练案(17)3.2.2 导数与函数的极值，最值-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

2 16.已知/(x)= -(1+a)x+alnx.其中a为实数,讨 4.已知a=n{,b=n,c=e”,e是自然对数的底数,则a. ) b.c的大小关系是 论/(x)的单调性 A.a<b<c B.acb C.ba<c D.c<a<b lnx+1的单调增区间为. 5.函数/(x)= ;若对 Va.be[1.e],a≠b,均有alnb-blnm成立,则m b-a 的取值范围是 6. 已知函数/f(x)=x2+alnx. 1B组能力提升) (1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间; 1.(2022·全国高三月考)下列函数中,既满足图象关于 (2)若函数g(t)=f(x)+2在[1,+x)上单调,求实 原点对称,又在(-,0)上单调递增的是 ) 数a的取值范围 B./(x)- A.f(x)=xcos x 2 C.f(x)=3x-2sinx D./(x)=r-x 2.若函数f(x)=xlnx-ax+1在[e,+)上单调递增 则实数a的取值范围是 ( A.(-x,2) B.(-x,2] D.[2.+*) C.(2.+x) (1)若/f(x)在(0.+)上单调递减,求实数a的取值 范围; (2)若a=1.试问过点(0.1)向曲线v=f(x)可作几条 意实数都有f(tx)-f'(x)>0,设F(x)-f(x),则不等 切线? 式F(x)<的解集为 ) A.(-,1) B.(1.+) C.(1e) D.(e,+) 练案[17] 第二课时 导数与函数的极值、最值 3.(2024·西安中学高三第四次月考)函数/(x)=e+ 6A组基础巩固) cosx+1在区间[-π,π]上的最大值、最小值分别为 一、单选题 C ) A.+1.3 1.已知函数/(x)和g(x)的导函数 B.e*,3 f'(x),g’(x)图象分别如图所示 C.+1.2 D.e”,2 则关于函数y=g(x)-f(x)的判 断正确的是 4.已知函数f(x)=2lnx+ax{}-3x在x=2处取得极小$ ( 值,则/f(x)的极大值为 A.有3个极大值点 ) B.有3个极小值点 A.2 B- C.有1个极大值点和2个极小值点 C.3+In2 D.有2个极大值点和1个极小值点 D. -2+2ln2 2.设函数(x)-2+lnx,则 5.(2023·海南八校联盟)已知函数/(x)=3lnx-$}+ 。 (-)x在区间(1.3)上有最大值,则实数a的取值 A.x-为/(x)的极大值点 范围是 ) B.(-1) A.(-,3) C.x-2为/(x)的极大值点 C.(211) D.(5) D.x=2为f(x)的极小值点 -315- 6.(2023·河北石家庄二中模拟)若函数/(x)=(1-x) ·(x+ax+b)的图象关于点(-2.0)对称,x,x。分别 :B组能力提升》 是f(x)的极大值点与极小值点,则x。-x.= ( ) 1.(2023·河北郎鄣一中月考)若函数f(x)=ae -sinx A.-③ B.2/3 C.-2/3 D. 3 在x=0处有极值,则a的值为 ( ) 二、多选题 A.-1 C.1 B.0 D.e 7. 下列四个函数,在x=0处取得极值的函数有( ) 2.若函数f(x)=(x^}-a)e'的两个极值点之积为-3.则 A.y=x& B.y=2+1 f(x)的极大值为 ) C.y=1xl D.y=2 A. B.- 8.若函数f(x)=e-2x+3.则 C.-2e A.函数f(x)只有极大值没有极小值 3.(2023·贵州黔东南州联考)已知函数/(x)=lnx- B.函数f(x)只有最大值没有最小值 C.函数/(x)只有极小值没有极大值 D.函数f(x)只有最小值没有最大值 ( 一 9.(2022·潮州二模)已知函数y= C-3} B-2 A.-e y-(x . fx)的导函数y=/'(x)的图象如图 所示,则下列结论正确的是( 4.已知函数/f(x)=lnx-x+a恰有两个零点,则a的取 A./(a)<f(b)<f(c) , 值范围是 ) B.f(e)<f(d)<f(c) A.(-x.-1) B.(-x,1) C.x=c时,f(x)取得最大值 C(-1,+x) D.(1.+x) D.x=d时,f(x)取得最小值 三、填空题 5.已知函数/(x)-xlnx(a>o). 10.函数/(x)=2x-lnx的最小值为 11.函数y=xe”在其极值点处的切线方程为 (1)当a=1时,求函数y=f(x)在x=1处的切线方 12.已知/(x)=(x}+2x+a)e',若/(x)存在极小值,则 程; a的取值范围是 (2)求函数/(x)在[a.2a]上的最小值 13.(2021·新高考I卷)函数f(x)=12x-11-2lnx的 最小值为 _. 四、解答题 14.设函数/(x)=alnx-bx2},若函数/f(x)在x=1处与 直线y--相切. (1)求实数a.b的值; (2)求函数儿(x)在[上的最大值。 6.已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x-10x的一个 极值点. (1)求a; (2)求函数f×)的单调区间 (3)若直线v=b与函数v=/(x)的图象有3个交点 15.(2023·北京市高考适应性测试)已知函数/(x)= 求的取值范围. (1)求曲线v=f(x)在点(0.f(0))处的切线方程; (2)求/(x)的极值 (3)求函数ffx)的零点个数 316:函数x)=nx+子-x(x>0)在[片，3]上有且仅有 令1=点，则te(0,1),A+1<+A)血恒成立. -1 个极值点， 所以m1-A+)-山<0在1e(0.1)时恒成立 y=()在[子3上只有一个变号零点 t+入 令f()=+x-4=0,得4=1 令h)=n1-a+)-D4e(0,1. t+入 设g)=+,则g()在[片，小上单调减，在[1,3]上单 则()=1-(A+1)2_-1)u-A2 1(1+A)9 (1+A)2 若x≥1，即A≥1，划当1e(0,1)时'(t)>0,故h()在(0,1) 调递增∴g(x)。=g(1)=2: 上单调递增， 又)33)= 所以h(1)<h(1)=0恒成立，满足题意： 31 若0<入<1.则当t∈(A2,1)时有'(t)<0 当号≤a<号时y=时()在[分上只有-个变号零点 故h()在(A,1)上单调递减， 所以当t∈（入，1）时，h(t)>h(1)=0,不满足题意. 六实数a的取值意调为[子，》 综上所述，正数A的取值范围为[1，+女) 变式训练 考点2 [解析](1)因为f(x)=ecsx-x,所以f'(x)= 例：[解析】(1x)=nx-2/'(x）=lnx+1-, e'(c5x-sinx)-1,f'(0)=0. 又因为0)=1，所以曲线y=八x)在点(0代0)处的切线方程 设y=x与f八x)的图象的切点为(x,), 为y=1, lno+1-o=1, (2)设h(x）=e(eosx-sinx)-1,则h'(x)=e(esx-inx- 则 1 oln-2G= 解得6=e2,a=马 sin x-cos x)=-2e'sin x. (2)0()=)+g)=h--2+a,定义拔为 当xe(0,）时，h'()<0, (0,+o),F'()=nx-at 所以h()在区同[0，引]上单调递减 F"(x)=lnx-=0有两个不等实根无，x2, 考察函数h(x)=E-a,h(x)=1-n三，所以(e)=0, 所以对任意xe(0,]有(x)<(0)=0,明了()<0 x2 当0<x<e时，h'(x)>0,所以h(x)在区间(0，e)上单调递增： 所以蛋数)在区同[0，]上单调递减 当x>e时，'(x)<0,所以h(x)在区间(e,+x）上单调递减 数h()的极大值也是最大值为h(e)=L 国此x)在区间[0，引上的最大值为f(0)=1,最小值为 因为(x)有两个不同的零点，所以h(心)>0，即上-a>0,即 (）-是 名师讲坛·素养提升 0c1 变式训练 [解析] 当a≤0时，当x>e时，h(x)>0恒成立，放h(x)至多一个零 (1)设该工厂一个月内生产该特殊产品x万件，依 题意， 点，不符合题意， 字上所迷0<a<日 )=-子)+12业）-3-1-+3x+2h 下证：当0<a<。时，A()有两个不同的零点。 所以利润八x)(万元)关于月产量x(万件)的通数解析式为 h(1)=-a<0.h(e)>0,所以h(x)在区问(0，e)内有唯 )=-写2+3x+2h-1,1≤x≤3. 零点： )=h日)令日=1，考察商数p)=2h- (2f”(x)=-2+3+2=--3-2。-x+12x-2边 所以当1≤x<2时f'(x)>0,函数f八x)在区问[1,2)上单调 遠增： 当2<x≤3时'(x)<0,函数x)在区问(2,3]上单调递减， 可得0()m=22-2<0,所以） <0,所以h(x)在区间 所以当x=2时，函数在区何[1,3]上取得最大值(2)，八2)= +2n2. 7 (e,+x）内有唯一零点. 综上所迷：a的取值范国为(0，） 故该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值为 ②由题设条件和①可知：l<1<e<,lh无=1，n= (子+2加2万元，此时的月生产量为2万作 所以a=血名-n当。“五 练案[17] A组基础巩固 若不等式e1<·恒成立， 1.D由已知结合函数的单调性 两边取对数得A-ln,<入n2-1。 与极值的关系进行分析即可 h支 求解.结合函数图象可知，当x 所以A+1<血x+Alnx2=a,+aA2= ·（1+】 <a时'(x)<g(x),此时y =g'(x)-(x)>0,函数单调 递增，当a<x<0时，∫(x)> g'(x),此时y'=g'(x)-∫(x) 1-1 <0,函数单调递诚，当0<x< b时f'"(x)<g'(x),此时y'= '(x）-f'(x)>0,函数单调递 -460 增，当￥>b时J”(x)>g'(x),此时y=g(x)-(x)<0,函数 单调递减，故函数在x=a,x=b处取得极大值，在x=0处取得 当x>-1时了>0函数在x=-1时取得极小值-。，又 极小值.故选D 2D)=子+n>0))=-是+学令f到 -=0一所求切线方程为y=-】 12.(-,2)函数爪x)的导函数为f"(x)=(2x+2)e+(x2+ =0,得x=2当x>2时.f'(x)>0,这时f代x)为增函数：当0<x 2x+a)e=e(x2+4x+a+2). <2时"(x)<0,这时八x)为减函数，据此知x=2为f(x)的极 因为函数(x)的定义域为R.所以若代x)存在极小值，即函数 小值点，故选D, 八x)有极小值点， 3.B因为-x)=e+csx+1=f代x),所以《x)为偶函数，当 所以x+4x+a+2=0有两个不相等的实数根， x≥0时，fx)=e+csx+1,厂(x)=e-sinx.易知当x≥0时， 4=16-4(a+2)>0.解得a<2. ≥1，sinx≤1，则/x)=-sinx≥0，(x)在[0.m]上单调递131函数x)=12x-1目-2lnx的定义域为(0，+). 增，所以/八x)m=《π)=e八x)m=八0)=3，故选B ①当x>时)=2x-1-2 4.B由题意得了'(x)=2+2r-3, 所以∫(x)=2-2=2x-2 :八x)在x=2处取得极小值， 六f(2)=4g-2=0,解得u=2· 当时<x<1时，()<0，当>1时"()>0， 1 六)=2x+22-3x, 所以x)n=f1)=2-1-2n1=1; fx)=2+w-3=x-1Dx-2边 ②当0<x≤2时， .f八x)在(0.1)，(2.+）上单调递增.在(1.2)上单调递减. )=1-2x-2h在(0，]上单调递减。 六)的极大值为)=号-3=-是 所以x)=f(）-2n了=2h2=h4>ne=l综上 5.Bf'()=是-2x+a-分，由题意易知88：即 f尺x)m=. f(3)<0. 14.[解析](1f”(x)=4-2x,x>0, 、1 [a+2>0, y函数八x)在x=1处与直线y=一子相切， 11 解得-子<a<号放选以 n-<0, f(1)=n-2b=0. =1. 6.C由题意可得f代-2)=3(4-2a+b)=0 1解得 因为函数图象关于点(-2,0)对称，且f(1）=0,所以f八-5) 1)=-b=-2· b=2 =0, 即X-5)=6(25-5a+b)=0, （2)由0)知)=h-o0, 联立化和50。解得化0 f'(x)=1 -x=1-x2 la=7. 故x)=(1-*)(2+7x+10)=-x-6x2-3x+10. 当上≤x≤e时，令∫()>0，得≤<1， 则"(x)=-3x2-12x-3=-3(x+4x+1), 结合题意可知x:是方程x+4x+1-0的两个实数根，且x 令f(x)<0,得1<x≤e, >1+3=-4,名·名=1，放五-x1=-1x1-与21= )在[日小上单调递增， -√(+)2-4=-√（-4)2-4×1=-25 在(1，e]上单调递减， 7.BC对于A,D,y=x和y=2在x=0处无极值.B,C符合.故 选BC. ))=-是 8.CD求出原函数的导函数，利用导数可得单调性，进一步求得15.[解析](1)(x)=e(x-1)+e-ex 极值与最值.fx)=e-2x+3.则f(x)=e'-2,由e-2=0,得 =e'·x-”·x x=ln2,则当x∈(ln2,+x)时，f"(x)>0,fx)单调递增，当x =x(e3-0), E(-e,ln2)时，(x)<0八x)单调递减，.函数八x)只有极 ∴f'(0)=00)=-1. 小值没有极大值，函数x)只有最小值没有最大值.故选CD. 因此切线方程为y=-. 9.AB结合导函数的图象，可知八x)在（一女，c]上单调递增，在 (2)f(x)>0解得x<4成x>0 (c,e)上单调递诚，在[e,+)上单调递增.对于A,因为a<b '(x)<0解得a<x<0. <c,由f代x)的单调性可知f代a)<f八b)<f代c),故A正确：对于 因此八x)在(-x,a)递增，(a,0)递减，(0，+)递增. B,因为e<d<e,由八x)的单调性可知fc）>fd)>f(e),故B 因此f八x)在x=0处取得极小值f八0》=-1. 正确：对于C,当x=e时，八x)取得极大值，但不一定是最大值 故C错误：对于D,由B可知，(d)不是f(x)的最小值，故D借 在x=a时.取得报大值a)=心(a-1-) 误.故选AB. 10.1+ln2八x)的定义域为(0，+)， (3na)=e(a-0-3e…d=-e(d2-2a+2) "(x)=2-1.2x-1 x -2e[(a-12+1<0 当0<x<时()<0： 又f2)=02-2e">e2-2>0 由(2)知几x)在x=a处取得板大值八)<0. 当x>2时()>0 因此，只x)尺有一个军点. B组能力提升 ∴八x)在(0，上单腾递诚，在（分，+x上单调递增。 1.C'(x)=ae-sx,若函数f八x)=e-inx在x=0处有极 值，期f'(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.故 选C. 2.A因为代x)=(x-a)e, ll.y-- y=(x+1)e',当x<-1时，y'<0 所以f(x)=(x2+2x-a)e, 由f'(x)=(x2+2x-a)e=0. 461- 得x2+2x-u=0 所以f八x)的极大值为1)=16ln2-9,校小值为八3)=32ln2 由函数f尺x)=(x2-a)e的两个极值点之积为-3， -21. 则由根与系数的关系可知.-a=-3,即a=3, 图此16)>162-10×16>16ln2-9=f代1).f八e2-1)<-32 所以/八x)=(x2-3)e'f'(x)=(x2+2x-3)e, +11=-21<f3), 当x<-3或x>1时f"(x)>0: 所以在爪x)的三个单调区间(-1,1)，(1,3)，(3，+g)直线y 当-3<x<1时(x)<0, =b有y=八x)的图象各有一个交点，当且仅当八3)<b<f八1)， 故八x)在(-，-3)上单调递增 图此，b的取值范图为(32ln2-21.16m2-9). 在(-3,1)上单调递减，在(1，+)上单调递增， 所以八x)的极大值为代-3)=6 第三讲导数的综合应用 e 知识梳理·双基自测 3=+是 x2 双基自测 若a≥0，则f'(x)>0/(x)在[1，]上递增. 1.(1)×(2)×(3)V(4)× 2.C函数的定义域为(0，+)，由f尺x)=0得a=xnx,记g(x) )=1)=-a=号则a=-子，不盾 =xin x. 若a<0,则由f(x)=0得=-a 若1<-a<e,即-e<a<-1, =g) 则)m=-a)=l(-a)+1=产，解得a=-6,符合题 意，故选A 事实上，若-a≥e,即a≤-e'(x)≤0，/(x)在[l,e]上递诚 ∴)=e)=1-共=号，解得a=-号，矛盾： y=a 若-a≤1，即a≥-I,f'(x)≥0八x)在[1，e]上递增x)n= )=-a=子解得a=-子，矛后 则g(x)=lnx+1,由g(x)>0得x>。,由g(x)<0得0< 4.D先根据函数的单调性与其导函数正负的关系求出函数八x) 的单调性，结合题意得到满足代1)>0，即a>1,再验证：>1满 足题意即可.由题，f(x)=-1=二则当0<<1时 g()在(0，上递减，在（日+上递增。 '(x)>0八x)单调逆增：当x>1时，f'(x)<0,f八x)单调递减 且)=日）-由图可知-。<a<0,故选C 故(x)在x=1处取得最大值(1)=a-1,由题可知，需满足 f1)>0.即a>1,当a>1时，0<e<1fe")=-e<0.故 3G)=血(x)=1-血，当0<<e时()>0. x 函数fx)=nx-x+a在(e“,1)上存在一个根，存在b> 故f尺x)在(0，e)上单周递增.又，0<a<b<e,.f尺a)<f(b) (1+a)2>1,使得f(6)<f[(1+个+a)2]=ln(1+ 故选C √+a)2-(1+T+a)2+a<2(1++a)-(1+ 4.[证明](1)设fx)=e-x-1,则'(x)=e-1在(-，0) 1+u)+a=0,从而函数f八x)=lnx-x+0在(1.b)上存在 上"(x)<0,在(0，+）上f(x>0,故x)在(-，0)上潢 一个根，故a的取值范围为(【，+3)，故选D, 减，在(0，+如)上递增，所以八x)在x=0处有最小值，故八x】 5.[解析]本题考查导数的综合应用. ≥f八0)=0，.e≥x+1. (I）当a=I时f尺x)=xlnx,f(x)=lnx+1 (2)设f(x)=1nx-x+1(x>0) .切线斜率k=f"(1)=1,切点为(1,0)，即切线方程为y=x f"(x)=1-1=1-(x>0). -1. (2f()=h,令fr)=0=日 在(0.1)上(x)>0.在(1.+)上'(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，+x)上淺减代x)≤f1)=0, ①当a≥上时，f(x)>0x)在[a,2a]上单调搅增. .lnx≤x-1. 5.-3f"(x)=6x2-2r=2x(3x-a)(aeR),当a≤0时.f'(x) ∴x)a=f八a)=lna: >0在(0，+)上恒成立，则f(x)在(0，+x)上单调递增，又 ②当a<a,即<a<时在a,]上单酒递减 f0)=1,所以此时八x)在(0.+)内无零点，不满足题意，当a >0时.由(x)>0得x>号，由/()<0得0<x<号，则到 在[2小上单造增=日） 在(0，号上单调递诚，在（号，+）上单调递增，又x)在(0， ③多a≤克时(s)<0,在[a,2a]上单渭递减， ∴fx)=f2a)=2ln(2a)）. +)内有且只有-个零点.所以W(号)=一号+1=0，得a 3.所以八x)=2x2-32+1,则广(x)=6x(x-1),当xe(-1. 6[解析]()因为∫(x)=++2x-10, 0)时，(x）>0,八x)单调递增，当xe(0,1)时，(x)<0.八x) 单调递减，则f(x)=(0）=1,f八-1)=-4,1)=0，则 所以f(3)=号+6-10=0， 八x)m=-4,所以八x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 因此a=16, -3. (2)由(1)知，f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x后(-1，+)， 厂(x)=2x-4x+3) 6[-1,引由)=2-2x+。-,得-司-2+ 1+x 。-e=-),所以)是R上的奇函数，又(x)=3x 2x+ 当x@(-1,1)U(3,+e)时f'(x)>0. 当xe(1,3)时(x)<0, 所以八x)的单调增区间是(-1,1)，(3，+∞)，八x)的单调减区 -2+e+≥3x-2+2,·石=3≥0，当且仅当s=0时 间是(1,3). 取等号，所以f八x)在其定义域内单调递增，所以不等式八a-1) (3)由(2)知八x)在(-1,1)内单调增加， +f2a）≤0fa-1)≤-f2a2）=f八-2a2)a-1≤-2a2. 在(1,3)内单调减少，在(3，+x)上单调增加，且当x=1或x= 3时f(x)=0, 解得-1≤a≤子，放实数a的取值范国起[-1，」 462