练案(5)1.5 基本不等式-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

15.(2022·四川泸县四中线上月考)已知关于x的不等式4.(2022·广东广州期末)已知函数f八x)=ax2-x-c, ax2+x+c>0的解集为x2<x<3,则关于x的不 且不等式a2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1,则 等式cx2+bx+a<0的解集为 函数y=f八-x)的图象为 四、解答题 16.已知函数f八x)=x2+4x+3. (1)若关于x的不等式ax2+4x+3>0的解集为 {xlb<x<1|,求a,b的值. (2)求关于x的不等式f八x)>-ax-1的解集. 5.(多选题)已知关于x的不等式ax2+b:+e>0的解集 为xx<-3或x>4,则下列说法正确的是() A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为|xlx<-4 C不等式-c+a<0的解集为划<-4或x>司} D.a+b+c>0 6.(2024·吉林模拟)存在x∈[-1,1]，使得不等式x2 +(a-4)x+4-2a>0有解，则实数a的取值范围是 B组能力提升 () A.a<1 B.a<3 1.(2022·衡水中学调研卷)已知A=xlx2-3x-4≤0， C.a≥1 D.a≥3 xeN},B={x2x2-x-6>0,xeZ},则AnB的真子 7.(2023·东北三省三校联考)已知函数f(x）=x2+ax 集个数为 ( +3. A.2 B.3 c.7 D.8 (1)若当xeR时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值 2设a>1,则关于x的不等式1-a(x-a)-日）< 范围； (2)若当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的 0的解集是 取值范围： (-u(合+ (3)若当ae[4,6]时(x)≥0恒成立，求实数x的取 值范围。 B.(a,+3) c n(-x,u(a,+) 3.(多选题)(2022·山东聊城期末)若“x2+3x-4<0” 是“x2-(2k+3)x+2+3>0"的充分不必要条件，则 实数居可以是 ( A.-8 B.-5 C.1 D.4 练案[5] 第五讲 基本不等式 的A组基础巩固身 2.已知函数)=4+4(x>0,a>0)在x=3时取得 一、单选题 最小值，则a= () 1.在下列各函数中，最小值等于2的函数是 A.24 B.28 C.32 D.36 A.y=t3 3.设0<a<b,则下列不等式中正确的是 √R+2 a<6<v瓜<“生 Ra<v瓜<生<b B.y cosx+ 0<x<) cos xl C.a</ab<b<utb 2 D./ab <a<atb C.y=e+- 4.若实数a,b满足上+2 =vad,则b的最小值为() D.y=x+L A.2 B.2 C.22 D.4 -294- 5.(2023·湖北八校第-次联考)已知x>0,y>0,且116.(2020·江苏高考)已知5x子+y=1(x,yeR),则 x2+y2的最小值是 +9=1,则x+y的最小值为 ( B组能力提升 A.12 B.16 C.20 D.24 6.(2024·山西师大附中月考)已知x>0,y>0,x+9y= 1.（多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项中 3,则上+1的最小值为 ( 正确的是 () T 1 Aab有最大值好 A.16 B.4 c D 7.(2023·安微黄山质检)已知(x)=+3+6(:> B.√a+√不有最大值2 x+1 0),则/(x)的最小值是 女+名有最小值4 ( A.2 B.3 C.4 D.5 8.(2024·山西高三阶段练习)已知正实数a,b满足2a D云+8有最小吗 +6=6,则子+62的最小值 ( a )2已知>0y>0,g2+g8"=g2,则片+的最小 A号 B c 0.4 值是 A.2 B.22 C.4 二、多选题 D.23 9.(2022·山东新高考模拟)已知正实数a,b满足a+b3.已知x>0,y>0且x+y=5,则1 测，+，2的最小值为 =2,下列式子中，最小值为2的有 () A.2ab B.a2+b c+8 D 2 ab A号 B.2 D.1 10.下列命题中正确的是 ( )4.(多选题)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知 道算术中项，几何中项以及调和中项.毕达哥拉斯哲 A.函数y=sinx+ 4(0<x<π)的最小值为4 sin x 学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其 B函数y=。的最小值为 中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今 √2+3 C函数y=2-3x-4(x>0)的最小值为2-45 我们称为正数a,6的算术平均数，v而为正数a, b的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab≤ D.函数y=2-3x-4(x>0)的最大值为2-43 +b(a>0,b>0)叫做基本不等式，下列与基本不等 11.(2023·四川成都新都区诊断改编)已知a>0,b>0, 2 若不等式2+古≥如+成立，则n的值可以为 式有关的命题中正确的是 () A若a>0.6>0.2a+b=1.则2+方≥4 A.18 B.12 C.16 D.20 B.若实数a>0,b>0,满足2a+b=1,则4a2+62的最 三、填空题 12.(2022·山东济南三模)已知正实数a,b满足ab=4, 小值为写 则片+号的最小值为 C若a>0.b>0,+b=2.则，+古的最小值为号 13.(1)当x>2时，x+ +,二2的最小值为 D.若a>0.6>0.a+b=4,则三+2的最小值为2 a+2+6+2 (2)当≥4时+，的最小值为 5.（2023·海口调研)已知a,beR.且a+2b-4=0.则 2"+4°的最小值为 14.已知函数八)=3”+3行a>0)的最小值为5，则6.(2024·天津市滨海新区塘洁第一中学高三期中)已 a= 知a>0,b>0,且a+b=1,则：①当且仅当a= 15.(2023·湖北部分重点中学联考)已知x>0,y>0,若 2y+8x>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 时，。+名取得最小值—2+)的 最小值是 -295练案[5] 8.C2a+b=6. 1 4 A组基础巩固 1,C由已知结合函数单调性及基木不等式分别检验各选项即可 =1+品2]gx62. I 判断.令t=V√2+x.则1≥2.y= 23+1+在 2+r 当且仅当，3=。2，即6=子a=弩时，取等.放选C [过。)上单调适端，商数在1=万处取得最小值4错 9.BCD因为a,b>0,所以2=a+b≥2a品，所以0<ab≤1，当且 误：令=s,则由0<x<受得0<m<1y=m+在(0， 仅当a=b=1时等号成立，由b≤1，得2h≤2.所以2ab的最大 值为2.A错误：2+8=(a+b)2-2a6≥4-2=2，B正确：片+ 上单调递减，没有最小值，B错误：y=心+兰-2≥2√·子 e 古=”出品≥2.C正确：品≥2.D正确，故选D ab -2=2,当且仅当x=0时取等号.C正确：当x<0时，D显然不 成立.故选C 10BD人s=亡取到最小值4，则=4，显然不成立因 2D因为x>0.a>0,所以)=4+≥2V4·是=4a, 为√星+3≥5，所以取不到“=”，设√爱+3=1(1≥5)，y 当且仅当4红=是，即4=a时x)取得最小值.又因为八x) 1+在万，+)上为增函数，最小值为与，故B正确：因为 在x=3时取得最小值，所以a=4×32=36.故选D. 3.B解法一（特值法）：代入a=1,b=2,则有0<a=1<b= 0时.3+兰≥2√3·手=45，当组仅当3=，即 2<-l562 2时取。，所以y=2-(3x+)有最大值2-45，故C 解法二（直接法）：我们知道算术平均数“中与儿何平均数，瓜 项不正确，D项正确.故选BD. 的大小关系，其余各式作差（作商）比较即可.答案为B. 1BC由题意知a≤(a+b(日+）=I0+的+兴 a 4.C因为日+子=瓜，所以a>0.6>0, :10+2+号≥10+2√受·妥=6（当且仅当a=6时取等 由=+2 /12 号)， 所以ab≥22（当且仅当b=2a时取等号）， 六10+边+受的最小值为16. 所以ab的最小值为2√2 故n的最大值为16.选BC 5B解法-一：由题意x+y(位+）+)=1+上+号+923由题设，+号≥2√日·号：么=3，当且仅当6=9如 x>0, =6时等号成立： y>0, 上.9E+9=16.当且仅当 ≥1+2xy 13)6(2)9 + [解析](1)，x>2.∴，x-2>0. 9x 4 4 x 六x+,2=-2+x2+2≥24+2=6， 取等号，故选B 解法二：由+9=1得9x+y-y=0,即(x-1)y-9)=9. 当且仅当-2=名2即4时=成立 t y 可知x>1,y>9,所以x+y=(x-1)+(y-9)+10≥ +的最小做为6 2/(x-1)(y-9)+10=16. (2),x≥4，∴.x-1≥3 ex>1. y>9. :通数y=1+在3，+)止单调递推， 当且仅当上+9 =1, 即时取等号，故法 x Y 六当-1=3，即4时，=(x-)+兰+1 lx-1=y-9=3, 6.C因为x>0,y>0,x+9y=3. 有最小值宁 1 14.9)=3+1+31≥26-1=5a=9,经检验，当 3=2,即x=g2时等号成立 15.(-4.2)x>0.y>0. 当且仅当=生且x+9y=3, 即，=子=时取等马。 2￥2受· ,2位.8证=8（当且仅当y=2:时取等号）， :立+8s的最小值为8， 7.D由题意知， )6任+l4=+1++h 由题意可知m+2m-8<0,解得-4<m<2. x+I 即m的取值范围是(-4,2). x+1 因为x>0,所以x+1>0. 16 5y+y=1,…y40且2=- 5 += 则+1++1≥2+1=5， y2= 14y (当且仅当+1=即1时取） 故八x)的最小值是5. 品：弓时取等号示+？的最小值为号 -422- B组能力提升 Ac因为a>0.6>0,且a+6=l,所以a6≤（生，所以ab -4=+÷面+÷=（+水m+) ≤寸当且仅当a=b=之时取等号，所以6有最大值子，所以 +片+0）>2+2√品·只)-2，当组仅当0=只 即n=m时，等号成立，故D正确.故选ACD A正确： 5.8由a+2b-4=0得a+2b=4,2+4=2”+2≥ 后+6≤2√宁=2，当组仅当a=b=取等号，所以a+ 22”·2产=22+=2√2=8（当且仅当2°=2，即4=26 时取等号).∴2”+4的最小值为8. 石的最大值为2，所以B正确： 因为+古出动≥4，当且仅当0=6=宁时取等号，所 2-13+222+22由女+子=（日+2a+b)=3 以女+古有最小值4，所以C正确： 因为+63a生-宁，当且仅当a=b:号时取等号.所 当且仅当b=√2a,即a=√2-1，b=2-√2时等号成立， 2 以心+6的最小值不是牙所以D箱误故选ABC +÷++出：+ a 2.C因为lg2+g8'=g2, 20◆号>220号2*2 a 所以lg(2·8)=g2. 当且仅当a=2b,即a=2-2,b=2-1时等号成立. 所以2y=2, 所以x+3y=1 第二章函数概念与基本初等函数I 因为x>0,y>0 所以+=+3)（+动）=2++≥2 第一讲函数的概念及其表示 2任·京4，当且仅当=3=宁时取等号，所以片·方的知识梳理 知识梳理·双基自测 x 最小值为4.故选C 知识点一 3.A令x+1=m,y+2= 1.非空数集任意唯一确定 x>0,y>0..m>0.n>0 2.定义域值域对应关系 则m+n=x+1+y+2=8, 3.解析法 :知识点二 2.并集 =8(0+只+2小g2+2)=2 :知识点三 2.不等于0大于或等于0R{x1x≠0：R(0.+)》 当且仅当只丹，即m=n=4时等号成立 知识点四 中+，+2的最小值为分 1 R2{。{。匀 3.yly≠04.(0，+0)5.R 4.ACD根据2a+b=1,利用基本不等式“1”的妙用，即可求出2a 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)× +的最小值：先将2+6=1完全平方后展开，利用基本不等2BA中函数的定义城不是[-2,2]：C中图象不表示函数：D中 函数的值域不是[0,21. 式即可求解：用么表示出a,再代人。+大中，利用基本不等3.D根据)以及函数的奇偶性确定正确答案.八1)=2≠ 式求出最小值：设公好用如和表示出。和6，再代人 3,A选项错误：f(1)=-3≠3，B选项错误：/x)=3x2是偶函 数，C选项错误：f(1)=3,八x)=3x为奇函数，符合题意，故 选D ”)+,化简变形，利用基本不等式求得最小值.因为“>0,4.BD由图象得此函数定义域为[-4,0]U[1,4),值域为[0， b>0,2a+b=1.所以六+古-（位+古2+b)=2+ b +),在定义域内不具备单调性，当y∈(5，+)时都有唯一 的x与之对应.因此，A、C不正确.故选BD. 2+2√会要=4，当且仅当会=兴即6：2山时，等号 5.(2+x)2利用复合函数的性质直接求解.由f(m)=2,4=2+ x复合而成的复合函数是y=(2+x) 成立，放A正确：2a+b=1d1=(2a+b2=4加+B+4b=6.（-0,0)U(0,1门因为x)=+-,所以x≠0,1-米 4如2+形+2v4√B≤2(4松+8)4d2+≥2，当且仪当 ≥0，解得x∈(-x,0)U(0,1], a24 7.2因为6>，4=2，所以f爪6)=(6)2-4=2，所以ff6)] 时等号成立，放B错澳：原式=+ 1 =/2)=12-31+a=1+a=3,解得a=2. b=立 +1 考点突破·互动探究 :考点1 (片之+1+1+)≥号（当且仅当6=子a=2时取等 例：{2<x<3,且x≠ Tl%s(x-2)>0. r0<x-2<1. 12x-5≠0 号）故C正商：令化好则[公子由a+6=4,得a r2<<3 ￥*2 所以函数的定义域为2<x<3,且x≠} 423