练案(3)1.3 不等关系与不等式-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

三、填空题 13.(2024·河北藁城新冀明中学月考)命题“Vk>0,方 3.方程 m+4m一3=1表示双曲线的一个充分不必要 2 程x2+x-k=0有实根”的否定为 条件是 () 14.下列命题中的假命题是 (填序号) A.-3<m<0 B.m<-4或m>3 ①3x∈Q,使2x-x2=0:②3xeR,sinx≠0：③存在钝 C.m<-3 D.m>3 角三角形的内角不是锐角或纯角：④Vx1>x2,2>2. 4.(2024·湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式1x-1川< 15.(2023·潍坊一中月考)若a,b都是实数，试从①ab a成立的充分条件是0<x<4,则侧实数a的取值范围是 =0:②a+b=0:③a(a2+b2)-0:④ab>0中选出适 合的条件，用序号填空 A.(-,1] B.(-0,1) (1)“a,b都为0”的必要条件是 C.(3,+) D.[3,+) (2)“a,b都不为0”的充分条件是 5.（多选题)(2022·湖北鄂南高中模拟预测)给定命题 (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是 p:Hx>m,都有x2>8.若命题p为假命题，则实数m 可以是 ( 16.已知命题p:3xe[1,4],是+x>4是假命题，则实 A.I B.2 C.3 D.4 数a的取值范围是 6.(2022·河南三门峡高二期未)有四张卡片，它们的一 面为数字，另一面写着英文字母.现在它们平放在桌 B组能力提升易 面上，只能看到向上面的情况如图.对于命题P:所有 1.孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数 大写字母的背面都写着奇数，要验证p的真假，至少要 量最多，分布最广的虎亚种.孟加拉虎有四种变种，分 翻开的是 别是白虎（全身白色，有黑色斑纹），雪虎（全身白色， 有淡淡的黑色斑纹)，金虎（全身金黄色，有黑色斑 纹)，纯白虎（全身白色，没有斑纹）.已知甲是一只孟 ① ② ④ 加拉虎，则“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的( A.①④ B.①② A.充分不必要条件 C.①3 D.①3④ B.必要不充分条件 7.(1)“x>y>0“是1<1"的 条件 y C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“am0≠1”是0≠牙的 条件。 2.(多选题)下列命题不正确的是 (3)在△ABC中，“A=B”是“LanA=lanB”的 A“a>1"是1<1"的充分不必要条件 条件 a B.命题“任意x<1,都有x2<1”的否定是“存在x≥1， 8.已知函数)=+兰g（)=2r+a,若Ve 使得x2≥1” C,设x,yeR,则“x≥2且y≥2”是“x2+y≥8”的必要 [2小，e[2,3],使得f()≤g(,则实数a 不充分条件 的取值范围是 D.设a,beR,则“a≠0”是“ab≠0"的必要不充分条件 练案[3] 第三讲 不等关系与不等式 A组基础巩固 2.已知a+b<0,且a>0,则 A.a2<-ab <b2 B.b2<-ab <a? 一、单选题 C.a2<b2<-ab D.-ab <b2<a 1.某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和3.给定下列四个命题： 语文成绩：的总成绩高于200分且低于240分，用不 命题①：a>b,c>d一a-c>b-d:命题②：a>b→ 等式组表示为 AF>100. x≥100 (<:命题8- B. 200<y+z<240 200≤y+:≤240 题④：a<b<0→片号 x>100 C. D./≥100， 其中真命题的个数是 1200≤y+2≤240 1200<y+z<240 A.1 B.2 C.3 D.4 291 4.(2023·湖北黄冈质检)已知x>y>2,x+y+z=0,则14.(2023·辽宁育明高中一模)一般认为，民用住宅窗 下列不等式中成立的是 A.xy>yz B.x>yz 户面积a与地板面积6的比应不小于10%，即0≤ C.xy >xz D.xlyl >alyl 号<1，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与 5.若a是实数，P=√a+10+a,Q=√a2+6+ 地板面积同时增加m,采光效果变好还是变坏？请将 √0+4，则P,Q的大小关系是 你的判断用不等式表示 A.Q>P B.P=0 C.P>Q D.由a的取值确定 15.设0x<1,则a=V2b=1+,c=亡中最大的 6.下列四个数中最大的是 一个是 A.lg 2 B.Ig2 16.已知a>b>c,2a+b+c=0,则C的取值范围是 C.(1g2) D.Ig(Ig 2) 7.若a,B满足-号<a<B<受，则2a-B的取值范围是 四、解答题 2 ( 17.（1)若c-a≥0，d>0,求证：若≤ d A.-T<2a-B<0 B.-T<2a-B<T (2)已知c>a>b>0,求证：a>6 C-<2a-B<号 c-ac-b D.0<2a-B<T 8(2023·山东青岛模拟)已知1<。<方M=a,N= a,P=b",则M,N,P的大小关系正确的为 () A.N<M<P B.P<M<N C.M<P<N D.P<N<M 二、多选题 9.下面列出的几种不等关系中，正确的为 Ax不大于3，可表示为“x<3” B组能力提升 B.x与2的和是非负数，可表示为“x+2>0” 1.把下列各题中的“=”全部改成“<”，结论仍然成立的 C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a,b, 是 () c,则可表示为“a+b>c” A.如果a=b,c=d,那么a-e=b-d D.若某天的温度为1，最低温度为7℃，最高温度为 B.如果a=b,c=d,那么ac=bd 13℃，则这天的温度范围可表示为“7℃≤1≤13℃” 10.下列四个条件，能推出。 <方成立的有 11 C.如果a=b,c=d,且cd≠0，那么“=b ) c-d D.如果a=b,那么a3=b A.b>0>a B.0>a>b 2.(多选题)(2024·吉林省通榆一中高三上学期第四次 C.a>0>b D.a>b>0 11.若a<b<-1,c>0,则下列不等式中一定成立的是 质量检测)若实数x,y满足Ix1>y>0,则() A.x-y<y2 B.x24>y2则 Aa->b- Ra-古<- C.+上>2 D11 x- 3.(多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智 C.In(b-a)>0 (>( 石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学 12.(2024·长沙模拟)设实数a,b,c满足b+c=6-4a 家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学 +3a2,c-b=4-4a+a2,则下列不等式成立的是 界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 >0,b>0,a+b=2,则 A.c<b B.b≥1 A.0<a≤1 B.0<ab≤1 C.b≤a D.a<c C.a2+b2≥2 D.0<b<2 三、填空题 4.若1<a<3,-4<B<2,则α-B1的取值范围是 13.已知非零实数a,b满足a>b,则下列结论正确的是 (填序号). 5.abc,d均为实数，使不等式分>行>0和ad<c都 ①<2：2a>:32>2:④hd>h 成立的一组值(a,b,c,d)是 (只要写出适合 条件的一组值即可) 292 6.(2024·北京通州区期中)2014年6月22日，中国大 运河项日在卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产 ),则游船此次航行的平均速度与的大小 大会上成功人选世界遗产名录，成为中国第46个世界 关系是？ 遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成 为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅 游者的游览日的地。今有一旅游团乘游船从奥体公园 码头出发至遭运码头，又立即返回奥体公园码头.已 知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为2(”， 练案[4] 第四讲 一元二次不等式及其解法 酯A组基础巩固习 7.(2022·东北三校联考)已知关于x的不等式2-6kx +k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 一、单选题 () 1.下列不等式中解集为R的是 ( A[0,1] B.(0,1] A.-x2+2x+1≥0 B.x2-25x+5>0 C.(-0,0)U(1,+e) C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0 D.(-x,0]U[1,+0) 2.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是 ( ）8.(2023·山东淄博模拟)若存在x∈R,使ax2+2x+a {≤-1或≥引 <0,则实数a的取值范围是 A.(-x,1) B.(-,1] C.(-1.1) D.(-1,1] 二、多选题 9.下列四个解不等式，正确的有 A.不等式2x2-x-1>0的解集是{xlx>2或x<1} B.不等式-6x2-x+2≤0的解集是 3.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的 {≤-号或≥ 解集是 C.若不等式ar2+8ax+21<0的解集是{xl-7<x< A.xlx<-n或x>m B.xl-n<x<ml -1川，那么a的值是3 C.{xlx<-m或x>n D.xl-m<x<nl D.关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(g,1),则 4.若关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为 p+g的值为-1 {:品<x<2则m的取值范围是 10.已知关于x的不等式a2+bx+c>0,关于此不等式 的解集有下列结论，其中正确的是 A.m>0 B.0<m<2 A.不等式ax2+bx+c>0的解集不可能是{xlx>6 B.不等式ar2+bx+c>0的解集可以是R C.m<0或m>2 D.m<0 C.不等式ax+bx+c>0的解集可以是空集 5.(2023·广东中山市模拟)已知两个集合A={x1y= D.不等式ax2+x+c>0的解集可以是x2<x<3 11.若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列 m(-2++2)B={2e0小则4nB=( 说法正确的是 () A.a<0 A[-22 B(-1-] B.a+b+c>0 C.(-1,e) D.(2,e) C.关于x的不等式bx2+cx+3a>0解集为(-3,1) D.关于x的不等式bx2+cx+3a>0解集为(-x, 6.(2023·武汉调研)关于x的不等式ax+b>0的解集 -3)U(1,+) 是(1，+)，则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0 三、填空题 的解集是 12.不等式-x2-3x+4>0的解集为 A.(-,1)U(2.+)】 13.若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集，则实数m B.(-1,2) 的取值范围是 C.(1.2) 14.一元二次方程x2-(k-2)x+k+1=0有一正一负实 D.(-,-1)U(2,+) 数根，则k的取值范围是 -293变式训练 1.AB对于A.因为a>b. 练案[3] 所以a-h>0,故A正确： A组基础巩固 对于B.因为>b,且指数函数y=2在R上单调递增，所以2”1.D根据题日条件直接列出不等式组即可.数学成绩x不低于 >2,故B正确： 100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于 对于C,若c<0,则ac<bc,故C错误： 200分且低于240分表示为200<y+:<240,即 对于D,当a=1,b=-2时.a2<b,故D错误.选AB 「x≥100. 2ABD对于A,因为a>b>0,所以>>0，又c<0 200<y+r<240.故选D. 2.A解法一：令a=1,b=-2 云A正确： 则a2=1,-ab=2,b=4, 从而a2<-ab<6,选A 对于B,a(b-e）-b(a-c）=(b-)c>0,.a(b-e）>b(a- 解法二：由a+b<0,且a>0可得b<0. c).两边除以aa-e小名二兰>名B正确： 且a<-6. 因为a2-(-ab)=a(a+b)<0. 对于C,由幂函数y=x(e<0),得a<B,C错：对于D.由已知 所以0<<-ah. 得，ac<bc,-ac>-bc,又a-c=a+(-c)≥2√-ac> 又因为0<a<-b 2/-加，∴，D正确.故选ABD. 所以0<-ab<(-b)2,所以0<a2<-b<6,选A 3.(-子)由1<a<3得时 3.B根据不等式的性质逐项分析①3④，利用指数函数的单调 2 性判断2.①中，当a=5,b=4.c=3,d=1时，a-c>b-d不成 由-4<B<2得-2<-B<4, 所以号-B的取值范围是(-之·2) 311 立，是假命题：②中，y=()是R上的单调递减函数，所以@ 4.A由已知中：-3<a<-2,3<6<4可得：4<02<9, 1 >6时，（分<（分是真命题：③中，当a=2.6=1时，右边 成立，而左边不成立，是假命题：④中，4<6<0→0>6一么< <分结合不等式的同号可乘性，可得号的取值范鼠：-3< 名，是真命题故选B <-2.3<b<44<<9,<<分1<号 <3.故 4.C方法一：由x>y>:及x+y+z=0知x>0,:<0,y∈R.验证 选A 各选项知C成立 名师讲坛·素养提升 方法二（特殊值法）：取x=【,y=0,:=一1，代入各选项知C 微专题1 成立. 变式训练 5.A先平方，再分类讨论：的值，求解即可.显然P,Q都是正数 C解法一：因为实数x,y满足a<a'(0<a<1)所以x>y 又P=(/m+10+a)2=2a2+10+2a/a+10,= 对于A,取x=1,y=-3,不成立： (√a+6+/a+4)2=2a2+10+2√(a+6)(a+4)=2m 对于B,取x=π，y=-T不成立： +10+2/a+10n+24.①当a<0时.则a+10n+24>0 对于C,由于x)=x在R上单调递增，故x>y成立： 对于D,取x=2,y=-1,不成立.选C >a√0+10，Q>P,Q>P,②当a≥0时，则 解法二：根据指数函数的性质得x>y,此时，y之的大小不确 √a+10a+24>√a+10a=a√0+10，Q>P,Q>P. 定，故选项AD中的不等式不恒成立：根据三角函数的性质，选 综上所述，Q>P.故选A. 项B中的不等式也不恒成立：根据不等式的性质知，选项C中6.A因为g2∈(0,1)，所以g(g2)<0: 的不等式成立 微专题2 g2-(g2°=g2(分-e2>g2(号-g而）=0. 变式训练 即g2>(g2): BCD sin I(0.1)...log,sin 1)<0,2>1,..log (sin 1) <21,故A不正确： g2-g2=2g2>0,邶g2>g② 0<1.>1(日广<放正角 所以最大的是g2 若7-5<6-2，则0<7+2<6+5，即(7+2)2<(，6+ .0-是<<受-m<2a<m 5), -受<B<受-号<-B<受 即11+47<11+230，即47<2√30，即28<30成立，故C 正确： -<2a-< 2 log,3=1+logog5=1+log. 3 5 又a-B<0,a<号2a-B< 子<&且音< 故-<2a-B<号 憾子<g名3<g5,故D正确放选BGD 8B1 微专题3 ∴.0<b<a<1, 变式训练 ∴，指数函数y=”在R上单调递减， AB因为0<a<b<1,0<e<1,所以函数y=a”,y=lgx均是 .a>a",即N>M. 减函数，所以a°<a”,loga>ogb,所以C,D不正确： 又都函数y=x”在(0，+)上单湖递增。 又由函数y=lnx是增函数，y=是减函数，可得c>c,则e“ .a“>,即M>P, +1>e+1, ,N>M>P,故选B 所以ln(e”+1)>ln(c+1),所以A正确： 9.CD先根据各选项的语言表述列出不等式即可.：x不大于3， 因为0<c<1,可得c+1>1,所以函数y=(e+1)”是增函数， 可表示为x≤3，，A错误；：x与2的和是非负数，可表示为x+ 可得(c+1)”<(e+1),所以B正确.故选AB 2≥0，B错误：根据三角形中任何两边之和大于第三边，则+b 415 >,,C正确：最低温度为7℃，最高温度为13℃，∴.7℃≤1 ≤13℃，D正确，故选CD 所以与都是负数，所以+上<0，故C错误：因为1 10.ABD运用倒数性质，由a>b,ab>0可得。<名，B,D正确： 克广当x>0时，由1>y>0得>两 -Y 又正数大于负数，A正确，C带误，故选ABD, 边同乘x,得x2>xy,即x(y-x)<0:当<0时，由x>y>0得 1山.D由函数)=一士在(-，-)上为增函数可知，当。 <,两边同乘，得>，即(y-)<0,所以<故 <6<-1时。-。<6-。故A错误：由函数g)=+ D正确.故选BD. 3.BCD根据a>0,b>0.b=2-a列不等式判断AD,再根据基本 在(-，-1)上为增函数可知，当a<b<-1时，a+ 不等式判断C甲可a>0.6>0,6=2-六200.解得 名，即a-古<b-,故B正确：由a<6,得6-a>0,但不确 0<a<2.同理可以得到：0<b<2,故A不正确.则D正确.又 定b-a与1的大小关系，故ln(b-a)与0的大小关系也不确 ?b≤（生）-（号=1，并且当且仅当a=6时，取得等号。 定，故C错误：由a<6<-1可知，号>1,0<名<1，而c>0, 放得到：0<6≤1，所以B正确又~口+6≥a十b少，号 2 =2 则()>1>（合）>0，故D正确：故选BD 并且当且仅当a=b时.取得等号.故得到：a2+6≥2.所以C正 确.故选BCD. 12.BD b+c6-4红+30，两式相减得26=202+2，即6=0 4.(-3,3)-4<B<2, 1c-b=4-4a+a2, ,0≤Bl<4, +16L又6-a=1-a=e-广+2>06>n ∴.-4<-B1≤0 .-3<a-1B1<3 而c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0，∴.c≥b.从而c≥b>a. 1.23当a>0.6<0时，>0>，故①不正确， 5(2l,-3.-2)根据不等式号>行>0和d<加c都成立，可 由函数y=,y=2”的单湖性可知，②3正确： 知a.6同号.6d同号.号>行>0→分-号>0->0.d 当a=1,b=-1时，lna=m6=ln1=0,故④不正确， <一ad-bc<0,由此可知b,d异号，由这些信息可写出适合 4名<号十州若窗户面积与地板面积同时增加m,采光效果变 条件的一组值，如(2,1，-3，-2). 好了，用不等式表示为：若<册因为后-册 6.[解析】设两码头的距离为，则=，24一= b +m' 三+西+马】 山+）+m山=<0.所以号成立 b(b+m) b(b+m) 5+5=25+.4-(0+5)上.-(，-2 <0 2 15.c解法一：b-a=1+x-2x>1+x-2=(压-1)2>0 2 1+2 2(1+2) =20+) 6>ae-b-1+>0e>e>6>a (%*5）,即<5+5 2 ,e最大 第四讲 一元二次不等式及其解法 解法二：取=令则a=宁b=1+宫c=号=1+行，显然。 知识梳理·双基自测 最大 知识梳理 16.(-3,-1)因为a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,e<0,b= 知识点一 -2a-c因为a>b>c,所以-2a-c<a,即3a>-c,解得￡ 1.大于2.判别式3.4≥04.交点 知识点二 >-3.将b=-2a-c代入b>e中，得-2a-e>e,即e<-a, 两相异 两相等没有xx>2或x<x{xx∈R且x≠ 得<-1，所以-3<￡<-1. ,】R Ixlx1x<⑦☑ 双基自测 1.[证明]（1c≥ad,a>0音>≥号 1.(1)×(2)V(3)×(4)V(5)× 行+1≥g+1≤ 2.A不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0，即(x+6)(x b≤d -1)写0，解得-6≤x≤1，所以不等式的解集为x1-6≤x≤ (2)c>a>b>0,.e-a>0,c-b>0. 1. a>b>01<1 3.B根据一元二次方程根与系数的关系即可求解，，1+1=5， a<b x与2=6-6=5.长=6，心a=1时，6=-5，e=6,即2-5x a b1 +6=0.故选B. 又e-a>0,c-6>00>6 1 e-a e-6 2 +3 4.-14依题意知 B组能力提升 解特公a+6 1 1.D对于A,如果a<b,e<d那么a-e<b-d不一定正确，如5 <6.4<9,但5-4>6-9： -14. 对于B.如果n<b.c<d,那么r<d不一定正确，如-2<-1， 5.[0.4) 当m=0时，显然成立：当m≠0时，由已知得 l<4,此时e>d: 「m>0 对于C,如果a<6,e<d,且ad0,那么是<分不-定正确，如1 d=m-4m<0解得0<m<4综上，实数m的取值范倒是[0， 4). <21<8,此时兰>合：易知D正确 6.A 2+s0e6D(2+1)s0. x-1 2x+1*0 2.BD当x=3y=1时，x-y>y2,故A错误；因为1x>y>0,所 以1x1>11.所以x24>y2,故BE确：当x<0时，因为y>0, 台-子<≤1不等式的解集为宁小 -416-