练案(13)2.8 函数与方程-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

练案[13] 第八讲 函数与方程 的A组基础巩固易 8.已知八x)=1x2-1I,关于x的方程[八x)]2-(x)+k =0,则下列四个命题是假命题的为 一、单选题 A.存在实数k,使得方程恰有3个不同的实数解 1.若函数f(x)的图象是连续不断的，且f0)>0八1)· B.存在实数k,使得方程恰有4个不同的实数解 C.存在实数k,使得方程恰有5个不同的实数解 八2)·八4)<0，则下列命题正确的是 ( D.存在实数k,使得方程恰有8个不同的实数解 A.函数x)在区间(0,1)内有零点 二、多选题 B.函数f八x)在区间(1,2)内有零点 9.下列函数中，在(-1,1)内有零点且单调递减的是 C.函数f八x)在区间(0,2)内有零点 D.函数八x)在区间(0,4)内有零点 A.y=log号(x+1) B.y=2-1 2.方程lnx=4-2的解所在的区间为 cy=2-号 D.y=-x A(0,1) B.(1,2) 10.下列图象表示的函数中有两个零点的有 ( C.(2,3) D.(3,4) 2-1,x≤1， 3.已知函数f八x)= 则函数f(x)的零点 I +logt,x>1, 为 B.-2,0 c号 D.0 4.如图是函数八x)的图象，它与x轴有4个不同的公共 D 点，给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求 11.若函数f代x)=r+b的零点是2，则函数g(x)=x2 出的零点，该零点所在的区间是 -ax的零点可以是 A.0 C.-7 D.2 -2.01.923461 12.(2023·济宁模拟)已知函数(x)=(兮) A.[-2.1,-1] B.[4.1,5] 0<a<b<e,f(a)fb)f八c)<0,实数d是函数f(x)的 C.[1.9,2.3] D.[5,6.1] 一个零点.给出下列四个判斯，其中可能成立的是 5.（2019·课标全国Ⅲ)函数f八x)=2sinx-in2x在[0， A.d<a B.d>b 2知]的零点个数为 ( C.d>e D.d<c A.2 B.3 三、填空题 C.4 D.5 13.用二分法求函数f八x)=ln(x+1)+x-1在区间(0， 6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享 1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间 有“数学王子”的称号，设x∈R,用[x]表示不超过x 的次数最少为 的最大整数，y=[x]也被称为“高斯函数”，例如[2.1] 14.（2023·济南模拟)已知函数f(x)= =2,[3]-3,[-1.5]=-2,设x。为函数f(x)=logx 信20.则的点为 的零点则[1 15.(2024·江苏淮安联考)函数f(x)对一切实数x都满 A.2 B.3 C.4 D.5 足/（分+=（行-小并且方程x)=0有三个 7.已知函数f(x)= Ie=4,x≤0 (aeR),若函数f(x) 实根，则这三个实根的和为」 12x-a,x>0 16.(2024·广东阳江调研)已知函数f(x)= 在R上有两个零点，则实数a的取值范围是 ( A.(0,1] B.[1,+3) 化e,之引若关于x的方程)=片有三个不同 C.(0.1) D.(-,1] 的实根，则实数的取值范围是 -308 的B组能力提升身 3.已知函数f(x)=x-x(x>0),g(x)=x+e,h(x)= x+nx(x>0)的零点分别为x1,2,,则() 1.(2024·济宁模拟)已知函数f(x)= 「2+2x,x≤若 A.x1<2< B.x2<1< x-1,x>a, C.x <x<x D.x3<x1< f八x)有3个零点，则实数a的取值范围是 ( )4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)= A.al0≤a<1 B.al-1≤a<0 -f八x),且在区间[0,2]上单调递增，若方程f(x)=m C.{al-1≤a<1 D.ala<l (m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,, 2.函数f(x)=lgx21+x2-2x的零点的个数为 x,则无1+名2+x+4= ）5.(2022·厦门模拟)已知函数f(x)= x+1,x≤0·则函 A.2 B.3 C.4 D.6 [logx,x>0. 数y=几八x)]的所有零点之和为 练案[14] 第九讲 函数模型及其应用 A组基础巩固身 +新灰度值 ·新灰度值 255 255 一、单选题 1.如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法 中，正确的有 :帜灰度值 原灰度值 255 0 255 C D 120 生活齿收人指数 115 3.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深 110 105 1 生活费价格指数 化河道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河 道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为k立方米. 已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单 21192202421222 位：天)的河水污染质量指数m(:)(每立方米河水所 (1)这几年人民生活水平逐年得到提高： (2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年： 含的污染物)满足m()= 若+(，小e(m为初 (3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年： (4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生 始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进 活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改 出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源，要使河水 善. 的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是 A.1项 B.2项 C.3项 D.4项 2.（2024·武汉模拟)在用 (参考数据：ln10≈2.30) () 计算机处理灰度图象 A.1个月 B.3个月 (即俗称的黑白照片) C.半年 D.1年 时，将灰度分为256个 4.(2023·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油 等级，最暗的黑色用0 处现前 处后 表示，最亮的白色用255 效宰”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情 间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予 况.下列叙述中正确的是 () 一个“灰度值”，在处理有些较黑的图象时，为了增强 ↑燃油效率kmL) 较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进 行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所 示的效果： 则下列可以实现该功能的一种函数图象是 甲车 1新灰：位 新灰皮侦 255 255 44 o内车 原灰度偵 原灰度传 255 255 B 速度(kmh》 309变式训练 二、函数零点的综合问题 1.B 解法-:f-1)=3--1=- 变式训练 A 解法一;显然x三0时,-2x=a,有一根不妨记为x,则&= (-1.0).又()-lng3+3--2.g(1)-1.66 -(=0),当x>0时-+x=a即-x+a=0有两个不 (.1).显然e=0.v.a<e<),故选B. 等正根,不妨记为x,x,则A=1-4a>0,即a<,从而-a^e (-6-)且-,-(-0)故选A. 解法二:作出y=f(x)及y=a的图象,显 然0<a士,不妨设<x<&,显然x: <0.x0x>0xxx<0排除C、- 解法二:数形结合法,在同一坐标系中分别作出y=3y=logx D;又当趋近x。时,t趋近士,x趋 y=-x的图象,结合图象及c=0可知a<c<b.故选B. 近一,故x,g-趋近-故选A. 解法三:由概念知b>0.a<0.c=0..最大,选B. 2.C 本题是已知零点个数求参数范围.函数 g(x)=/(x)+x+a存在2个零点,即关于 练案[13] x的方程/(x)=-x-a有2个不同的实根. 即函数y=/(x)的图象与直线y=-x-a A组基础巩固 有2个交点,作出函数/(x)的图象,并平移 1.D 因为f(1)·f(2)·f(4)<0,所以/(1)f(2)f(4)中至少有 直线y=-x.如图所示,由图可知,当且仅 一个小于0. 当-asl.即a-1时,函数y=f(x)的图 若/(1)<0,则在(0,1)内有零点,在(0.4)内必有零点; 象与直线y=-x-a有2个交点,故选C. 若/(2)0.则在(0.2)内有零点,在(0.4)内必有零点; 考点2 若/(4)<0,则在(0.4)内有零点.故选D. 2.B 通过构造函数法,结合函数的单调性以及零点存在性定理 例1:(0.0.5)f(0.25)因为/(0)<0.f(0.5)>0.由二分法原 求得正确答案.由lnx=4-2*得2+lnx-4=0,设/(x)=2+ lnx-4,则f(x)在(0.+x)上单调递增Jf(1)=-2<0./(2)= /(0.25). ln2>0,所以f(x)的唯一零点在区间(1,2),即方程lnx=4-2 例2:(2) 的解所在的区间为(1.2).故选B. 3.D 当x1时,令/f(x)=2-1=0.解得x=0; 当x>1时,令f(x)=1+logx=0. 解得。 为(2). 又因为x>1.所以此时方程无解 例3:7设至少需要计算a次,由题意知1-5-1.4<0.001.即2^{ 综上,函数/(x)的零点只有0 4.C 结合图象可得A、B、D选项每个区间的两个端点函数值异 2 号,可以用二分法求出零点,故选C. 100.由2=64.2-128.知n=7. 5. B 函数f(x)=2sinx-sin2x,在[0.2*]的零点个数即2sinx- 名师讲坛·素养提升 sin2x=0在区间[0.2n]的根的个数. 一、嵌涵数的零点问题 令h(x)=2sinx,g(x)=sin2x. 变式训练 画出两函数在区间[0.2π]的图象(图略).可知h(x)=2sinx和 1.A y=//(x)]-1=0.即//f(x)]=1. g(x)=sin2x在区间[0.2r]的图象的交点个数为3.故选B. 当/fx)s0时./f(x)+1=1.即/(x)=0时,此时logx=0.计算 6.A 首先判断函数的单调性,再根据零点存在性定理判断x。所 得出x=1,或者x+1=0,计算得出x=-1. 在区间,最后根据高斯函数的定义计算可得,因为y=log;x与y 当/(x)>0时,logf(x)=1.即/(x)=2时,若x+1=2.计算得 出x=1(舍去),若logx=2.计算得出x=4.综上所述,函数y /(t)]-1的图象与:轴的交点个数为3.故选A. 2.D 函数g(x)=3/fx)]-8/(x)+4=[3/(x)-2][/x)-2] f(2)=lng2--3=1og.2-1<0.所以/(x)在(2.3)上存在唯 3 的零点,即方程/(x)-2和/(t)=2的根. 一零点x,即x。=(2.3),所以[xo]=2.故选A. 函数/(x)-[1gx1:o. 1--2x+3.xso的图象如图所示. 7.A 画出函数/(x)的大致图象如图所示. 因为函数/(x)在B上有两个零点,所以 f(x)在(-x,0]和(0.+x)上各有一个 y 1-_ al;当x>0时/(x)有一个零点,需-a <0.即a>0.综上,0<a1. 8.A (1)令(=f(x)=1-11(1>0).则 原方程可化为-1+k=0.作出/(x) =1-11的图象如图所示,结合图象 可知: ①当11或;-0时,方程(=1-11 由图可得方程/(x)=-和/(x)=2共有6个根, 有2个不同的实数解; ②当1-1时,方程t=1-11有3个不 即函数g(x)=3[f(x)]}-8/(x)+4有6个零点 同的实数解; -447- ③当0 1<1时,方程1=*-11有4个不同的实数解 B组能力提升 (2)作出函数y=?-1(10)的图象如图所示. 1.A 因为y=+2x有2个零点x=-2和x=0,y=x-1有1个 ①当-k>0,即k<0时,方程-k=}$ 零点x=1,所以若要使f(x)有3个零点,则0<a<1,故选A. -1有1个实数解,且4>1. $②当-k=0.即k=0时,方程-k=^$}$$$$$$ -1有2个不同的实数解,七( 1).则4=0.4.=1. 方程-k=}-:有2个不同的实数解t.,1.(4.<1.),则0<. ,(1 ④当-k--,即k-时,方程-k-?-→有1个实数解1。, 1- 2.C 函数f(x)=llg}1+x-21xl的零点个数. 即方程1lgx”1=-x2+21x1的根的个数. 当--士,即>-时,方程-k-r-:没有实数解. 考虑g(x)=llgx1,h(x)=-2+21xl. 定义在(-,0)U(0.+x)的偶函数, 综合(1)(2)可知. 当x>0时,g(x)=l2lgxl.h(x)=-x+2x.作出函数图象: 当1<0时,原方程有2个不同的实数解; 当k=0时,原方程有5个不同的实数解; 当0<k<-时,原方程有8个不同的实数解 当&-1时,原方程有4个不同的实数解; 当k>一时,原方程没有实数解. 所以B.C.D都是真命题 A为假命题.故选A. 9.AD 函数y=log1(x+1)在定义域上单调递减,且x=0时y= 两个函数一共有两个交点,即当x>0时,1lgx1=-+21xl$ 0.y--在(-1.1)上不是单调函数,y--在定义域上单 有两根, 根据对称性可得:当x<0时llgx1=-¥2+21x1有两根 调减,且x=0时y=0.对于y=2-1,当x=0(-1.1)时,y 所以llgx1=-2+21xl-共4个根。 -0且y=2-1在R上单调递增,故选AD. 即函数ffx)=1l1+x-21xl的零点的个数为4.故选C 10.CD 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点. 3.C 作出y=x与y=x(x>0).y-',y=-lnx(x>0)的图 11. AC 2a+b=0.:g(x)=-2ar-ax=0.得x-0或-.故 象,如图所示,可知选C. 选AC. 12. ABD 由y-()在(0.+c)上单调递减,y=logx在(0. +×)上单调递增,可得/(x)-()-lngx在定义域(0. +)上是减函数,当0<a<b<c时,f(a)>f(b)→f(c),因为 fa)j(b)f(e)<0/(d)=0,所以①/(a)f(b)f(e)都为负值, 则a.b.c都大于d;②f(a)>0.f(b)>0.f(c)<0.则a.b都小 于4c大于4综合①②可得d>c不可能成立; 4. -8 因为定义在B上的奇函数/(x)满足/f(x-4)=-fx),所 13.7 开区间(0.1)的长度等于1.每经过一次操作,区间长度变 以/fx-4)=-f(x)=f(-x),所以/f(x的图象关于直线x= 为原来的一半,经过a(neN.)次操作后,区间长度变为令 -2对称,又f(x-4)=-f(x),所以f(x)=-f(x+4),所以f(x -4)=f(x+4)f(x)=fx+8),所以f(x)是周期为8的周期函 数,因为奇函数/(x)在区间[0.2]上单调递增,所以/(x)在区间 [-2.2]上单调递增,在区间[-6,-2]上单调递减,画出/(x) 为7. 的可能图象如图所示.作出直线y=m(n>0).不妨设x.<x x.<x,由对称性可知x,+x=-12,x。+x.=4.所以x.+x+ x。+x=-8. 解得:=1或x=-1. ./(x)的零点为-1和1. 1_rm 因为函数/(x)的图象关于直线x=-对称,所以方程 -20x2x4 f(x)=0有三个实根时,一定有一个根是-,另外两个根的和 5.2 当xs0时x+1=0x=-1. 16.(-1.0)关于x的方程/(x)=k有三个不 同的实根,等价于函数/f(x)与函数y=k的 由/x)=-1. 图象有三个不同的交点,作出函数/(x)的图 --2或x- 可得x+1=-1或logx=-1. 象如图所示,由图可知实数&的取值范围是 (-1.0). 当x>0时.logx=0.x=1.由/fx)=1. -448- 可得x1=1或lngx=1x=0或$ =$ -4,与图不符,易知拟合最好的是②. .函数y=//(x)]的所有零点为-2.-,0.2. 将(=8代人②式,得y-寸+log,8-10(米). 考向2 第九讲 函数模型及其应用 例:D声强/与标准声强/。之比的常用对数称作声强的声强 级,记作 L=18,且。=10-”W/m”},且张飞大喝一声的响度 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点 2.递增 递增 快 慢 y轴 x轴 100(w/m). 双基自测 1.(1)×(2)x (3)(4)× [解析](1)当x=-1时,2 (-1)} =1.$10”10”10’=10-(w/m). (2)幕涵数增长速度是逐渐加快的,当变量较小时,其增长很缓 慢,题目说的大绝对,也没有任何条件限制, (3)对于在(0.+x)上的三个增函数来言,指数函数增长最快, 大喝一声,那么这群士兵的人数为10万,故选D 其次是家函数和对数函数, 变式训练 (4)当ae(0.1)时存在xo,使a*<x<logx B 由题意知X。=0.1.X.=10.令10=0.1t1.6”.得1.6= 2.D 3. D 根据x=0.50.y=-0.99.代入计算,可以排除A;根据x= 2.01.v=0.98.代入计算,可以排除B、C:将各数据代人函数y= 选B. logx.可知满足题意,故选D. 考向3 4.C 根据U形糟的结构特征即可求解.由题意,因为U形糟两侧 角度1 圆管的半径所在平面与斜坡面垂直,而斜坡面与地面夹角为 例:[解析](1)由题意知,当0<x8时, 18*.所以U形两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角为90” -18*=72*,底部的宽度为20.1-6.7x2=6.7(米),故选C. 5. ACD 对于C.由题意知20xlg -40.即l -2.所以p= 当8x14时. 过P。 Po 100p.,故C正确; [ 对于A.由题意知L>L.,所以20xle>20xl -所以p: 印y= P P #1t1# =p,故A正确; 对于B.L=20xig[50.60],所以<1g<3. (2)当0x8时,y=- 所以ps[10P.10P].即p510p=10{,故B错误; 1. 所以p.e[10'p,10p],因为100{e[10p,10*P]. 当8<x=14时,y-10*+2. 所以p100,故D正确,故选ACD 1。 $6. D 对于A选项,当T=220.P=1026.即lP=lg1026 l10 =3时,根据图象可知,二氧化碳处于固态;对于B选项,当T= $ 70. P=128,即l P=lg 128e(lg 10,lg 10 ),即lg Pe(2,3) 时,根据图象可知,二氧化碳处于液态;对于C选项,当T=300. P=9987,即lP=lg9987 lg10=4时,根据图象可知,二氧 化碳处于固态;对于D选项,当T=360.P=729.即lgP=l729 所以当精加工菜4吃时,总利涧最大,最大利润为18万元. e(lg10,l10),即lgP=lg729e(2.3)时,根据图象可知,二 角度2 氧化碳处干超临界状态,故选D. 例:C 设石片第”次“打水漂”时的速率为r. 考点突破·互动探究 则v.=100x0.90*. 考点 由100×0.90*<60,得0.90*-10.6. 考向! 则(a-1)ln 0.90<ln0.6. 例1:ABC 从图象中可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟 即a-1ln0.6-0.511 后药物发挥治疗作用,A正确;根据图象可知,首次服用该药 0.9-0. 105~4.87,则a>5.87. 物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,由图象可知, 故至少需要“打水漂”的次数为6 当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正 变式训练 确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服 过1.0 令t-4(→0),则A- ,所以D=at---( -1。)+ 药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第 一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位 4.所以当,-a,即A-时,D取得最大值. 1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生 药物中毒,D错误 过2. B 因为R。3. 28.T=6.R。1+T.所以 -3.28-1-0.38. 由散点图的走势,知模型①不合适 6 所以/(t)=e”-0*,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病 曲线过点(4.).则后三个模型的解析式分别为②--3+ 例数增加1倍需要的时间为t.天,则^*)2^,所以 lbg:,③y-,④y-{ ,当1-1时,代入④中,得,{ 选B. -449-