练案(9)2.4 幂函数与二次函数-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

的B组能力提升易 6.函数f代x)=m+是定义在(-，+x)上的奇函数， x2+1 1.设f八x)是R上的偶函数，且在(0，+)上是减函数， 且分)-子 若x,<0且x1+x2>0,则 Af八-x)>f-2) (1)求实数a,b,并确定函数f八x)的解析式： B.f八-x1)=f-2） (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数. C.f八-x1)<f八-2) D,f八-x,)与f八-2)的大小不能确定 2.(多选题)函数f八x)的定义域为R,且f(x)是奇函数， 八x+1)是偶函数.则 A.f(0)=1 B.八x)是周期函数 C.f八x+3)为奇函数 D.(x+5)为偶函数 3.(2020·新高考I卷)若定义在R上的奇函数f(x)在 7.已知函数八x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关 （-0,0)单调递减，且八2)=0，则满足f(x-1)≥0 于直线x=1对称 的x的取值范围是 (1)求证：(x)是周期为4的周期函数： A.[-1,1]U[3,+9)B.[-3,-1]U[0,1] (2)若f(x)=x(0<x≤1)，求当xe[-5,-4]时，函 C.[-1,0]U[1,+)D.[-1,0]U[1,3] 数f(x)的解析式 4.(2022·全国新高考卷Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为 R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f1)=1,则 三)= A.-3 B.-2 c.0 D.1 5.(2021·新高考全国I)已知函数f(x)=x(a·2'- 2)是偶函数，则a= 练案[9] 第四讲 幂函数与二次函数 的A组基础巩固刀 3.(2023·天津模拟)已知幂函数f八x)=(m2-3m+3) ·x"+为偶函数，则m= () 一、单选题 A.1 B.2 1.(2023·沧衡八校联盟)幂函数y=x”中的x的取值 C.1或2 D.3 集合C是{-1.0,21,23的子集，当幂函数的值域 4.(2024·青岛模拟)若幂函数y= x',y=x”与y=x在第一象限内 与定义域相同时，集合C为 的图象如图所示，则m与n的取值 A{-1.02 21, 情况为 ()0 A.-1<m<0<n<1 c{-1,21,3} n{2123 B.-1<n<0<m 2.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,3)，则f(x)是 C.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1 A.偶函数，且在区间(0，+)内是增函数 5.(2023·沧州七校联考)已知f八x)为二次函数，且八x) B.偶函数，且在区间(0.+)内是减函数 =x2+f"(x)-1,则fx)等于 () C.奇函数，且在区间(0，+)内是减函数 A.x2-2x+1 B.x2+2x+1 D.非奇非偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数 C.2x2-2x+1 D.2x2+2x-1 300 6.已知函数f八x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数，则函三、填空题 数f八x)在(-，0)上 ( )13.(2022·河北张家口检测)已知幂函数f代x)=mx”+k A.是增函数 B.不是单调函数 的图象过点(G4),则m-2n+3= C.是减函数 D.不能确定 14.已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x)在区间 7.一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+br+C [-4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为 在同一坐标系中的图象大致是 15.(2022·辽宁高一阶段练习)幂函数f(x)过点 2》则) ,若f(a+1)<f(3- 2a),则实数a的取值范围是 8.(2022·山东模拟)已知f(x)=-2x2+x+c,不等式四、解答题 (x)>0的解集为(-1,3).若对任意的xe[-1,0],16.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f0)=f(2)= 八x)+m≥4恒成立，则m的取值范围是 3. A.(-,2] B.[4,+) (1)求函数(x)的解析式； C.[2,+) D.(-x,4] (2)求)在[-引上的最大值： 二、多选题 (3)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调，求实数 9.下列关于幂函数的论述正确的是 a的取值范围。 A.若α=0，则幂函数y=x”的图象是一条直线 B.若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个 函数一定相同 C.若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(-1，-1) D.幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点 (1,-1) 10.(2023·浙江衢州月考)已知幂函数∫(x)= (m+号)，则下列结论正确的有 A-32)=6 B.f(x)的定义域是R C.代x)是偶函数 D.不等式f八x-1)≥f(2)的解集是[-1,1)U(1,3] 11.(2024·淄博模拟)设函数f(x)=ax2+br+c(a≠ 0),对任意实数t都有f八4+1)=f八-t)成立，则函数 值f八-1)，f(1)2)5)中，最小的可能是( B组能力提升 A.f-1) B.f1) C.f2) D.f5) 1.若代)是豁函数，且满足号=3，则/（分）等于 f2 12.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已 知二次函数y=ax2+br+c的图象过点(1,0)，…，求 A.3 B.-3 证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现 c号 n-分 有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( ）2.(2023·安微A0联盟)已知二次函数代x)=(x-a) A.在x轴上截得的线段的长度是2 (x-b)-2(a<b),且a,B(a<B)是方程f(x)=0的 B.与y轴交于点(0,3) 两个根，则《，B,a,b的大小关系是 () C.顶点是(-2，-2)】 A.a<a<B<b B.a<a<b<B D.过点(3,0) C.a<a<b<B D.a<a<B<b -301- 3.（多选题)(2023·江苏镇江月考)如图，函数y=ax+6.已知幂函数f代x)=(m2-2m+1)x"-立的图象过点(4， bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),顶点坐 2). 标为(1，n),与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间（包 (1)求f(x)的解析式： 括端点)，则下列结论正确的为 (2)判断(x)的单调性，并进行证明： (3)若f(a+1)>f八2a-3),求实数a的取值范围. 4(-1.0 =1 A.当x>3时，y<0 B.4a+2b+c=0 C-1≤a≤-号 D.3a+b>0 7.已知二次函数f(x)=x2-2ax+3,a∈R. 4.已知二次函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2x+1,且 (1)若函数八x)在(-e,-2)上单调递减，求a的取 1)=-1.对任意￥>3>-1，）- 值范围： 1- (2)若a=1时，函数f(x)的图象恰好在函数g(x)= m(x1+x2)成立，则m的取值范围为 2x+b的图象上方(f(x)≥g(x)且恰好能取到等 A.[-2,-1] B.[-2,-1) 号)，求实数b的值。 C.[-4,-1] D.[-4,-1) 5.函数f八x)满足下列性质：①定义域为R,值域为[1， +):②图象关于直线x=2对称：③对任意x,3∈ （-,0),且，*，都有）-)<0.请写出函 数f(x)的一个解析式： (只要写出一个即 可) 练案[10] 第五讲 指数与指数函数 的A组基础巩固男 5.函数f(x）=a'-(a>0,且a≠1)的图象可能是 一、单选题 1.(2024·衡阳一中模拟)若2=9,4=6，则4-2= B号 c 9 头头 2.(2023·河北保定调研改编)函数y=(a2-4n+4)a 是指数函数，则a的值为 6.国家速滑馆又称“冰丝带”，是 A.4 B.3 C.2 D.1 北京2022年冬奥会的标志性 3.(2023·河北冀州中学月考)设=4”，2=84"，方 场馆，拥有亚洲最大的全冰面 “期 设计，但整个系统的碳排放接 近于零，做到了真正的智慧场 A.y3>y1>y: B.3>y1>% 馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆 C.y>y>y D.y1>y3>3 还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程 4.(2022·海南中学模拟)已知函数f(x)=4+2a- 中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N= Ne“(N。为最初污染物数量)，如果前4小时消除了 (a>0且a≠I)的图象恒过点P,则点P的坐标是 20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要 的时间为 () A.(1.6) B.(1.5) A.3.6小时 B.3.8小时 C.(0,5) D.(5,0) C.4小时 D.4.2小时 一 302意，金去： 为开口向下的抛物线，所以函数(x)在(-，0)上单调递增 当a>0时，南戴(x)在区间[-1,2】上是增函数，最大值为 故选A 2)=8a+1=4,解得a=冬 7.C若a>0,则一次函数y=ar+b为增函数，二次函数y=mr ++c的图象开口向上，故可排除A:若a<0,一次函数y= 当a<0时.函数f(x)在区间[-1.2]上是减函数.最大值为 +b为减函数，二次函数y=r+br+c的图象开口向下.故可 八-1)=1-a=4,解得a=-3 综上可知，0的值为受友-3 排除D:对于选项B,看直线可a>0,6>0,从而-名<0，面二 次函数的对称轴在y轴的右侧.故应排除B,选C 名师讲坛·素养提升 8.B因为fx)>0的解集为(-1,3).所以-2x2+bx+c=0的两 变式训练 2=-1×3, 1.(-x,-1)解法一：八x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m, 个根为-1,3.所以 即x2-3x+1-m>0, 令= 2 =-1+3, 令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在 m,则g(x)=-2x+4x+6+m=-2(x-1)+8+m.当x∈ [-1,门上恒成立 只需使函数g(x)=x-3x+1-m在[-1,1门上的最小值大于0 [-1,0]时，g(x)=m,因为g(x)≥4在[-1,0]上恒成立，所 以m≥4.故选B. 即可， :g(x)=x2-3x+1-m在[-1.1]上单调递减。 :9.CD由题意利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否 正确，从而得出结论.若a=0,则幂函数y=x“的图象是一条直 g(x)山=g(1)=-m-1. 由-m-1>0,得m<-1,因此满足条件的实数m的取值范围 线上去掉点(0，I),故A错误：若两个幂函数的图象至少有三个 公共点，则这两个函数不一定相同，例如函数y=x和y=x有3 是(-，-1)， 个交点，分别为(1,1)、(0,0)、(-1，-1），故B错误.若幂函数 解法二：八x)>2x+m等价于m<2-3x+1,令g(x)=x-3x+ y=x“为奇函数，则a为奇数，∴(-1)“=-1，故它的图象一定 1,其图象的对称销=子>1 经过点(-1，-1)，故C正确：对于幂函数y=x“的图象，令x= 1,可得1=1，故它的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点 所以g(x)在区间[-1,1]上单调递减， 则g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(x)=g(1)=-1,所 (1,-1,故D正确，故选CD 以m<-1. 10ACD因为函数是暑函数，所以m+号=1，得m=号，即 因此满足条件的实数m的取值范围是（一女，-1）. 2(0,}当oe[-1,2]时，由x)=-2 )=寸-2)=(-2]寺=(-2)=6故A正 确：函数的定义城是xx≠0！，故B不正确：：f八-x)=f代x), 得f代x)e[-1,3] 因为对任意的1e[-1,2]都存在x。e[-1,2], 所以函数是偶函数，故C正确：函数八x)=x在(0，+)是 使得g(x1)=八)， 减函数，不等式x-1)≥八2)等价于x-11≤2，解得-2≤x 所以g(）m) -1≤2，且x-1≠0.得-1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是 [-1,1)U(1.,3],故D正确.故选ACD, lg(x,）≤八x） 即当e[-12]时g()e【-1,3 11,ACD因为对任意实数1都有(4+)=八-)成立，所以函数 几x》=x2+br+c(a≠0)的对称轴是x=2,当a>0时，函数值 所以当a>0时{b2. -1),f八1)八2)5)中，最小的是代2)：当a<0时，函数值 -1),八1》八2)5)中，最小的是代-1)和f八5). 解得a≤弓.故实数a的取值范围是(0，} ra+b+c=0. 12.ABD由已知得 解得b=-4a,e=3a,所以二次 练案[9] 20=2, 函数为y=a(x-4x+3),其顶点的横坐标为2.所以顶点一定 A组基础巩固 不是(-2，-2)，故选ABD. 1.C 13,0因为爪x)是都函数，所以m=1,=0, 2.D设幂函数fx)=x“,则3)=3=5，解得a=7 又)的图象过点(）， 则代x)=x子=G,是非奇非偶函数，且在区间(0，+)内是增 函数 所以（信= 3.A因为x)=(m2-3m+3)x1为幂函数，所以m2-3m+3 =1,解得m=1或m=2.当m=2时(x)=x,函数f八x)不是 解得n=立· 偶函数，舍去：当m=1时x)=x,函数(x)是偶函数 所以m-2m+3k=0 4.D对于帮函数y=x“,当a>0时，y=“在(0，+x)上为增函14，(-，-6们U[4,+）由于函数八x)的图象开口向上， 数，且0<《<1时.图象上凸，∴.0<m<1:当<0时，y=x在 对称轴是x=-a (0,+∞)上为减函数，不妨令x=2,根据图象可得2-<2“. 所以要使f八x)在[-4.6]上是单测函数.。 .-1<n<0. 应有-a≤-4或-a≥6， 5,B设八x）=ar2++c(a≠0)， 即a≤-6或a≥4. 则f(x)=2ax+b, 15.x 由代x)=x+'(x)-1可得 设幂函数解析式为八)=“，将(2，号)代 ax'+bx+c=x+2ax+(b-1). ra=l, ra=1, 所以6=2a,解得b=2. 所以代x)=x左，在(0，+)上单调递减， Le=b-1.Le=l, 因此八x)=x2+2x+1. 所以a+1>3-2a>0,可得ae(号2) 6.A因为函数x)=(m-1)x2-2+3是偶函数.所以函数图16.[解析](1)f0)=八2)=3， 象关于y轴对称，即_m, m-=0,解得m=0所以x)=-子+3 二次函数八x)的对称轴为x=1. 设函数f八x)=a(x-1)2+1(a>0). 435 则(0)=0+1=3， >八x), 解得a=2: 故函数八x)在其定义城[0，+)上单调递增， 故八x)=2(x-1)2+1. (3)由题意利用面数的单调性的定义、函数的定义城，求得的 2>}- 范围 若fa+1)>f2a-3),则√a+T>√2a-3,a+1>2a-3≥ )=-）2x(-+1 0,求得子≤a<4 即)在[-方，引]上的最大值为号 7.[解析](1)/八x)=x2-2r+3=(x-m)2+3-a2, 对称轴是x=a,若面数f(x)在(-，-2)上单润递城， (3):函数fx)在区间[2a,a+1]上不单调， 则a≥-2，即a的取值范围是[-2，+) 2a<1<a+1,解得，0<a<2: (2)a=1时x=(x-1)2+2, 八x)-g(x)=x-4r+3-b, 故实数a的取值范国为(0，} 由题意得f八x)-g(x)≥0，即x2-4x+3-b≥0恒成立， 故4=16-12+4b≤0，解得：b≤-1， B组能力提升 当f八x)≥g(x)且恰好能取到等号， 1.c设到=则号=3. 即八x)=g(x)时，b=-1. 2)()= 第五讲指数与指数函数 2.C设g(x)=(x-a)(x-b)(a<b),则y=g(x)-2,所以y的 知识梳理·双基自测 图象是由g(x)的图象向下平移2个单位长度得到的，因为α 知识梳理 (<B)是方程y=0的两个根，所以a<a<b<B.故选C 知识点 3.AC由已知得图象与x轴另一交点为(3,0)，所以当x>3时，y 1.x=a正数负数两个相反数aa-aa <0.故A正确： 2.Va" 当x=2时，y=4a+2b+c>0,故B错误： 3.a'a a'b 又.y=ar+bx+c过点A(-1,0).0<0. 双基自测 六a-6+e=0.又-分=1.即6=-2a, 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)×(6)× ∴.b+2a=0.则b+3a<0.故D错误： [解析](1)由于(-4)丁=不=4，故(1)错误：(2)2·2 又3a+c=0,.e=-3a,且2≤c≤3， =a…,故(2)错误；(3)不正确，a÷=二(4)y=2×2与y=3 人2≤-3如≤3，-1≤a≤-子，放C正确 ×2都不是指数函数：(5)当a>1时m<n,当0<a<1时m> 故选AC. 4.A由已知先利用待定系数法求出函数解析式，然后结合已知 :(6y=2=(合)广是减面数。 不等式转化为函数g(x)在(-1，+0)上单调递增，然后结合 2,B根据指数幂的运算法则化简判断即可.一压=-x士，故A不 函数的性质即可求解，设f风x)=r+r+c(a≠0)，因为f(x+ 1)=f八x）-2x+1,所以a(x+1)2+b(x+1)+e-ax2-r-c= 成立√(>0)放B度立：F:,故c不成 -2x+1,整理得，2ax+a+b=-2x+1,故a=-1,b=2,又f八1) =a+b+e=-1,所以c=-2fx)=-x+2x-2.因为对任愈 立：[(-x)]÷=[(-x)在=(-x)寸，x<0,故D不成立 >与>-1)-) 故选B >m(x1+)成立，所以)-m x1-2 3.D因为x<0,y<0 >爪)-m,令g(x)=fx)-m2=(-1-m)x2+2x-2.则 所以16x下=(168·y)京=(16)·(x)京·(y)元= >>-1时，g(,)>g(),即g(x)在(-1，+)上单调 2x21yl=-2x2.故选D. 递增，当m=-1时，g(x)=2x-2满足题意，当m-1时， -m-1>0, =2 2m≤-1，部得。-2≤m<-1,综上，m的范围-2 2 5.A 因为)=3-（兮），且定义城为R,所以-)=3” -1].故选A 5.(x)=x2-4x+5(答案不雌一)由二次函数的对称性、值域及 (分）=（兮）-3=-[-（分门=）.即函数) 单调性可得代x)的解析式可以为f代x)=(x-2)2+1,此时八x) 图象的对称轴为直线x=2,开口向上，满足②，对任意， 是奇函数又y=3在R上是增函数=（兮广在R上是减函 (-0),且≠，都有)-<0等价于f代x在 x1-2 数，所以x)=3”-(宁)在R上是增函数，故选A (-x,0)上单调递减，x)=(x-2)2+1满足③，又fx)=6Df八x)=1.01单调递增，f(0.5)<06),即a<6 (x-2)2+1≥1，满足①，故fx)的解析式可以为f八x)=x-4x g(x)=x5单调递增.g(1.01)>g(0.6),即a>c,b>a> +5. c,故选D. 6.[解析](1)由题意利用幂西数的定义和性质，求得m的值， 考点突破·互动探究 可得结论， 考点1 署函戴f尺x)=(m2-2m+1)x立的图象过点(4,2)，m2- 2m+1=1,4-子=2，求得m=2. 例1：-45原式=03-49+号-1：-0+9+号 3+3=-45. 故有f八x)=x, 例2：2女由根与系数的关系待a+B=-2,3=了则2， (2)八x)=x立在其定义城[0，+e)上单调递增 证明：设为>≥0，即一>0， 29=29=22=,(2)=2=2 则)-)压x=左之0，八)例3：5原式0，=8 角+ -436