九年级数学期中模拟卷（苏科版江苏专用，测试范围：九年级上册第1章-第3章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第3章。 5．难度系数：0.75。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：的度数为；；为等边三角形；弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（    ） A．众数、平均数分别是分与分 B．众数、中位数分别是分与分 C．众数、中位数分别是分与分 D．中位数、平均数分别是分与分 4．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 6．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7．一元二次方程的解是 ． 8．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次，射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是 ． 9．已知方程可以配方成的形式，那么 ． 10．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 11．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 12．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 13．习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ． 14．《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于 步． 15．小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是 ． 16．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题6分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本小题6分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 19．（本小题6分）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 20．（本小题8分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 21．（本小题6分）2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”．学校借此机会举行气象知识竞赛，要求每班选派10名同学参加（满分10分，成绩为整数），比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总并绘制成下面的条形统计图． (1)两个班的成绩分析如表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 6.7 b 3.41 乙班 a 7.5 1.69 填空： ， ． (2)参赛同学小婷说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小婷是 班的学生（填“甲”或“乙”）； (3)你认为甲乙两班哪个班成绩更好？请结合上表中的两种统计量说明理由． 22．（本小题6分）如图，四边形中，，是对角线，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（本小题6分）某水果超市热销一种箱装脐橙，其进价为每箱35元，当售价为每箱55元时，每天可卖出150箱．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：①每涨价1元，每天少卖出5箱；②每降价1元，每天多卖出10箱．如果只能调整一次售价，如何调整才能使每天的利润达到3125元？ 24．（本小题6分）如图，正六边形内接于，半径为．   (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 25．（本小题10分）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． （1）如图1，若四边形是圆美四边形，则美角______度． （2）在（1）的条件下，若的半径为10． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． （3）在（1）的条件下，如图3，若是的直径，用等式直接写出线段，，之间的数量关系． 26．（本小题12分） 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第3章。 5．难度系数：0.75。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：的度数为；；为等边三角形；弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（    ） A．众数、平均数分别是分与分 B．众数、中位数分别是分与分 C．众数、中位数分别是分与分 D．中位数、平均数分别是分与分 4．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 6．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7．一元二次方程的解是 ． 8．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次，射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是 ． 9．已知方程可以配方成的形式，那么 ． 10．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 11．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 12．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 13．习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ． 14．《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于 步． 15．小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是 ． 16．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题6分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本小题6分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 19．（本小题6分）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 20．（本小题8分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 21．（本小题6分）2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”．学校借此机会举行气象知识竞赛，要求每班选派10名同学参加（满分10分，成绩为整数），比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总并绘制成下面的条形统计图． (1)两个班的成绩分析如表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 6.7 b 3.41 乙班 a 7.5 1.69 填空： ， ． (2)参赛同学小婷说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小婷是 班的学生（填“甲”或“乙”）； (3)你认为甲乙两班哪个班成绩更好？请结合上表中的两种统计量说明理由． 22．（本小题6分）如图，四边形中，，是对角线，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（本小题6分）某水果超市热销一种箱装脐橙，其进价为每箱35元，当售价为每箱55元时，每天可卖出150箱．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：①每涨价1元，每天少卖出5箱；②每降价1元，每天多卖出10箱．如果只能调整一次售价，如何调整才能使每天的利润达到3125元？ 24．（本小题6分）如图，正六边形内接于，半径为．   (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 25．（本小题10分）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． （1）如图1，若四边形是圆美四边形，则美角______度． （2）在（1）的条件下，若的半径为10． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． （3）在（1）的条件下，如图3，若是的直径，用等式直接写出线段，，之间的数量关系． 26．（本小题12分）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第3章。 5．难度系数：0.75。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意； B、是分式方程，故B不符合题意； C、是二元二次方程，故C不符合题意； D、是一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 2．在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：的度数为；；为等边三角形；弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵弦所对的劣弧为圆的， ∴的度数为，故正确， 的度数即为的度数，即，故正确， ∵，， ∴是等边三角形，故正确， ∵是等边三角形, ∴， ∵，都是半径， ∴弦的长等于这个圆的半径，故正确， 故选：． 3．某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（    ） A．众数、平均数分别是分与分 B．众数、中位数分别是分与分 C．众数、中位数分别是分与分 D．中位数、平均数分别是分与分 【答案】C 【详解】由全班共有人，分和分的学生共有人，分学生超过人， ∵分学生的扇形统计图中对应的圆心角是钝角，而， ∴分学生人数大于等于人， ∵分和分的学生共有人，剩下四种分数的也有人，按照分数从小到大排序，则在第位和第位的是分和分， ∴中位数是分， 根据扇形统计图，只有分的是钝角，其余都是锐角，因此得分的人数最多，∴众数是分， 由分和分的学生共有人，分学生超过人，分学生人数大于等于人，因此分学生最少人，分学生最多人，分学生最少人，此时设分学生人，则分学生人，分学生： 人，平均数为 ， ∵， ∴平均数大于， ∴众数分，中位数分，平均数大于分， 故选：． 4．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如下图： 由题意知：，，， ∴， 设为量角器所在半圆的半径为r，则，∴， 在中，， 即，解得：，， ∴ 故选：D． 5．在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 【答案】B 【详解】解：如图，，，点在射线上，作于点， ， ， 不存在的，故甲不符合题意； ，，， 而， 存在的，使得的长唯一成立，如上图中的点即是，故乙符合题意； ，， 当的外接圆半径为4时， 如图， ， ， ， ， 存在两个使的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在的上、下两侧，故丙不符合题意； 综上所述，只有乙符合题意． 故选：B． 6．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，      设， 为中点， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积的面积， 的面积的面积）的面积的面积）， 的面积的面积， ， ， 解得：或（舍去）， ， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7．一元二次方程的解是 ． 【答案】 【详解】∵， ∴移项得，， 分解因式得，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次，射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是 ． 【答案】甲 【详解】解：∵， ∴， ∴射击成绩最稳定的是甲， 故答案为：甲． 9．已知方程可以配方成的形式，那么 ． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 10．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 11．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵， ∴即， 解得， 故答案为： 12．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点， ∴，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， 即的长为， 故答案为：． 13．习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 14．《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于 步． 【答案】4 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得、、与相切，，， ∴，， ∴四边形为矩形，， 又∵，∴矩形为正方形， 设半径为，则， ∴，， ∴，解得， ∴圆的直径为步， 故答案为：4． 15．小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是 ． 【答案】 【详解】解：， 设，则， ，， 与为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，    等边的边长为，为中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，为直角三角形， 内切圆半径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 圆心到的距离为， 故答案为：，． 16．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题6分）解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得，，；…………………………3分 （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得，，．…………………………6分 18．（本小题6分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程总有两个实数根；…………………………3分 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，，…………………………5分 ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：．…………………………6分 19．（本小题6分）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴．…………………………3分 （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴…………………………6分 20．（本小题8分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【详解】（1）解：， 原方程为， 解得：；…………………………2分 （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根；…………………………5分 （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ．…………………………8分 21．（本小题6分）2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”．学校借此机会举行气象知识竞赛，要求每班选派10名同学参加（满分10分，成绩为整数），比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总并绘制成下面的条形统计图． (1)两个班的成绩分析如表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 6.7 b 3.41 乙班 a 7.5 1.69 填空： ， ． (2)参赛同学小婷说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小婷是 班的学生（填“甲”或“乙”）； (3)你认为甲乙两班哪个班成绩更好？请结合上表中的两种统计量说明理由。 【详解】（1）解：乙组的成绩为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9． 乙组平均数为 甲组的成绩为：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10． 甲组中位数为6， 故答案分别为7.1，6；…………………………2分 （2）解：小婷的成绩为7分属中游略偏上，甲组的中位数是6， 小婷在甲组． 故答案为甲．…………………………4分 （3）解：因为从平均分、中位数、众数看，乙班成绩大于甲班，从方差看乙班小于甲班， 所以乙的成绩比较好．…………………………6分 22．（本小题6分）如图，四边形中，，是对角线，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【详解】解：如图，先作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点P， …………………………4分 则， ∵，， ∴， ∴， 则点P即为所求．…………………………6分 23．（本小题6分）某水果超市热销一种箱装脐橙，其进价为每箱35元，当售价为每箱55元时，每天可卖出150箱．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：①每涨价1元，每天少卖出5箱；②每降价1元，每天多卖出10箱．如果只能调整一次售价，如何调整才能使每天的利润达到3125元？ 【详解】解：分两种情况讨论： ①当每箱售价涨价x元时，每天少卖出箱， 根据题意得，， 解得；…………………………2分 ②当每箱售价降价y元时，每天多卖出箱， 根据题意得，， 化简得，， ， 此方程无实数根；…………………………5分 由①②可知，每箱售价涨价5元时，每天的利润达到3125元．…………………………6分 24．（本小题6分）如图，正六边形内接于，半径为．   (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【详解】（1）解：连接，，如图：    六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ．…………………………2分 （2）连接，，如图：    则为的直径， ，，…………………………………………3分 由（1）得：， 在中，， ，…………………………4分 G为的中点， ，……………………………………………………5分 在中，， ．…………………………6分 25．（本小题10分）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． （1）如图1，若四边形是圆美四边形，则美角______度． （2）在（1）的条件下，若的半径为10． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． （3）在（1）的条件下，如图3，若是的直径，用等式直接写出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）四边形是圆美四边形，是美角 ，解得 故答案为：；…………………………2分 （2）①如图1，连接OB、OD，过点O作 由（1）知， 则在中， 故BD的长为；………………………………………………4分 ②如图2，延长CD至点F，使得，连接AF 由（1）知， 平分 由圆内接四边形的性质得： 又 在和中， 是等边三角形 即；…………………………6分 （3）如图3，延长BC、AD，交于点G 是的直径 由（1）知， …………………………7分 在中， 在中， …………………………9分 故所求的线段之间的数量关系为．…………………………10分 26．（本小题12分） 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中，， ∴， ∴；…………………………………………………………………………2分 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆；…………………………3分 结论应用： （1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为；……………………………………………………5分 （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为；………………………………………………8分 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，，…………………………9分 ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴，…………………………10分 ∴线段长度的最大值为， ∴．…………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 D A C D B C 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7． 8．甲 9．1 10．△ADC、△BDC、△ABD 11． 12．4 13． 14．4 15．, 16． 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题6分） 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得，，；…………………………3分 （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得，，．…………………………6分 18．（本小题6分） 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程总有两个实数根；…………………………3分 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，，…………………………5分 ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：．…………………………6分 19．（本小题6分） 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴．…………………………3分 （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴…………………………6分 20．（本小题8分） 【详解】（1）解：， 原方程为， 解得：；…………………………2分 （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根；…………………………5分 （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ．…………………………8分 21．（本小题6分） 【详解】（1）解：乙组的成绩为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9． 乙组平均数为 甲组的成绩为：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10． 甲组中位数为6， 故答案分别为7.1，6；…………………………2分 （2）解：小婷的成绩为7分属中游略偏上，甲组的中位数是6， 小婷在甲组． 故答案为甲．…………………………4分 （3）解：因为从平均分、中位数、众数看，乙班成绩大于甲班，从方差看乙班小于甲班， 所以乙的成绩比较好．…………………………6分 22．（本小题6分） 【详解】解：如图，先作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点P， …………………………4分 则， ∵，， ∴， ∴， 则点P即为所求．…………………………6分 23．（本小题6分） 【详解】解：分两种情况讨论： ①当每箱售价涨价x元时，每天少卖出箱， 根据题意得，， 解得；…………………………2分 ②当每箱售价降价y元时，每天多卖出箱， 根据题意得，， 化简得，， ， 此方程无实数根；…………………………5分 由①②可知，每箱售价涨价5元时，每天的利润达到3125元．…………………………6分 24．（本小题6分） 【详解】（1）解：连接，，如图：    六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ．…………………………2分 （2）连接，，如图：    则为的直径， ，，…………………………………………3分 由（1）得：， 在中，， ，…………………………4分 G为的中点， ，……………………………………………………5分 在中，， ．…………………………6分 25．（本小题10分） 【详解】（1）四边形是圆美四边形，是美角 ，解得 故答案为：；…………………………2分 （2）①如图1，连接OB、OD，过点O作 由（1）知， 则在中， 故BD的长为；………………………………………………4分 ②如图2，延长CD至点F，使得，连接AF 由（1）知， 平分 由圆内接四边形的性质得： 又 在和中， 是等边三角形 即；…………………………6分 （3）如图3，延长BC、AD，交于点G 是的直径 由（1）知， …………………………7分 在中， 在中， …………………………9分 故所求的线段之间的数量关系为．…………………………10分 26．（本小题12分） 【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中，， ∴， ∴；…………………………………………………………………………2分 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆；…………………………3分 结论应用： （1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为；……………………………………………………5分 （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为；………………………………………………8分 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，，…………………………9分 ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴，…………………………10分 ∴线段长度的最大值为， ∴．…………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学期中模拟卷 数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 [ A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 3 0 分） 7 ． __________ 8 ． __________ 9 ． ________ 1 0 ． _________ 11 ． 1 2 ． _________ 1 3 ． _________ 1 4 ． ________ 15 ． _________ 16 ． _______ _____ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 7 2 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 ．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 6 分） 19 ． （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 8 分） 2 1 ． （ 6 分） （1） 、 ； （2） ； （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 6 分） 23 ． （ 6 分） 24．（6分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（ 10 分） （1） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ．（ 12 分） 【问题解决】 【结论应用】 （1） ； （ 2 ） ； ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学期中模拟卷 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6 分） 19．（6 分） 20．（8 分） 21．（6 分） （1） 、 ； （2） ； （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 7．__________ 8．__________9．________ 10．_________ 11． 12．_________13．_________14．________15．_________16．____________ 三、解答题：本题共 10 小题，共 72分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（6 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（6 分） 23．（6 分） 24．（6 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） （1） 26．（12 分） 【问题解决】 【结论应用】 （1） ； （2） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！