专题17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式（16题型提分练）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式 目录 题型一：分组求和：公式法 1 题型二：分组求和：奇偶分段型 2 题型三：分组求和：正负相间型 3 题型四：倒序求和型 3 题型五：裂项相消1：函数型 4 题型六：裂项相消2：指数型 5 题型七：裂项相消3：无理根号型 6 题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型 7 题型九：裂项相消5：等差指数混合型 7 题型十：裂项相消6：正负相间裂和型 8 题型十一：裂项相消7：三角函数型 9 题型十二：裂项型证明数列不等式 10 题型十三：三角函数型数列不等式证明 11 题型十四：先求和再放缩证明数列不等式 12 题型十五：先放缩再求和证明数列不等式 13 题型十六：利用导数不等式证明数列不等式 13 题型一：分组求和：公式法 等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 1．（23-24高三·河北唐山·模拟）已知数列，，． (1)证明：数列，为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 2．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（23-24高三·重庆九龙坡·模拟）已知等差数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前n项和． 4．（22-23高三·河南郑州·期中）已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 题型二：分组求和：奇偶分段型 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项： （1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和 1．（23-24高三·江苏泰州·模拟）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，．(1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 2．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（23-24高三下·广东·模拟）已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前100项和． 4．（23-24高三·江苏盐城·期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型三：分组求和：正负相间型 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 1．（24-25高三·全国·练习）已知数列，求数列的前项和． 2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 4．（23-24高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，， 是数列的前项和.求 题型四：倒序求和型 倒序求和： 倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数。 1．（2022高三·全国·模拟）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 2．（20-21高三·全国·模拟）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 3．（20-21高三·江苏苏州·期中）已知 （1）若，求； （2）若，求除以5的余数 4．（23-24高三·四川成都·模拟）已知数列满足：，数列满足.(1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 题型五：裂项相消1：函数型 函数型，指的是 （1） f（n）=t（q-p），差型； （2） f（n）是分离常数型； 1．（24-25高三·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 2．（23-24高三·江西·模拟）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 4．（23-24高三·河北石家庄·模拟）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论. 题型六：裂项相消2：指数型 指数型，类似函数型的列项思维 形如 1．（23-24高三·河南·模拟）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：. 2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列满足 (1)求证: 为等比数列； (2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和. 3．（23-24高三·云南曲靖·模拟）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设各层球数构成一个数列 (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，数列满足，求数列的前项和 题型七：裂项相消3：无理根号型 无理根式型裂项： 一般情况下，无理型裂项相消满足： 1．（23-24高三·四川南充·期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和，求证：. 2．（23-24高三·辽宁本溪·期末）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，． (1)若在处取得极值，讨论的单调性； (2)设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； (3)设，证明：． 4．（2024·福建三明·三模）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围； (3)记，求证：． 题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。 1．（23-24高三·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 3．（23-24高三·安徽芜湖·模拟）设是正项数列，且其前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 32．（23-24高三·江苏盐城·期末）数列中，，，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数. 题型九：裂项相消5：等差指数混合型 ，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的 1．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 2．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足． (1)计算，并求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 3．（2024高三·全国·模拟）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求与； (2)设，求数列的前n项和． 4．（23-24高三·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 题型十：裂项相消6：正负相间裂和型 正负型：等差裂和型 1．（23-24高三·湖北武汉·期中）已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 2．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前10项和． 3．（23-24高三·海南省直辖县级单位·模拟）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若，判断数列是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”， ①求的值； ②设为数列的前项和，证明： 4．（23-24高三·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 题型十一：裂项相消7：三角函数型 1．（2024高三·全国·模拟）已知在数列中，. (1)求数列 的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2024项和. 2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列的前n项和为，，， (1)求； (2)若，求数列的前1012项和． 3．（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 4．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知. (1)求； (2)证明：是等差数列，并求出； (3)设，求的前项和. 题型十二：裂项型证明数列不等式 裂项型证明数列不等式： 1. 裂项求和。 2. 求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。 3. 一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明 45．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知数列的前项和为，满足：，且． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 2．（23-24高三·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 3．（23-24高三·山西·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 4．（23-24高一下·上海·期中）设是数列的前项和，且是和2的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记； ①求数列的前项和； ②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 题型十三：三角函数型数列不等式证明 三角函数数列不等式： 1. 利用三角函数的周期型。 2. 利用三角函数正余弦函数的有界性。 3. 一些题型，可以借助泰勒公式等导数形式证明的结论 1．（23-24高三·湖北·期中）18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数． (1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字） (2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；(3)已知，证明：． 2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数. (1)根据公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)当时，比较与的大小，并证明； (3)设，证明：. 3．（2024高三·全国·模拟）已知函数. (1)证明：； (2)求证：. 4．（23-24高三·四川成都·期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________； (2)当时，比较与的大小，并说明理由； (3)证明： 题型十四：先求和再放缩证明数列不等式 1．（24-25高三·辽宁·开学考试）已知为数列的前项和，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)设，证明：. 2．（23-24高三·江西南昌·模拟）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在实数，使数列为等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由； (3)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 3．（23-24高三·浙江·模拟）已知数列满足，. (1)若，求数列的前n项和； (2)若，设数列的前n项和为，求证：. 4．（23-24高三·河北承德·期末）已知正项数列满足，数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 题型十五：先放缩再求和证明数列不等式 先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，所以放缩成能求和的形式。 1．（23-24高三·天津北辰·模拟）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且， (1)求的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． (3)求证：． 4．（2024·山东·二模）记为数列的前项和，． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 3．（2024·广东肇庆·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.(1)求； (2)已知，求数列的前项和；(3)求证：. 4．（23-24高三·辽宁·期末）已知函数，数列满足正整数 (1)求的最大值； (2)求证：； (3)求证：． 题型十六：利用导数不等式证明数列不等式 1．（2024·全国·模拟预测）设整数，且，函数． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，证明：． 2．（24-25高三·四川成都·开学考试）已知. (1)求的定义域； (2)若恒成立，求能够取得的最大整数值； (3)证明：. 3．（24-25高三·河北·开学考试）已知函数. (1)求证； (2)求方程解的个数； (3)设，证明. 4．（23-24高三·山东日照·期中）已知数列满足，且对任意正整数都有. (1)写出，并求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值； (3)设是数列的前项和，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式 目录 题型一：分组求和：公式法 1 题型二：分组求和：奇偶分段型 3 题型三：分组求和：正负相间型 5 题型四：倒序求和型 7 题型五：裂项相消1：函数型 9 题型六：裂项相消2：指数型 12 题型七：裂项相消3：无理根号型 14 题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型 17 题型九：裂项相消5：等差指数混合型 20 题型十：裂项相消6：正负相间裂和型 22 题型十一：裂项相消7：三角函数型 26 题型十二：裂项型证明数列不等式 28 题型十三：三角函数型数列不等式证明 30 题型十四：先求和再放缩证明数列不等式 35 题型十五：先放缩再求和证明数列不等式 39 题型十六：利用导数不等式证明数列不等式 43 题型一：分组求和：公式法 等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 1．（23-24高三·河北唐山·模拟）已知数列，，． (1)证明：数列，为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件得到，，即可证明答案. （2）根据题意得到，再解方程组即可. （3）利用分组求和的方法求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，. 而，，所以， ，.所以数列是以首项，公比为的等比数列. 数列是以首项，公比为的等比数列. （2）由（1）知：，. （3）因为，所以. 2．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【详解】（1）由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且，， ，． （2）由题意及（1），可得，则 ． 3．（23-24高三·重庆九龙坡·模拟）已知等差数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可； （2）利用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可. 【详解】（1）由题意可知，所以， 设的公差为d，则，所以； （2）由题意知，， 易知， 故. 4．（22-23高三·河南郑州·期中）已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由和的关系式消去得递推式，由此构造等比数列； （2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得. 【详解】（1）当时，，解得 因 ①， 当时，②              ①-②得，，即， 则，即，，又 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）法一、由（1）可得，即，        法二、由（1）可知，即， 又由题知： 代入可得 题型二：分组求和：奇偶分段型 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项： （1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和 1．（23-24高三·江苏泰州·模拟）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，．(1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出公差和公比，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通项； （2）根据数列的奇偶性特征，运用分组求和法计算，利用等差数列和等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由可得，，解得：故 （2）由（1）得，，， 则 2．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，解得或， 因为，所以，则； （2）由（1）可得， 所以. 3．（23-24高三下·广东·模拟）已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前100项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项， （2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为，根据题意得即 解得或．又因，所以．所以的通项公式为． （2）由（1）得．即数列的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列， 奇数项是以为首项，16为公比的等比数列． 数列的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项， 数列的前100项和． ，． 所以． 4．（23-24高三·江苏盐城·期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）直接根据等差数列，等比数列基本量的运算即可得结果； （2）分为奇数项和偶数项结合等差数列和等比数列的前项和即可得结果. 【详解】（1）由于等差数列的首项为1，公差 所以， 由数列为公比是2的等比数列且成等差数列， 知，解得，所以. （2）由（1）知，， . 题型三：分组求和：正负相间型 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 1．（24-25高三·全国·练习）已知数列，求数列的前项和． 【答案】 【分析】分奇偶讨论，结合分组（并项）求和即可. 【详解】若是偶数，则． 若是奇数，则． 综上所述， 2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据与的关系直接求通项公式即可； （2）根据（1）中的通项公式得到，分奇偶讨论并整合即可得到答案. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，，当时，上式也符合， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，，所以，． （ⅰ）当n为偶数时，； （ⅱ）当n为奇数时，； 综上所述，. 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据作差得到，从而得到，结合等差数列的定义计算可得； （2）由（1）可得，记，则，利用并项求和法计算可得. 【详解】（1）由，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是首项为，公差为的等差数列，所以； （2）由（1）知，所以， 记，则， 4．（23-24高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，， 是数列的前项和.求 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）设出公差，根据条件求解公差，即可求出通项公式； （2）利用并项求和法求解即可. 【详解】（1）为等差数列，设公差为，，， ，，成等比数列，， 即，整理得，解得或， 当时，，，当时，，， 数列的通项公式为或； （2），由（1）知，，， ， .故. 题型四：倒序求和型 倒序求和： 倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数。 1．（2022高三·全国·模拟）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数； （2）利用（1）中所求，当时，，可以采用倒序相加法，求和即可. 【详解】（1）证明：设，因为，故可得， 由知，故， 故. 故点的纵坐标为定值. （2）由（1）知 ，两式相加得： ， 故. 2．（20-21高三·全国·模拟）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由题意可得，然后利用可求出数列的通项公式； （2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果 【详解】（1）∵点均在函数的图象上，∴． 当时，； 当时，，适合上式，∴． （2）∵，∴．又由（1）知，∴． ∴，① 又，② ①+②，，∴． 3．（20-21高三·江苏苏州·期中）已知 （1）若，求； （2）若，求除以5的余数 【答案】（1）；（2）余数为1. 【分析】（1）根据倒序相加法，结合二项式系数和公式进行求解即可； （2）根据二项式定理进行求解即可. 【详解】（1）因为 所以 ， （2）因为. 除以5余数为1，所以除以5的余数为1. 4．（23-24高三·四川成都·模拟）已知数列满足：，数列满足.(1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：，当时，可得， 两式相减，可得，所以，当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 题型五：裂项相消1：函数型 函数型，指的是 （1） f（n）=t（q-p），差型； （2） f（n）是分离常数型； 1．（24-25高三·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，当时，，代入题干表达式可得，通过计算数列的通项公式即可计算出前项和的表达式，最后结合公式，即可计算出数列的通项公式； （2）由（1）计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立． 【详解】（1）由，得，即； 又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，又是正项数列，所以． 当时，，又当时，不符合时的形式． 所以 （2）证明： ， ． 2．（23-24高三·江西·模拟）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法得到，即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）因为，当时，所以； 当时， 所以，所以，经检验当时也成立， 所以. （2）由（1）可得， 所以，当时，， 且， 所以单调递增，所以． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果； （2）根据（1）中结果得到，利用裂项相消法得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为①，所以当时，②， 由①②得到，整理得到，又，所以，得到， 所以当时，， 当，满足，所以. （2）由（1）知， 所以， 因为，且，所以是关于的递增数列，由恒成立，得到， 所以实数的最小值为. 4．（23-24高三·河北石家庄·模拟）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1)(2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出的通项公式； （2）将化简，利用裂项相消法求和，即可得，从而判断. 【详解】（1）设的公差为，由题意得， 即，解得， 所以. （2）， 所以， 因为，所以，即. 题型六：裂项相消2：指数型 指数型，类似函数型的列项思维 形如 1．（23-24高三·河南·模拟）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，求得，再证明即可. 【详解】（1）因为，所以又， 所以， 所以是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以. （2）由（1）知， 所以 ，又，所以. 2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列满足 (1)求证: 为等比数列； (2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解. （2）由（1）求出数列的通项公式及前n项和，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，，则， 而，即， 所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，，，， ， 所以数列 的前n项和. 3．（23-24高三·云南曲靖·模拟）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设数列的公差为，然后由已知条件列方程组求出，从而可求出其通项公式； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列的公差为，由题意可得，解得 ； （2）由（1）可知， . 4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设各层球数构成一个数列 (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，数列满足，求数列的前项和 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，可得当时，，，再利用累加法求出的通项. （2）利用（1）的结论，结合求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）依题意，当时，，， ，满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，当时，，而满足上式， 于是，， 因此，所以数列的前项和. 题型七：裂项相消3：无理根号型 无理根式型裂项： 一般情况下，无理型裂项相消满足： 1．（23-24高三·四川南充·期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和，求证：. 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可； （2）先求出，再求出，后裂项相消，求出，结合不等式性质证明即可. 【详解】（1）由于则， 则，因此，故数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 则，即. ，由于，则，故成立. 2．（23-24高三·辽宁本溪·期末）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据条件式结合等差数列的前n项和公式，得出，进一步得出的二元一次方程，解出即可求得的通项公式； （2）由（1）可得，进一步得出，再采用裂项法即可求得. 【详解】（1）由，得， 又，所以，当时，，当时，，解得， 所以，故的通项公式为. （2）由（1）可知，所以， 故. 3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，． (1)若在处取得极值，讨论的单调性； (2)设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； (3)设，证明：． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）由在处取极值待定，再求导函数，根据导函数的单调性与零点确定符号变化区间，从而讨论的单调性； （2）构造函数将命题转化为在区间恒成立，通过二次求导方法，逐次观察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可； （3）应用第（2）问结论赋值得，由此放缩后运算求和即可得证. 【详解】（1），，， 由在处取得极值，得，解得. 当时，， 设，则在上单调递减，且. 则当时，，即，故在单调递增； 当时，，即，故在单调递减； 故在处取到极大值，满足题意.在单调递增；在单调递减. （2），，，曲线在点处的切线的斜率为，. 故切线方程为，即； 构造函数，，即，其中， 则，设，其中， 则，令，得，当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以在单调递减，且，. 故当时，，即，则在单调递增； 当时，，即，则在单调递减； 故在处取极大值，且极大值为，当且仅当时，. 所以当时，恒成立.即恒成立， 故除点外，曲线段总在的下方，命题得证. （3）由（2）结论，任意，，恒成立. 又由可知，单调递减， 则，故恒成立， 令，则恒成立.又由 所以. 故， 故 .即成立，命题得证. 【点睛】关键点点睛：应用导数证明不等式，解决的关键点有三个：一是函数重构，如第（2）问中将图象问题转化为不等式问题，进而构造差函数再利用导数研究单调性；二是多次求导连锁反应，一次求导不能明确问题解决的方向，借助观察零点、导数运算、符号判断等手段发现二次求导的可行性，进而继续求导研究导函数性质，直至新的导函数符号可判断，再依次连锁回归分析即可；三是结论借用，本题第（3）问解决的关键在于应用第（2）问所证明的切线放缩结论，进行赋值构造，再结合所求证结论中的特殊取值加以猜想赋值，值得注意的是赋值一定要先研究参变量需要满足的取值范围，不能盲目入手导致错误. 4．（2024·福建三明·三模）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围； (3)记，求证：． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）当时求出，时，用，即可求解； （2）由得出，由得，根据对勾函数的单调性及的值，即可求出得范围； （3）由（1）得，则，根据放缩法得即可证明． 【详解】（1）当时，， 当时，，时成立， 所以． （2）由得，，显然时，单调递增，， 由得，，又，当且仅当时，即时等号成立，因为，，且，，， 所以当时，，解得，当时，，解得， 所以． （3）证明：由（1）得，， 因为 所以 ． 题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。 1．（23-24高三·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明. 【详解】（1）， 由， 所以， 所以． （2） 所以 2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由和关系作差得，再求出首项结合等差数列通项公式即可得到答案； （2）求出，代入化简得，最后利用裂项相消求和法即可. 【详解】（1）由，得①， 当时，，解得（负值舍去）.当时，②， ①②，得，化为， 因为，，解得，所以数列是首项为3、公差为2的等差数列， 所以，即. （2）由（1）知，所以， 从而， 则，，…，， 以上n个式子相加，得. 3．（23-24高三·安徽芜湖·模拟）设是正项数列，且其前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组法与裂项相消法求和即可. 【详解】（1）当时，，解得：， 当且时，，∴， 整理可得：，∵，∴，∴， ∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，∴. （2）， . 32．（23-24高三·江苏盐城·期末）数列中，，，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)2021 【分析】（1）对两边都加得到，即可证明数列是等比数列； （2）由，利用错位相减法求和； （3）由得到，，裂项相消法求和得到，所以不超过的最大的整数为2021. 【详解】（1）将两边都加，得，而，所以， 即有，又，即，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）知，，则，， 则， 因此，两式作差得到，，所以； （3）由（2）知，于是得，则， 因此，， 所以， 所以不超过的最大的整数是2021. 题型九：裂项相消5：等差指数混合型 ，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的 1．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）由题意进行因式分解，求得，再根据与的关系式求得通项公式； （2）由代入求得，结合裂项相消法求和得出结果. 【详解】（1）由题意，得，又，所以，从而． 当时，．由于不符合上式， 故 （2）由（1）知当时，， 所以当时， ．又也适合上式，所以． 2．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足． (1)计算，并求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）由，可得，可得，法一：可得为常数列，可求数列的通项公式；法二：可得，利用累乘法可求数列的通项公式； （2）由（1）可得，进而由裂项相消法可求的前项和. 【详解】（1）由题可知，， 令，，得；令，得． 由已知，可得， 两式相减得． 解法一：整理得：．又满足上式．从而对均成立． 因此为常数列，即有，故． 解法二： 整理得：．又满足上式．故． 即．当时符合上式，故． （2）由（1）可知，所以．因此 =. 3．（2024高三·全国·模拟）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求与； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式和前n项求和公式建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）可得，进而，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为， 则由，，，得，， 两式相除得，所以，， 所以，． （2）由（1）得，，所以，所以， 所以． 4．（23-24高三·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在，，取值见解析. 【分析】（1）利用的关系求得递推公式，变形可得为常数列，然后可得通项； （2）由，根据裂项相消法可得； （3）根据等差中项列式整理可得，由和都为正整数可解. 【详解】（1）由①，当时，，       当时，②， ①-②得，即， 所以，所以，当时，，上式也成立， 所以数列为常数列，，  所以. （2）由，，则， 所以的前项和为. （3）由（1）知.要使成等差数列，则， 即，整理得， 因为，为正整数，所以只能取2，3，5. 当时，；当时，；当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将分裂为，然后根据裂项相消法即可得解. 题型十：裂项相消6：正负相间裂和型 正负型：等差裂和型 1．（23-24高三·湖北武汉·期中）已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由递推关系借助等比数列的定义进行证明； （2）利用当时，，求出数列是首项为1，公差为2的等差数列，可得通项公式； （3）由，利用裂项相消法求和. 【详解】（1） 所以是以为首项，为公比的等比数列.所以. （2）当时，，得； 当时，，整理得， 因为，所以，则， 故数列是首项为1，公差为2的等差数列，从而， 所以数列的通项公式为. （3）由， 设数列的前项和为，当 当时， 综上：. 2．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前10项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知与的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对时进行检验，得到数列是等差数列，从而写出通项公式； （2）根据得到，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和. 【详解】（1）由题意知：，即， 当时，，两式相减，可得， 因为，可得． 又因为，当时，，即， 解得或（舍去），所以（符合）， 从而，所以数列表示首项为3，公差为2的等差数列． 所以数列的通项公式为． （2）由题意得， 所以 ，所以. 3．（23-24高三·海南省直辖县级单位·模拟）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若，判断数列是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”， ①求的值； ②设为数列的前项和，证明： 【答案】(1)是“数列”(2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先求出，再根据所给定义判断即可； （2）①当时,设的前项和为，根据得到方程，解得，又，为正整数，故只有时才满足要求，再利用数学归纳法进行证明；②由①可得，，利用裂项相消法求出，即可证明. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 又，即也满足，综上可得， 当时存在或使得（即或）， 对于任意的正整数，总存在正整数，此时， 综上可得对于任意的正整数，总存在正整数，此时， 故是“数列”； （2）①因为是等差数列，其首项，公差，设的前项和为， 故，，对任意的正整数，总存在正整数，使得， 即，当时，，此时只需， 当时，，解得， 又，故,又为正整数，故,此时； 当时，，下面证明恒为正偶数， 当时，，满足要求，假设当时，为正偶数， 则当时，， 由于和均为正偶数，故为正偶数，满足要求， 所以恒为正偶数，证毕，所以. ②由①可得，所以， 所以 ，因为， 所以单调递减且，所以，所以. 4．（23-24高三·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以所以数列的通项公式为； （2），整理得， 所以， 整理得 题型十一：裂项相消7：三角函数型 1．（2024高三·全国·模拟）已知在数列中，. (1)求数列 的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2024项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合裂项法求和法，即可求解； （2）由（1）知，，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 所以，当时，， 即，又因为，则； 当时，成立，所以. （2）解：由（1）知，， 所以 ， 因为， 于是， ， 所以，所以数列的前项的和为. 2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列的前n项和为，，， (1)求； (2)若，求数列的前1012项和． 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）根据求和的定义，整理可得数列的递推公式，结合等差数列的基本概念，可得答案； （2）由（1）整理通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）当时，因为，所以， 即．又，所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． （2）由（1）知，， ， 而所以 ． 3．（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用递推公式可证得数列是等差数列，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出通项； （2）根据裂项相消和分组求和法求解即可； 【详解】（1）由题设，当时或（舍）， 由，知， 两式相减得， （舍）或，即， ∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，． 又． （2） 则 当n为偶数时，；当n为奇数时，． 所以. 4．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知. (1)求； (2)证明：是等差数列，并求出； (3)设，求的前项和. 【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3) 【分析】（1）根据数列递推公式计算即可； （2）根据等差数列定义即可证明，根据等差数列通项公式计算可得数列通项公式； （3）由，根据裂项相消计算即可. 【详解】（1）. （2），故是以1为首项1为公差的等差数列.故. （3）因为，所以 题型十二：裂项型证明数列不等式 裂项型证明数列不等式： 1. 裂项求和。 2. 求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。 3. 一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明 45．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知数列的前项和为，满足：，且． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）利用数列中与的关系结合等差数列的定义证明求解； （2）利用裂项相消法求和以及等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以①，②， ②①得，即③，则④， ④③得，化简得，所以， 所以数列为等差数列， 由，当时，解得， 因为，所以数列以1为首项，2为公差，所以. （2）由（1）可得,设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，， 所以， 由，得，即， 当为偶数时，对一切偶数成立， 当时，有最小值为5，,所以， 当为奇数时，对一切奇数成立，即对一切奇数成立， 当时，有最大值为，所以此时， 综上，对一切恒成立，则的取值范围是． 2．（23-24高三·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用公式时，，得到关于数列的递推关系式，法一，转化为，利用累乘法求通项公式，法二，转化为，判断数列是常数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，并放缩为，利用裂项相消法求和，即可证明. 【详解】（1）根据题意，当时， 法一：∴ 当时，，也满足. 法二：可得，所以数列是常数列，. （2），， 首项满足，所以，所以，设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成，设数列 数列前n项和为，所以. 3．（23-24高三·山西·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）对已知等式进行去分母变形，利用累加法，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行证明即可. 【详解】（1）由题可得，则，…，，， 将这项相加，可得， 所以，经检验成立，所以. （2）由题可得，，当时，，又因为当时，， 所以. 4．（23-24高一下·上海·期中）设是数列的前项和，且是和2的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记； ①求数列的前项和； ②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)①；②存在， 【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由可证得数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）①由等比数列的前项和公式求解即可； ②由裂项相消法可求出，再结合的单调性即可求出答案. 【详解】（1）是和2的等差中项，①， 当时，，当时，②， ①-②得：，，数列是首项为2，公比为2的等比数列， . （2）①， ②由①可得：， ， 由于单调递增，可得，即，则存在常数，使对恒成立， 可得，即的最小值为. 题型十三：三角函数型数列不等式证明 三角函数数列不等式： 1. 利用三角函数的周期型。 2. 利用三角函数正余弦函数的有界性。 3. 一些题型，可以借助泰勒公式等导数形式证明的结论 1．（23-24高三·湖北·期中）18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数． (1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字） (2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；(3)已知，证明：． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值； （2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明； （3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明. 【详解】（1）记，则， ，所以， 因为， 所以且，，． （2）令，则， 恒成立，在递增，在递增， 在递增，，即. （3）由题，，则，则， 令， 易得在上递增，在上递减，从而， 即当且仅当时取等号）， ，即， ， ，得证． 【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题. 2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数. (1)根据公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)当时，比较与的大小，并证明； (3)设，证明：. 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值； （2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明； （3）根据（2）中所得结论，将目标式左边的通项放缩为 ，再裂项求和即可证明. 【详解】（1）由公式可得，所以. （2）由（1）得，得到结论：当时， 下面给出证明：令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，即当时，， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递增， 即当时，，故当时，. （3）因为，所以，则， 由（2）可得：且，故， 即，，， ，所以， . 【点睛】关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式左边的通项放缩为 ，再裂项求和即可证明. 3．（2024高三·全国·模拟）已知函数. (1)证明：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的最小值即可得解. （2）由结合放缩法，转化证明，即可推理得解. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 所以. （2）先证，设，求导得， 即函数在区间上单调递减，则，即， 于是， 再证，由（1）知，当时等号成立， 令，则，即， 所以，，， 累加可得，所以. 4．（23-24高三·四川成都·期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________； (2)当时，比较与的大小，并说明理由； (3)证明： 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)证明见解析 【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解； （2）构造函数，，利用导数确定函数的单调性，即可得出结论； （3）利用导数先证明当时，成立，令，且，可得，再结合，和前面的解答过程可得，即可得证. 【详解】（1）. （2），理由如下： 构造函数，，故，， 而，得，所以为增函数，此时，故. （3）下面证明：当时，成立， 令，则，， 因此在上递增；所以，即有， 所以在上递增，所以， 所以当时，成立，（1）令，且，可得， 即， 由题意，令，且，可得， 由前面解答过程得当时，，，， 所以， 所以，所以可得 ， 可得，. 【点睛】方法点睛：解决新概念问题，关键是读懂题意，理解新概念的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，结合已知结论求解. 题型十四：先求和再放缩证明数列不等式 1．（24-25高三·辽宁·开学考试）已知为数列的前项和，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)设，证明：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式； （2）分组求和分别求出,再计算化简结合指数函数单调性计算求解； （3）先根据得出,再证明，结合等比数列求和证明右侧不等式 【详解】（1）由，得，所以数列为等差数列， 所以，所以.又，所以， 设的公差为d，即解得所以的通项公式是. （2）由（1）知，所以， ， 令，得，设，则数列是递增数列. 又，，所以n的最大值为5. （3）由（2）知，设是的前n项和，则，所以是递增数列，所以成立.又， 所以当时，，所以， 得， 所以.综上，. 2．（23-24高三·江西南昌·模拟）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在实数，使数列为等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由； (3)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 【答案】(1)(2)存在，且(3) 【分析】 （1）令，求出的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）记，由数列为等差数列，则，求出的值，然后利用等差数列的定义验证数列为等差数列，即可得出结论； （3）利用裂项相消法求出的表达式，求出的取值范围，可得出关于的不等式，即可得出符合条件的自然数的值. 【详解】（1）解：因为数列的前项和为，，， 当时，有，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. （2）解：由已知条件可得，则， 记，若数列为等差数列，且，，， 则，即，解得， 此时，，所以，， 故当时，数列为等差数列. （3）解：因为， 所以，， 因为，且，故数列单调递增， 所以，，且，故对任意的，， 因为不等式对所有恒成立， 所以，，解得，因为，则的值为. 3．（23-24高三·浙江·模拟）已知数列满足，. (1)若，求数列的前n项和； (2)若，设数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由数列递推公式可得其通项公式，再由错位相减法求数列的前n项和； （2）若，可得，从而，利用裂项相消法推导出前n项和为，再由的单调性可证明不等式成立. 【详解】（1）当时，则，得，所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列. 所以，则，所以， ，两式相减得 ，所以. （2）当时，由，得，所以， 所以数列单调递增，因为，所以，又由，可得， 所以，即， 则， 所以，易知为递增数列，且， 所以，即：. 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 4．（23-24高三·河北承德·期末）已知正项数列满足，数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）利用对数运算，得，再运用累乘法可求，由与的关系可得，则时，数列是以为首项的常数列，可求的通项公式； （2）利用错位相减法求，从而得证. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以，即，所以． 当时，所以，所以． 因为，所以，所以．也符合上式，所以． 当时，． 因为，所以当时，， 所以当时，，即， 所以当时，数列是以为首项的常数列，即（），所以（），所以的通项公式为 （2）因为， 所以， 两式相减得，所以． 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 题型十五：先放缩再求和证明数列不等式 先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，所以放缩成能求和的形式。 1．（23-24高三·天津北辰·模拟）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且， (1)求的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． (3)求证：． 【答案】(1)，(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的项求公差，即可求数列的通项公式，由，作差得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式； （2）分为奇数和偶数，求数列的通项公式，再根据列项相消法和错位相减法求和； （3）由，再进行放缩，利用列项相消法求和，证明不等式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 所以， 因为，当时，解得， 当时，所以， 即，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列，所以. （2）因为，当是奇数时，， 当是偶数时，， 则①， ②， ①-②得： 即， 化简得. ，所以. （3）因为，当时， 当时，， 所以 ， 因为，所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列，以及求和，不等式和放缩法的综合应用，第二位问的关键是当为偶数时，列项相消法求和，第三问的关键放缩后进行求和. 4．（2024·山东·二模）记为数列的前项和，． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)；.(2)答案见解析 【分析】（1）分别取和即可求得的值，对进行分奇偶讨论，即可得到的通项公式； （2）根据题意化简得到，再对该式进行两次放缩，分别求和即可证明不等式. 【详解】（1）因为，所以当时，，所以； 当时，，所以，所以. 又因为，所以. 当为奇数时，，所以，， 作差，，所以. 当为偶数时，，所以，， 作差，，所以. 所以，. （2）由第1小问得，，所以令， 所以 . 所以.下面证明：因为， 所以. 下面证明：因为，所以， 所以.所以. 【点睛】方法点睛：本题考查数列的求通项、求和与放缩问题。求通项时要进行奇偶讨论，通项公式也要写成分段函数的形式，放缩用到了两个不等式和，放缩之后再进行求和，即可证明不等式. 3．（2024·广东肇庆·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.(1)求； (2)已知，求数列的前项和；(3)求证：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知条件求出和的通项，利用等比数列前项和公式求； （2）为奇数和是偶数时，分别求的通项，利用分组求和求数列的前项和； （3）利用放缩和等比数列前项和公式证明不等式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，得，解得， 则， 由，，得，， 解得，则， 所以． （2）当是奇数时，， 当是偶数时，， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以， ， 所以. （3）证明：由（1）知，，当且仅当时取等号， 则，所以. 【点睛】方法点睛： 1.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的. 2.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解. 4．（23-24高三·辽宁·期末）已知函数，数列满足正整数 (1)求的最大值； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)最大值为0；(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）借助导数，研究函数单调性，进而得到极值最值； （2）借助前面证明，运用对数的性质进行裂项，再累加求和即可； （3），所以，得，适当放缩后，再累加即可. 【详解】（1）因为的定义域为，所以 当时，，在上递增， 当时，，在上递减， 所以在时有最大值，所以，即的最大值为0； （2）由（1）知，，所以， 所以，即， 所以，，， 累加得，即. （3）因为，所以，得， ，，，所以，即，所以， 所以，，，所以， ，所以得证． 【点睛】关键点点睛：第一问借助导数研究即可，第二问主要是要借助第一问的结论，得到，再用对数性质，裂项累加求和；第三问关键要用，两边平方，得到，再放缩后，累加求和.转化思想要求很高，属于难题. 题型十六：利用导数不等式证明数列不等式 1．（2024·全国·模拟预测）设整数，且，函数． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，证明：． 【答案】(1)证明见解析；2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）通过求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，从而； （2）构造函数，求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最大值，从而，所以； （3）利用（1）（2）中的结论，，，得到，放缩证明. 【详解】（1）．因为，，所以单调递增． 因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以． （2）设，则，所以在上单调递减， 故，从而当时，． （3）由（1）知，所以，再利用， 于是 因此，． 【点睛】方法点睛：常见的放缩公式；；； 2．（24-25高三·四川成都·开学考试）已知. (1)求的定义域； (2)若恒成立，求能够取得的最大整数值； (3)证明：. 【答案】(1)(2)1(3)证明见解析 【分析】（1）根据函数有意义，得到不等式组，构造函数，通过求导推出，即可得到函数的定义域； （2）由题设不等式恒成立等价转化为，恒成立，讨论函数得，则须使，令得其当且仅当时取到最小值，得解. （3）利用（2）中得到的不等式进行放缩得到，取，推得再对进行赋值相加即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足，令， 则，令解得，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 的定义域为； （2）由恒成立得，，当时，不等式恒成立； 下面说明当且为整数时不等式成立的情况.当时，不等式显然成立， 当时，等价于恒成立，此时恒成立， 令，则，令得， 当即且为整数时，无解； 当即且为整数时， 若，则，若，则，即在上单调递增，在上单调递减， 则要使不等式恒成立，须使恒成立， 令则故单调递增， 从而，当且仅当时取等号，此时恰有原不等式恒成立， 综上所述，能够取得的最大整数值是1； （3）由（2）可知，当时，恒成立，即，即， 当时，，即， 令，则有即 于是， ，得证.. 3．（24-25高三·河北·开学考试）已知函数. (1)求证； (2)求方程解的个数； (3)设，证明. 【答案】(1)证明见解析(2)有两个解(3)证明见解析 【分析】（1）作差构造函数，结合导数求出构造函数的最小值即可得解； （2）作差构造函数，将方程的解个数问题转化为了函数的零点个数问题，结合导数求出构造函数的极值点和单调区间，即可得解； （3）借助第1小问的结论，通过换元转化为，设得，等价于然后利用裂项相消法进行计算即可得证. 【详解】（1）令，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，单调递增，则，所以得证. （2）由得，即， 令， 所以函数的零点个数，即为方程解的个数， ，令，即，解得， - 0 + 单调递减 单调递增 因为，所以在上有唯一一个零点， 又，所以在上有唯一一个零点. 综上所述，方程有两个解. （3）由（1）知，， 令，则，即， 设，则满足，所以，即，所以 所以 即. 【点睛】关键点点睛：第（1）、（2）小问是通过转化化归，构造函数进行处理，第（3）问的关键是借助第（1）问的结论，进行等价变形，然后进行裂项处理，结合数列的裂项相消求和即可得解. 4．（23-24高三·山东日照·期中）已知数列满足，且对任意正整数都有. (1)写出，并求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值； (3)设是数列的前项和，求证：. 【答案】(1)，， (2)2 (3)证明见解析 【详解】（1）因为对任意正整数都有， 故，， 令，可得， 所以. 当时，， 当时，，符合上式，所以； （2）由（1）得，当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， . 综上所述，； 若为偶数，则为奇数，由，得， 解得（舍去）或； 若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解， 不合题意，舍去. 综上，所求的值为2. （3）由 现在我们来证明时，， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 结合当时，，有， 所以.故 【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简，得，再证明时，，利用结论，对数列进行放缩，得到，可证结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$