练案(8)2.3 函数的奇偶性与周期性-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

练案[8] 第三讲 函数的奇偶性与周期性 竹A组基础巩固 二、多选题 9.已知y=f八x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中 一、单选题 为奇函数的是 () 1.（2023·西藏山南二高模拟)下列函数中，是偶函数且 A.y=f八1xl) B.y=f(-x) 在区间(0，+∞)上单调递减的函数是 ( C.y=xf(x) D.y=f八x)+x A.y=2 B.y= 10.(2023·潍坊模拟)已知定义在区间[-7,7]上的一 C.y=lxl D.y=-x2+1 个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正 2.设函数fx)=-2 ,则下列函数中为奇函数的是 确的有 x+2 ( A.fx-2)-1 B.f八x-2)+1 C.fx+2)-1 D.fx+2)+1 3.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4， 2 f-1)=-2,则f2025)= ( A.2 B.0 A,这个函数有两个单调递增区间 C.-2 D.-4 B.这个函数有三个单调递减区间 4.(2022·上饶-模)已知函数f(x)=imx+x+ C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值-7 3,若f八a)=-1,则-a)= 11.(2024·吉林省通榆一中高三上学期第四次质量检 A.3 B.5 测)已知函数八x)是定义在R上的奇函数，(x+2) C.6 D.7 =一八x),则下列说法正确的是 () 5.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+1)= A.f(x)的最小正周期为4 -f(x),且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则 B.f八x)的图象关于直线x=1对称 f八-6.5)八-1)(0)的大小关系是 C.八x)的图象关于点(2,0)对称 Af0)<f八-6.5)<f-1) D.f(x)在(-5,5)内至少有5个零点 B.f(-6.5)<f0)<f-1) 12.(2022·烟台一模)已知f(x)是定义在R上的奇函 C.f-1)<f-6.5)<f0) 数，2-x)=f(x),当xe[0,1]时，f(x)=x,则下 D.f-1)<f0)<f八-6.5) 列结论错误的是 () 6.若函数f(x)=sinx·ln(mx+√1+4r)的图象关于y A.f2021)=0 轴对称，则m= ( B.2是f八x)的一个周期 A.2 B.4 C.当xe(1,3)时(x)=(1-x) C.±2 D.±4 D.八x)>0的解集为(4k,4k+2)(keZ) 7.(2022·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f八x)=e 三、填空题 +x2,(e为自然对数的底数)，且f(3a-2)>f八a-1),13.已知函数f(x)=2-2ga是奇函数，则a的值等 则实数a的取值范围是 ) 于 A(分，+】 14.已知奇函数f八x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间 [3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则f(6)+ B.(-.2) f(-3)的值为 c(-u(层+) 15.设f八x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时八x)=2x +3,则f(8)= ·-2≤x≤0时(x)= (ou(层+ 16.已知函数f八x),对Hx∈R满足f1-x)=f八1+x) 8.(2023·宁德模拟)已知f八x)是定义在R上的奇函 f(x+2)=-f(x）,且f0)=1,则f(26)= 数，且对任意的xeR都有f(x+2)=-f(x),当xe17.已知定义在R上的奇函数y=f(x)在(0，+》 [0,2]时八x)=x2+ax+b,则a+b等于( A.0 B.-1 内单调递增，且（分）=0，则()>0的解集为 C.-2 D.2 -299 的B组能力提升易 6.函数f代x)=m+是定义在(-，+x)上的奇函数， x2+1 1.设f八x)是R上的偶函数，且在(0，+)上是减函数， 且分)-子 若x,<0且x1+x2>0,则 Af八-x)>f-2) (1)求实数a,b,并确定函数f八x)的解析式： B.f八-x1)=f-2） (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数. C.f八-x1)<f八-2) D,f八-x,)与f八-2)的大小不能确定 2.(多选题)函数f八x)的定义域为R,且f(x)是奇函数， 八x+1)是偶函数.则 A.f(0)=1 B.八x)是周期函数 C.f八x+3)为奇函数 D.(x+5)为偶函数 3.(2020·新高考I卷)若定义在R上的奇函数f(x)在 7.已知函数八x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关 （-0,0)单调递减，且八2)=0，则满足f(x-1)≥0 于直线x=1对称 的x的取值范围是 (1)求证：(x)是周期为4的周期函数： A.[-1,1]U[3,+9)B.[-3,-1]U[0,1] (2)若f(x)=x(0<x≤1)，求当xe[-5,-4]时，函 C.[-1,0]U[1,+)D.[-1,0]U[1,3] 数f(x)的解析式 4.(2022·全国新高考卷Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为 R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f1)=1,则 三)= A.-3 B.-2 c.0 D.1 5.(2021·新高考全国I)已知函数f(x)=x(a·2'- 2)是偶函数，则a= 练案[9] 第四讲 幂函数与二次函数 的A组基础巩固刀 3.(2023·天津模拟)已知幂函数f八x)=(m2-3m+3) ·x"+为偶函数，则m= () 一、单选题 A.1 B.2 1.(2023·沧衡八校联盟)幂函数y=x”中的x的取值 C.1或2 D.3 集合C是{-1.0,21,23的子集，当幂函数的值域 4.(2024·青岛模拟)若幂函数y= x',y=x”与y=x在第一象限内 与定义域相同时，集合C为 的图象如图所示，则m与n的取值 A{-1.02 21, 情况为 ()0 A.-1<m<0<n<1 c{-1,21,3} n{2123 B.-1<n<0<m 2.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,3)，则f(x)是 C.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1 A.偶函数，且在区间(0，+)内是增函数 5.(2023·沧州七校联考)已知f八x)为二次函数，且八x) B.偶函数，且在区间(0.+)内是减函数 =x2+f"(x)-1,则fx)等于 () C.奇函数，且在区间(0，+)内是减函数 A.x2-2x+1 B.x2+2x+1 D.非奇非偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数 C.2x2-2x+1 D.2x2+2x-1 300+八x+4)=-2,所以八x+4)=八x),所以函数x)是以4为9.BD由奇函数的定义尺-x)=-八x)验证，A项，八1-x)= 周期的周期函数，由八x)+g(2-x)=5可得(0)+g(2)=5 f代1x),为吗函数：B项几-(-x)]=f八x)=-f八-x),为奇函 又g(2)=4,所以可得0)=1，又八x)+(x+2)=-2,所以 数：C项，--x)=-x·[-八x)门=fx),为偶函数：D项， f0)+八2)=-2，得f八2)=-3，又f八3)=f(-1)=-1,八4 八-x)+(-x》=-[x)+x],为奇函数.可知B、D正确 =0)=1,所以)=61)+62)+5f3)+54)=6× 10.BC根据偶函数在[0,7]上的图象 (-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.放选D. 及其对称性，作出其在[-7,7】上 2.ACD八x)的图象关于直线x=-3对称. 的图象，如图所示.由图象可知这个 则-x)=八x-6), 函数有三个单调递增区间，有三个 又fx+3)=f代x-3),则fx)的周期T=6. 单调递减区问，在其定义域内有最 5 0357￥ .f-x)=fx-6)=fx). 大值7，最小值不是-7，故选BC ∴.八x)为偶函数，故A正确： 11.BCD因为f(x)是定义在R上的 当xe[0,3]时x)=2+1单调递增， 奇函数，且x+2)=-f八x),所以f(x+4)=-f八x+2)= T=6,故八x)在[-6，-3]上也单调递增，故B不正确： 八x),即f八x+4)=f八x),所以代x)的周期为4，但f(x)的最小 八x)关于直线x=-3对称且T=6, .f(x)关于直线x=3对称，故C正确： 正周期不一定为4，如)=m(牙)，满足八)为奇函数，且 100)=f16×6+4)=八4)=尺-2)=f八2)=5.故D正确. x+2)=m[(x+2=m(经+3）=-i加() 练案[8] -x).面)=m(受)的最小正周期为号，故A错误：因 A组基础巩固 1,DA选项，根据y=2的图象知该函数非奇非偶，可知A错误： 为x)为奇函数，且f(x+2)=-f(x),所以f(x+2)= 八-x),即八x)的图象关于直线x=1对称，故B正确：由 B选项，由y=x的定义域为[0，+)，知该函数非奇非偶，可 知B错误：C选项，当xE(0,+g)时，y=1x|=x为增函数，不 f八x+4)=八x),及八)为奇函数可知f八x+4)+f八-x)=0,即 符合题意，可知C错误：D选项：由-(-x)?+1=-x2+1,可知 八x)的图象关于点(2,0)对称，故C正确：因为八x)是定义在 该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0。+)上单调 R上的奇函数.所以f八0)=0，又x+2)=-f八x),f八x+4)= 递减，可知D正确.故选D f八x),所以f(2〉=-f(0)=0.f(4)=f代0)=0，故-2)= 化简函数八x)=1-十2·分别写出每个选项对应的解析 -2)=0八-4)=-f(4)=0,所以在(-5,5)内f(x)至少 2.A 有-4，-2,0,2,4这5个零点，故D正确.故选BCD. 式利用奇质数的定义判断由题意得八)1一幸2对人 12.ABC:f代x)是定义在R上的奇函数， ∴2-x)=x)=--x), x-2)-1-手是奇函数：对Bx-2)+1=2-手美于 八2+x)=-f八x), 六八4+x)=-f2+x)=fx) (0,2)对称，不是奇函数：对Cx+2)-1=-4 中4定义域为 ∴八x)的最小正周期是4，故B错误 八2021)=1)=1.故A错误： (-,-4)U(-4,+),不关于原点对称，不是奇函数：对 D+2)+1=24定文域为(-0，-4U-4,+0 当xe[0.1]时x)=x代x)是定义在R上的奇函数 六当xe[-1,I]时x)=x, 不关于原点对称，不是奇函数.故选A 当x∈(1.3)时.2-xe(-1.1) 3.A依题意，函数八x)的图象关于原点对称，则函数八x)是奇函 八x)=(2-x)=(2-x),故C错误： 数，又f八x)的周期为4.且f-1)=-2,则f(2025)=f(1+506 易知当x∈(0.2)时x)>0, ×4)=f1)=-f八-1)=2 :八x)的最小正周期是4. 4.D函数x)=simx+x++3,(-x)+(x)=im(-x)+ ∴八x)>0的解集为(4长，4k+2)(kEZ),故D正确 3.10由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程(x)+ (-x)2-1 +3+sinx+++3=-smx-- 八-x)=0,由此方程求出a的值函数(x)=2-2-ga是 x +sin x+ 奇函数，八x)+f八-x)=02-2-ga+2--21ga=0, x+上+6=6，若a)=-1.则-a)=6-fa=6-(-1) 即2+2-(2'+2)1ga=0,∴1ga=1,∴.a=10. 4.9由于f(x)在[3,6]上为增函数.所以代x)的最大值为f八6) =7.故选D. =8(x)的最小值为(3)=-1，因为f(x)为奇函数，所以 5.A由f八x+1)=-f八x),得八x+2)=-八x+1)=(x),函数 八-3)=-八3)=1，所以6)+八-3)=8+1=9. fx)的周期是2.函数x)为偶函数，.八-6.5)=f(-0.5】 15.72x+9因为几x)是周期为3的函数.所以f八8)=f八2)=2 =八0.5)八-1)=八1).八x)在区间0.1]上是单周递增的 ×2+3=7,当-2≤x≤0时，八x）=f八x+3)=2(x+3)+3=2x .f0)<f八0.5)<八1)，即f0)<f-6.5)<f八-1). 6.C因为八x)的图象关于y轴对称.所以/(x)为偶函数，又y= +9. 6.1八x+2)=-fx) inx为奇函数，所以y=n(m+√1+4)为奇函数，即 八x)的周期为4， ln[-mx+√1+4·(-x)]=-n(mr+√1+4r),解得m= ∴.f26)=f八2). ±2.故选C. 对Hx@R有f八1-x)=f八1+x) 7.C显然(x)为偶函数且在[0，+)上单调递增.∴八3和-2) ∴，八x)的图象关于x=1对称 >f八a-1)13a-21>1a-11(3a-2)3>(a-1)'-a> f2)=f八0)=1，即f八26)=1 4 或a<号，故选C 17.(-子，0小u(行，+如）由已知可构造y=)的示意图象。 8.C因为八x)是定义在R上的奇函数，且xe[0,2]时x)=x +ax+b,所以f0)=b=0代-x）=-f八x).又对任意的x∈R 都有八x+2)=-八x),所以八x+2)=八一x),所以函数图象 关于直线x1对称，所以-号=1，解得a=-2,所以a+6 -2. 所以x)>0的解集为(-2,0（分.+x】 432 B组能力提升 解得a=1. 1,A因为x1<0且11+x2>0,所以1>->0，又因为八x)在 (0,+x)上是减函数，且x)是R上的偶函数，所以(-x)= 故x)=2+ x2)<-x). (2)证明：任取区问(-1,1)上的两个实数m,n,且m<n, 2.BD因为八x+1)是偶函数，所以函数(x)的图象关于x=1对 测m)-fn)=m n(m-n）(1-m） 称，即八一x)=八2+x),又函数八x)是定义在R上的奇函数， m2+1n2+1(m2+1)(n2+1万 所以八-x)=-f(x).八0)=0.于是f(2+x)=-f(x),即有 m2+1>0,n2+1>0,m-n<0,1-mm>0. f(4+x)=-八x+2)=八x),所以函数八x)的-一个周期为4，故 ∴.f八m)-f八n)<0, A错误，B正确：设g(x)=八x+3),则g(-x)=八-x+3)= 即f尺m)<f八n). 八-1+x)=八x+3),即g(x)=g(-x),所以f(x+3)为偶函 ∴.八x)在(-1,1)上是增函数 数.C错误：设h(x)=f八x+5),则h(-x)=八-x+5)=f(x- 7.【解析](1)证明：由函数八x)的图象关于直线￥=1对称， 3)=八x+5),即h(x)=h(-x),所以f八x+5)为偶函数，D正 有f尺x+1)=fI-x）,卿在f尺-x)=fx+2), 确，故选BD. 又函数代x)是定义在R上的奇函数， 3.D因为定义在R上的奇函数八x)在(-x,0)上单调递减，且 故有代-x)=-八x).故代x+2)=-八x). 2)=0. 从而f八x+4)=-f八x+2)=f尺x》。 所以八x)在(0，+x)上也单调递减，且八-2)=0,0)=0， 所以x)是周期为4的周期函数。 所以当x∈(-x,-2)U(0,2)时，x)>0, (2)由函数八x)是定义在R上的奇函数，有爪0)=0. 当xe(-2,0)U(2,+0)时八x)<0. 当xE[-1.0)时， 所以由x-1)≥0可得0， 1L-2≤x-1≤0或x-1≥2 即-xE(0,1]八x)=-f八-x)=--x 域>0. 故e[-10]时八x)=-√-x. 0≤x-1≤2或x-1≤-2或x=0 当x∈[-5，-4]时，x+4后[-1,0] 解得-1≤x≤0或1≤x≤3】 fx）=f八x+4)=--x-4 所以满足(x-1)≥0的x的取值范周是[-1,0]U[1,3].故 从而，x∈【-5，-4]时，函数x)=-/-x-4 选D. 4.A因为八1)=1，所以在x+y)+八x-y)=f代x)八y)中，令y 第四讲幂函数与二次函数 =1,得f八x+1)+八x-1)=f八x)/八1).所以八x+1)+八x-1) =八x)①，所以八x+2)+八x)=x+1)②.由①2相加，得(x 知识梳理·双基自测 +2)+尺x-1)=0,故(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3)=知识梳理 -代x).所以八x+6)=-代x+3)=x),所以函数八x)的一个知识点一 周期为6.在fx+y〉+八x-y)=八x)f八y)中，令=1，y=0,得 [0,+)(-,0)U(0,+0)[0,+）[0,+x) f代x)+尺x)=x)尺0)，所以/(0)=2.令x=1,y=1,得f八2）+ (-e,0)U(0,+)奇偶奇非奇非偶奇 f(0)=f八1)f代1)，所以f代2)=-1.由f(x+3)=-f(x),得f3 (-0,0》(0,+x)[0,+x)(-x,0)(0,+x） =-0)=-24)=-八1)=-15)=-2)=16)= (1.1) -f八3)=2，所以爪1)+f2)+…+6)=1-1-2-1+1+2= 知识点二 0,根据函数的周期性知，三)=1)+2)+3)+4) 4，+）（-x,4c-] 「4ae-b 1-1-2-1=-3,放选A 4a」 5.1解法一（定义法）：因为f八x)=x(a·2-2)的定义域为 b 4ac-b* b=0 R,且是偶函数，所以穴一x)=八x)对任意的xER恒成立，所以 (-x)'(a·2-2）=(a·2-2)对任意的reR恒成双基自测 立.所以￥2(a-1)(2+2)=0对任意的xeR恒成立.所以41.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)×(6)× =。 解法二（取特殊值检验法）：因为八x)=x(·2-2)的定义 2y=片(0+x))的图象过点(2.号》 域为R,且是偶函数， 所以R-1)=0,所以-（受-2=2a-子 2=2 =2寸a=-)=x 由f爪x)的图象可知，八x)的藏区间是(0，+). 解得a=1,经检验代x)=x(2-2)为偶函数 3.A利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.，f(x)=(m2- 所以a=I. m-1)x23是幂函数.m2-m-1=1,即(m-2)(m+1）= 解法三（转化法）：由题意知爪x)=x'(a·2”-2)的定义域为 R,且是偶函数 0.解得m=2.或m=-1,又当xe(0,+)时，八x)单调递减。 设g(x)=x,h(x）=a·2-2,因为g(x)=x2为奇函数， ∴，m+m-3<0,当m=2时，m+m-3=3>0,不合题意，舍 所以h(x)=a·2-2”为奇函数， 去：当m=-1,m2+m-3=-3<0,符合题意，故m=-1,故 所以k(0)=a·2°-2-"=0， 选A. 解得a=1.经检验.代x)=x(2-2)为偶函数 4.> b 所以a=1. <<a<0,-2>0,6>0 6.[解析]（1)若西数代x)=+山是定义在(-，+)上的 ￡=x<0,c<0,a-b+c=-1)c0. x2+1 5.C先求出函数的对称轴方程，利用二次函数的对称性求解即 奇函数，则爪-x)二所计中：一)=大6 x2+1 解得b=0, 可函数)=-2025的对称轴为直线x=25fm) =八n),m,n关于函数/八x)=x2-2025x图象的对称轴对称， ∴.m+n=2025,∴f八m+n）=f八2025)=0.故选C 1 6.A由f代0)=f八4)，得f八x)=2+x+e的图象的对称轴为直 线=岛六=2如+6=0， 又f0）>f八1)八4)>尺1)，∴.fx)先减后增，.a>0,故选A -433