练案(10)2.5 指数与指数函数-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

3.(多选题)(2023·江苏镇江月考)如图,函数y=ax{}+6.已知暮函数/(x)=(m-2m+1)x”的图象过点(4. +c(a*0)的图象与x轴交于点A(-1.0),项点坐 2). 标为(1,n),与y轴的交点在(0.2)与(0.3)之间(包 (1)求/(x)的解析式; 括端点),则下列结论正确的为 ) ) (2)判断/(x)的单调性,并进行证明; (3)若f(a+1)>ff2a-3).求实数a的取值范围 A(-1.0 _ A.当x>3时,v<0 B.4a+2b+c-0 C.-1<a<- ~ D.3a+b>0 7.已知二次函数/(x)=x-2ax+3.a=R 4.已知二次函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2x+1,且 (1)若函数/(x)在(-,-2)上单调递减,求a的取 f(x.)-f(x) (1)=-1.对任意x>x>-1. 值范围; x.-1 (2)若a三1时,函数f(x)的图象恰好在函数g(x) m(x.+x)成立,则m的取值范围为 2x+b的图象上方(/(x)>g(x)且恰好能取到等 A.[-2.-1] B.[-2.-1) C.[-4,-1] 号),求实数6的值 D.[-4,-1) 5.函数f(x)满足下列性质:①定义域为B,值域为[1. +):②图象关于直线x=2对称;③对任意x,x f(x)-f(x) (一,0),且x.×x,都有 <0.请写出函 :-x2 数f(x)的一个解析式:(只要写出一个即 可)。 练案[10] 第五讲 指数与指数函数 A组基础巩固) ( 一、单选题 ) 1.(2024·衡阳-中模拟)若2-9.4=6,则4= #####。# 2.(2023·河北保定调研改编)函数y=(a-4a+4)a 6.国家速滑馆又称“冰丝带”,是 是指数函数,则a的值为 A.4 C.2 D.1 B.3 北京2022年冬奥会的标志性 3.(2023·河北冀州中学月考)设y=4*,y.=8*”,y 场馆,拥有亚洲最大的全冰面 ) 设计,但整个系统的碳排放接 则 _ ) 近于零,做到了真正的智慧场 A.y:>y>y2 B.y:>y>y 馆、绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆 C.y>y:>y D.y.>y>y 还配备了先进的污水、雨水过滤系统,已知过滤过程 4.(2022·海南中学模拟)已知函数/(x)=4+2a 中废水的污染物数量N(mg/L)与时间.的关系为N N.e'"(N。为最初污染物数量).如果前4小时消除了 (a>0且a≠1)的图象恒过点P,则点P的坐标是 20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%还需要 __ 的时间为 A.(1.6) B.(1.5) ) A.3.6小时 B.3.8小时 C.(0.5) D.(5.0) C.4小时 D.4.2小时 -302- 四、解答题 是 16.(2022·吉林汪清第六中学月考)已知函数/(x)= 。 ) r·a(k,a为常数,a>0且axl)的图象过点 A.2) B.[21 A(0.1).B(3.8). C.(-] (1)求实数k,a的值 D.[2.+) 8.设函数/f(x)=2,对于任意的x,(x.*x).下列命 性,并说明理由 题中不正确的是 ( ) A./(x.+x.)=/(x.)·f(x) B.f(x.·x)=f(x.)+f(x) C./()-f()_o xn-2 .())# 2 二、多选题 9.下列函数中值域为正实数集的是 A.v=5f B.y=() C.y-()-一1 D.y=3{* 17.已知定义在B上的奇函数f(x)=ax3+3.a为常 数。 10.(2023·山东聊城模拟)已知函数/(x)=2-2,有 (1)求a的值; ( 下列四个结论,其中正确的是 (2)用单调性定义证明/(x)在0,+)上是减函 A.f(0)=0 数; B./(x)是奇函数 (3)解不等式f(x-1)+f(2x+3)<0 C./(x)在(-,+)上单调递增 D.对任意的实数a.方程f(x)-a=0都有解 11.已知指数函数f(x)=(a}-3)a的图象过点(b.2). 则函数g(x)=a*”的图象为 ##### I 1 三、填空题 f(-3).(用“>”“<”“-”填空) B组能力提升) 13.(2023·保定模拟)函数(x)一、()-2的定义域 1.(2022·许昌四校联考)设a.b满足0<a<b<1.则下 列不等式中正确的是 ) 是 A.a”之a B.b{<* 14.(2024·日略则模拟)函数/(x)=a(0<a<1)在[1 C.a*<b” D.^<a 2]内的最大值比最小值大,则a的值为 2.已知函数f(x)=a+b(a>0.a≠1).其中a.b均为实 15.(2022·山东河泽高三二模)写出一个同时满足下列 数。若函数f(x)的图象经过点A(0.2).B(1.3).则函 数y-的值域是 两个条件的非常数函数 /(x) ) A.[0.2) ①当xx>0时Jf(x.+x)=f(x.)f(x.); B.(0.2) C.[0.1) ②/(x)为偶函数 D.(0.1) -303- 3.(多选题)关于函数f(x)=的性质,下列说法中 中6.已知定义域为R的函数f(x)=-3是奇函数. 4+2 3+n 正确的是 ( (1)求n,n的值 A.函数/(x)的定义域为R (2)用定义法证明f(x)在(-,+)上为减函数; B.函数/(x)的值域为(0.+x) (3)若对于任意teR.不等式fr*-2t)+f(2r^-k) C.方程/(x)=x有且只有一个实根 0恒成立,求的取值范围 D. 函数ffx)的图象是中心对称图形 2+1是奇函数,则使/(x)>3成立的x 4.若函数/f(x)= 2-a 的取值范围为 _~ A.(-*,-1) B.(-1.0) C.(0.1) D.(1.+x) 5.(2022·安征江名校模拟)已知函数/(x)=.1 (a>0.且a≠1)的值域为[1,+),则a的取值范围 为 f(-4)与/(1)的大小关系是 练案[11] 第六讲 对数与对数函数 A组基础巩固) 经济发展和社会进步,假设在2022年以后,我国每年 的GDP(国内生产总值)比上一年平均增加8%,那么 一、单选题 最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为(参考数 1.(2024·安徽省六安市月考)(log.125+log.25+log5)· ( 据:lg 2=0.3010.lg3=0.477 1) ) (log2+logs4+log2s8)= A.2032 ) B.2035 B.1 C.2038 A.0 D. 2 040 C.9 D.13 7.已知函数y=f(x)的图象与函数v=2的图象关于直 ( 2.函数/f(x)= lgx+lg(5-3x)的定义域是 __ 线y=x对称,g(x)为奇函数,且当x>0时,g(x)= A.[0.) f(x)-x,则g(-8)等于 B.[0.] 7 -一 A.-5 B.-6 D.[1,] C.5 C.[1.) D.6 8.已知函数f(x)=llgxl.0<a<b.且/f(a)>f(b).则 3.函数f(x)=log(-4)的单调递增区间为 ) A.(0.+x) B.(-x,0) A.ab1 B.0<ab<1 C.(2.+x) D.(-x,-2) C.ab=1 D.(a-1)(b-1)>0 4.若函数y=a(a>0,且a*1)的值域为yly=1,则二、多选题 函数v=log.1x1的图象大致是 ) 9.下列运算错误的是 ) ### A. 2log 10+log0. 25=2 C. lg2+lg50=10 D. log(o)2-)3)-(logv2)-- 5.(2022·四川成都二诊)设a=log.0.5.b=log。,0.3. c=2*,则a,b,c的大小关系是 10.函数/f(x)=log(x+2)(0<a<1)的图象过( ~ A.a<b<c B.a<c<b A.第一象限 B.第二象限 C.ca<b D.c<b<a C.第三象限 D.第四象限 6.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月 11.已知0<a<b<1,下列不等式成立的是 ( ) 16日在北京召开,这次会议是我们党带领全国人民全 A.()(3) #B. 面建设社会主义现代化国家,向第二个百年奋斗目标 进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表 C. log a>logb 大会,相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现 -304-变式训练 1.D对于A,B显然正确：对于C,0.8=1.251,显然正确：对 作九说明函数是凹函数，可知2的 2 于D,1.7>1.7°=1,0.93<09°=1，D不正确，故选D. 图象满足条件，故D正确.故选B, 2C几-等-.A正商B结误 9.ABA项中y>0.B项中y>0,C项中y≥0，D项中y≥1，只有 AB项正确.故选AB. 2 13十当x变大，3变大)变大)为增函数D错误， 10.ABDx)=2·-2,则0)=-2°=0，故A正确： 又3>0.0<3+ 2 <2.÷-1<x）<1,故C正确，选AC f八x)的定义域为R,且-x)=2-2=-f八x),所以f代x)是 奇函数，故B正确： 3.-3当m<2时.32=9”m+2,即31=3，解得m=-3: 当m>2时，9-2-=3-2-，即3m-4=3,解得m= )=士-2在R上是减两数，放C错误： 当x-,-时f代x〉→+x: (舍)，故m=-3 当x→+时x)+-笑， 名师讲坛·素养提升 即几x)的值域是(-0，+x), 变式训练 它又是R上的减函数， 【解析】设ad=t,则a产=， 因此对任意实数a八x)=?都有解，故D正确， ①当a>1时e片小y=+2-1,在[片d小上为增西数， 11.A由f代x)=(a2-3)a为指数函数，得a2-3=1,又a>0且 a≠1，所以a=2,所以fx)=2,则爪6)=2=2，解得b=1,此 当1=a时，取得最大值，a+2a-1. ,x2-1, 所以a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍)： 时g(x)=2 ,x<-1, 函数g(x)的图象可以看 ②当0<a<1时4e[a,y=r+2-l,在a,]上为增 2 2",x≥0， 函数， 作由函数y (2)<0 的图象向左平移1个单位长度得 到结合指数函数的图象及选项可知A正确， 1 12.<利用得定系数法求出函数f(x)的解析式，再利用函数 八x)的单湖性即可比较大小.设f(x)=a'(a>0,且a≠I), 综上所述，4=3或了 1 得=4号=4，解得a=分)=（广，在R上单 练案[10] 调递减，-2>-3，f-2)<八-3). A组基础巩固 3.(-.-1] 若使函数(x)=√（ -2的解析式有意义， 1.C2=9,2=6,则4=20= 自变量：须满足：（分） -2≥0 2.B由指数函数的定义知a2-4a+4=1且a≠1，解得a=3,故 解得xe(-,-1门， 选B. 3.D=214,为=2“，为=25，：y=2”在定义域内为增函数 -2的定义域为(-，-1]. .y1>y>2 4.A当x=1时，f代1)=6，与a无关，所以函数代x)=4+2a-'的 4.2 因为0<a<1,所以函数f代x)=a在[1,2]内是减函数 图象恒过点P(1,6),故选A 因为函数八x)=a'(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大 5D方法一：当a>1时，0<<1，将y=的图象向下平移 受所以1)-2)=a-=号 个单位长度得x)=a-1的图象，A,B都不符合：当0<a<1 解得a=3,或a=0(舍)， 时，。>1，将y=。的图象向下平移。个单位长度得八)=。 15.八x)=2(答案不唯一)若满足①对任意的x,≥0有x -的图象，D符合.放选D +。）=八，)八)成立，则对应的函数为指数函数y=a(a> 0,且a≠1)的形式：若满足②(x)为偶函数，只需要将x加绝 方法二：函数代x)的图象恒过点(-1,0)，只有选项D中的图象 对值即可，所以满足①2两个条件的函数满足f八x)=a(a> 符合 0,且a≠1)即可. 6.C 由题意可得e“=号飞，可得e=子，设e一 rk=1, Q6%=(飞可得。·=(e)=e“,解得=8因此。 16[解折由已物用位：。一6 1=2 污染物消除至最初的64%还需要4小时，故选C 2g-因我 7B将2≤（日化为2+1≤-2(：-2，即+2-3 8(-x) 2-1-(2*-1)2.1-2 2+1(2·+1)21+2=-8() 0,解得xe[-3,1],所以2≤2≤2'，所以函数y=2的值域 g斗 所以)为等面数 17.[解析】(1)~八x)是定义在R上的奇函数， 8.B2▣·29=2+2，所以A成立 ∴.f0)=0.即a+1=0,解得0=-1. 21+22≠2只，所以B不成立， (2)八x)=-3+3, 函数代x)=2在R上是增函数 设出1>3≥0，则代出）-八x2）=3”-31+34-3”, 若>，则)>).则）->0. 1>3≥0，-1<-， 39<31.3-与<3-2.即32-3<0,3-39<0 若<，则)<)，则名）->0.故C正确 六x)-)=39-3+34-32<0. 1- 六尺x)在[0，+)上是减函数. 438 (3),八x)是奇函数且在[0，+)上单调递减： 代x)在R上是减函数. 行所以k<-子，即的聚值范国是(-x,一} 'f八x-1)+f尺2x+3)<0. ,f2x+3)<-fx-1)=1-x), 第六讲对数与对数函数 ,2x+3>1-x 知识梳理·双基自测 2 解得x>- 知识梳理 B组能力提升 知识点一 1.C指数函数y=a(0<a<I)为减函数，因为a<b所以a°> 1.x =log.N a N log.N 10 Ig N e In N 。,A错误：指数函数y=6(0<6<1)为减函数，因为a<6,所2.01 bN log log M+log.N log,M-log N nlog.M 以b”>,B错误：幂函数y=x“(0<a<1)在(0，+)上为增 知识点二 函数，又a<b,所以a<6,C正确：由幂函数y三0<b<1)1.y-gx(a>0,且a≠1)(0，+x)(-,+）(1,0) 在(0，+)上为增函数，又a<b,所以b>a°，D错误 2.D因为函数fx)的图象经过点A(0,2),B(1,3), y>0y<0增函数战函数 2.y=log x y=x 8 :双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)V 1 函数)=2+1>1，函数y霜2+<1 [解析](4)设23=M,32=N,则lgM=g23=1g3g2= g32=gN.∴.M=N. 又1.1 右>0，故隔数y高的值故为0 2()- ·(2)0(3)-1(4)4 3.ACD函数)2的定义域为R,所以A正确：因为y=4 [解折](1)e:号=ls2寸-子 在定义城内单调递增，所以函数八)=4+2在定义城内单调 (2)logs3 +logs3=log 1=0. 递减，所以函数的值域为(0，），所以方程八)=x只有一个 3海+2g2-(）'=子+s4-() =g10-2= 实根，所以B不正确，C正确：因为八x+1)+八-)=4+2 -1. 1 4 1 （④)期法原大铝等：装号=4 +4+244+2*24+=7,所以(x)关于点 解法二：原式=2g3. =2×2=4 (分)对称，所以D正确 lo坚33 4.C“)为奇函数-)=-x),即21.-2+1 3BDA选项，由换底公式，可得吧3=g6=1+hg2,放A错 2+-42- 误：B选项.g2+lg5=lg(2×5)=1,故B正确：C选项，(nx) 整理得(a-1(2+2+2)=0a=1)>3,即为 =n xxinx≠2n,放C错误：D选项，lg汉=g行=子gx, >3.当x>0时2-1>0..2+1>3·2-3，解得0<x<1:当 故D正确， <0时，2-1<02+1<32-3，无解.的取值范围为4D要使雨数代)=a(x-刀有意义，只需(0即 (0.1). 1x-1>0, 5.(1,+x）f-4)>1)因为x+1≥0，函数x)=a (a>0,且a≠1)的值域为[1，+o),所以a>1.由于函数八x】 -12解得x≥2，所以函数x)的定义域为[2，+)入 1x-1>0. =aH在(-1，+)上是增函数，且它的图象关于直线x= 5D函数y=g(x+b)的图象是由函数y=gx的图象向左平 -1对称，则函数f(x)在(-，-1)上是减函数，故f(1)= 移b个单位长度得到，结合对数函数y=唱x的图象即可求解 -3)八-4)>f-3)=八1). b>a>1函数y=ogx在(0，+∞)上单调递增，图象过第 6.[解析](1)因为x)为R上的奇函数， 一，四象限，又函数y=g(x+b)的图象是由函数y=g,x 所以f八0)=0，即m-3°=0，解得m如1， 的图象向左平移b个单位长度得到，而b>1,.函数y=g(x 又图为-)=-1)，所以3。--3 +b)的图象不经过第四象限，故选D. 31+n3+n 6.(2,2)当x=2时，函数y=log(x-1)+2(a>0,且a1)的 值为2.所以图象恒过定点(2,2)， 解得m=1.经检登当m=1且n=1时)=清是-x)7.C由5两边取以2为旅的对数，得a=g,5.又b=g3 3+11 =-八x),符合题意 (2)证明：由(1)得x)=-3 2 8=3g3.所以a-3动=log:5-1ow3=og3=元 3+1 =-1+3任取实数西， 且出1< =2hg号=le草所以4=4号-答放选C 5 25 22 2(32-34) 则)-)3+3+i(3+1)(30+1 8.D由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.因此，函数fx)=ln(x2 -2x-8)的定义域是(-x.-2)U(4,+x).注意到函数y 因为x<,可得31<32。 x2-2x-8在(4，+)上单调递增，由复合函数的单嗣性知， 且(34+1)(32+1)>0. fx)=ln(x-2x-8)的单调递增区间是(4，+x),选D. 所以x)-八)>0，即《x）>2). 所以函数代x)在（一，+0）上为减函数 9.cyg2<le5寸=子，hg3>hg8时=分u<e<6故 (3)根据(1)(2)知，函数()是奇函数且在(-，+x》上为 选C 减函数，所以不等式代-24)+八2-k)<0恒成立，即f八2 考点突破·互动探究 2)<-f2-)=f-2+k),即2-21>-2r2+k对任意的 考点1 tER都成立，即k<3r-24对任意的t∈R都成立.因为3r-2t:例1：B解法一：因为log,4=2,所以lDg4”=2,则有4"=3=9， =--子当=号时，即-21有最水值，最办位为 所以4 -439