练案(14)2.9 函数模型及其应用-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

的B组能力提升身 3.已知函数f(x)=x-x(x>0),g(x)=x+e,h(x)= x+nx(x>0)的零点分别为x1,2,,则() 1.(2024·济宁模拟)已知函数f(x)= 「2+2x,x≤若 A.x1<2< B.x2<1< x-1,x>a, C.x <x<x D.x3<x1< f八x)有3个零点，则实数a的取值范围是 ( )4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)= A.al0≤a<1 B.al-1≤a<0 -f八x),且在区间[0,2]上单调递增，若方程f(x)=m C.{al-1≤a<1 D.ala<l (m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,, 2.函数f(x)=lgx21+x2-2x的零点的个数为 x,则无1+名2+x+4= ）5.(2022·厦门模拟)已知函数f(x)= x+1,x≤0·则函 A.2 B.3 C.4 D.6 [logx,x>0. 数y=几八x)]的所有零点之和为 练案[14] 第九讲 函数模型及其应用 A组基础巩固身 +新灰度值 ·新灰度值 255 255 一、单选题 1.如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法 中，正确的有 :帜灰度值 原灰度值 255 0 255 C D 120 生活齿收人指数 115 3.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深 110 105 1 生活费价格指数 化河道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河 道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为k立方米. 已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单 21192202421222 位：天)的河水污染质量指数m(:)(每立方米河水所 (1)这几年人民生活水平逐年得到提高： (2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年： 含的污染物)满足m()= 若+(，小e(m为初 (3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年： (4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生 始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进 活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改 出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源，要使河水 善. 的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是 A.1项 B.2项 C.3项 D.4项 2.（2024·武汉模拟)在用 (参考数据：ln10≈2.30) () 计算机处理灰度图象 A.1个月 B.3个月 (即俗称的黑白照片) C.半年 D.1年 时，将灰度分为256个 4.(2023·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油 等级，最暗的黑色用0 处现前 处后 表示，最亮的白色用255 效宰”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情 间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予 况.下列叙述中正确的是 () 一个“灰度值”，在处理有些较黑的图象时，为了增强 ↑燃油效率kmL) 较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进 行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所 示的效果： 则下列可以实现该功能的一种函数图象是 甲车 1新灰：位 新灰皮侦 255 255 44 o内车 原灰度偵 原灰度传 255 255 B 速度(kmh》 309 A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 则下列结论中正确的有 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 A.调整后房地产业的利润有所下降 油最多 B.调整后医疗器械的利润增长量最大 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升 C.调整后生物制药的利润增长率最高 汽油 D.调整后金融产业的利润占比最低 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件 8.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整 下，在该市用丙车比用乙车更省油 理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑 5.(2022·全国高三专题练习)2019年1月1日起我国 步的平均里程（单位：千米）的数据.绘制了下面的折 实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包 线图. 括：(1)个税起征点为5000元：(2)每月应纳税所得 月跑北平均里程/T米 额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除： (3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育 20 费用，③继续教有费用，④大病医疗费用等，其中前两 10 项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元， ②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个 0123456789101112月份 税政策的税率表部分内容如下： 根据折线图，下列结论正确的是 级数 一级 二级 三级 A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里 程数 每月应纳税所 3000<s 12000<x x≤3000 B.月跑步平均里程逐月增加 得颜x元（含税》 ≤12000 ≤25000 C.月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月 税率 10 20 D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月， 现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高 波动性更小，变化比较平稳 三，需赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他 9.(2023·济南质检)甲，乙、丙、丁四个物体同时从某一 该月应交纳的个税金额为 点出发向同一方向运动，它们的路程∫(x)(i=1,2,3, A.1800元 B.1000元 4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为(x)=2 C.790元 D.560元 -1(x)=x2,方(x）=x,f(x）=lg(x+1),则下列 6.成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是 结论正确的是 “一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的 A.当x>1时，甲走在最前面 重要通道.线路并行于既有成昆铁路，全长约860公 B.当x>1时，乙走在最前面 里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行. C.当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最 西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而 后面 且噪声更小，我们用声强/（单位：W/m2)表示声音在 D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级乙 三、填空题 (单位：B)与声强I的函数关系式为：L= 10.(2022·北京一模)调查显示，垃圾分类投放可以带 10(10品若提速前列车的声强级是10mB,提速 来约0.34元/kg的经济效益.为激励居民垃圾分类， 某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放 后列车的声强级是50dB,则普通列车的声强是高速 1kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量 列车声强的 不低于100kg,则额外奖励x分(x为正整数).月底 A.10°倍 B.10°倍 积分会按照0.1元/分进行自动兑换 C.10倍 D.103倍 (1)当x=10时，若某家庭某月产生120kg生活垃 二、多选题 圾，该家庭该月积分卡能兑换 元： 7.某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进 (2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不 行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不 超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 断增长，今年总利润比三年前增加一倍.调整前后的 的最大值为 各产业利润与总利润的占比如图所示： 11.一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效， 医疗器械 而低于500mg病人就有危险.现给某病人注射了这 金产业 2 种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比 房地产业 25 0 医疗器械 例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在 25 起经过 小时向病人的血液补充这种药，才 :物5 房地产业 生物刷药 金融产业 能保持疗效.（附：lg2=0.3010,1g3=0.4771,结果 调整通 湖感后 精确到0.1h) 310 四、解答题 12.兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州（途经 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中氵叫做信噪 站点如图所示)，这条“客货共用”铁路是开发沿线资 比若不改变带宽黑而将信噪比氵从9提升至161。 源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通 则最大信息传递率C会提升到原来的 () 往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协 参考数据：log3=1.58,log5=2.32. 作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史 A.2.4倍 B.2.3倍 日前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运 C.2.2倍 D.2.1倍 营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线2.(2023·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系 通车，预期该路线通车后，列车的发车时间间隔（单 数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公 位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客 量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时列车为满 式为n=(x代表人均食品支出总额，y代表人均个 y 载状态，载客量为720人：当2≤1<10时，载客量会 人消费支出总额)，且y=2x+475,各种类型的家庭标 减少，减少的人数与(12-)的平方成正比，且发车时 准如表： 间间隔为3分钟时的载客量为396人.记列车载客量 家类型贫用 温饱 小康 富浴 为p(): n≥59%50%≤月<59%40%写n<50%30%≤<40% 兴泉麩路线路图： 张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%. 江西 张先生家在2019年购买食品和2018年完全相同的状 福独 长习妹 况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年 化县 兴泉达路 水安疗是 属于 、北 A.贫困 B.温饱 C.小康 D.富裕 衣衣且 颈润县备俏爱 3.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的 宋州玉 温度经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用 85℃的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y℃，且 y=k·0.9085+25(x≥0，keR).当茶水温度降至 (1)求p(t)的表达式： 55℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（结 (2)若该线路每分钟的净收益为Q(0)=2)-360 果保留整数，参考数据：1n2=0.6931,ln3=1.0986, 1n0.9085≈-0.0960)】 60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟 A.6 min B.7 min 的净收益最大，并求出最大值 C.8 min D.9 min 4.(多选题)(2024·厦门模拟)某医药研究机构开发了 一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射 该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时 间1（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据 进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微 克时，治疗该病有效，则 () 1做克) 的B组能力提升 M1,4) 1.在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾.2021年8 = 份 月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京 举办.会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tps,并 0 A小时) 启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出 A.a=3 空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望 B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平.香农公式 C=Mg1+)是被广泛公认的通信理论基础和研 C注射该药物日小时后每毫升血液中的含药量为0.4 微克 究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传 递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率$、 几注射一次治疗该病的有效时间长度为5受小时 311 5.某商家推行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查，6.方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号 得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间 召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创 x(单位：天)的数据如下： 业，自主研发生产A产品.经过市场调研，生产A产品 上市时间x天 10 36 需投入固定成本1万元，每生产x(单位：万元)，需再 投人流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万 市场价y元 90 51 90 件时，C(x)=4+6x-8,当年产量不小于9万件时. (1)根据上表数据，为描述亲子款十二生肖纪念章的 市场价y与上市时间x的变化关系，从下列函数 C()=5x+hx+是-2.已知每件A产品的售价为5 中选取一个最佳的函数模型是 ①y=ax+b:②y=ar2+bx+c:③y=logx. 元，若方同学生产的A产品当年全部售完 (2)利用你选取的函数，求亲子款十二生背纪念章的 (1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函 市场价最低时的上市时间及最低价格： 数解析式：（注：年利润=年销售收入-固定成本 (3)设你选取的函数为y=x),若对任意实数k,方程 -流动成本) f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根，求m (2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获 的取值范围。 年利润最大？最大年利润是多少？（注：取e= 20) 练案[15] 第三章导数及其应用 第一讲 导数的概念及运算 A组基础巩固易 4.(2023·衡水中学调研卷)设a∈R,函数f(x)=e+ 一、单选题 二是偶函数，若曲线y=)的一条切线的斜率是 2 1.已知函数)=sx,则m)+∫(）=( 则切点的横坐标为 () A.a B.e C.In 2 D.1 是 C-3 D.-I 5.已知直线y=ax是曲线y=lnx的切线，则实数4= () 2.函数f(x)=x(e-1)+lnx的图象在点(1，f1))处 的切线方程是 A.2 c A.y =2ex -e-I B.y=2ex -e+l 6.函数y=f八x)的图象如图所示f'(x)是函数f(x)的导 C.y=2ex+e-I D.y=2ex +e+I 函数，则下列数值排序正确的是 () 3.函数y=f(x)的图象如图，则导函数'(x)的大致图象 为 A.2f"(2)<f4)-f2)<2f'(4) B.2'(4)<2f'(2)<f4)-f八2) C.2f'(2)<2f'(4)<f4)-f2) D.(4)-f2)<2f"(4)<2f'(2) 312-解10故选B 名师讲坛·素养提升 变式练 [解析] (1)由题意得当0<x<40时,S(x)=500x-(10}4 7.BCD 利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势,对四个选 $0 0)-3000=-10+400-3000. 项逐一分析判断即可.假设调整前总利润为100,那么调整后总 当x=40时, 5(x)-500-(501 10004.500)-3000 利润为200,对于A.调整前房地产业利润占45%,利润为45,调 整后利润占比25%,利润为50.应该是有所上升的,故选项A错 1500-10000 误;对于B,调整前医疗器械利润为20,调整后利润为80,房地 产业调整前利润为45,调整后利润为50,金融调整前利润为 (-10*+400r-3000.0<x<40. 25.调整后利润为20.生物制药调整前利润为10.调整后利润为 所以s(x)= 50.故选项B正确;对于C.医疗器械利润增长率为300%.生物 150010000 1,40. 制药利润增长率为400%,故选项C正确;对于D.由扇形图可 (2)由(1)得当0<x<40时,S(x)=-10r}+400x-3000. 知,金融产业利润占比为10%,所以调整后金融产业的利润占 当x=20时,$(x)=1000. 比最低,故选项D正确.故选BCD. 8.CD 由折线图知,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平 均里程数,A错误;月跑步平均里程不是逐月增加的,B错误:月 x10000_2 x100002001x1000即×= 跑步平均里程高峰期大致在9月和10月,C正确;1月至5月的 月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平 1 100时等号成立。 稳,D正确. .$(t)<1500-200=1300..x=100时.$(x)=1300 9.CD 甲.乙、丙、丁的路程/(x)(i=1.2.3.4)关于时间x(x→0) :1300>1000. 的函数关系式分别为f(x)=2-1(x)=xf(x)=xf(x) .x=100时,郎2020年产量为100百辆时,全业所获利润最大, =log(x41),它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二 且最大利润为1300万元. 次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型. 当x=2时/f(2)=3Jf(2)=4,所以A不正确; 练案[14] 当x=5时.f(5)=31.6(5)=25.所以B不i正确; A组基础巩固 根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后 1.C 慢,又当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等,从而 2.A 根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则 可知,当0<x<1时,工走在最前面,当x>1时,丁走在最后面; 可知,相对于原图的灰度值,处理后的图象上每个像素的灰度 所以C正确: 值增加,所以图象在y=x上方,结合选项只有A选项能够较好 指数型函数的增长速度是先慢后快,当运动的时间足够长时 的达到目的. 最前而的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体,即一定 3.C 由题可知,m(1)=m。 0. 1m.). o=0. 1.-80= 是甲物体,所以D正确. 10.(1)13(2)36(1)若某家庭某月产生120kg生活垃圾,则 ln0.1--2.30.).1~184(天). 该家庭月底的积分为120+10=130(分). ·.要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约 故该家庭该月积分卡能兑换130x0.1=13(元) 是半年,故选C (2)设每个家庭每月产生的垃圾为!.每个家庭月底积分卡 4.D 对于A.由图象可知当速度大于40km/h时,乙车的燃油效 能兑换的金额为/)元。 率大于5km/L. 当01<100时/f1)=0.11<0.34t·0.4=0.136恒成立 .当速度大于40km/h时,消耗1升汽油.乙车的行驶距离大干 当1100时/t)=0.1140.1x%0.34t·0.4 5km.故A错误: 可得x(0.36)=36. 对于B,由图象可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当 故:的最大值为36. 速度相同时,消耗1升汽油,甲车的行驶路程最远 11.2.3 设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这 3.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少,故 种药: B错误: 则500<2500×(1-20%)<1500 对于C.由图象可知当速度为80km/h时,甲车的燃油效率为 整理可得0.2<0.850.6. l0km/L.即甲车行驶10m时.耗油1升.故行驶1小时,路程 所以log0.6<xlog0.2. 为80km.燃油为8升,故C错误; 计算得2.3x7.2. 对于D.由图象可知当速度小于80km/h时,丙车的燃油效率大 12.[解析](1)由题知,当101<20时,p(t)=720. 于乙车的燃油效率, 当2 1<10时,可设p(t)=720-k(12-t). .用丙车比用乙车更省油,故D正确,故选D 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人. 5.C 李某月应纳税所得额(含税)为:18000-5000-1000- $$(3)=720-k(12-3)-396,解得k=4. 2000=10000元. 此时p(1)=720-4t(12-)=-4+96+144,2110. 不超过3000的部分税额为3000x3%=90元. p()= 超过3000元至12000元的部分税额为(10000-3000)x10% =7000x10%=700元. [132~872251c10. 所以李某月应缴纳的个税金额为90+700=790元.故选C. (2)由(1)知:0(t)= 1080-60,10<1520. 6.B 根据函数模型,列出关系式,进而结合对数与指数的互化运 算即可求解。 1, 不妨设普通列车的声强是7.,高速列车声强是4.. 10$ 00)5000)0. 等号成立, 即1=e1o)10.,t(1o)-~5- 2110时,0()-0(3)=84. 当10<1<20上,0(t)单谓递减,则0(t)=0(10)=48 ##)-_) 综上,时间间隔为3分钟时,每分钟的净收益最大为84元。 B组能力提升 1.C 根据已知条件,列出比例式,再结合对数函数的公式,即可 7 求解.·信噪比-从9提升至161..最大信息传递率C会提升 -450- 到原来的 Wlog.(1+9) log.(2x81) 1+4log3 Wlog.(1+161) -(). log.(2×5) 1+log5 1+4x1.58-2.2.故选C 1+2.32 2.D 设2018年人均食品支出x元,则2019年人均食品支出x(1 -7.5%)=92.5%x.2019年人均消费支出2x92.5%x+475 由题意,有2x92.5%x+475+75=2x+475..x=500.此时,a [7-(4).09 92.5%x500 所以P(x)={ -2×92.5% x500+475~0.330 4-33.04%,由表知属富裕. reN'. 11_ 3.B 由题意可知. 9. 当x=0时,y=85,则85=k425,解得k=6 0$$ (2)当0<x<9时,P(tx)-7-(-+→),因为4x> 所以v=60x0.9085+25. 当y=55时,55=60x0.9085*+25. 2、4xx-4(当且仅当4-x,即x-2时取等号).所以P(x) 即0.908 5*-0.5. -7-(4)<3. 即当x=2时,P(x)取得最大值为P(2)=3(万元). 所以茶水泡制时间大约为7min. r4t0t<1. 4.AD 由函数图象可知y= 一()”,:. .当9<x<e时,P(x)>0.P(x)单调递增。 当x>e时,P(x)<0.P(x)单调递减. 当:-1时,v-4. $.当x=e*时,P(x)取得最大值为P(e)=11-ln -1=7(万 即() =4,解得a=3. 元). .7>3. 14:0i<1. 一()故A正确; .当x=e-20时,P(x)的最大值为7万元。 y= 心.当年产量约为20万件时,方同学的A产品所获得的年利润最 大,最大年利润为7万元。 药物刚好起效的时间,当4r-0.125,即1- 第三章 导数及其应用 药物刚好失效的时间()”-0.125.。 第一讲 导数的概念及运算 解得t=6. 知识梳理·双基自测 知识梳理 注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时, 知识点一 故B错误,D正确; 2.瞬时变化率 n()( △t _# 3.0 n-ìcos x-sinx lna e 克),故C错误 xn 5.(1)② 4.f'(x)+g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) f(x)g(x)-f(x)g(x)(g(x)-0) Cf(x) [解析](1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增 大,而模型①③均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数模 [g(x)]2 型②. 5.y.'=y.'.“.' ,16a+4+c=90. 知识点二 100+10+c=51. (2)由表中数据可知 #4,3 y-y=/(x)(x-x) 双基自测 1.(1)x (2) (3)x (4)x (5)x (6)x [a- [解析](1)曲线y=/(x)在点P(x,y)处的线,点P在 解得10. 线上,而过点P(xt,%)的切线,点P可以在曲线外。 L=126. (2)如图所示,切线可以与曲线有多个公共点。 .函数模型为y-1-10x+126- -4(x-20)*+26. 5.当市场价最低时的上市时间为20天,最低价格为26元 (3):/(x)=-10x+126=lrx+2m+120, (3)如图所示,直线与曲线只有一个公共点,但不是切线. .1-(10+h)x+6-2a-0但有两个相异实数根, .A=(10+k)-(6-2m)>0恒成立, 即-2n<+20+94. ·+20 +94=(+10)-6=-6$$ .-2m<-6..m>3. (4)(gn哥)-(),-0. 故m的取值范图是(3.+x). 6.[解析](1)因为产品售价为5元,则x万件产品销售收入为 (5)(2)'=2ln2. 5x万元. 依据题意得,当0<x<9时,P(x)-5x-(-+6x-8)-1-7{ 诚不同. -451-