期中真题必刷压轴60题（17个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

期中真题必刷压轴60题（17个考点专练） 一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 1．（2023秋•永兴县期中）已知：，平分，点、、分别是射线、、上的动点、、不与点重合），连接交射线于点．设． （1）如图1，若，则 ①的度数是 　　； ②当时，　　；当时，　　． （2）如图2，若，则是否存在这样的的值，使得△中有两个相等的角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【分析】利用角平分线的性质求出的度数是关键，分类讨论的思想． 【解答】解：（1）①，平分， ， ， ， ②， ， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：①； ②120，60； （2）①当点在线段上时， 是的角平分线， ， ， ， ， 若，则 若，则 若，则， ②当点在射线上时，因为，且三角形的内角和为， 所以只有，此时． 综上可知，存在这样的的值，使得△中有两个相等的角， 且、35、50、125． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和． 二．三角形内角和定理（共8小题） 2．（2023秋•东港区校级期中）如图，在△，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①根据，和，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：①， ， ， ， ， ①正确； ②平分， ， ， ， ， ， ②正确； ③， ， ， ， 由①得，， ， ； ③正确； ④， ， ， ，， ， ， ④正确， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 3．（2023秋•裕安区校级期中）试解答下列问题： （1）在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数是　　个； （3）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试求的度数是　　． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将①②，可得，进而求出的度数； 【解答】解：（1），， ； 故答案为：； （2）①线段、相交于点，形成“8字形”； ②线段、相交于点，形成“8字形”； ③线段、相交于点，形成“8字形”； ④线段、相交于点，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； 故答案为：6； （3），① ，② 和的平分线和相交于点， ，， ①②得： ， 即， 又度，度， ， ； 故答案为． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题． 4．（2023秋•来宾期中）如图所示，已知为的角平分线，为外角的平分线，且与交于点； （1）若，，则　40　； （2）若，，则　 　； （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含的式子表示 【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得； （3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出、的等式，推出，即可求得结论． 【解答】解：（1）为的角平分线，， ， ， ； （2），， 为的角平分线，为外角的平分线， ，， ； （3）不变化， 理由：， ． 故答案为40；40． 【点评】此题考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合运用，解此题的关键是求出． 5．（2023秋•夏邑县期中）如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 【分析】（1）根据折叠求出，根据三角形外角性质求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，求出，根据三角形外角性质求出，即可求出答案． 【解答】解：（1）沿折叠得到， ， ，， ； （2），， ， ， 沿折叠得到， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质和折叠的性质等知识点，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键． 6．（2023秋•花山区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到； （2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值． ②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案 【解答】解：（1）连接并延长至点， 由外角定理可得，； 且，； 相加可得； （2）①由（1）的结论易得：， 又，， ； ②由（1）的结论易得，易得； 而， 代入，，易得； ③， ， 设为， ， ， 为． 【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 7．（2023秋•津南区期中）在中， （1）如图①所示，如果，和么的平分线相交于点，那么　　； （2）如图②所示，和的平分线相交于点，试说明； （3）如图③所示，和的平分线相交于点，猜想与的关系并证明你的猜想 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形的内角和定理计算可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形外角的性质进行证明； （3）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理及其推论进行证明． 【解答】解：（1）、分别为，的平分线， ，． ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）是的角平分线， ． 又是的平分线， ， ，， ； （3）． 证明：、分别是与的外角平分线， ，， ， ． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是 8．（2023秋•启东市期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． ①　与　；②　　． （2）如图2，在中，为角平分线，，．请你说明是的等角分割线． 【应用概念】： （3）在中，若，为的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数． 【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】（1）解：与，与是“等角三角形”； 故答案为：与，与； （2）证明：在中，，， ， 为角平分线， ， ，， ， 在中，，， ， ， ，，， ， 为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图2，时，， ， ； 当是等腰三角形，如图3，时，， ， ， ； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图4，时，， ， ， 当是等腰三角形，如图5，时，， 设， 则， 则， 由题意得，， 解得， ， 当是等腰三角形，的情况不存在， 综上，的度数为；；；． 【点评】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 9．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如图1至图2，在中，，点在边上，作垂直于直线，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： （1）如图1，延长交于点，若，． 解决问题： ①　60　； ②求证：． 深入探究： （2）如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； 拓展延伸： （3）当点在边上移动时，若射线与线段相交，设交点为，则与的关系式是 　　． 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案； ②根据平行线的性质得，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论； （2）由八字模型可得，和中，，再整理可得答案； （3）画出对应图形，再根据四边形的内角和定理计算可求解． 【解答】解：（1）①， ， 为的角平分线， ， 故答案为：； ②证明：由①得，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）． 理由：由八字模型可得，和中， ． 故答案为：； （3）如图， 当是锐角时， 由四边形的内角和得， ． 当是钝角时， 平分，平分， ，， ． 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 三．三角形的外角性质（共2小题） 10．（2023秋•武安市校级期中）在中，平分，． （1）课本原题再现：如图1，若于点，，，求的度数． （写出解答过程） （2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出、、之间的数量关系． （3）小明继续探究，如图2在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出、、 之间的数量关系，并说明理由． 【分析】解：（1），， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）． 理由：， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）， 理由是：如图2，过作于， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【解答】（1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由代入计算可求解； （3）过作于，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得，再根据直角三角形的性质可得，进而可求解． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． 11．（2023秋•海曙区期中）【概念认识】 如图①，在△中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△中，，，若的三分线交于点，求的度数； （2）如图③，在△中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在△中，是△的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【分析】（1）根据题意可得当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，； （2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数； （3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况四：如图④，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，进而解答． 【解答】解：（1）如图， 当是“邻三分线”时，； 当是“邻三分线”时，； （2）在△中， ， ， 又、分别是邻三分线和邻三分线， ，， ， ， 在△中， ； （3）分4种情况进行画图计算： 情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ； 情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ； 情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ； 情况四：如图④，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ； 综上所述：的度数为：或或或． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键． 四．全等三角形的性质（共1小题） 12．（2023秋•宁津县校级期中）如图，，在上，连接，则以下结论：①平分；②；③； ④．其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由，推出，，，，再由等腰三角形的性质，可以求解． 【解答】解：和交于， ， ，，，， ，，， ，， 平分， ， ， ， ， 由条件不能推出， ①②③正确． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等． 五．全等三角形的判定（共1小题） 13．（2023秋•石家庄期中）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由，分两种情况：①，，②，，建立方程组求得答案即可． 【解答】解：（1）当时，，， 又， 在和中， ， ． ， ． ， 即线段与线段垂直． （2）存在， 理由：①若， 则，， 则， 解得； ②若， 则，， 则， 解得：； 综上所述，存在或，使得与全等． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用． 六．全等三角形的判定与性质（共26小题） 14．（2023秋•西山区校级期中）如图，在△，，为上的一点，，在的右侧作△，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件证明△△，可得，再根据，可得，然后证明△是等边三角形，△是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， △是等边三角形， ， △是等边三角形， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△△． 15．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解． 【解答】解：．， ，即， 在和中， ， ， ，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； ．， ， ， ， 平分， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 故选项不符合题意； ．根据已知条件无法证明，故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 16．（2023秋•临湘市期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则为中点； ④当为等腰三角形时，； 正确的有_____个．　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据三角形外角的性质即可得到； ②当时，； ③根据，得，根据等腰三角形的性质得到为中点； ④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或． 【解答】解：①，， ， ， ， 由三角形内角和定理知：，故①正确； ②， ， 由①知：， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，故③正确； ④， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， 当时，， ， 故④不正确． 正确的有①②③，共3个， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键． 17．（2023秋•石家庄期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项为　　 A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①若，即点的速度时点的2倍，即可求解； ②求出、的运动时间即可求解； ③证明，即可求解； ④若与全等，则且或且，即可求解． 【解答】解：①若，即点的速度时点的2倍，故点运动路程始终是点运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点到达的时间为：，当时，点到达点的时间为：，故②正确，符合题意； ③若，，时，如图， 假设， ， ， ， 而， ， 即， 而此时，，则，则， 而，则， 则， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，，则，，则， 若与全等， 则且或且， 即且或且， 解得：或， 故④正确，符合题意， 故选：． 【点评】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和相似、动点问题，分类求解是解题的关键． 18．（2023秋•兴宾区期中）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　2.4　． 【分析】延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如图，在中，，，，为边上的高． （1）若，则　　（用含的代数式表示）； （2）点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 　　时，． 【分析】先证明，得出，①当点在射线上移动时，，即可求出移动了；②当点在射线上移动时，，即可求出移动了． 【解答】解：（1）， ， 为边上的高， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）过点作的垂线交直线于点， ， 在和中， ， ， ， ①如图，当点在射线上移动时，， 点从点出发，在直线上以的速度移动， 移动了：； ②当点在射线上移动时，， 点从点出发，在直线上以的速度移动， 移动了：； 综上所述，当点在射线上移动或时，； 故答案为：2或5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（2023秋•朝阳区校级期中）在中，，点在边上，且，是射线上的一个动点（不与点重合，且，在射线上截取，连接． （1）当点在线段上时， ①若点与点重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 　　； ②如图2，若点不与点重合，请证明； （2）当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质得到，，由邻补角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在上截取，连接，得到是等边三角形．同理，也是等边三角形．求得，通过，得到，根据线段的和差即可得到结论； （2）如图3，连接，由（1）知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接，由（1）知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图1，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在与中，， ， ； 故答案为：； ②证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形． 同理，也是等边三角形． ， ，． 又， ， 在与中，， ， ， ； （2）如图3，连接， 由（1）知，，， ； ， 如图4，连接， 由（1）知，，， ； ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．（2023秋•奉化区校级期中）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）请判断、有何大小、位置关系，并证明． 【分析】（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得． （2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供． 【解答】证明：（1）， ， ， 在和中， ， ． （2），，理由如下： 由（1）知，， ； ， ， ， ， ， 则． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证． 22．（2023秋•海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 【分析】（1）如图1，延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 【解答】解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， 易证． ． ． （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． （3）当（1）结论成立， 当图三中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或． 【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 23．（2023秋•睢阳区期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）求证：． （2）写出线段的长（用含的式子表示）． （3）连接，当线段经过点时，求的值． 【分析】（1）证明，可得，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）分两种情况讨论：当时，，当时，，可得，进而可以解决问题； （3）先证，得，再分两种情况列方程求解即可． 【解答】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）解：当时，， 当时，， ， 线段的长为或； （3）解：根据题意得， 则， 由（1）得：，， 在和中， ， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点时，的值为或8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到． 24．（2023秋•梁园区校级期中）如图所示，、是的高，点在的延长线上，，点在上，． （1）探究与之间的关系； （2）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论． 【分析】（1）由条件可得出，可证得，可得结论； （2）根据题意画出图形，结合（1）可证得，可得结论． 【解答】（1）结论：， 证明：、是的高， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 而， ， 即， ； 即，； （2）上述结论成立，理由如下： 如图所示： 、是的高， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即，． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 25．（2023秋•咸宁期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：△△； （2）如图2，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是△、△的外角．已知，且．求证：△△； （3）如图3，在△中，，．点在边上，，点、在线段上，．若△的面积为15，求△与△的面积之和． 【分析】图①，求出，，根据证两三角形全等即可；图②根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可；图③求出△的面积，根据△△得出△与△的面积之和等于△的面积，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图①， ，，， ， ，， ， 在△和△中， ， △△； （2），，，， ，， 在△和△中， ， △△； （3）△的面积为15，， △的面积是：， 由（2）中证出△△， △与△的面积之和等于△与△的面积之和，即等于△的面积是5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处． 26．（2023秋•梁山县期中）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图1所示，　180　度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论； （3）作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【解答】解：（1），， ， ，， ； 故答案为：180． （2）平分，平分， ，，； （3）作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，同理， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27．（2023秋•竹山县期中）（1）感知：如图1，平分，，，易知，数量关系为：　　． （2）探究：如图2，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形中，，，，于点，试判断，，的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）结论：．只要证明即可； （2）结论成立．如图②中，作于，于，只要证明即可； （3）如图③中，连接．作于．首先证明，再证明即可解决问题； 【解答】解：（1）结论：． 理由：，， ， ，， ． ． 故答案为． （2）结论成立． 理由：如图②中，作于，于． 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图③中，连接．作于． ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 28．（2023秋•船营区校级期中）在中，，是边上一点，点在的右侧，线段，且． （1）如图1，若，连接，．则的度数为 　　；与的数量关系是 　　． （2）如图2，若，连接、．试判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据已知条件证明是等边三角形，然后证明，即可解决问题； （2）根据已知条件证明，是等腰直角三角形，然后证明，可得，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）当时， ，， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； （2）是直角三角形，理由如下： 当时， ，是等腰直角三角形， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是直角三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明． 29．（2023秋•苍溪县期中）在中，，，是的角平分线，于． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）如图2，点为上一点，连接，作等边，连接，求证：； （3）如图3，点为线段上一点，连接，作，交延长线于，探究线段，与之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，由角平分线的定义得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，得出，即可得出结论； （3）延长至，使，连接，证出为等边三角形，得出，，得到，证出，由证明，得出，证出，即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长至，使，连接，如图所示： ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论． 30．（2023秋•赣州期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　25　，　　； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， 故答案为：25；65； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ①当时，， ； ②当时，， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时，， ； 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 31．（2023秋•钟祥市校级期中）如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）， ，， ， 在和中， ， ； （2），， ， 由（1）知， ， ， ， ， ； （3）延长到，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 32．（2023秋•蓬江区校级期中）如图所示，已知，在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图②的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，写出线段、与之间的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）利用互余关系证明，又，，故可证，从而有，，利用线段的和差关系证明结论； （2）类似于（1）的方法，证明，从而有，，可推出、与之间的数量关系． 【解答】证明：（1），， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ； （2）结论：，理由为： 证明：，， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等量代换的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 33．（2023秋•凤山县期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． （1）和全等吗？说明理由； （2）若，说明； （3）在（2）的条件下，若，，，求到的距离． 【分析】（1）根据可知，再根据是的中点可求出； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下有，得到，根据角平分线的性质即可得到结果． 【解答】证明：（1）理由如下： （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 是的中点（已知）， （中点的定义）． 在与中， ， ； （2）由（1）知， ，， ， ， 即，在与中， ， ， ， ； （3）在（2）的条件下有， ， 到的距离等于到的距离， ，， 点到的距离为5． 【点评】本题是一道四边形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质．解决此类问题，前面的结论可作为后面的条件． 34．（2023秋•鹤山市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　　 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是　 　． （3）已知：如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长到，使，连接，于是得到由已知条件得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：在与中， ， ； 故答案为：； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； 故答案为：； （3）证明：如图3，延长到，使，连接， ， 是的中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． 35．（2023秋•鼓楼区期中）如图1，和都是等腰直角三角形，，在线段上，连接，的延长线交于． （1）猜想线段，的数量关系和位置关系：　，　（不必证明）； （2）当点为内部一点时，使点和点分别在的两侧，其它条件不变． ①请你在图2中补全图形； ②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）判定，运用全等三角形的性质，即可得到线段，的数量关系和位置关系； （2）①依据点为内部一点时，点和点分别在的两侧，其它条件不变，即可补全图形；②判定，运用全等三角形的性质，即可得到线段，的数量关系和位置关系． 【解答】解：（1），； （2）①如图所示： ②（1）中结论仍然成立． 证明：和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 36．（2023秋•商丘期中）已知：的高所在直线与高所在直线相交于点，过点作，交直线于点． （1）如图1，若为锐角三角形，且． 求证：①； ②； （2）如图2，若，直接写出、、之间满足的数量关系． 【分析】（1）①要证明，如图，在中，，，可证，； 在中，可证得，又（对顶角相等），；运用，问题可证． ②由可证得；，；由，，可证得；于是问题可证． （2），，、皆为等腰直角三角形，；可通过证明得到，故可得：． 【解答】解：（1）①证明：，， ，； ， 又，； ， ②，； ，， ， ； ． （2）、、之间的数量关系为：． 理由：，，、皆为等腰直角三角形， ，； ， ； 又，， ； ， 、、之间的数量关系为：． 【点评】本题综合考查了三角形全等的判定和性质；利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意掌握． 37．（2023秋•新安县期中）如图，在和中，，，． ①当点在上时，如图（1），线段、有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图（1）中的的位置改变一下，如图（2），使，其他条件不变，则线段，又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【分析】（1），，延长与交于点，可以证明，可得，且，即可解答； （2），，延长交于，交于，可以证明，可得，利用三角形的内角和为，即可得到． 【解答】解：（1），； 如图（1），延长与交于点， 在和中， ， ， ，， ， ． （2）结论：，， 理由如下： ， 即， 在与中， ， 如图（2），延长交于，交于． 在与中， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 38．（2023秋•越秀区期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，． （1）求证：且； （2）以为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形，过点作轴于点，求点的坐标； （3）若点为轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，，轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【分析】（1）延长交于点，根据，，，可以求出，，证明就可以求出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质可以得出，就有，从而求出的坐标； （3）作于，根据等腰直角三角形的性质可以得出，就有，由矩形的性质可以得出，就可以得出不发生变化． 【解答】解：（1）证明：延长交于点． ，，，， ，． ，， ． 在和中． ， ， ．．． ， ． ， ， ， ； （2）三角形是等腰直角三角形， ，， ． 轴， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 答：的坐标为； （3）的值不变． 理由：作于， ， ． 三角形是等腰直角三角形， ，， ． ． ， ． 在和中， ， ， ． 轴， ． ， 四边形是长方形， ． ， ． 【点评】本题考查了点的坐标的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键． 39．（2023秋•裕华区校级期中）如图，已知中，，，，点为的中点． （1）如果点在线段上以的速度由点向运动，同时，点在线段上由点向运动，①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以的运动速度从同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过 　24秒　秒后，点与点第一次在上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中、和、边的长，根据判定两个三角形全等． ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个边长． 【解答】解：（1）①，理由如下： 秒， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ． 又， ， ； ②假设， ， ， 又，，则，， 点，点运动的时间秒， ； （2）设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得， 解得， 点共运动了． ， 点、点在边上相遇， 经过24秒点与点第一次在边上相遇． 【点评】此题主要是运用了路程速度时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系． 七．全等三角形的应用（共1小题） 40．（2023秋•湖北期中）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【分析】探索延伸：延长到，使，连接，证明和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【解答】解：初步探索：， 故答案为：， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 八．角平分线的性质（共4小题） 41．（2023春•章丘区期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，根据直角三角形全等的判定定理得到，根据全等三角形的性质定理得到答案； （2）根据全等三角形的性质定理得到，根据（1）的结论得到答案． 【解答】证明：（1）平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）． ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法． 42．（2023秋•站前区校级期中）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【分析】（1）先利用是的角平分线得到，再利用三角形外角性质得到，则，接着利用得到，所以； （2）过点作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，然后利用得到，从而得到； （3）先由得到，再利用等角的余角相等得到，接着证明得到，所以，然后利用得到． 【解答】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， ， 平分； （2）证明：过点作于点，于点， 平分，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 43．（2023秋•重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且、满足． （1）　4　，　　； （2）如图1，若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； （3）如图2，点是外角平分线上一点，且点的横坐标为4，过点作于点，求的值． 【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性解答即可； （2）设点的坐标为，由三角形的面积公式得，解方程求出值即可； （3）过点作轴于点，交于点，作轴于点，则，轴，证是的中位线，得，证，则，，设，则，，进而可求得结论． 【解答】解：（1）．，， ，， ，， 故答案为：4，8； （2）由（1）得，，则，， 如图1，设点的坐标为， 的面积为6， ， 解得，或11， 的坐标为或； （3）如图2，过点作轴于点，交于点，作轴于点，则，轴， ，，点的横坐标为4， ， ， 是的中位线， ， 平分，， ，， 在和中， ，，， ， ，， 设，则， ， ． 方法二：易证， 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，涉及坐标轴上点的坐标特征，绝对值与偶次方的非负性，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理，添加辅助线，灵活运用角平分线的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 44．（2023秋•璧山区校级期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长． 【解答】解：（1）过点作于， 与中，，，， ， ， 又， 即， ， 又，，， ， ， 即平分； （注：由，，，也可以直接得到平分． （2）， ， 又，，， ， ， ， 的面积， ， ， 解得． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 九．等腰三角形的性质（共5小题） 45．（2023秋•科左中旗期中）用一条长为细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？ 【分析】（1）设底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； （2）题中没有指明所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． 【解答】解：（1）设底边长为， 腰长是底边的2倍， 腰长为， ，解得，， ， 各边长为：，，． （2）①当为底时，腰长； ②当为腰时，底边， ， 不能构成三角形，故舍去； 能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解． 46．（2023秋•路桥区校级期中）如图，在中，，为的角平分线； （1）若，则的度数为 　72　（直接写出结果）； （2）如图1，若为线段上一点，；求证：． （3）如图2，若为线段上一点，，求证：． 【分析】（1）如图1中，设．则可证，利用三角形内角和定理，构建方程求出即可解决问题； （2）证明，可得结论； （3）如图2中，延长到，使得．证明，可得结论． 【解答】（1）解：如图1中，设． ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：72． （2）证明：如图1中，， ， 在和中， ， ， ． （3）证明：如图2中，延长到，使得． ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题． 47．（2023秋•荔城区期中）如图，在和中，，，． （1）如图1，当点在上时，，连接，若，求的度数； （2）如图2，若，连接、，为中点，连接，求证：． 【分析】（1）由，得到，求出，，即可得到． （2）延长到，使，连接，得到，由，得到，，因此，得到，由补角的性质推出，由证明，得到，即可证明． 【解答】（1）解：如图： ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． （2）证明：如图，延长到，使，连接， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 48．（2023秋•锡山区期中）探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由于，于是得到，根据三角形的内角和即可得到； （2）设，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （3）设，，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）设， ， ， ， ， ； （3）设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 49．（2023秋•娄底期中）如图，在等腰中，，点在上，且． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的度数． （3）猜想与的数量关系．（不必证明） 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可； （2）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可； （3）根据（1）（2）的结论猜出即可． 【解答】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 答：的度数是． （2）解：与（1）类似：， ， ， ， ， 答：的度数是． （3）与的数量关系是． 【点评】本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律． 一十．等腰三角形的判定（共1小题） 50．（2023秋•拱墅区期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）　　（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【分析】（1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【解答】解：（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 一十一．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 51．（2023春•清苑区期中）（1）如图①，在中，，分别平分，，过点作直线平行于，分别交，于点，，求证：； （2）如图②，若点是的平分线和外角的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段，，之间有何数量关系？证明你的猜想． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质，解出和是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论． （2）同（1），只要求出与是等腰三角形即可． 【解答】（1）证明：中、平分、， ，． ，，． ，． 根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：，． ； （2）． 证明：分， ． ，． ， ． 平分， ． ， ． ， ． ，即． 【点评】本题考查了等腰三角形性质及平行线的性质与角平分线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结论是解答本题的基本思路． 一十二．等边三角形的性质（共1小题） 52．（2023秋•站前区校级期中）如图1，点、分别是边长为的等边△边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， （1）连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△是直角三角形？ （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【分析】（1）因为点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，所以．，，因而运用边角边定理可知△△．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数． （2）设时间为，则，．分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得的值． （3）首先利用边角边定理证得△△，再利用全等三角形的性质定理得到．再运用三角形角间的关系求得的度数． 【解答】解：（1）不变． 等边三角形中，， 又由条件得， 在△和△中， ， △△， ， ． （2）设时间为，则， ①当时， ， ，得，； ②当时， ， ，得，； 当第秒或第秒时，△为直角三角形． （3）不变． 在等边三角形中，， ， 又由条件得， 在△和△中， ， △△ 又， 【点评】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 一十三．等边三角形的判定（共1小题） 53．（2023秋•连江县校级期中）如图，，与相交于点，． （1）求证：垂直平分； （2）过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【分析】（1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【解答】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 【点评】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． 一十四．等边三角形的判定与性质（共3小题） 54．（2023秋•宁江区校级期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得，结合（1）中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）， ， ， 是等边三角形． 解： （2）是直角三角形． 理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， 是直角三角形． （3）是等边三角形， ． ，， ， ， ． ①当时，， ． ②当时，， ． ③当时， ， ． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况． 55．（2023秋•印江县期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论： ①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 　①②④⑤　．（注把你认为正确的答案序号都写上） 【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，①正确． ④先证明，即可判断出，即可得④正确； ②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确． ③没有条件证出，得出③错误； ⑤，⑤正确；即可得出结论． 【解答】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ，，， ， ，结论①正确． ， ， 又， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 又， 为等边三角形，结论④正确； ， ，结论②正确． ， ， ， 结论⑤正确． 没有条件证出，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 56．（2023秋•朔州期中）如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接． （1）请说出的理由； （2）试说出的理由； （3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明． 【分析】（1）证明即可得出答案； （2）根据，，由，点、、在同一条直线上，得出 根据即可证明； （3）由，，根据即可证明； 【解答】解：（1）和均为等边三角形 ， ； （2） ，点、、在同一条直线上 又 ； （3）是等边三角形，理由如下： （全等三角形的对应边相等） 又 是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）； 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，关键是全等三角形的判定与性质的应用． 一十五．多边形内角与外角（共1小题） 57．（2023秋•澄海区校级期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． （1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中的度数； （2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出的度数； （3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程） 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数； （3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案． 【解答】解：（1），， ； （2），， ； （3）根据图中可得出规律，每截去一个角则会增加180度， 所以当截去5个角时增加了度， 则． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解． 一十六．作图-轴对称变换（共2小题） 58．（2023春•叙州区校级期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出△向下平移3个单位得到的△； （2）在网格中画出△关于直线对称的△； （3）在直线上画一点，使得的值最小． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出△即可； （2）根据轴对称的性质画出△关于直线对称的△即可； （3）连接交直线于点，则点即为所求点． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求； （3）连接交直线于点，则点即为所求点． 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 59．（2023秋•东城区校级期中）已知，点为边上一个定点，点为线段上一个动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，，点关于直线的对称点为点，连接，． （1）如图1，若点为线段的中点． ①直接写出的度数； ②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，若线段与交于点． ①设，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）①证明，可得结论． ②图形如图所示：结论：．证明，可得结论． （2）①如图2中，连接，．证明，，，四点共圆，推出，由，推出，推出，推出，可得结论． ②如图中，结论：．连接，在上取一点，使得．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）①，关于对称， ，， 是等边三角形， ， 点为线段的中点， ， ， ． ②图形如图所示：结论：． 理由：，，关于对称， ， ， ， ， ． （2）①如图，连接，． ，关于对称， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ， ． ②如图，结论：． 理由：连接，在上取一点，使得． ， ，，，四点共圆， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ，关于对称， ， ． ． 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，涉及到等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 一十七．轴对称-最短路线问题（共1小题） 60．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． （1）当时，求证：； （2）在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； （3）连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 【分析】（1）首先证明是等边三角形，再证明，可得结论． （2）如图2中，的大小不变，．求出的大小，可得结论． （3）如图3中，过点作于，过点作于，于，于．首先证明平分，作点关于的对称点，连接，则有，求出，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ，， 是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ，， ， ，分别平分，， ， ． （3）解：如图3中，过点作于，过点作于，于，于． 平分，，， ， 平分，，， ， ， 平分， 作点关于的对称点，连接， ， ， ， ， ， ， 的最小值为4． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（17个考点专练） 一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 1．（2023秋•永兴县期中）已知：，平分，点、、分别是射线、、上的动点、、不与点重合），连接交射线于点．设． （1）如图1，若，则 ①的度数是 　　； ②当时，　　；当时，　　． （2）如图2，若，则是否存在这样的的值，使得△中有两个相等的角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 二．三角形内角和定理（共8小题） 2．（2023秋•东港区校级期中）如图，在△，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•裕安区校级期中）试解答下列问题： （1）在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数是　　个； （3）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试求的度数是　　． 4．（2023秋•来宾期中）如图所示，已知为的角平分线，为外角的平分线，且与交于点； （1）若，，则　 　； （2）若，，则　 　； （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含的式子表示 5．（2023秋•夏邑县期中）如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 6．（2023秋•花山区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 7．（2023秋•津南区期中）在中， （1）如图①所示，如果，和么的平分线相交于点，那么　　； （2）如图②所示，和的平分线相交于点，试说明； （3）如图③所示，和的平分线相交于点，猜想与的关系并证明你的猜想 8．（2023秋•启东市期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． ①　　；②　　． （2）如图2，在中，为角平分线，，．请你说明是的等角分割线． 【应用概念】： （3）在中，若，为的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数． 9．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如图1至图2，在中，，点在边上，作垂直于直线，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： （1）如图1，延长交于点，若，． 解决问题： ①　　； ②求证：． 深入探究： （2）如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； 拓展延伸： （3）当点在边上移动时，若射线与线段相交，设交点为，则与的关系式是 　　． 三．三角形的外角性质（共2小题） 10．（2023秋•武安市校级期中）在中，平分，． （1）课本原题再现：如图1，若于点，，，求的度数． （写出解答过程） （2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出、、之间的数量关系． （3）小明继续探究，如图2在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出、、 之间的数量关系，并说明理由． 11．（2023秋•海曙区期中）【概念认识】 如图①，在△中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△中，，，若的三分线交于点，求的度数； （2）如图③，在△中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在△中，是△的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 四．全等三角形的性质（共1小题） 12．（2023秋•宁津县校级期中）如图，，在上，连接，则以下结论：①平分；②；③； ④．其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 五．全等三角形的判定（共1小题） 13．（2023秋•石家庄期中）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 六．全等三角形的判定与性质（共26小题） 14．（2023秋•西山区校级期中）如图，在△，，为上的一点，，在的右侧作△，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•临湘市期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则为中点； ④当为等腰三角形时，； 正确的有_____个．　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2023秋•石家庄期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项为　　 A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 18．（2023秋•兴宾区期中）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　　． 19．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如图，在中，，，，为边上的高． （1）若，则　　（用含的代数式表示）； （2）点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 　　时，． 20．（2023秋•朝阳区校级期中）在中，，点在边上，且，是射线上的一个动点（不与点重合，且，在射线上截取，连接． （1）当点在线段上时， ①若点与点重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 　　； ②如图2，若点不与点重合，请证明； （2）当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 21．（2023秋•奉化区校级期中）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）请判断、有何大小、位置关系，并证明． 22．（2023秋•海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 23．（2023秋•睢阳区期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）求证：． （2）写出线段的长（用含的式子表示）． （3）连接，当线段经过点时，求的值． 24．（2023秋•梁园区校级期中）如图所示，、是的高，点在的延长线上，，点在上，． （1）探究与之间的关系； （2）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论． 25．（2023秋•咸宁期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：△△； （2）如图2，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是△、△的外角．已知，且．求证：△△； （3）如图3，在△中，，．点在边上，，点、在线段上，．若△的面积为15，求△与△的面积之和． 26．（2023秋•梁山县期中）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图1所示，　　度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 27．（2023秋•竹山县期中）（1）感知：如图1，平分，，，易知，数量关系为：　　． （2）探究：如图2，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形中，，，，于点，试判断，，的数量关系，并说明理由． 28．（2023秋•船营区校级期中）在中，，是边上一点，点在的右侧，线段，且． （1）如图1，若，连接，．则的度数为 　　；与的数量关系是 　　． （2）如图2，若，连接、．试判断的形状，并说明理由． 29．（2023秋•苍溪县期中）在中，，，是的角平分线，于． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）如图2，点为上一点，连接，作等边，连接，求证：； （3）如图3，点为线段上一点，连接，作，交延长线于，探究线段，与之间的数量关系，并证明． 30．（2023秋•赣州期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 31．（2023秋•钟祥市校级期中）如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 32．（2023秋•蓬江区校级期中）如图所示，已知，在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图②的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，写出线段、与之间的数量关系？并说明理由． 33．（2023秋•凤山县期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． （1）和全等吗？说明理由； （2）若，说明； （3）在（2）的条件下，若，，，求到的距离． 34．（2023秋•鹤山市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　 　 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是　 　． （3）已知：如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 35．（2023秋•鼓楼区期中）如图1，和都是等腰直角三角形，，在线段上，连接，的延长线交于． （1）猜想线段，的数量关系和位置关系：　　（不必证明）； （2）当点为内部一点时，使点和点分别在的两侧，其它条件不变． ①请你在图2中补全图形； ②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 36．（2023秋•商丘期中）已知：的高所在直线与高所在直线相交于点，过点作，交直线于点． （1）如图1，若为锐角三角形，且． 求证：①； ②； （2）如图2，若，直接写出、、之间满足的数量关系． 37．（2023秋•新安县期中）如图，在和中，，，． ①当点在上时，如图（1），线段、有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图（1）中的的位置改变一下，如图（2），使，其他条件不变，则线段，又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 38．（2023秋•越秀区期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，． （1）求证：且； （2）以为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形，过点作轴于点，求点的坐标； （3）若点为轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，，轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 39．（2023秋•裕华区校级期中）如图，已知中，，，，点为的中点． （1）如果点在线段上以的速度由点向运动，同时，点在线段上由点向运动，①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以的运动速度从同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过 　　秒后，点与点第一次在上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 七．全等三角形的应用（共1小题） 40．（2023秋•湖北期中）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 八．角平分线的性质（共4小题） 41．（2023春•章丘区期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 42．（2023秋•站前区校级期中）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 43．（2023秋•重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且、满足． （1）　　，　　； （2）如图1，若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； （3）如图2，点是外角平分线上一点，且点的横坐标为4，过点作于点，求的值． 44．（2023秋•璧山区校级期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 九．等腰三角形的性质（共5小题） 45．（2023秋•科左中旗期中）用一条长为细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？ 46．（2023秋•路桥区校级期中）如图，在中，，为的角平分线； （1）若，则的度数为 　　（直接写出结果）； （2）如图1，若为线段上一点，；求证：． （3）如图2，若为线段上一点，，求证：． 47．（2023秋•荔城区期中）如图，在和中，，，． （1）如图1，当点在上时，，连接，若，求的度数； （2）如图2，若，连接、，为中点，连接，求证：． 48．（2023秋•锡山区期中）探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 49．（2023秋•娄底期中）如图，在等腰中，，点在上，且． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的度数． （3）猜想与的数量关系．（不必证明） 一十．等腰三角形的判定（共1小题） 50．（2023秋•拱墅区期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）　　（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 一十一．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 51．（2023春•清苑区期中）（1）如图①，在中，，分别平分，，过点作直线平行于，分别交，于点，，求证：； （2）如图②，若点是的平分线和外角的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段，，之间有何数量关系？证明你的猜想． 一十二．等边三角形的性质（共1小题） 52．（2023秋•站前区校级期中）如图1，点、分别是边长为的等边△边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， （1）连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△是直角三角形？ （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 一十三．等边三角形的判定（共1小题） 53．（2023秋•连江县校级期中）如图，，与相交于点，． （1）求证：垂直平分； （2）过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 一十四．等边三角形的判定与性质（共3小题） 54．（2023秋•宁江区校级期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 55．（2023秋•印江县期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论： ①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 　　．（注把你认为正确的答案序号都写上） 56．（2023秋•朔州期中）如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接． （1）请说出的理由； （2）试说出的理由； （3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明． 一十五．多边形内角与外角（共1小题） 57．（2023秋•澄海区校级期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． （1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中的度数； （2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出的度数； （3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程） 一十六．作图-轴对称变换（共2小题） 58．（2023春•叙州区校级期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出△向下平移3个单位得到的△； （2）在网格中画出△关于直线对称的△； （3）在直线上画一点，使得的值最小． 59．（2023秋•东城区校级期中）已知，点为边上一个定点，点为线段上一个动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，，点关于直线的对称点为点，连接，． （1）如图1，若点为线段的中点． ①直接写出的度数； ②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，若线段与交于点． ①设，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 一十七．轴对称-最短路线问题（共1小题） 60．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． （1）当时，求证：； （2）在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； （3）连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$