练案(20)3.3.3 导数与函数的零点&练案(21)高考大题规范解答-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

练案[20] 第三课时导数与函数的零点 酯A组基础巩固月 的B组能力提升 1.已知函数x)=nx+2-2,证明：函数代x)在(1， 1.已知函数fx)=lnx-a2x2+ax(a≥1). (1)证明：函数f八x)在区间(1，+x)上是减函数： +)内有且仅有一个零点 (2)当a=1时.证明：函数f八x)只有一个零点. 2.若函数f(x)=e(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点， 求a的取值范围. 1 2已知函数fx)=和-2a(x+1) (1)若a=e,求函数f代x)的极值： (2)若函数f代x)有两个零点，求实数a的取值范围. 3.已知函数f(x)=xe+e,讨论函数g(x)=f(x) a(a∈R)的零点个数 3.(2024·浙江省金华十校高三上学期模拟)已知(x) =ax2-x-1-lnx+e(a>0). (1)若当x=1时函数f代x)取到极值，求a的值： (2)讨论函数(x)在区间(1，+x)上的零点个数 4.已知函数f代x)=e-ax有两个零点 (I)求实数a的取值范围： (2)设：1，x1是f(x)的两个零点，求证：f"(√x)< 0. -319- 练案[21]高考大题规范解答— 高考中函数与导数问题的热点题型 的A组基础现固 的B组能力提升 1.设函数f(x)=e-ax-2. 1.(2023·河北邢台一模，21)已知函数f(x)=a·e2+ (1)求f(x)的单调区间： (2)若a=1,k为整数，且当x>0时，(x-k)·∫"'(x) -2e+号e- +x+1>0,求k的最大值 (1)当a=1时，求八x)的极小值： (2)若f代x)有两个零点，求实数a的取值范围 2.已知函数f八x)=e (1)若f(x)≥ax+1,求实数a的取值范围： (2)若g(x)=x+lnx,求证：g(x)-xe'+1≤0. 2.(2023·广东茂名二模，21)已知函数x)=号 +Ina -2ax,a为常数，且a>0, (1)判断f(x)的单调性： (2)当0<a<1时，如果存在两个不同的正实数m,n 且f(m)+f(n)=1-4a,证明：m+n>2. 3.设函数f八x)=e2-(2a+2)e+2ax (1)当a<0时，讨论函数(x)的单调性： (2)若f八x)有两个零点，求实数a的取值范围。 —320—a>0时- (x)在(0，+)上单调递增，因为1)=4-1=0，所以函数 (x 0 0 f八x)恰有一个零点， 若a>1)在(0,1，+x)上单润递增，在（日止单 f八x) 满港减，因为1)=a-1>0.所以财（日）>）>0，当x0 国为)=(）e+子 时x)一-，由零点存在定理可知代)在(0，）上必有- 所以当c<- 子时)只有大于1的率点 个零点，所以：>1满足条件， 图为-0分）=e- 若0<a<1,(x)在(0,1)，（合，+）上单调造增，在 所以当c>时)只有小于-1的零点， (,日上单得港减，固为)=a-1<0,所以（日）<1） 由题设写知-≤c≤} <0,当x一+x时八x)→+，由零点存在定理可知f八x)在 (行+上必有-个零点， 当c=一时，)只有两个零点-子和1 即0<a<1满足条件. 当c=对时小)只有两个零点-1和宁 综上，若fx)恰有一个零点，a的取值范围为(0，+) 变式训练 当-<e<时，)有三个常底西，且斯 [解析](1)数爪x)的定义域为(0，+)， 当a=-1时， (,)()e(3 f(x)=-2x-1+上.2-x+1 综上，若八x)有一个绝对值不大于1的零点，则(x)所有零点 的绝对值都不大于1， 今f()=0,得x=宁（负值合去）. 变式训练 [证明](1)/八x)的定义城为(0，+)： 当0<<时x)>0: f(r)=+x-1=- x 当>2时，()<0 图为y=nx在(0，+西)上单调递增，y=在(0，+0)上单测 所以✉)的草润造指区间为0，宁)】 递减， 所以∫(x)在(0，+西)上单调递增. 单调递减区同为（宁+ f=1<0f2)=h2-号=h4>0, 2 (2)令x)=-2+x+nx=0,得a=x-血 故存在唯一xnG(1,2),使得f'(x)=0. 又当x<xn时，f"(x)<0爪x)单调递减 ◆)=x共中e[分小 当x>时'()>0，f八x）单调递增， 因此爪x)存在唯一的极值点. 则g(x)=1--lnx_+lnx-1 (2)由(1)知x)<fe）=-2,又fe2)=c2-3>0, x2 所以八x)=0在（无，+0）肉存在雀一根x=心 今g)=0,得=l,当号≤<1时g)<0: 由a>>1得0<<1<n a 当1<x≤3时，g(x)>0, 所以)的单润道减区间为[行小单调道特区同为1,31。 (位-小÷日-1@0， a 故是x)=0在(0，x)的唯-根. 所以g()g)=1,国为面数)在[分小小上有两个车 综上J爪x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数， 高付）=33+5e3)=3- 3 练案[20] 3h3+>3- A组基础巩因 所以实数a的取值范国是1,3引 [证期1f)是：学r)0得x2. >0,得x>2,令'(x)<0,得0<x<2,所以x)在(0,2)上单 考点3 调地减，在(2，+e)上单调道增.因为f(1)=0,(2)=n2-1 例：[解析](1)f'(x)=32+6. 依题意得（分）=0，即子+6=0， <0e2)=2+子-2>0，所以结合单调性，知f)在1， +)内有且仅有一个零点。 故6=一子 2[解折]由x)=0,得2-2x+1-a=吉 (2)证明：由()知)=-子+e 令8()=三，则函数)=心（父-2+1-a)-x恒有2个零 f0)=32-是令f八)=0，解将=方或= 点等价于函数y=x2-2x+1-a与y=g(x)的图象有2个交点， x麦化时f(x)与尺x)的变化情沉为： )=号合)>0，得<1，◆g)<0,得1 -469- 所以g(x)在(-，1)上单阔递增，在(1，+)上单润递减， >1),则'(x)<0,则函数h(x)在(1，+)上单洞递减，所以 所以g)=8）= h(x2)<(1)=0,所以f2lna-)<0,可得x,+x2<2lna,则 0<<lna<,2,命得证. 作出函数y=x2-2x+1-a=(x-1)2-a与y=g(x)的图象， (1)f(x)=e2-a, 如图所示， 当a≤0时(x)>0,所以f(x)在R上单调递增，不满足题意： y=x2-2+1-0 当a>0时，令f(x)<0,可得x∈(-，na),令f(x)>0,可 得xe(lna,+x), 所以f八x)在(-0，lna)上单调递减，在(na,+e）上单调 g= 递增， 当a>e时，有/日）=e-1>0o)=e-i>0, 又因为函数八x)=e-r有两个零点，所以lna)<0,即e“ 数形结合可得-m<】,解得a>-L aln a <0, e 所以a-al加a<0,可得lna>I,所以u>e, 数a的取值范国为(-。，+） 故实数a的取值范围是(e,+。) 3.[解析]函数f(x)的定义域为R,且f(x)=(x+2)e, (2)要证（√x,南）<0，即证√而∈(-x,lna), 方法一：要证1+出<2na,即证x1<2a-, 所以当xe(-,-2)时厂'(x)<0x)在(-x,-2)上为减 不妨设1<，，由(1)可知<lna<,所以2na-<lna. 函数， 因为f几x）在(-x,lna)上单调递减，即证f八x1)>f八2lna 当xE(-2,+)时，f"(x)>0,f(x)在(-2，+)上为增 x）, 酒数， 因为八x)=f(为)，所以f(）>f(2na-3),即证f八)- 故八x)在x=一2时取得极小值，也是最小值，即代-2)= 八2lna-）>0, 京，令八)=0，得=-1，当x<-1时x)<0 - 令h(x)=f八x)-f代2lna-x). ()=f()+f(2ln a-)=e-2a+=-20 当>-1时)>0，且)的图象经进(-2-) e (-1.0),(0,1). -2a=0. e 当x一一时，与一次函数相比，指数函数y=“增长更快，从 所以(x)在R上单词递增 商)=+10： 又因为>1na,所以h(x)>h(lna)=0,即fx)-f2lna- 【卡壳点】极限思想的应用 无）>0， 当x→+x时，J八x)→+，∫”(x》→+，根据以上信息，画出 可得0)=10，所以0<<ha<,所以5产>V5, 八x)大致图象如图所示 即√/<lna, 又因为八x)在(-，lna)上单调递减，所以f'(1x2)<0 fx 方法二：要证x1+x,<2lna,即证x1<2lna-x2, 不妨设x,<,由(1)可知x1<lna<,所以2na-x:<lna. -2-1/ 因为八x）在(-g.na)上单调递减，即证f(1)>f（2na 2- x3） 因为八无)=0，即证2na-)<0f(2lna-名）=e2月- 【易错点】忽视图象过点(0,1) 面数g(x)=八x)-a(aeR)的零点个数即为y=(x)的图象与 a2ha-)-号-2aha+, 直线y=a的交点个数 ∴关于函数g(x)=f八x)-a(aeR)的零点个数有如下结论： 因为e9=a,所以a= 写，所以号-2ha+m。 当a<一时，画载零点个载为0： e2(L+21m3- 当a=-我a≥0时，函数零点个数为1： 因为，>lma且a>c,所以名>1， e 当一吉<0<0时，函数军点个数为2 令h()=+2加-(x>10,N()=-寸+是-1 4.[解析](1)求出导函数f"(x)=e-a,通过讨论a≤0，a>0 x-<0 时，结合酒数有两个零点，可知>0，利用函数单洞性可知，当 所以h(x)在(1，+)上单调递减，所以()<h(1)=0, 尺山a)<0时，原函数才有两个零点，求解即可： (2)要证'（√x)<0,即证√x无3∈(-的，lna). 所以名+2加与-)小<0，所以2h-6)<0,可释名+ 方法一：不妨设<，由f(x)在(-，na)单调递减，得 x<2In a, 尺x)>f2na-与)，构造函数h(x)=f八x)-f八2na-x),求 导，利用基本不等式可得h'(x)≥0，则f(x)-八2na-) 图为0)=1>0，所以0<<na<,所以>√5， 2 >0. 即x<lna 结合0)=1>0，所以0<<ma<,所以5>√西， 又因为八x)在(-，lha)上单调递减， 2 命题得证： 所以f(√x名)<0 B组能力提升 方法二：不妨设x<x1,由(x)在(-口，na)上单词造减，得 1.[证明](1)显然函数(x)=nx-a22+的定义城为(0， x)>2血a-名)，结合西)=0和e“=m,得 e-2aln a +0),f‘(x)=↓-20x+a=-2a+am+ x +号气行2加名小有线面藏(e)+2加 =-(2x+1)(x-1) -470 因为4≥1.x>1,所以2r+1>0.x-1>0 记g(x）= (x+1（≠-1).则g(x) 2xe 所以"(x)<0, 所以函数八x)在(1，+e)上是减函数 =(2xe)'(x+1)3-[(x+1)3]'.2xe (2)当0=1时(x)=lnx-x2+x,其定义城是(0，+)'(x) (x+1) =1-2x+1=2￥--1 -2e2+ (x+1)3 令'()=0，解得=-（舍去）或￥=1 当x<-1时，g'(x)<0,面数g(x)单调递减： 当x>-1时，g(x)>0,函数g(x)单调递增. 所以当0<x<1时，"(x)>0:当x>1时f'(x)<0. 当x=0时，g(x)=0,当x一-x时，g(x)0: 所以函数f八x)在(0,1)上单调递增，在(1，+)上单调递减. 当一-1时，g(x)→-x:当x→+x时，g(x)→+x 所以当x=1时，函数代x)取得校大值，也是最大值， 故函数g(x)的图象如图所示. 即为f八1)=n1-12+1=0. 作出直线y=a,由图可知，当a<0时， 当x≠1时，J(x)<f八1)，即(x)<0.,所以函数爪x)只有一个 直线y=a和函数g(x)的图象有两个 =0 零点， 交点，此时函数八x)有两个零点.蚊实 2.[解析](1)由题意知，当a=e时，f(x)=e-2e·(任+ 1 数4的取值范国是(-，0). [方法总结] 利用函数零点求参数范 1)入，函数fx)的定义城为(-，+)，f'(x)=(x+1) 国的方法 e(x+1)=(x+1)(e'-e). (1)分离参数(a=g(x))后，将原问题 令f"(x)=0,解得x=-1或x=1. 转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=4与y= 当x变化时∫'(x)J八x)的支化情况如表所示： g(x)的图象的文点个数问题（优途分离、次选分类）求解： (-x,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+e (2)利用函数零，点存在定理构建不等式求解： (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不 f'(x) + 0 0 + 等式求解 单调 极大值 单调 授小值 单调 3.[解析](1)函数x)=a2-m--1nx+e,可得r(x) f八x】 递增 1 递减 -e 递增 =2am-a+-1-e… 所以当x=-1时x)取得极大值- :当x=I时，八x)取得 因为x=1时菌数f代x)取到校值，可得f"(1)=0,解得a=1, 极小值一巴 当a1时，可得/代)=2-1+付--e片 (2)解法一（分类讨论法）： '()=(x+1)e-a(x+1》=(x+1）(e'-a). 令m(x)=”()=2x-1+-↓-e 若：=0.易知菌数f八x)在(-，+￥)上只有一个零点，故不 符合题意， 可得m2-子++e>2-之22三 3x2 若a<0,当xe(-,-1)时，f(x)<0,f八x)单调追减；当xE 令A(x)=23+x-2,可得A'(x)=6r2+1>0,所以A(x)单调 (-1,+g)时，'(x)>0,八x)单调递增， 递增， 由-1)=-1<0，且1)=e-2a>0,当x一-x时《x)→ e 又西为A(日)-嘉0，所以在区问（冬+）上m()>0, +0 所以密数代x)在(-x,+)上有两个零点，若lnn<-1,即0 即f'(x)单调递增， 所以x=1是'(x)的变号军点，所以当x=1时函数f代x)取到极 <a<,当xe(-x,na)U(-1,+m)时f"(x)>0x) 值. 在区间(-，lna)和(-1，+)上单调递增： (2)当u≥1时，因为x-x>0 当xe(lna,-I)时.厂(x)<0x)单词递减.又lna)=alna 所以x)=a2-m--lnx+e-≥2-k-上-lnx+e. 2a(1na+1)尸<0，所以函数fx)在(-西，+)上至多有 令h(x)=x2-x- -lmx+e, x 一个零点，放不符合题意.着na=-1,即a=。,当e(-g, +)时，∫'(x)≥0，八x)单调递增，故不符合题意.若na> 则(x)2x-1+子--c->24-2+子人(x -1,即a>,当xe(-,-0u(na,+)时'(x)>0. 2-小0， x)在区问(-，-I)和(lna,+x)上单调递增：当x∈ 所以h(x)在(1，+为)单调递增，则(x)≥h(x)>4(1)=0, （-1,n)时了'(x)<0x)单调道减又爪-1)=-<0， 所以，当：≥1时x)在区同(1，+)上没有军点 所以函数(x)在（一，+如）上至多有一个零点，故不符合 当0<a<1时，可得f'()=2a-a+京 题意， 综上，实数a的取值范围是(-x,0). 令n(x)=f'(x)=2x-a+7-主 解法二（数形结合法）： 令)=0，甲e-之(x+1)产=0. 可得心(x)=2如-2 2 (x-2)e-1+x2 得0=宁（红+1 x'·e- 令p(x)=(x-2)g-1+x2, 当=-1时，方程为-e1=×0,显然不成立， 则e'(x)=(x-1)e-+3x2>0. 所以x=-【不是方程的解，即-1不是函数代x)的零点， 所以e(x)在(1，+x)单调递增，p(x)>p(1)=0,则n'(x) >0. 当x≠-1时，分离参数得a=2e (x+1) 所以f"(x)在(1，+∞)单调递增 471 图为f(1)=-1<01+）=a+2+ 1+ 甲得<1，即第出-骨< xf(x) 因为当xe(-,0)时，xn(1-x)<0, -e#>n+2-1-1>0, 当xe(0,1)时，xln(1-x)<0. 当x++时，f'(x)→+g, 所以需证x+n(1-x)>xln(1-x) 即x+(1-x)1n(1-x)>0 所以存在名e(.1+）使得/s)=0则)在(1)单满 令h(x)=x+(1-x)ln(1-x).xe(-g,1). 道减，在(，1，+x)单调递增， 且x≠0， 又因为f尺1)=0，所以当xE(1,)时，f(x)<0,故f八)在(1 则A=1+(-1h0-9+0-)·-h-0 ,)没有零点， 因为在(x1,+e)单调递增，且f八x1)<f八1)=0，而lnx≤x-1, 当xe(-e,0)时，'(x)<0,(x)单调递减： 当xe(0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， e->0.1<1 所以(x)>h(0)=0, 即x+n(1-x)>xn(1-x), 所以f八x)=a2-r- 1-lnx+e>2-aw-1-(x-1), 所以+n1=2<1成立， xln(1-x) 则1+>+-a*n+)=0, 所以+里<1，即g()<1. xfx) 所以存在唯一与e(1+日）袋得)=0， 题型3 变式训练 故八x)在(，+)存在唯一零点，因此当0<a<1时八x) [证明](1)令f八x)=0,得k=xnx 在(1，+0)存在唯一零点， 由k>0得x>1. 综上所述，当a≥1时(x)在区阿(1，+x)上没有零点： 令h(x)=x2lnx,x>1,则h'(x)=2xlnx+x>0, 当0<a<1时x)在(I,+e)存在唯一零点. 则(x)在(1，+)上单调递增，且值城为(0，+ 高考大题规范解答 故h(x)=x1nx(x>I)的图象与直线y=k,k>0有唯一交点， 高考中函数与导数问题的热点题型 所以函数八x)恒有堆一零点. 题型1 (2)当k=号时6=E,所以0<k<号时6e(1wD)。 变式训练 要证八x)图象上存在关于点(x。,0)对称的两点， [解析](1)当a=0时x)=3-24 即证存在1e(0,x),使得八x+t)+f八。-t)=0 令F()=f八+r)+f八x,-1)(0<1<o》,下面证明F(t)在(0， 则"(x)=2x-32 。)上有零点. x3 对F()求导得F()=f'(x。+)-(-) 1)=1'(1=-4 记G()=()+g(x)=f'(x), 此时，曲线y=f八x)在点(1代1)处的切线方程为y-1=-4(g G()=g(+t)-g(x-t),G()=g'(x+)+g'(-). -1),即4x+y-5=0. (2)国为x)=3-24 f'(x)=1+mx+← 2 x+a 所以f(x)=-2+a）-2(3-2 当0<x<2时，g(x)<0:当x>2时，g'(x)>0 x6-2k=x号-2ln。=(1-2ln)>0. (x2+a) -2(x2-3x-a) 故x。>√2k,当0<1<x-V2k时0+1>-1>2k. (x2+a)2 有g(+t)>0,g'(x-t)>0, 由题意可得(-1) 2(4-0=0,解得a=4, 此时G()>0,则F()在(0-√2不)上单调递增， (a+1) 故0<1<x-2k时，F()>F"(0)=∫'()-f'()=0. 经检脸，当a=4时x=-1为函数f八x)的极大值点，符合题意 故F(t)在(0，-√2k)上单调递增，F(x0-2k)>F(0)= 故)=3f(x)=2+)42,列表如下 2/rxn)=0. x2+41 (x2+4)2 又x0时八x)→-，故一x时，F()→-， (-,-1) -1 -1.4) (4,+ 放F()在(。-√2，)上存在零点，即F()在(0，）上有零 点，问题得证. (x】 0 0 练案[21] 八x) 极大值 极小值 A组基础巩固 所以函数八x)的单满造端区间为(-，-1)，(4，+0)，单调 L.[解析](1)/八x)的定义域为R,f'(x)=e-a 递减区间为(-1,4) 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以(x)的单调递增区问为 当x<号时)>0：当>子时到<0 (一，+)，无单调递减区问. 当n>0时，令f'(x)<0,得x<lna, 、1 所以xm=-1)=1.x)=4)=-4 令"(x）>0,得x>lna. 所以f八x)的单调递减区间为(-，lna),单调递增区问为 题型2 (lna,+e） 变式训练 (2)由题设可得(x-)(e-1)+x+1>0. [解析】(1)由题意，得y=x)=n(a-x). 即k<x++山(x>0)恒成立， y=h(a-)+ e2-1 因为x=0是函数y=xx)的极值点， +(x>0),得g()=e-+e41 令g(x)=+1 (e-1) 所以y0=lna=0,所以a=1. e(e-x-22(x>0). (2)证明：由(1)可期八x)=ln(1-x),要证g()<1, (e-1)3 472 由(1)的结论可知，函数h(x)=6-x-2(x>0)是增函数。 六x)e度=0)=-2a-1<0./八x)大t=八na）=-a2- 又因为h(1)<0,h(2)>0. 2a +2aln a <0. 所以密数h(x)的唯一零点《∈(1,2)（该零点就是h(x)的唯 ·函数八x)只有一个零点，不合题意 零点). 当a>1时，lna>0 当xe(0,a)时，g'(x)<0: ∴，fx)在(-x,0),(na,+e）上单调递增，在(0，na)上单 当xe(&,+)时，g'(x)>0, 调递减， 所以gx)n=g(a)=g+ e"-ta. ∴八x)*=八0)=-2a-1<0,函数八x)只有一个零点，不台 题意， 文h()=e"-a-2=0 当a=1时f(x)=2(e-1)(e'-1)≥0恒成立 所以e=a+2且x后(1,2)， ∴八x)在R上单调遠增，函数八x)只有一个零点， 则g(x)m=g(a）=1+ae(2,3), 所以k的最大值为2 华上所述)有丙个零点，则a的取值范围为(~子， 2.[解析](1)/x)≥r+1,化为e-ar-1≥0. B组能力提升 令4(x)=e-r-1, 1.[解析】(1)爪x)的定义城为(-x,+x), 则u'(x)=e-a 当a≤0时，r'(r)=e-a>0,函数u(x)在R上单调递增， 当a=1时f)=2e2-2e+2- 而(0)=1-1=0，因此x<0时，(x)<0,不符合题意，舍去。 当a>0时，令u'(x)=e-a=0.解得x=lna, =2(e-0(4e+1) xE(-,na)时，‘(x)<0,此时，函数u(x)单调递减，xE 令f'(x)=0,解得x=0 (na,+)时，'(x)>0,此时，函数u(x)单调递增， 当x变化时∫(x)代x)的变化情况如表： 所以x=lna时，函数(x)取得授小值即最小值， 所以(lna）=a-lna-1≥0， (-x,0) 0 (0,+】 令r(a)=a-alna-I, f'(x) 0 + 则m'(a)=1-lna-1=-lna 可得r(a)在(0,1)上单调递增，在(1，+e)上单调递减，a=1 时，(a)取得极大值(1)=1-0-1=0，可得a=I时满是 f八x) 单调递减 3 单调递增 题意， 所以实数a的取值范国为|1 (2)令h(x)=g(x)-xe+1=+lnx-和+1，x∈(0，+x), 因此，当x=0时)有极小值，极小值为0)=2-e ()=1+-(x+e=(+(-e t)0D=是-号+欢-元=) 令y=上-，则面数y=-e在xe(0,+)上单调遥减， 1), ①若a≤0，则'(x)<0,所以八x)在(-，+为)上单调递减， 又1-e<0）-2->0. f八x)至多有一个零点. 2若a>0.令f"(x)=0.解得x=-na. 所以存在准-零点=（分）S(0,+), 当xe(-o,-lna)时，f'(x)<0:当xe(-lma,+)时， f'(x)>0,所以f八x)在(-，-lna)上单阔递减，在(-lna 使得e0=名，即6-加 +∞)上单调遒增. 所以当x=-na时，代x)取得极小值，即最小值，为f(-na)》 ,是(x)的极大值即最大值， h(o)=xe-0-1+1=0 所以h(x)≤h()=0, 当a=e时，由于f(-na)=0,故f(x)只有一个零点： 因此g(x)-e+1≤0. 3.[解析](1)f"(x)=2e"-(2a+2)e+2a=2(e'-1)(e- 当ae(e,+)时，由于分-号+号na>0,期-ha)>0. a）, 故f尺x)没有零点： a<0 .e-a>0 当ae0,e)时，号-÷+ha<0,即-lha)<0 令'(x)=0,解得x=0, 当x>0时"(x)>0,当x<0时，"(x)<0, ha<1,即-h>-1>-2且-2)=号+是+1-2>0， “函数f八x)在(-，0)上单词递减，在(0，+x)上单调递增。 故尺x)在(-，-na)有一个零点， (2)由(1)知.①当a<0时，函数f八x)在(-g,0)上单调递减. 在(0，+x)上单测递增 f9）。址+e-h，县h-ha ∴f八x)m=f0)=1-(2a+2)+0=-2a-1, 先证x>0时lnx≤x-1. 当x+-0时f代x)++x,当+x时f八x)→+x, f八x)有两个零点， 设a()=nx-(-10,测a()= )=-2a-1<0,解得-号<a<0, 当0<x<1时，m'(x)>0,当x>1时，m'(x)<0 故m(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+x)上单调递减， ②当u=0时，八x）=e-2e'=0,解得x=ln2,只有一个零点， 当x=1时，m(x)取到最大值m(1)=0, 不符合题意， 故x>0时1nx≤x-1, ③当a>0时，由(1)知f'(x)=2(e'-1)(e°-a〉 当x一-时八x)一-，当一+￥时x)一→+乡， f)如，址+e-h9≥：起 +e- 令f"(x)=0,解得x=0.,或x=lna, -小+>0 ,1 当0<a<1时，lna<0, .f代x)在(-，na),(0,+)上单调递增，在(lna,0）上单 因此八x)在(-na,+)上有一个零点. 调递减， 综上，a的取值范围为(0，e). 473 2[解析】（1))=号+h-2m, 4.C由m8>0知.0是一、三象限角，由sin0<0知，0是三，四 象限角或终边在y轴非正半轴上，故8是第三象限角. f”(x)=+-2a=-2a+xe(0,+0). 5.-3利用任意角的三角函数的定义求解 3 记g(x)=x2-2ax+1, 已知角a的终边经过点P(-4,m),且sin=-亏，in ①当4=4a-4≤0，卿0<a≤I时，g(x)=x-2ax+1≥0恒战 立，所以f"(x)≥0在(0，+g)上恒成立， 一而号解得m- 所以f八x)在(0。+∞)上单调造增. 6.2,22设扇形的半径为r,弧长为1，然后根据弧长公式以及 ②当△=42-4>0，即1>1时，方程有两个不等实根， 扇形周长建立方程即可求出【，，再根据扇形面积公式即可求 且新2a-40-4-a-->0.2a+4-4 2 2 解设第形的半径为，蒸长为1，则由已知可得化上34解 +a2-1>0. 得，=2,1=2豆，所以扇形面积为5=宁×22×2=2 x∈(0，a-√0-1)，x2-2mr+1>0,f"(x)>0J(x)单调 遒神， 7.D解法一a是第四象限角-受+2km<<26m,keZ, xe(a-√a-1,a+√a-1),x2-2ax+1<0,f'(x)<0. -π+4T<2a<4行，keZ,角2a的终边在第三，四象限或 八x》单调递减， y轴非正半轴上，sin2a<0,cos2w可正、可负、可零，故选D. x∈(a+√0-1，+)，x2-2x+1>0f'(x)>0x)单调 解法二：in2a=2 sin acos a<0, 递增. 8. 4 3 4 5 综上所述：①当0<a≤1时，八x)在(0.+)上单调造增， 由角a的终边过点P(-子，-了)得ima=-了，所以 4 ②当4>1时x)在(0.a-√-1)和(a+√-1，+)上 sin(e+π）=-sina=5 单调递增，在(a-√a-1,a+√a-1)上单调递减. 考点突破·互动探究 (2)证明1)=2-2m 考点1 .fm)+n)=1-4a=2/1）, 例1：C 当k=2n(neZ)时，2nm+牙≤a≤2mm+号，此时a表 由(1)可0<a<1时，八x)在(0，+)上单调递增， 故不妨设0<m<1<n, 示的范围与牙≤a≤受表示的范围一样：当：=2m+1(n 要证m+n>2,即证n>2-m>1, 又：当0<a<1时八x)在(0，+x)上单调递增， Z)时，2m++晋≤a≤2nm++受此时a表示的范围 ∴.只需证八n)>f八2-m), 又f代m）+fn)=1-4a, 与云+≤a≤+受表示的范谓一样，故选C ∴.只需证1-4和-f八m)>f2-m), 例24：-2-空与-行是终边相同的角， 即证f八m)+f2-m)<1-4和(0<m<1). 记F(x)=f八x)+f八2-x),xe(0,1), _3如_3年是最小的， 且此时-44 r()=f)-2-)=+-2a-(2-)-2 1 -+2a= 例3：C 因为直线y=尽x的领斜角是于，所以终边落在直线y= 2(x-1) x(2-x) x上的角的取值集合为{aa=km+号keZ小故选C .当x∈(0,1)时，F"(x)>0恒成立，F(x)单调递增， 例4：AC由角x的终边在第二象限. F(x)<F(1)=21)=1-4a, ∴.原命题得证，即m+n>2. 所以受+k2m<a<m+k2m,ke乙， 第四章三角函数，解三角形 所u导+2<受<+2ez 2 第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数 当长=2m,meZ时.牙+m2后<号<号+m2,m台乙. 知识梳理·双基自测 所以受终边在第一象限： 知识梳理 知识点一 当k=2m+1,aeZ时，要+m·2知<号<受+m·2。 1.负角零角2.象限角轴线角3.B1B=2kπ+a,keZ mEZ. 知识点二 所以号终边在第三象限，综上，号的终边在第一或三象限。 1.半径长2.L 180 4.lalr- 故选A,C 知识点三 [引申] 1y年0)2.一全正二正弦三正切四余弦 (1)受的终边在第二或第四象限。(2)在第一，二或四象限 双基自测 (3)一 第三或第四象限或y轴负半轴上 考点2 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× [解析]根据任意角的概念知(1)(2)(4)(5)均是错误的 例：[解折】()a=60=号1=10×号=9（(am sina>0,a也可落在y轴正半轴上，故(3)也不对. 2.B-2025°=-6×360°+135°，-2025和135°的终边相同 （21设号形指东为3由题知1停m 所以-2025°的终边在第二象限. 3.C由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧 度，应为牙+26m或：360°+45°(keZ. (- -474