练案(18)3.3.1 导数与不等式的证明&练案(19)3.3.2 导数与不等式恒(能)成立-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

练案[18] 第三讲导数的综合应用 第一课时导数与不等式的证明 A组基础巩固身 B组能力提升 1当x>1时2+nx<号 1.已知函数f代x)=x2e2-2 (1)求曲线y=f八x)在点(1，八1))处的切线方程； (2)当xe[0,2]时.求证fx)≥-2x2+8x-5. 2设函数)=a2-n-aa≥分 (1)求f八x)在[1，+)上的最小值： (2)证明：当≥1时)+士-e"≥0恒成立(e= 2.(2024·广西柳州毕业班摸底)已知函数f(x)=t+ 2.718…为自然对数的底数). xlnx在x=e2处取得极小值 (1)求实数a的值： (2)当x>1时，求证：fx)>3(x-1), 3.已知函数f八x)=e,当x>-2时，求证/f(x)>ln(x+ 2). 3.(2024·乌鲁木齐市实验学校高三上学期1月月考) 函数f八x）=e'-x-a,a∈R (1)求函数y=f(x)的单调区间及极值： (2)若x,x2是函数y=f(x)的两个不同零点，求证： ①x1+x2<0:②x1+x2>2(1-a). 4.当x>y>e-1时，求证：eln(y+1)>en(x+1). -317- 练案[19] 第二课时导数与不等式恒（能）成立 A组基础巩固 的B组能力提升 1.已知函数f八x)=ln(x+1)+mx2,m>0. 若g(x)=f八x)-sinx,x=0是g(x)的极大值点，求实 1.已知函数x)=(x+a-1)e,8(x)=之+a,其中 数m的取值范围。 a为常数.若对任意的xe[0,+x),不等式f八x)≥ g(x)恒成立，求实数a的取值范围。 2已知离数)=号-(m+1+mh+m了（为函 数f八x)的导函数，若'(x)-f(x)≥0恒成立，求m 的取值范围. 2.(2024·邢台模拟)已知函数f代x)=xe. (1)求八x)的单调区间： (2)若不等式f八x)≥mx2对任意x∈R恒成立，求m的 取值范围。 3.已知函数)=-na+x+1,ae[-石罗]，证 明：存在ae[-石，引，使得不等式)>。有解(e是 自然对数的底数). 3.(2024·衡水检测)已知函数f(x)=x-al加x+。在 x=1处取得极值 (1)若a>1,求函数八x)的单调区间： (2)若a>3,函数g(x)=a2x2+3,若存在m1,m2∈ 4.(2023·河北辛集中学模拟)已知函数f(x)=2x+ 5x2+4x,g(x)=x2+2x-m-7(xeR) [分，2小，使得m)-8(,)1<9成立，求a的取 (1)求(x)的单调区间： 值范围。 (2)若Vx1e[-3,3],3x2∈[-3,1]，使得g(x)= f八x2),求m的取值范围。 -318-考点4 例：[解析】(1)由条件知，函数f(x)的定义域为(0，+)， hm与血n是)=0<<待)的两个正报，不妨设hm f(x)=-In x. <lnn.易知1<lnm<2,lnn>2,要证明mn>e, 当xe(0,1)时，f”(x)>0,fx)单调递增： 只需证明lnm+lnn>4,脚证nm>4-nn, 当xe(1,+)时(x)<0,八x)单调递减 当nn≥3时，此式星然成立： 即在区间(0,1)上，图数八x)单调递增：在区间(1，+)上，图 当2<lnm<3时，1<4-lnn<2 数八x)单调适减， 又f八x)在(1.2)上单调递增， (2)证明：由lna-alnh=a-b. .只需证f(lnm)=fln)>4-nn), 令h(x)=f八x)）-f八4-x)(2<x<3), 则(x)=(x)+”(4-x)=2=+2-4=(2-x) 令与1 1 e ef-r x1≠，不妨设1<，令f(x)=0,得x=l,且八e)=0. (日)0 结合(1)中的f八x)的单调性，易知，0<，1<1<2<色 .(x）=f代x)-f4-x）>h(2)=f2)-f代2)=0. 待证结论2<，1+x<巴 ∴.f八x)>f4-x), 下面证明+1>2， .f(nn)>f八4-nn),即结论成立， 令g(x)=八x)-f2-x),xe(0,1), 综上，mn>e, 则g'(x)=-ln[x(2-x)]>0, 所以g(x)在区间(0,1)上单调道增， 练案[18] 所以0=g(1)>g(1）=f八x1）-f2-x), A组基础巩固 即f八2-无)>八)=f八). 又f(x)在区间(1，+)上单词递减，所以2-名，<，2，即无+ 1[证明]设g)=子-宁-h 2>2. 再证明名十名< 则g'(x)=2x2-x-1 证法一：不妨设，=x1,则1>1，由1(1-n)=(1 lnx2)可得x(1-lnx,）=x[1-ln(x)],化简得nx1=1- 当x>1时，g()=-(22++山>0. tint t-1 所以g(x)在(1，+)上单调递增。 要证x,+x2<e,即证(1+t)x1<e,即证lnx,<1-ln(1+t), 当>1时，8()>8)=石>0， 即注1-<1-h(1+),脚运”< -1 所以当>1时，名+h<子 1、1 -In t 设h()=n上 =2>1,'0=-1y 2【解析】(1)/"(x)=2mr- 令p()=1-↓-ln>1,所以p'0)=F-7= 111- _2ax+1)(2a-1) 所以9'()<0，所以(t)在(1，+x)上单调递减， 当x≥1时，√2ax+1>0,√2ax-1≥0，所以∫'(x)≥0，因此 所以e()<(1)=0,所以h'()<0 八x)在[1.+x)上单调递增，所以/八x)≥f1)=0八x)m=0. 所以()在(1，+)上单调地减，所以h(:+1)<h(t),即 】+<n4,所以+<，故2<1*1 (2)证明：原不等式等价于(x)≥心-，即)≥二 e-寸 令g(x)=x-e-1x≥1，g(x)=1-e≤0，所以g(x)在[1. 证法二x)在点（世，0）处的切线p(x)=e-x, +)上单调递减，g(x)≤g(1)=0,g(x)=0.结合(1)可知 令F(x)=f几x）-9(x)=2x-xnx-e,xe(0,e), F'(x)=1-lnx>0,所以F(x)在区间(0，e)上单调地增，即 -h-0≥0≥恒成立，即2-lh+上-e-02 F(x)<F(〉=0， 0恒成立. 所以当xg(0,e)时/代x)<e(x). 令=八1)=f八2）， 3.[证明]设g(x)=八x)-(x+1)=e-x-1(x>-2) 则1=f八2）<p(2）=e-2=4+x2<e 则g'(x)=e-1, 又t=f)=1(1-nx)e(0,1), 当-2<x<0时，g'(x)<0:当x>0时，g'(x)>0, 所以【=x,(1-n)>x1,即+x<【+<e 即g(x)在(-2,0)上单调递减，在(0，+）上单调递增. 等上.，2<+场<6藏2<+<e成立 于是当x=0时，g(x)m=g(0)=0, 因此八x)≥x+1(当且仅当x=0时取等号)， 变式训练 令h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2), [解析] (1)f"()=--0e_2- 【卡壳点】利用x+1作为中闯量，进行放缩 e24 e 则'(x)=1-L=+1 当xe(-,2)时f"(x)>0f爪x)）单调递增， x+2x+2 当xE(2,+)时f(x)<0x》单调递减， 则当-2<x<-1时，h'(x)<0,当x>-1时，h'(x)>0, ·当x=2时x)取得极大做马 即有h(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+%)上单调逆 增.于是当x=-1时，h(x)m=(-1)=0, 综上x)的单调递增区间为(-x,2),单调递减区间为(2. 因此x+1≥n(x+2)(当且仅当x=-1时取等号)，所以当x> +),授大值为，无授小位 -2时.f代x)>ln(x+2). 【易错点】注意取等号的条件 (2)证明：由(1)知，x→-0时，八x）+-,x++0时，x》0, 4.[证明]x>y>e-1,∴.x+1>y+1>e )(] 即n(x+1)>n(y+1)>1, 欲证e'ln(y+I)>eln(x+I) 由mlnn-lnm=m-n得血m-」_血n-上 e 即证明n(x+D>n(y+ 又nm）=血m-_hm-同理n)=血n-l 令g(x)=n(x+1) -464 则g'(x)= [mG+- +e9-2. e2>1.由F(x)>2知e3·e2-n+e2>2. ln2(x+1) 则f几2(1-a)-2]>0=f尺x,). 显然通数()=h(x+1)一在(e-l,+)上单满递增， 又a>1,2(1-a)-为<0且x<0及f八x)在(-x,0)上单测 递减， h(x)>1->0,即g(x)>0, ∴.2(1-a)-1<x1,即1+>2(1-a) g(x)在(e-1,+x)上单洞递增， 第二课时导数与不等式恒（能）成立 x>y>e-1时，g(x)>(y) 脚nx+D?n(yt) 色 考点突破·互动探究 考点1 .当x>y>t-1时，eln(y+1)>eln(x+1)成立. a=1时 写出 B组能力提升 数学 数学 数学运算 例：[分析门 f氏x)的 求(x), 切线 1.[解析](1)f(x)=22-2(2+x),(1)=41)=1,则曲线 运算 '(0)0) 运算 逻辑推理 解析式 方程 y=f八x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),卿y=4x -3. 由1)≥ 数学 分离参数构 求(x), 数学 (2)证明：当xe[0,2]时，令g(x)=x2e-2+2x2-8x+5,则 判斯正负 0得a>0 运算 造函数F(x) 运算 g(x)=2e-(x2+x)+4x-8 求最值 令h(x)=g'(x).则'(x)=2e22(2x2+4x+1)+4>0. 龙辑求a的取 所以g'(x)在[0.2]上单调递增，且g'(1)=0, 举列值范围 所以g(x)在[0,1门上单调递减，在(1,2]上单调递增， [解析](1)若a=1,则x)=xe'-2(2x-1) 所以g(x)的最小值为g(1)=0,所以g(x)0, 即'(x)=xe+e-4, 即f(x)≥-2x2+8x-5. 则(0)=-3f0)=2 2.[解析](1)因为f尺x)=a+n, 所以所求切线方程为3x+y-2=0. 所以(x)=a+lnx+1, 1 因为函数f代x)在x■e2处取得极小值， (2)由1)≥0，得a≥。>0， 所以'(e2)=0,即a+ne2+1=0. 所以a=1,所以'(x)=lnx+2 测八)0对任您的>0恒成立可转化为≥2一对任 当(x)>0时x>e2,当f(x)<0时，0<x<e2. e 意的x>0恒成立， 所以八x)在(0，e)上单调递减，在(e之，+)上单调递增， 所以八x)在x=e2处取得授小侦，符合题意 【卡壳点】不能把，十香作整体，分离出来 所以a=1. (2)由(1)知a=1,所以fx)=x+xnx, 设菌数Px)-24-(x>0). xe' 令g(x)=八x）-3(x-1）,即g(x)=xlnx-2xr+3(x>0) g'(x)=lnx-1,由g'(x）=0得x=e 则P产(x)=-2x+1)(x-1) re 由g'(x)>0得x>e,由g'(x)<0得0<x<e, 【易错点】导数运算 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e,+g)上单调递增， 当0<x<1时，F"(x)>0:当x>1时，F(x)<0 所以g(x)在(1.+2)上的最小值为g(e)=3-e>0. 所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+)上单调道 于是在(1，+x)上，都有8(x)>8(e)>0,所以 f八x)>3(x-1). 减，所以F)-=F)=日 3.[解析](1)f代x)=e-x-a定义城为Rf(x)=e-1, 【卡克点】不能确定F(x)m=F(1) 令f(x)>0,则x>0,令f(x)<0,则x<0, 八x)递减区阿为(-x,0),递增区间为(0，+x), 于是 十行≥。，解得a e-1 “f八x)小性=八0)=1-a,无极大值. (2)证明：由(1)知·-时，代x)++xx+时八x) 故实数a的取植范画是[。凸，+云）】 +， 变式训练 要使x)有两个不同零点x1,出，则0)=1-a<0即a>1, [解析]由f代x)≥(a2-a)lnx对xe(1,+0)恒成立，得2 不妨设1<0<2， ①令g(x)=fx)-f-x)=e-e’-2x(x>0), 1≤对后，+)柜恒成立 则g'(x)=f(x)+(-x)=e+e-2, 【卡壳点】分离参数，构造函数 由于e+e>2(x≠0).故g(x)>0, 设()= x(x>1).别'(x)=x(2x-1 g(x)在(0，+)上单调递增.而1>0，g(2)>g(0)=0, (In x)? 八)-八-》>0即八)>八-). 【易错点】注意定义域要求 f八1)=f(2）=0,∴f1)>f-3）, 当xE(I,e)时，h'(x)<0:当xe(Ne,+)时，h'(x)>0 x,-x2(-x,0)且f八x)在(-，0)上单调递减， 所以h(x)m=h(o)=2e, .x<-x2,即无+x2<0. 则d2+1≤2e,解得-√2e-I≤a≤√/2e-1. ②令F(x)=x·e2-2+x(x>1). 下面先证明F(x)>2,F(x)=(1-2x)e22+l,令h(x)=(1 故a的取值范国是[-√2e-1.√2e-1] 考点2 -2x)62+1, x>1,h'(x)=(4x-4)e2->0,.F(x)在(1，+x)土单调 例：[解析】f代x)≥lnx-a+1可化为e--r+a-1≥0(x> 0). 递增， 令e(x)=e'-x+n-1. ,F(x)>”(1)=0,,F(x)在(I,+)上单调递增，∴.F(x) 则当xa[【,+的)时，p(x）≥0， >F(I)=2, 即x·2+x>2在x>1总成立 p'(x)=e-1-a, f）=e2-为3-a=0,a=e2- ①当a≤时，e()>0, 又f2(1-a)-62】=e2-m-2-(2-2a-2)-a=e”.e2-29 中(x)在[1，+∞)上单调递增。 465 p(x）m=p(1)=1-a+n-1=0≥0恒城立， 六a≤。特合愿意 厚西数6()=x-h年在区问（分，小上单满造增，在区同 (1.2)上单调递减.所以b(x)=h(1)=1 ②当a>上时，令p'(x)=0,得x=lna+1, 所以4≥1.即实数a的取值范围是[1，+) 变式训练 当x∈(0，lna+1)时，p'(x)<0, [解析]xe(-,+)且f'(x)=e24+(x-1)·e+ 当x∈(lna+1,+)时，g'(x)>0. 2mr=x(e+1+2m), ∴e(x)在(0，na+1)上单调递减，在(na+1,+x)上单调 造增. 当m>0时，因为e4>0. 当na+1≤1，廊上<a≤1时，p()在[L,+x)上单调送增， 所以e1+2m>0. 所以当x>0时，f'(x)>0: (x)m=p(1)=0≥0恒成立 当x<0时，'(x)<0 小<a≤1特合题意 故八x)在区问(-，0)上单调递减， 在区间(0.+)上单调递增 当lna+1>1.即a>1时，中(x)在[1.lna+1)上单调递减，在 所以八x)n=八0)=-e (n+1,+x)上单调递增， ∴.p(x)=g(lna+1)<e(1)=0与p(x)≥0恒成立矛盾 又6)=a2+号 -m≥43-m, 故a>1不将合题意. 因为0<m≤6，所以g(x)>0, 综上，实数a的取值范围为(-，1] 变式训练 所以g(x)在(0,2]上为增函数。 [解析】令g(x)=f八x)-w-1=(1-x)e-(+1), 所以g(x)=g(2)=8-2-2m=6-2m 令x=0,可得g(0)=0. 依是意有f八)m≤g(名）， g'(x)=(L-x-2x)e'-a, ◆h(x)=(1-x2-2x)e-a, 所以6-2m≥-e,所以0<m≤3+号， 则'(x)=-(x2+4x+1)e 当x≥0时，h'(x)<0,h(x)在[0，+0)上单调递减 故m的取值范国为(0,3+引 故h(x)≤h(0)=1-a,即g(x)≤1-a, 名师讲坛·素养提升 要使f八x)-x-1≤0在x≥0时恒成立，需要1-a≤0， 变式训练 即a≥1，北时g(x)≤g(0)=0,故al. [解析](1)f'(x)=e-1+xe-2x=(x+1)e-2ax-1, 综上所述，实数的取值范国是[I,+): 考点3 依怎意知了(-）=2a-1=0a=号 例：[解析](1)如果存在x,∈[0,2]使得g(,1）-g(2)≥M 成立，等价于fg(x）-g()]≥M 经检整a=了符合摄意 由g)=2-2-3,得g)=3-2=3-号) (2)方法一：当x>0时八x)≥0， 令g)>0得r<0我>号，令g()<0得0<<号，又 2 即x(e-1)-ar2≥0，即e-1-r≥0， 令g(x）=e-1-x(x>0),则g(x）n≥0， e[0,21, p'(x)=e-. 所以g)在区同0，号引上单同道戒，在区同号，2上单洞 ①当a≤1时，p'(x）=e-a>0, (x)在(0，+)上单调递增， 造增，所以g)=6号)-等。 ·p(x)>g(0)=0,∴a≤1满足条件. 2当4>1时，若0<x<ln4,则g‘(x）<0. 又g(0)=-3.g(2)=1 若x>lna,则p'(x)>0. 所以(x)m=g(2)=1. ∴p(x)在(0，na)上单调递减，在(lna,+x)上单调递增， [g)-g)门=e)-g)-号≥n, .p(x）n=g(lha）=a-1-alna≥0. 测满足条件的最大整数M=4, 令g(a)=t-1-lna(a>1), g'(a)=l-(1+lna)=-lna<0. (2)对于任意的1e[分，2小，部有)≥g)度立，等价于在 g(a》在(1，+x）上单调瑙减. 区问[22上，西数x)m≥x) ∴g(a)<g(1)=0与g(a)≥0矛盾， 放>1不满足条件， 由(1)可知在区铜分2小，)的装大值为g2)=1 综上，实数a的取值范国是(-，1]， 方法二：当x>0时f八x)≥0， 在区同可片]小上x)=兰+h≥1恒成立等价于a≥ 即x(e-1)-a2≥0，pe-1-ar0. r21nx恒成立， 即≤c-1,即a≤l恒成立. 设)=-2e[2h()=1-2ah-x 令h(x)=-气x>0), 令m()=h,由m()=h+1>0得> h'(x)=e(x-1)+1 x 即m()=山在（合+）上单润递增。 令k(x)=e(x-1)+1(x>0),.(x)=e·x>0. 可知()在区同[子小上是减西数， :(x)在(0.+∞)上单调递增. .k(x)>k(0)=0,h'(x)>0, 又h(1)=0, .h(x)在(0，+)上单调递增， 所以当1<x<2时，h'(x)<0: 当号<x<1时，)>0 由洛必达法则知，imh()=im-=im心=1，心a≤1.故尖 数a的取值范围是(-g,1】. -466 练案[19] 所以(-2ina+x+1e A组基础巩固 1,[解析]由题意知g(x)=ln(x+I)+m2-sinx, ≤(+++ 【卡壳点】利用三角函数有界性进行放缩 则g0)=0,g(x)=1+x+2mr-s,8'(0)=0 设通数)=（仔+宁++小，g()= x(x- 令h()=g(x),则h(x)=2m-1++n 1）·e. h'(0)=2m-1. 当x∈(-1)时，g'(x)≥0，g(x)单调地增. 当xe(1,+0)时.g'(x)<0,g(x)单洞递减， ①若0<m<子，国为当米e(-1,5)时，y=0+及y 血x单调递增，所以h()在(-1，）上单洞递增。 为)1125 又h'(0)=2m-1<0,h(z）=2m+1- 5>0 所以存在ae[-看，引，使不等式)>心有解 4.[解析](1)(x)=6x2+10x+4=(x+1)(6x+4) 所以存在6e(0,受）使得h'()=0 在(--)和（号+上国）>0单调是物 所以当xe(-1,)时，h'(x<0, 在(-1，-号)上（国）<0)单满道减 所以g'(x)在(-1u)上单调递减。 又g'(0)=0,所以当x∈(-1,0)时，g’(x)>0,当x∈(0，。】 综上)的单润递增区问为（一，-1）和(-子，十x）单调 时，g'(x)<0, 所以g(x)在(-1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减， 造减区问为(-1，-号) 此时x=0是(x)的极大值点. 1 (2)由()可知x)在[-3，-1)和(-子上单调递增，在 ②若m≥子，当xe(0,受）时.hN()=2m (1+)F+si面x≥1 (-1,-)上单调递减。 1+可+血>0，所以h()在(0，）上单调递增， 又-3)=-21-)=-1(-)-器)=山 所以'()>g'(0)=0,所以()在(0，号）上单调递增， 所以在[-3,1]上，-21≤fx)≤11. 因此x=0不可能是g(x)的授大值点 又g(x)=x+2x-m-7=(x+1)2-m-8. 综上，实数m的取值范图为(0，） 所以在[-3,3]上，g(x)m=g(-1)=-m-8,g(x)m=g(3) =一m+8, 2.[解析]由意知f'(x)-八x)≥0恒成立， 即-m一8≤g(x)≤-m+8 即号-mlnx≥0恒成立，号≥mlhx(x>0). 因为x1=[-3,3],3e[-3,1],g(x)=f八2) 【易错点】注意自变量的取值范国 所以（仁082餐得-3m≤ 当1时，号≥mlnx成之， 故m的取值范围是[-3,13]： B组能力提升 x2 当x>1时，2in2m 1.[解析]令h(x)=f八x)-g(x). 由意得h(x)m≥0在xe[0,+e)上恒成立. x 当0<<1时，2n≤m 图为国(+a-)e-宁-m 【卡壳点】分离参数，构造函数 所以h'(x)=(x+a)(e-1). 令e()=z则g()- ①若a≥0，则当xe[0,+x)时，h'(x)≥0 2(In x) 所以函数h(x)在[0，+0)上单词递增， 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减且g(x)<0, 所以h(x)m=h(0)=a-1,则a-1≥0，得a≥1. ②若a<0,则当xe[0,-a）时，h'(x）≤0： x0时2nx0m≥0 当xe[-a,+x)时，h'(x)≥0， 当x>1时，g'(x)=0,得x=E, 所以函数h(x)在[0，-a)上单河递减，在[-，+x)上单调道 .当1<x<√e时，g'(x)<0,g(x)单调逼减， 增，所以h(x)a=h(-a), 又因为h(-a)<h(0)=a-1<0,所以不合题意. 当x>e时，g(x)>0,g(x)单调递增. 综上，实数a的取值范图为[I,+x). '.g(x)≥g(√e)=e,∴.m≤e 2.[解析](1)f'(x)=3r'c'+xe=xe'(x+3), 综上知0≤m≤e,故实数m的取值范围是[0，e], 令"(x)>0.得x>-3,则f尺x)的单调递增区间为(-3，+x): 3[证明]不等式)>e等价于（仔-na++小e 令f(x)<0,得x<-3,则八x)的单调递减区间为(-，-3) 综上所述(x)的单调递增区同为(-3，+x),单调递减区问 >1. 为(-x,-3). 【卡壳点】等价转化，目的使不等式一侧为常数或是常见函数 (2)当x=0时，不等式f(x)m2即0≥0，显然成立，所以m 所以只需证（宁-na++1“的最大值大于1， ER: 当x≠0时，不等式八x)≥mx即mxe'. 又ae[-看，]-1s-mas行 设g(x)=e(r≠0).期g'(x)=(x+1)e, 令名(x)<0,得x<-1: 由e[0,+),所以-f血a≤分，当g=-看时等号 令g'(x)>0,得x>-1且x*0. 成立， 所以)=(-1)=-。所以m≤- e -467- 除上m的取值范国为(-。，一} --2)(+D(x>0). 2 3.[解析](1)f代x)的定义战为(0，+). 可得0<xc2时，h'(x)<0,h(x)单调递减： 且f'(x)=1-“-b x>2时，h(x)>0.h(x)单调递增 所以h(x)=h(2)=2-n2>0. 由题意f'(1)=1-a-b=0,得b=1-a 即x>0时，h(x)>0恒成立， 剩厂(x)=1-a-1-e=2-am-(1-a 故0<x<1时，g(x)<0,g(x)单调递减： xx x>1时，g(x)>0.g(x)单调递增， =x-1fx-(a-1)] 所以g(x)n=g(1)=-色 x2 又由0时，g(x)0, 令f'(x)=0,得1=1，=0-1. x一+g时，g(x)一→+， 若1<a<2,则函数f(x)的单调道增区间为(0,4-1)，(1， 因此，当0≤<e时f八x)有一个零点. +),单调递减区问为(a-1,1): 当-e<a<0时，风x)有两个零点， 若a=2,则面数f(x)无单调递减区问，单调递增区问为(0， 当=一e时，代x)有一个零点， +)； 当a<-e时，八x)没有零点 若a>2,则函数fx)的单调递减区间为(1，a-1),单调递增区 变式训练 间为(0,1)，(a-1.+). [解析](1)证明：当m=1时爪x)=e-xnx(x>0). (2)带a>3时x)在[分)上单调递增，在(1,2)上单满 2.f(x)=e--In x-1, 令h(x)=f'(x)=心-t-lnx-1 逆减， 所以f八x)的最大值为f代1)=2-a<0. 则国e: 易知g(x)在[？2上单调递增。 当x∈(0.1)时，h'(x)<0.h(x)单调递减： 当xE(1,+x)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 尉)-=) h(x)n=h(1)=0,.当x>0时，h(x)=f(x)=心21-lnx- 1≥0， 又)+3>0 .f八x)在(0，+0)上单调递增 (2)由题意得f'(x)=e-lnx-1,则g(x)=f"(x)-m+1= )>)在[宁2小相或立， e-"-lnx-m(x>0), 令g(x)=心"-nx-m=0,则e“=lnx+m, 若存在叫两[宁2斗 .e"=e(In x+m). .xe=re”(lnx+m）, 使得m)-g(m)1<9成立， .xe'=em(In x+m). 只精要）-1)<9即子+3-(2-a<9,解得-8<a 令p(x)=xe,则p(x)=p(m+lnx)、 当x>0时，p'(x)=(x+1)e'>0, <4. 当x>0时，p(x)=x心为单调递增函数， 由于a>3,所以实数a的取值范国是(34) ..x=m+lnx...m=x-Inx(x>0). 第三课时导数与函数的零点 令(x)=x-nx(x>0),则r(x)=1-1 考点突破·互动探究 当0<x<」时，'(x)<0,(x)单调递减，当x>1时， 考点1 '(x）>0,(x)单调递增， 例：[解析](1)当a=-1时八x)=(x-2)c+x-lnx, .t(x)m=(1)=1, 则=(x-(e+) .当m<1时，m=x-nx无解，即g(x)无零点： 当m=1时，m=x-lnx有1个解，即g(x)有1个零点； 当m>1时，m=x-nx有2个解，即g(x)有2个零点. 当xe(0,+)时，。+子>0恒成立， 考点2 所以当x∈(0,1)时f'(x)<0代x)单调递减： 例：[解析]利用琴数求函数的最值+利用毕数研究函数的零点 当x∈(1，+)时f(x)>0,f八x)单调递增， (理性思维、数学探索) 即f八x)的单调递或区问是(0,1)，单调递增区问是(1，+x) (2)由题意，函数(x)=(x-2)e-r+anx=(x-2)e （D当a=0时)=--h>0.所以)- a(x-In x).x>0, ⊥=L-x 设m(x)=x-nx,x>0, x 对m'(x)=1-L=-1 若x∈(0,1)f'(x)>0,f(x)单调递增： 若x∈(I,+e),f"(x)<0x)单调递减， 当x∈(0.I)时，m'(x)<0.m(x)单调递减： 所以x)=1)=-1. 当x∈(1，+)时，m'(x)>0,m(x)单调递增 又由m(1)=1,所以m(x)≥1， (2)由)=--(a+1)h(x>0),得f'()=a+7 令fx)=0,可得(x-2)e'-ax+alnx=0, a+1-(a-1(x-1(x>0). 房以a=二行，共中0. x 当a=0时，由(1)可知，(x)不存在零点： 令g(x)=x-2)e x-In x 当a<0时f'(x)= 在-n(-h+2- 可得g'(x)=(x-1)( 若x∈(0,1)'(x)>0x)单调造增， 令(=x-x+2-1,则()=1--=--2 若xE(1,+)f'(x)<0f八x)单调递减， 所以尺x)=1)=a-1<0,所以代x)不存在零点： 468