练案(15)3.1 导数的概念及运算-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

5.某商家推行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查，6.方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号 得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间 召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创 x(单位：天)的数据如下： 业，自主研发生产A产品.经过市场调研，生产A产品 上市时间x天 10 36 需投入固定成本1万元，每生产x(单位：万元)，需再 投人流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万 市场价y元 90 51 90 件时，C(x)=4+6x-8,当年产量不小于9万件时. (1)根据上表数据，为描述亲子款十二生肖纪念章的 市场价y与上市时间x的变化关系，从下列函数 C()=5x+hx+是-2.已知每件A产品的售价为5 中选取一个最佳的函数模型是 ①y=ax+b:②y=ar2+bx+c:③y=logx. 元，若方同学生产的A产品当年全部售完 (2)利用你选取的函数，求亲子款十二生背纪念章的 (1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函 市场价最低时的上市时间及最低价格： 数解析式：（注：年利润=年销售收入-固定成本 (3)设你选取的函数为y=x),若对任意实数k,方程 -流动成本) f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根，求m (2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获 的取值范围。 年利润最大？最大年利润是多少？（注：取e= 20) 练案[15] 第三章导数及其应用 第一讲 导数的概念及运算 A组基础巩固易 4.(2023·衡水中学调研卷)设a∈R,函数f(x)=e+ 一、单选题 二是偶函数，若曲线y=)的一条切线的斜率是 2 1.已知函数)=sx,则m)+∫(）=( 则切点的横坐标为 () A.a B.e C.In 2 D.1 是 C-3 D.-I 5.已知直线y=ax是曲线y=lnx的切线，则实数4= () 2.函数f(x)=x(e-1)+lnx的图象在点(1，f1))处 的切线方程是 A.2 c A.y =2ex -e-I B.y=2ex -e+l 6.函数y=f八x)的图象如图所示f'(x)是函数f(x)的导 C.y=2ex+e-I D.y=2ex +e+I 函数，则下列数值排序正确的是 () 3.函数y=f(x)的图象如图，则导函数'(x)的大致图象 为 A.2f"(2)<f4)-f2)<2f'(4) B.2'(4)<2f'(2)<f4)-f八2) C.2f'(2)<2f'(4)<f4)-f2) D.(4)-f2)<2f"(4)<2f'(2) 312- 7.(2024·宣城模拟)若曲线y=alnx+x(a>0)的切线 的倾斜角的取值范围是[号引，则a B组能力提升易 ( 1.y=lm上的导函数为 B 8.(2023·沧衡八校联盟)若直线1与曲线f(x)= Ay=-1 By'=1 、4 相切，则直线！的斜率的最大值为 C.y'=In x D.y'=In(-x) e+2 2.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象， 4.血2 那么y=八x),y=g(x)的图象可能是 () 2 B.1-m2 2 y=g'( c号 D.In 2 y=f'(x) 二、多选题 9.(2023·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是 y=f() y=fx) ( =0 (+=1+ 0支 可名左 A B B.(logax)'=xin 2 1 = =/) C.(3)'=35·loge y=fu) D.(x2cosx）'=-2 xsin x 0石本 D 10.(202·江苏准安五校联考)若直线y=2+b是函3.(2023·四川名校联考)已知函数八x)的图象如图所 数八x)图象的一条切线，则函数八x)可以是(） 示，'(x)是八x)的导函数，则下列数值排序正确的是 Ax)=1 () B.fx）=x C.f(x)=sin x D.f(x)=e" 11.已知定义在R上的奇函数f八x) 的部分图象如图所示，f'(x)是 0123 f(x)的导函数，则下列结论中正 A.0<f(2)<f'(3)<f(3)-f2) 确的是 ( B.0<f'(3)<f"(2)<f3)-f八2) A.f2)=-1 C.0<f'(3)<f3)-f八2)<f'(2) B.f1)·f2)>4 D.0<f3)-f2)<f'(2)<f'(3) C.f'(1)·f'(2)<0 D.方程”(x)=0无解 4.已知曲线C:y=xe过点A(a,0)的切线有且仅有两 12.(2022·新高考8省联考)已知函数f(x)=xn(1+ 条，则实数a的取值范围是 x),则 A.(-x,-4)U(0,+) ( A.f八x)在(0，+)上单调递增 B.(0,+x) B.八x)有两个零点 C.(-0,-1)U(1,+) D.(-x,-1) C曲线y=(x)在点(-2(-)》处的切线的斜5.（多选题）若两曲线y=2-1与y=血r-1存在公切 率为-1-n2 线，则正实数a的取值可能是 () D.f八x)是偶函数 A.1.2 B.4 C.5.6 D.2e 三、填空题 6.(2024·山东潍坊模拟)阅读材料： 13.(1)已知函数f(x)=eln,f'(x)为f八x)的导函数， 求函数y=e的导函数. 则(1)的值为 解：因为y=e,所以x=ny,所以x'=(lny)',所以 (2)若fx)=in'x-cos'x则y'= 1=·y,所以y=y=e. 14.(2020·课标1)曲线y=nx+x+1的一条切线的 y 斜率为2，则该切线的方程为」 15.若曲线y=lnx在点P(e,1)处的切线与曲线y=e 借助上述思路，曲线y=(2x-1)xe(分+在 相切，则a= 点(1,1)处的切线方程为 () 16.(2022·聊城二模)请你举出与函数f(x)=e-1在 A.y=4x-3 B.y=4x+3 (0,0)处具有相同切线的一个函数： C.y=2x-3 D.y=2x+3 -313-),即y=·x+n与+1②，由题意知，①与②相同，所以8C由)=- 4 e+2 →6=e3. e"=I 4e3 可得'(x) 4 把3代人④有-x,1+e1=-x1+ (e+2)2 *4 L-x,e+e=lnx2+1④， 1,即(1-x)(e-1)=0,解得=1或x1=0,当=1时，切 线方程为y=ex:当x,=0时，切线方程y■x+1,综上，直线1的 因为e+子+4>2手+4=8，当且仅当e=手.即心 e 方程为y=ex或y=x+1, 2.由公切线求参数 2,x=n2时等号成立，所以0<∫'(x)≤子，所以直线1的斜率 变式训练 (-1-n2,+x)设(x,y)是公切线和曲线y=1nx的切 的最大值为号 点，则切线斜率=（山，=切线方程为y-加=9A0D因为(+）=1一是，所以选项A不正确：因为 上(x-),整理得y=·x+n-1.设(2)是公切线和 (%)=2所以选项B正确：因为(3y=33,所以选项 曲线y=x2+2x+(x<0)的切点，则切线斜率k=(x2+2x+ C不正确：因为(x2wx)'=2 rcos x-x2sinx,所以选项D不正 a）1-g=2x2+2,切线方程为y-(号+2x,+a)=(2x+2)(x 确.故选ACD. -).整理得y=(2+2)x-后+，其中5<0.令=2+10CD直线y=宁+6的斜率k=弓八)=士的导数为 1 2,血-1=-号+“，则=2+2，代人第二个方程得a= 了国)：一子，即切线的斜率小于0，敌入不正确)=的 -1n(2x1+2)+x-1.又x>0,则-1<x2<0.设f(x）= 导数为r()=,令4=子解得x=子故B正确认)= -(2x+2)+-1,-1<x<0,则f'()=2xx+<0,即 x)在(-1,0)上单调通减又0)=-l血2-1=血2元，当一 inx的导数为'(x)=msx,而msx=子有解，故C正确： )=e的导数为f'"(国=，令心=子，解得x=-ln2,故D -1时)一+，所以f代)e(血元，+）故a的取值范 正确.故选BCD). 周是(-1-ln2,+ 11,BC结合函数图象及奇函数性质分别判断各选项即可.由图 练案[15] 可知八-1)=2八-2)>2，又函数八x)是奇函数，∴八1) =-2f2)<-2,.f(1)·f2)>4,∴.B对：由f(x)是奇函 A组基础巩固 数，结合图象可知r(1)<0∫'(2)>0"(1)·f'(2)<0, 1c水))(）名) C对：由图象可知f八2)=-f八-2)<-2，/'(x)=0有解. ∴.A、D错误.故选C +(）=故选C 12.ACf代x)=xm(x+1),所以当x>0时，f"(x)=ln(x+1)+ 2.A由函数f八x)=x(e-1)+nx知fI)=e-1,f(x)=-1 x中>0，所以)在(0，+)上单调递增，所以A正确： +e+上，所以切线的斜率k=了(1)=2#，在点(1(1)处的 令xn(x+1》=0,所以x=0或n(x+1)=0,所以x=0,故 f八x)只有1个零点0.所以B不正确： 切线方程是y-(e-1)=2e(x-1),化简得y=2ex-e-1,故 选A. f（)=h(+)+,所以f(-)=h支-1= 3.B由导数的几何意义可知，f"(x)为常数，且f"(x)<0. -1-ln2所以C正确： 4.C由f代x)为偶函数，易得a=1. 定义域不关于原点对称，所以(x)不是偶函数.所以D不正 f代x)=3+#,f'(x)=-e 确.故选AC 设切点为.则了"()=”-e=号解得=n2 13.(1)e(2)2sin2x(1）,fx)=e'lnx, 5.C设切点坐标为(，hx),由y=血x的导函数为y=↓知 f)=e(+》 ∴.f(1)=e×(ln1+1)=e 切线方程为y一na= (x一)，即y=三+n-1.由题意 (2)'.y sin'x cos'sin'x cos'x).sin'x cos'x ) -e0s2x,∴.y'=(-c0s2x)'=-(-sin2x）·(2x)'=2sin2x 1 可知n 14.y=2x设该切线的切点坐标为(x%),由y=lnx+x+1得 解得a=。 (In xp-1 =0, +1.则在该切点处的切线斜率：=+1，即上+1=2。 6.A先由八x)的图象，确定f尺x)的单调性，再根据图象斜率的变 解得=1，.%=n1+1+1=2,即切点坐标为(1,2).该 化情况，判断'(x)的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断 切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x 即可得到答案.由函数八x)的图象可知，当x≥0时，八x)单调递 增，所以f(2)>0f(4)>04)-f尺2)>0，由此可知(x)在 上，所以曲线y= 5e2因为y=lnx,所以y=,则y1,= (0,+)上面大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以”(x)单 周递增，所以f'(2)<f(4),则2f'(2)<2f(4),因为'(2)< h在点P(e,）处的切线方程为了=设y=与y=心 4)-2<f(4),所以2'(2)<4)-f2)<2'(4).故 [ae"o 4-2 相切于点(，em),因为(e")'=ae",所以 选A. 1 eo. 7.B因为y=amx+x2(a>0),所以y=4+2x≥22a,因为 则ae0=。 一，0= ,可得=e2,从而a=e2, 曲线的切线的倾斜角的取值范围是[行.》所以斜率k≥5.16.y=+2(或y=由2x或y=20-2》函数)=产1的 3 因为5=22a,所以a= 导数为f(x)=2e,可得在(0,0)处的切线的斜率为2，切线的 方程为y=2x.可取y=x+2x,其导数为y'=2x+2,满足在(0， -453- 0)处的切线的斜率为2：y=sin2x,其导数为y'=2cs2x,满足 (2)因为y=八x)若为常数函数.则一定有”(x）=0满足条件： 在(0,0)处的切线的斜率为2：y=2e-2,其导数为y'=2e',满 但不具备单调性 足在(0,0)处的切线的斜率为2 (3)'(x)=0在(a,b)内有限个不影响y=f(x)的单调性，故 B组能力提升 正确， 1.Ay=n上=-lnx,3y=- (4)如果函数八x)在某个区问内恒有'(x)=0.则此函数八x) 在这个区间内为常数函数，则函数(x)在这个区可内没有单 2.D由y='(x)的图象知，y=(x)在(0，+x)上单调递减，说 调性 明函数y=(x)的切线的斜率在(0，+%)上也单调递减，故可 排除A,C又由图象知y=∫(x)与y=g'(x)的图象在x=处 定义域为(0,1)U(1,+x),因此它的减区间为(0， (5)y=Inx 相交，说明y=八x)与y=g(x)的图象在x=x。处的切线的斜率 1)和(1，+). 相同.故可排除B. 2.C在区间(4,5)上"(x)>0恒成立， 3.C设r(3)3)-2)3〉=2了(2)分别表示直线n, ,,八x)在区间(4,5)上单调递增，故选C 3-2 m,1的斜率，数形结合知0<'(3)<f(3)-2)<f'(2),故 3.B求导得厂(x)(2-h2·1,令)>0，即可得出答案， 2 选C f(x）-2红2"，2h2_2-h2父.2-h20,令 (2) 2 re)>0,得{6h20.或{6n2<0.邮得0<x< 2ge或无解.故选B. 0123 4.D(x)=1-csx,当xe(0,r]时广(x)>0,所以f八x)在(0. 4.A对函数y=xe求导得y=e+x·e=(1+x)·e.设切点 T]上是增函数，所以f八r）>八3)>八2).故选D. 坐标为(n),则曲线y=xe'过点A(a.0)的切线的斜率5，C“f八x)在(1,2)内单测递增∫(x)≥0在(1,2)内恒成立， =1+e-云化简得无-西-。=0依题在知.上述关 即fs)=ae-≥01<x<2)a≥1<x<2) 于的二次方程有两个不相等的实数根.所以4=(-)2-4 令g(x)=e'(1<x<2),则g'(x)=(x+1)e>0 ×1×(-a)>0.解得a<-4或a>0. ∴g(x)在(1,2)内单周递增，g(x)e(e,22), 5.AB即D设公切线与两曲线的切点，利用导数求得过切点的切线 方程，再由斜率相等、直线在y轴上的截距相等列式，可得= 小亡位)≥。即的最小值为片.故陆C e -4x(n2-1),令g(x)=-4x(nx-1)(x>0),再由导数求 最值得答案.切线与两曲线y=x-1与y=nx-1的切点分 6C设)=h(1+)->-1).因为(e)=十：-1= 别为A(出)，B(为).由y=x2-1,得y=2x,由y=lnx- -1本当xe(-1,0)时(m)>0,当e(0,+)时r()< 1,得y=只则两切线方程分别为y-(-1)=2x,(x-)与 0.所以函数(x)=ln(1+x)-x在(0。+)上单调递减.在 y-(h-1)=(r-).化简得y=2*-1-y= (-1,0)上单调递增，所以/（句）<0）=0，所以h9-号 9-9 +l血与-4-L,又两条切线为同一条，可得 0放>h9-ha9.即6>c,所以-)<0)=0，所 2号 得a=-4x(ln-1),令g(x)=-4r(nx Laln x:-a=, 以h品+<0，故品<e点，所以<g故a<设倒 -1)(x>0),得g'(x)=4x(1-2nx),当x∈(0，ve)时，g'(x) =知+n(1-x)(0<x<1),则g()=(x+1)e+x-= >0,8(x)单周递增，当xe(E,+x)时，g(x)<0,g(x)单调 递减，.g(x)m=g(e)=2,.a6(0,2e].结合选项可得，正 (-1）e+1令h)=e(x2-1)+1,k(x)=e(+2x- x-1 实数a的取值可能是ABD.故选ABD. 1),当0<x<2-1时，h'(x)<0,函数h(x)=e'(x2-1)+1单 6.A解法一：因为y=(2x-1),所以ny=(x+1)n(2x-1) 调递减，当2-1<x<1时，'(x)>0.函数h(x)=e(x2-1)+ 所以上 ·y=n(21)+2,所以= 1单调递增，又h(0)=0,所以当0<x<w2-1时，h(x)<0,所 [(2-2公经2-)，当=1时=4，所以 以当0<x<2-1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe+血(1-x)单 调递增，所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e>-n0.9,所以a> /1 线)=(2x-1)“xe(2,+)在点(1.1)处的切线方程为) c,故选C -1=4(x-1).即y=4x-3. 考点突破·互动探究 解法二：观察过点(1,1)的切线只有A选项，所以选A 考点 考向1 第二讲导数在研究函数中的应用 例：[解析](1)定义域为xx≠0了(x)=8x- 第一课时导数与函数的单调性 令)>0，得8x->0,甲2>g 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点 1.可导> 令f()<0,得x<分且x0 2.定义城><(x)>0(x)<0 双基自测 八)的单调造增区同为（分，+） 1.(1)×(2)×(3)V(4)V(5)× [解析](1)有可能f(x)=0,如f八x)=x3,它在(-，+) 单调递减区同为(-0,0).(0， 上为增函数，但f(x)=x≥0 (2)定义城为(0,1)U(1,+∞) -454-