·互动探究 A号 考点1 仪三项工作，有号种情况，则有 CC,CS3种安排方法， 角度1 例1：C C错误：①从丙.丁，戊中选出1人开车，②从丙.丁，戊中选出2 展开式的通项为1=C(2)-(-) 人开车，则有CCA号+CA种安排方法，D正确.故选AD. =C×2-‘×(-1)x0-“,令10-3k=4,得k=2.所以x的 3.C由数字0,1,2,3,4组城的各位上没有重复数字的五位数中 系数是C5×2×(-1)产=80.故选C 1在万位的有A=24(个)：2在万位的有A:=24(个)：3在万 例2：60 由题容知m=6,则(G-2)展开式的通项为71 位的有A=24(个)：4在万位的有A任=24（个）：则从小到大排 列第88个数为4在万位的五位数.4在万位0在千位的有A= C(-(-子)=C学.(-2，令5=0，解得 6(个)：4在万位1在千位的有A号=6（个）：4在万位2在千位的 =2.所以展开式中常数项为T=C·x”·(-2)2=60 有A:=6(个)，则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位 角度2 的五位数.4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为： 42013,42031.42103.42130.42301,42310则从小到大排列例1：- 的展开式中的通项公式为：T,1= 第88个数为42130.故选C. 4.480先排甲、乙，丙、丁4人就坐，不妨设为1,2,3,4号位置，因 C(ar2)'- 为甲、乙两人都在丙的同侧，当丙在1号位置有A:=6种排法. 当丙在2号位置有A:=2种排法，当丙在3号位置有A:=2种 令10- 5r 2 =0,得r=4 排法，当丙在4号位置有A=6种排法，共有16种排法：又因为 有且仅有两个空位相邻，将两个空位捆在一起，与利余两个空 所以常数项为乃=G0=一子，解得a=一 2 位插人甲、乙，丙、丁形成的5个空位中，有5C=30种排法，所例2：-280由题意得C:=C,解得n=7 以共有16×30=480种排法， 故(1-2x)’展开式通项公式为T+=C5(-2x)', 5.252分两种情况，第一种，A,B议程中只有一项在上午，有 令r=3得T:=C(-2x)3=-280x CCA号A=216种选择，第二种.A,B议程都安排在下午，有 故展开式中含x项的系数为-280 A号A号=36种选择，综上：不同的安排方案一共有216+36=252 角度3 种选择， 第二讲二项式定理 例：[解析】()由羯设，得C心+片xC=2x×C。 即n2-9n+8=0.解得1=8.n=1(舍去). 知识梳理·双基自测 知识梳理 (2)设第，+1项的系数最大，则 2 知识点一 1 一项式系数 Ca-*w通项k+1Cab 2G2- 知识点二 1.n+1 8-一，产2(r*)广解得r=2或r=3. 2.n 29- 3.降幂升幂 双基自测 所以系数最大的项为T,=7x,T=7x 1.(1)×(2)×(3)V(4)×(5)×(6)× 变式训练 2.18564 )的展开式的通项为=C(9… 9- 1.240 展开式的通项为1=G(2…( =(-1)36Cwx- =6·2·(-1)·,取6-=3，解得r=2,系数为 C%·2-3·(-1)2=240. 由题意得18-号=0r=12。 2.-7 由题意知=8(-) 的展开式的通项为T= 常数项为T=C=C=18564 3.-262(1-2x)3、(1+3x)的展开式的通项分别为T.1= c(2=…(-*(=01.2…,8,令8 C5(-2x)',7T1=C(3x) 又(1-2x)(1+3x)的展开式中按x升幂排列的第3项即展 3r=-1r=3放所求系数为c(-广：-7 开式中x项， Cg(-2x)°·C(3x)2+C(-2x)·C(3x)+C(-2x)2· 3.60240x° 22+1 的展开式的通项为 C(3x)°=-26x2 =C哈·20-·x2-w 460展开式的通项公式7=C(22)+,(-)广=(-1) 令12-3k=0.得k=4.所以，展开式中的常数项为C·22=60: ×251×C×x”“,令18-46=2可得，k=4,则x2项的系数为 令=Cg·2-(后N,k≤6)， (-1)×2×Cd=4×15=60. 令0 C·2≥C2-… 5.-28因为1-x+)°=(x+)-(x+八，所以 aa1,{Cg·2-≥Cgt.25 解得子≤a≤子，后Nn=2,因此.展开式中系数最大的 （-）x+)'的展开式中含y的项为Cy-上Cy 项为C·2·x°=240” -637