3.2.1 导数与函数的单调性-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

练案[16] 第二讲 导数在研究函数中的应用 第一课时 导数与函数的单调性 A组基础巩固易 二、多选题 9.已知函数f代x)的定义域为R,且f'(x)>1,f(3)=4, 一、单选题 则下列结论中正确的有 () 1.函数f八x)=xnx+1的单调递减区间是 Af八x)为增函数 (-) B(合+) B.g(x)=f八x)-x为增函数 C.f(2x-1)>4的解集为(-，2)》 c(.) D.(e,+o) D.f(2x-1)>2x的解集为(2，+) 10.(2024·河北衡水月考)下列不等式成立的是() 2.已知函数f八x)=x(e-e),则f八x) A.是奇函数，且在(0，+x)上单调递减 2h<2 B.2In /3 <3In 2 B.是奇函数，且在(0，+∞)上单调递增 C.5In 4 <4In 5 D.T>eln T C.是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减 11.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象 D.是偶函数，且在(0，+)上单调递增 如图所示，则对于任意x,x∈R(x,≠).下列结论 3.设函数)=宁-9h在区间a-1,a+上单 正确的是 调递减，则实数a的取值范用是 A.(1,2] B.[4,+) C.(-9,2] D.(0,3] 4.已知fx)=nx,则 A.f八x)<0恒成立 B.(x1-)[f八x1)-f八x2)]<0 A.f(2)>f八e)>f八3) B.f(3)>f(e)>f(2) C.3)>f2)>f八e) D.fe)>f3)>f2) c）生 2 5.(2022·重庆名校联考)若曲线f代x)=(ax-1)e-2在 点(2，(2))处的切线过点(3,3)，则函数f八x)的单调 ）) 递增区间为 ( 三、填空题 A.(0,+) B.(-0,0) 12.函数f八x)=xn(-x)的单调递减区间是 C.(2,+x) D.(-9,2) 13.(2023·通辽蒙古族中学高三模拟)已知函数f(x)= 6.(2022·江南十校联考)若函数fx)的定义域为R,其 导函数为f'(x).若f'(x)-3<0恒成立八-2)=0 之2+2x-2ah在0，+云)上单周递增，则实数a 则f八x)-3x<6的解集为 ( 的取值范围是 A.(-x,-2） B.(-2.2) 14.已知函数f(x)=x(2-2),则不等式2x)-3<0 C.(-9,2) D.(-2,+) 的解集为 7.(2023·河南许昌、平顶山期中)已知(x)是偶函数， 四、解答题 在(-，0)上满足'(x)>0恒成立，则下列不等式15.函数(x)=(x2+ax+b)e,若曲线y=f(x)在点 成立的是 (0f(0))处的切线方程为6x-y-5=0. A.f(-3)<f(4)<f八-5) (1)求a,b的值： B.f4)<f-3)<f-5) (2)求函数f代x)的单调区间. C.f八-5)<f-3)<f4) D.f(4)<f-5)<f八-3) 8已知a=h2+好6= ,c=hπ+1，则a,b,c之间 e 的大小关系为 ( A.a<b<e B.a<e<b C.c<a<b D.b<c<a -314 16.已知x)-号-1+a)x+alnx,其中a为实数，讨4已知a=T,6=π，c=e,e是自然对数的底数， b,c的大小关系是 () 论f(x)的单调性， A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 5.函数f八x)=血+1的单调增区间为 :若对 Va,be1,e],a≠b,均有血b-血a<m成立，则m b-a 的取值范围是 6.已知函数f(x)=x2+alnx B组能力提升 (1)当a=-2时，求函数f代x)的单调递减区间： 1.(2022·全国高三月考)下列函数中，既满足图象关于 (2)若函数g(x)=x)+2在[1，+x)上单调，求实 原点对称，又在(-∞，0)上单调递增的是 数a的取值范围. A.f八x)=xcos x B.f八x)=e+e 2 C.f八x)=3x-2sinx D.f八x)=x3-x 2.若函数f八x)=xnx-ax+1在[e,+e)上单调递增， 则实数a的取值范围是 ( ）7.已知函数代x)=n-r2a A.(-0,2) B.(-,2] 2x C.(2,+) D.[2,+） (1)若f(x)在(0，+x)上单调递减，求实数a的取值 范围： ,对任 3.已知函数f(x)是函数八x)的导函数(1)= (2)若a=1,试问过点(0,1)向曲线y=f(x)可作几条 意实数都有x)-f(x)>0,设F(x)=,则不等 切线？ 式F(x)<的解集为 ( A.(-0,1) B.(1,+) C.(1,e) D.(e,+e) 练案[17] 第二课时 导数与函数的极值、最值 3.(2024·西安中学高三第四次月考)函数f八x)=e+ 的A组基础巩固 cosx+1在区间[-π，π]上的最大值、最小值分别为 一、单选题 () 1.已知函数fx)和g(x)的导函数 A.e5+1.3 B.e,3 '(x),g'(x)图象分别如图所示， 则关于函数y=g(x)-八x)的判 C.e+1,2 D.e",2 断正确的是 4.已知函数f(x)=2nx+ax2-3x在x=2处取得极小 A.有3个极大值点 值，则八x)的极大值为 () B.有3个极小值点 A.2 C.有I个极大值点和2个极小值点 R-名 D.有2个极大值点和1个极小值点 C.3+In 2 D.-2+2ln2 2.设函数八x)=2+mx,则 5.(2023·海南八校联盟)）已知函数f八x)=3lnx-x2+ Ax=子为x)的极大值点 (a-在区间(1,3)上有最大值，则实数a的取值 范围是 () Bx=弓为)的极小值点 A(-2列 ( C,x=2为f八x)的极大值点 D.x=2为f八x)的极小值点 c(合 D(合列 -315f'(x)<0,所以/(x)在(e,+)上单调递减,所以/(3)>f(). 单调性解不等式判断CD.对于A.因为/f(x)>1.所以/(x)为增 即ln3,ln“.所以mìn3>3ln-,所以ln3”lnn',即3”>r. 函数,故A正确;对于B,由g(x)=f(x)-x,g'(x)=f(x)-1> 3= 0.所以g(x)为增函数,故B正确;对于C.f(3)=4.则/(2x-1) 因为y=”在(0. x)上单调递增,e<π,所以e<,所以e >4等价于f2x-1)>f3),又ffx)为增函数,所以2x-1>3 <n3”. 解得x>2.所以f(2x-1)>4的解集为(2.+x),故C错误;对 二、泰勒展开式 于D.f2x-1)>2x等价于f2x-1)-(2x-1) 1=f3)-3. 变式练 即g(2x-1)>g(3).又g(x)为增函数,所以2x-1>3,解得x B 易知a=ln1-0.0l*{<ln1=0.而$0.c0.当x0$$ >2.所以/(2x-1)>2x的解集为(2.+x),故D正确.故 时,由奉勒公式展开,得6=0.02sin0.01-0. 02 0. 01-(001) 选ABD. 10. AD 设f(x)-ln(x>o),则/(x)-1-ln,所以当o<xce 3 o()-2x10- 时/”(x)>0.函数/(x)单调递增; 0.01(0.02-(0.02)(x)-2x10--8x10-+o(). 当x>e时f'(x)<0.函数/(x)单调递减 因为<2<e.所以/()</(2). 即21331n2.故选项A正确; 练案[16] 因为23<e所以/(2)(③). A组基础巩固 即/②ln3>3ln2.故选项B不正确; 1.Cf(x)的定义域为(0.+x). 因为e<4<5. /'(x)=1+nx. 所以f(4)>/f5).即5ln4>4ln5. 故选项C不正确. 同理e<n.则/(e)>/(n),即n>elnn,故选项D正确 所以(t)的单调减区间为(0.). 11.BD 由导函数的图象可知,导函数 /'(x)的图象在:轴下方,即/'(x) 2.D因为/(x)=x(e-e”),xeR,定义域关于原点对称,且 <0.故原函数为减函数,并且递减 f-x)=-x(e-e')=x(e-e”)=f(x),所以f(x)是偶 的速度是先快后慢,所以ffx)的图 函数, 象如图所示:f(x)<0恒成立,没有 当xo时,f'(x)='-e”+x(e’+e”')>0. 依据,故A不正确;B表示(x一 所以/(x)在(0.+x)上单调递增. .)与[/(x)-f(x.)]异号。 3.A/(x)=x- 即/(x)为减函数.故B正确; C.D左边的式子意义为t,中点 fx)的单调递减区间是(0.3],所以0<a-1<a+1<3,解得1 对应的函数值,即图中点B的纵坐标值。 <a52.故选A. 右边式子代表的是函数值的平均值,即图中点A的纵坐标值 4.D/(x)的定义域是(0.+x). 显然有左边小于右边,故C不正确,D正确. f(x)-1-ln,令/”(x)=0.得x=e. {12.[-.)函数)(x)-xin(-x)的定义域为(-×,0))'(s) 所以当xe(0.e)时/'(x)>0./(x)单调递增,当xe(e.+x) =ln(-x)+1,令/'(x)s0.解得-士<x<0,所以函数/(x) 时,/’'(x)<0Jf(x)单调递减,故当x=e时f(x)=/(e)= 的单调递减区间是[--,o). 而/(2)-2n8./(3)-3-h9. #,所以/(e)>/(3){ 13.(-×,0]由单调性可知/(x)=0在(0.+x)上恒成立,采 >/(2). 用分离变量法可得2a三x{}42x,由二次函数的最值可求得a的 $.A 由题意,得/(2)=(2a-1)e=2a-1f'(x)=ae }+(x- 1) -(a+a-1)./'(2)-3a-1.3-(2a-1)-3a 范围.f(x)在(0,+x)上单调递增.:./'(x)=x42-2a→o 3-2 -1,得a=1.:.f(s)=(x-1)e-}f'(x)=re ).x>0时, 在(0.+)上恒成立,即2a}+2x在(0.+)上恒成立; 又当x>0时,x+2x>02a50.解得:a50.实数a的取 f'(x)>0.:.f(x)的单调递增区间是(0.+×). 值范围为(-2.0]. 6.D 令g(x)=f(x)-3x-6. 14(-1.1)因为/f(x)=x(2-2)x=R.所以f-x)=(-x)· 则g'(x)=f(x)-3<0. (2-2)=x(2-2”)=f(x),则/(x)为偶函数,又因为f$(x) 所以函数g(x)在R上单调递减, -2-2+xln2(2+2).当x>0时f(x)>0.则/(x)单调 g(-2)=/-2)-3x(-2)-6=0. 递增.又因为(0)-0.(1)-2--,由2/(x)-3<o可得 由g(x)<0eg(x)<g(-2),则x>-2 7.A xe(-×.0)时,”(x)>0即f(x)<0. fx)<f(1),所以lxl<1,解得-1<x<1,即不等式的解集为 2./(x)在(-*,0)上单调递减,又/(x)为偶函数. (-1.1). ./(x)在(0.+x)上单调递增. 15.[解析] (1)f'(x)=(2x+a)e -(x+ax+b)e= .f(3)<f(4)<f(5).f-3)<f(4)<ff-5),故选A [-x+(2-a)x+a-b]e”..f'(0)=a-b,又f(0)=b, 8.B 令/(x)-lnx+1,则/'(x)--ln令/'(x)>0.解得0<x 心.曲线y=ffx)在(0.f(0))处的切线方程为v-b=(a-b)x 文。 1 即(-b)x-y+b=0. <1.所以/ft)在(0.1)上单调递增. 行 令f(x)<0,解得x>1.所以/(x)在(1.+)上单调递减。 1=-5. (2)由(1).得/(x)=(x”+x-5)e'*,x=R 4 /(x)=(-+x+6)e=-(+2)(x-3)e 当x<-2或x3时f(x)<0: n 因为1<e<n<4,所以/(e)>f(π)>f(4),即b>c>a.故选B 当-2x<3时f(x)>0. 故/f(x)的单调递增区间为(-2.3),单调递减区问为(一*, 9.ABD 利用导数与函数的单调性的关系可判断AB,利用函数的 -2)和(3.+x). -457- 16.[解析]由题意知/(x)的定义域为(0.+x). 解函数/(x)的单调递增区间;将不等式变形为hnb+m f'(x)-(a+l)-(a41)x+a(a-1)(x-a) lna m,.对Va.be[1.e]恒成立,构造函数g(a)-lhnx+m_x (r0). ①当as0时,由/(x)<0得0<x<1 e[1.e],将问题转化为g(x)-1-n-lnx<0,对xe[1.e]恒 由/’(x)>0得x>1. 所以/f(x)在(0.1)上单调递减,在(1,+)上单调递增; 成立,利用参变量分离转化为求解函数的最值,即可得到m的 ②当0<a<1时,由f'(x)<0得a<x<l: 取值范围.函数(x)=lnx+l的定义域为(0.+2),又f/(x)= 由f(x)>0得0<x<a或x>1. 所以/f(x)在(0.a)和(1,+x)上单调递增,在(a.1)上单调 -ln,当0<x<1时/(x)>0.则/(x)单调递增,当x>1时, 递减: ③当a=1时,Jf(x)>0恒成立, f(x)<0,则/(x)单调递减,所以f(x)的单调递增区间为(0. 所以/(x)在(0.+)上单调递增; 1);因为对Va,be[1.e],均有alnb-blnd<m成立,不妨令1 ④当a>1时,由/”(x)<0得1<x<a b- 由/”(x)>0得0<x<1或x>a. <a<bse,则alnb-blna<mb-ma对Va.b=[1,e]恒成立. 所以/f(x)在(0.1)和(a,+x)上单调递增,在(1,a)上单调 故a(lnb+m)<b(lna+m)对Ya,be[1.e]恒成立,则nb+m 递减: 综上所述, <ln_m,对Va,be[1.e]恒成立,令g(x)-lnx+m,xe[1. 当a0时,f(x)在(0.1)上单调递减,在(1.+x)上单调 递增: e],所以g(a)→g(b)对Va,be[1,e]且a<b恒成立,从而得 当0<a<1时/f(x)在(0.a)和(1.+x)上单调递增,在(a.1) 到g(x)在[1,e]上单调减,则g(x)-1-n-lnx<0,对xe 上单调邀减: t_ 当a=l时f(x)在(0.+x)上单调递增; [1.e]恒成立,即m→1-lnx,因为y=1-lnx在[1,e]上单调 当a>l时Jf(x)在(0.1)和(a,+x)上单调递增,在(1,a)上 递减,所以当x=1时,函数y=1-lnx取得最大值1,故m>l. 单调递减. 所以实数m的取值范围为[1,+x). B组能力提升 6.[解析](1)由题意知函数/(x)的定义域为(0.+x),当a= 1. C 选项A中f'(x)=cosx-xsinx..f(x)在(-x,0)上不 -2时/(x)=2x-22(x+1)(x-1) 恒非负,选项A错误; 由/(x)<0得0<x<1,故/(x)的单调递减区间是(0.1). 点对称,选项B错误; 选项C中f-x)=-3x-2sin(-x)=-/f(x),即/f(x)为奇函 ①若g(x)为[1.+)上的单调增函数,则 数,图象关于原点对称,又f’(x)=3-2cosx,x<0时f”(x)>0 g'(x)0在[1.+)上恒成立, 恒成立 即a2-2x在[1.+*)上恒成立。 所以/f(x)在(-,0)上单调递增,选项C正确; 设(x)-2-2rxie[1,+). 选项D中”(x)=3x-1当x<0时(x)在-×.-)上为 易知(x)在[1,+)上单调递减, 单调增函数,在(-.0)上为单调减函数,选项D错误。 .在[l.+x)上,(x)=(1)=0. ..0 故选C. ②若g(x)为[1,+)上的单调减函数, 2.B 求出原函数的导函数,把问题转化为alnx+1在[e. 则g’(x)<0在[1,+*)上恒成立,易知其不可能成立,不符合 +×)上恒成立,由单调性求得lnx+1的最小值,即可得到实 题意。 数a的取值范围.由/(x)=xlnx-ax+1,得/(x)=lnx+l-a. 综上,实数a的取值范围是[0.+×). ·函数f(x)=xlnx-ax+1在[e,+)上单调递增,.lnx41 -a>0在[e,+x)上恒成立,即alnx+l在e,+x)上恒成 2x 立,lnx+1在[e.+x)上单调递增,.(lnx+1)=2.可得 +)上单调递减. a<2.:.实数a的取值范围是(-x.2).故选B 1-.-+2-x-2a<o但成立,.2a> 3.B 根据题意,F(x)f(x) 2{ . (-22x), 其导数F(x)(x)e'-(x)() 又当x>0时, (x)=-x+2x=-(x-1)+1l(当且仅当$$ , =1时取等号). f()-/(x) :2a1, 。 即实数a的取范围为[士*) 又由/(x)-f”(x)>0,则有F'(x)<0. 即函数F(x)在B上为减函数. 又由(1)-则F(1)-1). 言 #_ 不等式F(x)<-等价于F(x)<F(1). 设过点(0.1)与曲线/f(x)相切的直线与/(x)的切点坐标为(x. 则有x>1.则不等式的解集为(1,+x) m). 4.B 因为“>e>0.所以-”>e”,即b>c.令f(x)-ln,则/(x) -1-lnx,当xe[e,+x)时'(t)<0.f(x)单调递减.因为“ 令h(x)=lnx+2-2(xo0), >e,所以(n)<f(e),即lnnlne,得elnn<nìne,故e*> “”,所以c>a.综上,b>c>a.故选B. 5.(0.1)[1.+)利用导数的正负与函数单调性的关系,求 -458- 令h’(x)=0.得x=2. 当x=(0.1)时.g(x)<0.f'(x)<0. &.h(x)在(0.2)上单调递减,在(2.+)上单调递增, 当xs(1.+)时、g(x)>0f'(x)>0 又#()=2-ln2>0.b(2)=ln2-1<0. (e)-→0. f(x)在(-×,-2).(0.1)上单调递减. 在(-2.0),(1,+x)上单调递增. &.h(x)与x轴有两个交点, 故A、D错误,B.C正确. &过点(0.1)向曲线=/《x)可作2条切线 例2:10 由图知/(x)=x(x+1)(x-2) 第二课时 导数与函数的极值、最值 $.f'(x)=3x-2x-2.因此,x x为3x-2x-2=0的两根$ 2 3:=- 知识梳理·双基自测 ③ 2. 知识梳理 知识点一 1.>,) 角度2 2.求导数/(x)求方程f”(x)=0的根 根左右的值 极大值 例:[分析] 求导,研究函数的单调性从而确定极值 极小值 [解析] (1)函数/(x)的定义域为(0.+w). 知识点二 /(x)=x-5+6(-2)(t-3) 1.a.b](a.b) 3.求/(x)在(a.b)内的极值将f(x)的各极值与/(a)f(b)比 令f'(x)=0.解得x.=2.x.=3.可得 较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值 (0.2) 2(23) 双基自测 (3.+) 1.(1)×(2) (3)(4)(5) f'(x) 0 , ) [解析](1)函数的极值是局部概念,极值点是与该点附近的 /(x) 点的涵数值比较得到的,而不是在某区间或定义域上比较。 2 极大值极小值 (2)如图,在xi,处的极大值比在x。处的极小值小。 由上表可知当x=2时,极大值/f(2)-2+6ln2,当x=3时, (2)由题意知/(1)-+mm1→0. 极小值/f(3)=2+6ln3. ①当mso时v/(s)--1<o.所以/(x)在(0.+)上单 3 (3)如y=x”在x=0处,导数为0,但不是极值点。 无 ②当>o时,令/'(x)-m-1-0,得x-,当xe 调递减,没有极值. (4)如图知正确. (8)时:{()<:当x(,),()0.所以 /n #)_()调_(_)。 故儿(x)在★-#处取得极小值/()-1n--m. 2.A 由题意知只有在x=-1处/”(-1)=0,且其两侧导数符号 为左负右正 /m 3.B 因为/'(x)--1-1-*,当xe(0.1)时f(t)>0;当。 无极大慎。 综上,当mo时.f(x)无极值;当m>0时,f(x)的极小值为 =(1.e]时/”(x)<0,所以当x=1时/(x)取得最大值ln1-1 =-1.故选B. 4.A 求导函数,分析导函数的符号,得出原函数的单调性和极 过角度3 值,由已知建立不等式,求解即可./(s)-1-lnx-”,令/'(s) 例:A由函数fx)=(x二a)e在区间(2.3)内没有极值点,可得 /'(x)>0或/(x)0在区间(2.3)内恒成立,进而可得实数a -.即1-lnx-a=0.解得x=e*,且0<x<e'"f”(x)0;x 的取值范围.f(x)=(x-a)e’..f(x)=(x+1-a)e’,函 e,f'(x)<0..f(x)在(0.e)上单调递增,在(e* 数/(x)=(x-a)e在区间(2,3)内没有极值点,-.x+1-a>0 +×)上单调减,:./(x)有极大值/(e*)-lnea 或x+1-a<0在区间(2,3)内恒成立,即ax41或ax+1 。。 在区间(2.3)内恒成立.a53或a4.故实数a的取值范围 .“!.e<e'e?-1<ao,故选A. 是(-,3]U[4.+),故选A. 5.A 由题意可得/(x)=e'[x+(a+2)x+a-1]x=-2 变式训练 是函数/(x)=(x+ax-1)e'的极值点,/”(-2)=0.a= 1.C 根据函数单调性与导数之间的关系及极值的定义结合图象 -1.f(x)=(x-x-1)e(x)=e'*(+x-2)=e(x 即可得出答案,根据函数v=f(x)的导函数f'(x)的图象可得 -1)(x+2)x=(-*.-2).(1.+x)时f(x)>0f(x)单 当x<-1,3<x<5时f'(x)<0.故函数f(x)在(-x,-1)和 调递增;x=(-2.1)时f'(x)<0/(x)单调递减。./(x)= (3.5)上递减,当-1x<3,x>5时/”(x)0.故函数/f(x)在 /(1)=-1.故选A. (-1.3)和(5.+×)上递增,所以函数/(x)在x=-1和x=5 处取得极小值,在x=3处取得极大值,故A.B、D错误,C正确. 6.B 由题意知J(1)=aln1+b=b=-2.求导得/'(x)-- 故选C 2.B 因为/(x)=2f'(1)lnx-1.所以/(x)=2/(1)-1.令) =1得/(1)-2/(1)-1.所以'(1)=1.则/”(x)-2-1.所 以函数/(x)在(0.2)上单调递增,在(2.+x)上单调递减,则 考点突破·互动探究 考点! f(x)的极大值为/(2)=2ln2-2.故选B. 3.B ③:(1)=lnx)-ax(:0). 角度! 例1:BC 由题图知,当xe(-×,-2)时,g(x)>0..f'(x)<0. 当xE(-2.0)时,g(x)<0..f'(x)>0. -459-