练案(22)4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

练案[22] 第四章 三角函数、解三角形 第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 酯A组基础巩固习 7.(2023·山东威海月考)已知点P个停.-引)在角0的 一、单选题 终边上，且0∈[0,2π)，则9的值为 1.若《是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的 是 A.5m 6 B.2 3 A.90°-c B.90°+ax C.360°-x D.180°+a C.lm 6 号 2.(2024·吉林长春模拟预测)2022年北京冬奥会开幕8.(2024·浙江杭州市模拟)达· 式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一 芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举 体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把 中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中 世闻名，画中女子神秘的微笑数 华五千年的文化自信.地球绕太阳的轨道称为黄道， 百年来让无数观赏者人迷，某爱 而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分 好者对《蒙娜丽莎》的同比例影 的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分 像作品进行了测绘，将画中女子 点，从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往 的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴 下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等.待运行一周后就 角A,B处作圆弧所在圆的切线， 又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24 个节气，则今年高考前一天芒种为黄经 ( 两条切线交于点C,测得AB=12.6cm,∠ACB=2 小满立夏谷雨治明 春分 惊投用水立 则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（单位：cm) 大东 芒 Q.小寒 A.12.6 至1 菌冬至 B.4π C.4.2m D.4.3m 0-000-0…00 0 大 二、多选题 立秋处老门需秋分寨露覆群立条图 大暑 9.下列各式中结果为正值的是 37 A.60度 B.75度 A.5in1125 B.tan 12m·sn3 2 C.270度 D.285度 3.已知点P(tan《,cosa)在第三象限，则角x的终边在 C.sin 5 D.sinl -11 tan 5 A.第一象限 B.第二象限 10.(2023·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点 C.第三象限 D.第四象限 为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线 4.已知扇形的周长为100cm,则该扇形的面积S的最大 x+y=0上，则角a的取值集合是 值为 ( A.100 cm2 B.625 cm2 A{ala=2km-年，或a=2km+3,keZ C.1250cm D.2500cm 5.已知角a的终边经过点(m,-2m),其中m≠0，则 Bfaa-zkwez sin a cos a ( c{aa=km+年keZ A、 5 B 5 D{aa=k-kez c- c±号 11.在平面直角坐标系xOy中，角a以x的非负半轴为始 6.(2023·济南市三中摸底)设0是第三象限角，且 边，且终边经过点P(-1,m)(m>0),则下列各式的 m号引=-m号则号是 ( 值一定为负的是 () A.sin a+cos a B.sin a cos a A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C.sin acos o D.sin a tan o -321 三、填空题 4.(2024·江苏宿迁高一期中)月牙泉，古称沙井，俗名 12.2025°角是第 象限角，与2025°角终边相同 药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓 的最小正角是 ,最大负角是 澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉 13.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括 边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆 边界)，则角《用集合可表示为 和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB否，南北距 离AB的长大约603m,则该月牙泉的面积约为 307 m'(精确到整数位)（参考数据：m≈3.14,3 1.73) 14.如图所示，角的终边与单位圆交于第二 3 象限的点cos ar,),则eosa-sina 15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰 出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的 经验公式：孤田面积=（弦×矢+失）.弧田（如 5.(2023·兰州模报)已知a=a且lg(mad 图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧 有意义， 所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差 (1)试判断角α所在的象限： 现有圆心角为，半径等于4m的弧田，则矢是 (2)若角a的终边上一点M号m,且0W=1(0为 m,所得弧田面积是 m 坐标原点)，求m及sina的值. 16.函数y=√2sinx-I的定义域为 B组能力提升易 1.(多选题)下列结论中正确的是 A若角a的终边过点P(3k,4h)(k≠0)，则sina= 5 B.若α是第一象限角，则号为第一或第三象限角 C.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为 1弧度 D若0<a<受，则sna<tana 2.设集合M={=180+45,keZN {=专180+45keZ,那么 A.M=N B.MCN C.NCM D.MnN= 3.(多选题)(2023·唐山模拟)函数(x)=m+ sin x 二青+儡的值可能为 ( A.1 B.-1 C.3 D.-3 -322-(3)由已知得.1+2R=20 所以5=2R=2(20-2R)R=10R-R=-(R-5)'+25. e(m-号，km+)水kez). 所以当R=5时，S取得最大值25cm,此时/=10，a=2. 练案[22] 变式训练 A组基础巩固 1.ABC投扇形半径为r,圆心角弧度数为c, .C由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.若a是第一 {分㎡=2.解得或r=2 t2r+r=6, 象限角，则：90°-a位于第一象限.0°+a位于第二象限，360 期由题意得{1 la=4 1a=I. -W位于第四象限，180°+《位于第三象限，故选C 2.B春分往下依次顺延，清明，谷雨，立夏、小满、芒种，所以芒种 可得圆心角的孤度数是4或1， 为黄经15×5=75度.故选B. 2.D由条件可得0出 =3.然后根据扇形的面积公式可得答案， 3.B由题意知tana<0,cosa<0,根据三角函数值的符号规律可 知，角a的终边在第二象限.故选B. 2mc=a片&3.所u =3,所以 4.B由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关.可设出半 径和弧长，表示出周长和面积公式，利用配方法即可求解，也可 2a·10A2- 2·10B12 以应用均值定理求解方法一：设扇形半径为，弧长为1，则周 10A12-10BI2910B2-10BI2 2a·10B 10BI2 IOBE 长为2r+1=10.面积为s宁，因为S==之(100-2r =-2+50r=-(r-25)2+625,所以当r=25时，5m=625:方 =8,故选D 考点3 法二（位用均值定理）：S=宁=子(10-2)r=(50-r:≤ 角度1 50-r+r 2 =625,当且仅当50-r=r.即r=25时等号成立，故 例：-± 3 设P(x,y).由题意知x=-3,y=m,所以户 选B =0P=(-3)2+m2(0为坐标原点).即r=√3+m,所以5.B角a的终边经过点(m,-2m),其中m≠0， na=_2m=0所以r=V3+m=22,即3+m: 当m>0时，sina=2m。-2 422 √5m 5m5 8,解得m=±5.当m=5时，sa=- 4,n=- ,当 sin a cos a=5 3 5" m=-5时，sa=- 4,tan a=15 当m<0时，ma=-2m.2 3 -5m5 角度2 例1：AB300°=360°-60°，则300°是第四象限角，故in300°< -5m 万ima+sa= 0,-305°=-360°+55°，则-305°是第一象限角，故 (-305)>0,面-号=-8m+织所以-号是第二 5,放选B 象限角，故一(-号）<0，因为3m<10<要，所以10是第 6B~0为第三象限角，号为第二或第四象限角 2 三象限角，故in10<0.故选AB. 又 2s月 <0.受是第二象限角 例2：C由sin atan a<0可知in,tna异号，则a为第二或第 7.C因为点P5,-})在第四象限，所以根据三角函数的定义 三象限角.由s“<0可知csa,ana异号，则&为第三或 2,-2 tan a 第四象限角.综上可知，a为第三象限角.故选C 变式训练 可知tan0= ,又0e[0,2m),所以9=1m 3 6 3 1.-子因为a的终边过点(x,4),且osa=-子，所以x<0.因 2 8.C画中女子的嘴唇近似看作一·个圆弧，如图。 4 为s=一 设圆心为0，依题意，0A⊥AC,OB⊥BC.0.A,C x2+16 =一3，所以x=-3.所以ma=-3 B四点共圆， 2A“号<2<3<m<4<m2>0.m3<0,m4>0。 LACB=LA0B=号 .sin2cs3am4<0.故选A :0A=OB..△AOB为等边三角形，OA=AB 名师讲坛·素养提升 =12.6cm 变式训练 ÷《蒙娜丽莎)中女子嘴唇的长度约为01×号=4.2x(em).故 (m-号，km+号）ke2)3-4i>0, 选C, 9.ACD确定·个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个 象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及 利用三角函数定义画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分 每部分的符号. 对于A,因为1125°=1080°+45°，所以1125°是第一象限角， 所示)， 所以in1125°>0： 对于B,因为 22m+ +吕，则侣是第三象限角， 所以m得>0，血<0，放m设·m<0: 对于C,因为5瓶度的角在第四象限， 3 所以n5<0,m5<0,故品3>0： -475- 对于D,因为牙<1<受，所以m-11>0 2.B由于M中交·180°+45=90°+450=(26+1) 10.AD因为直线x+y=0的倾斜角是3云，所以终边落在直线x+ 459,2张+1是奇数：面N中，=存·80+45°=6：450+450 y=0上的角的取值集合为{a=26m-平或a=26m =(k+1)·45°，k+1是整数，因此必有M二N. 3.BC由sinx≠0，casx≠0，知x终边不在坐标轴上，若x为第一 平keZ戌{aa=a-平keZ故选AD 象限角x）)=血￥++m=3 sin x cos x tanx 1l.CD由已知得r=10P1=√m+1,则sina= m 二>0 若x为第二象限角)=血+王+n工=-1 √m+ sin x'-cos x tan x cos =- ㄧ<0，ana=-m<0,则sina+cosa的符号 若x为第三象限角)=血+s生+■=-1， m2+1 sin r cosx tan x 不确定，ina-es>0,sin arcos o<0,血e=sg<0,故 若x为第四象限角x)=n++x=-1 sin t cos x -tan x tan o 故选BC. 选CD, 12.三225°-135°因为2025°=6×360°-135°.所以2025 42028设△4BC的外接圆的半径为r,则2r=B=605。 角的路边与-135°角的终边相同.所以2025°角是第三象限 3 角，与2025°角终边相同的最大负角是-135.又-135°+ 2 360°=225°.故与2025°终边相同的最小正角是225 120.得r=60 1a{a2m+子<a<2km+gkez 在[0,2π)内，终边 因为月牙内弧所对的圆心角为2云-2×号=票， 落在阴影部分角的集合为（子，》所求角的集合为 所以内孤的弧长1=60×2红=40m. 所以弓形ABC的面积为 {a2km+<a<2km+爱kez} 9=7×40m×60-2×60x60xm9=1200m-90,5, 3 14一子由题意得m+()1，ma 3 ,又csg<0 以AB为直径的半圆的面积为？m×(30,5)产=1350m,所以该 所以esa=一于又na=子所以sa-血a=一子 4 7 月牙泉的面积为 15.24,3+2根据题意画出图形，结合 1350m-(1200r-900W3)=150π+900√3=2028 图形利用直角三角形的边角关系求出 5[解折】()由a=。得ma<0, 矢和弦的值，代人公式计算求值即可.A D 由1g(c04)有意义，可却c0s>0. 如图所示，由题意可得：LA0B= 所以是第四象限角， OA=4,在Rt△AOD中，可得：∠A0D= 0 3 (2)因为0w=1,所以（子）+m=l 号∠D10=若.0=740=号×4=2.可得：矢=4-2=2， 解得m=±子 由0=0=4× 号=25，可得：弦=2D=45,所 又a为第四象限角，故m<0, 4 以：孤田面积=（弦×矢+失）=分×(45×2+2)=45 从而m=一专血a=子=品一子 +2 第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式 16[2m+.2m+]kez 知识梳理·双基自测 ,*2sin-1≥0 知识梳理 知识点一 六sinx≥2 1.sim2x+eo心2x=l2.血=anx 由三角函数线画出x满足条件的终边 05K 范围（如图阴影部分）. 知识点二 e[2m+石，2ka+kez sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a B组能力提升 双基自测 1D当k=-1时，氏-3，-4).则na=-专，放A错误： 1.(1)×(2)×(3)×(4)× [解析](1)根据诱导公式知a为任意角.(2)0s0时才成 2km<a<2km+号，keZ, 立.(3)根据同角三角函数的荟本关系式知当a,B为同角时才 m<受<m+开keZ。 正确4s(红-=生血a加=±分 2.A由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解.因为α是 “号为第一或第三象限角，故B正确： 转角且血a=分所以一a=-V个-a=2号则m 1a=6三=1，故C正确： 加孚故选入 050 ~0<a<三.sina<am台sina<他g台ms《<1,故D3.B利用诱导公式同角三角函数的基本关系式求得正确答案 正确. sin(m -a)+2cos(+a)sin a -2cos a_lan a -2_3-2 n(受+a+m(+a cos a+sin a I +tan a-1+3= -476