期中真题必刷压轴60题（15个考点专练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（人教版2024）

期中真题必刷压轴60题（15个考点专练） 一．正数和负数（共1小题） 1．（2023秋•祁阳县校级期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动，它从处出发去看望、、处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中　　，　　，　　，　　， 　　； （2）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 二．有理数（共1小题） 2．（2023秋•蓝山县期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数，，满足，求的值； （2）若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． 三．数轴（共19小题） 3．（2023秋•洛江区期中）我们知道，在数轴上，点，分别表示数，则点，之间的距离为．已知点，，，在数轴上分别表示数，，，，且，则线段的长度为 　　． 4．（2023秋•钟祥市期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 5．（2023秋•鲤城区校级期中）电影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若、站台分别位于，处，，则站台用类似电影的方法可称为“　　站台”． 6．（2023秋•武陟县期中）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ 7．（2023秋•南海区期中）将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示10，点表示18．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点从点出发，以2单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． （1）动点从点运动至点需要 　　秒，动点从点运动至点需要 　　秒； （2），两点相遇时，求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在值，使得点和点在“折线数轴”上的“友好距离”等于点和点在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（2023秋•柘城县期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于、两地之间且距地，小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，当到达地后立即以原来的速度返回，到达地时停止运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点． （1）以点为坐标原点，以从到为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点所表示的有理数； （2）在（1）的数轴上，求时点表示的有理数； （3）当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． 9．（2023秋•花都区校级期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 　　表示的点重合； （2）若点、点和点分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 10．（2023秋•西城区校级期中）定义：若线段的中点在线段上，则称点和与线段关联． 已知：、、在数轴上对应的数分别为，0，20 （1）以下数对应的点和点与线段关联的有 　　（填序号）． ① ②15 ③40 （2）若点和与线段关联，设点对应的数为，则的最大值为 　　，最小值为 　　． （3）如图，数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为，，，现将、、同时沿数轴向右移动，速度分别为每秒3个单位、3个单位、1个单位，移动时间为秒．若线段上至少有一个点和点与线段关联，则的取值范围是 　　． 11．（2023秋•滨海新区校级期中）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点与点的距离是2，记作，以下类同，，设点，，所对应数的和是． （1）若以为原点，则点所对应的数为 　　，点所对应的数为 　　，的值为 　　；若以为原点，则的值为 　　； （2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值；在此基础上，将原点向右移动个单位，则的值为 　　；（用含的式子表示） （3）若原点在点与之间，且，则　　；若原点从点出发沿着数轴向左运动，当时，求的值． 12．（2023秋•台州期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的蹄离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离．请回答以下问题： （1）若表示一个有理数，，则　　； （2）若表示一个有理数，的最小值　　； （3）在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人．现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具．为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 13．（2023秋•郓城县期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合（提示：圆的周长，本题中的取值为 （1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是 　　； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，， ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 14．（2023秋•市北区期中）数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．小亮在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则3表示的点与 　　表示的点重合；假如、两点经过折叠后重合，且数轴上、两点之间距离为在的左侧），则、两点表示的数分别是　　，　　； 操作三： （3）在数轴上剪下从到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　　． 15．（2023秋•开州区期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离． 根据以上材料回答下列问题： （1）若，则　　，，则　　． （2）若，则能取到的最小值是 　　，最大值是 　　． （3）若，则的值为多少？ 16．（2023秋•临湘市期中）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“关联点”．回答下列问题： （1）若点表示数，点表示数1．下列各数，2，4，6所对应的点是、、、．其中是点，的“关联点”的是 　　． （2）点表示数4，点表示数10，为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则此时点表示的数是多少？ ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点表示的数． 17．（2023秋•龙岗区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　　； （2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒），，，，， ①第几次滚动后，大圆离原点最远？ ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留 （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 18．（2023秋•铁东区期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　　． （2）图中点所表示的数是　　，点所表示的数是　　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 19．（2023秋•西平县期中）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． （1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 20．（2023秋•湘潭县校级期中）如图在数轴上点表示数，点表示数，、满足； （1）点表示的数为　　；点表示的数为　　； （2）若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒， ①当时，甲小球到原点的距离　　；乙小球到原点的距离　　； 当时，甲小球到原点的距离　　；乙小球到原点的距离　　； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 21．（2023秋•拱墅区校级期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数． （1）求此时刻快车头与慢车头之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ （3）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 四．绝对值（共5小题） 22．（2023秋•鲤城区校级期中）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若，则的值是　　 A．2 B． C． D． 23．（2023秋•丰泽区校级期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为 　　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，． ①的最小值为 　　； ②的最小值为 　　． 24．（2023秋•荷塘区期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 25．（2023秋•鼓楼区校级期中）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 　　和 　　，，两点间的距离是 　　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 　　；如果，那么为 　　； （3）若点表示的整数为，则当为 　　时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 26．（2023秋•太康县期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）　　． （2）同理表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　． （3）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 五．非负数的性质：绝对值（共1小题） 27．（2023秋•海安市期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． （1）当时，求出的值； （2）设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； （3）设，当的值最小时，求整数所有可能的值的和． 六．有理数的除法（共1小题） 28．（2023秋•朝阳区校级期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 七．有理数的乘方（共1小题） 29．（2023秋•滕州市期中）（1）填空：　 　；　 　；　 　． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果，那么　 　．如果，那么　 　． 八．有理数的混合运算（共8小题） 30．（2023秋•洛江区期中）设，利用等式，则与最接近的正整数是　　 A．18 B．20 C．24 D．25 31．（2023秋•开州区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是　 　． 32．（2023秋•礼县期中）规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题： （1）求7※的值； （2）7※与※7的值相等吗？ 33．（2023秋•永城市校级期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：　　，　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　 ．任何非零数的圈2次方都等于1； ．对于任何正整数，； ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．　　；　　；　　． （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 　　； （3）算一算：． 34．（2023秋•拱墅区校级期中）已知，为有理数，如果规定一种运算“”，即，试根据这种运算完成下列各题． （1）求； （2）求； （3）任意选择两个有理数，，分别计算和，并比较两个运算结果，你有何发现？ 35．（2023秋•铁西区期中）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算： ；； ；； ；． （1）归纳运算的法则： 两数进行运算时，　　．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，　　． （2）计算：　　． （3）是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 36．（2023秋•五华区期中）观察算式： ， ， ； （1）按规律填空： ①　　； ②　　； ③如果为正整数，那么　　； （2）计算（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 37．（2023秋•濠江区校级期中）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：　　； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 九．列代数式（共5小题） 38．（2023秋•青羊区校级期中）对于一个四位正整数，如果满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称为“进步数”，如：1245就是一个进步数．对于一个“进步数” 记为，它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作，当时，的最大值与最小值的和为 　　． 39．（2023秋•灌云县期中）如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： （1）每本课本的厚度为　 　； （2）若有一摞上述规格的课本本，整齐叠放在讲台上，请用含的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度； （3）当时，若从中取走14本，求余下的课本的顶部距离地面的高度． 40．（2023秋•惠城区校级期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于　 　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积． 方法①　 　．方法②　 　； （3）观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 41．（2023秋•海曙区校级期中）小明去文具用品商店给同学买某品牌水性笔，已知甲、乙两商店都有该品牌的水性笔且标价都是1.50元支，但甲、乙两商店的优惠条件却不同． 甲商店：若购买不超过10支，则按标价付款；若一次购10支以上，则超过10支的部分按标价的付款． 乙商店：按标价的付款． 在水性笔的质量等因素相同的条件下． （1）设小明要购买的该品牌笔数是支，请用含的式子分别表示在甲、乙两个商店购买该品牌笔的费用； （2）若小明要购买该品牌笔30支，你认为在甲、乙两商店中，到哪个商店购买比较省钱？说明理由． 42．（2023秋•沈北新区期中）如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，若圆形的半径为米，广场长为米，宽为米． （1）请列式表示广场空地的面积； （2）若休闲广场的长为400米，宽为100米，圆形花坛的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留． 一十．代数式求值（共2小题） 43．（2023秋•咸丰县期中）在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，★；时，★．则当时，代数式★★的值为 　　． 44．（2023秋•怀仁市期中）某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款．该学校要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球盒，为整数）． （1）若该学校按方案一购买，需付款 　　元；若该学校按方案二购买，需付款 　　元（用含的代数式表示）； （2）若，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算； （3）若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案应付的钱数；如果不能，请说明理由． 一十一．合并同类项（共1小题） 45．（2023秋•拱墅区校级期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． （1）求，的值； （2）①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为 　　个单位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． （3）在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 一十二．规律型：数字的变化类（共1小题） 46．（2023秋•弋阳县期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中的值是　　 A．135 B．170 C．209 D．252 一十三．规律型：图形的变化类（共1小题） 47．（2023秋•沙坡头区校级期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去； （1）填表： 剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 （2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ （3）如果剪了次，共剪出多少个小正方形？ （4）观察图形，你还能得出什么规律？ 一十四．整式的加减（共11小题） 48．（2023秋•西城区校级期中）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积　　 A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．大长方形 49．（2023秋•思明区校级期中）一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则7241为“3型数”； ，因为，则4635为“型数”．若四位数是“3型数”， 是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，则满足条件的最小四位数的值为 　　． 50．（2023秋•潮阳区期中）已知多项式 （1）若多项式的值与字母的取值无关，求、的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值． 51．（2023秋•云岩区校级期中）定义：若，则称与是关于1的平衡数． （1）3与 　　是关于1的平衡数，与 　　是关于1的平衡数．（用含的代数式表示） （2）若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 52．（2023秋•萧县期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下： （1）求所挡的二次三项式； （2）若，求所挡的二次三项式的值． 53．（2023秋•京口区期中）小丽同学完成一道题“已知两个多项式．、，计算”，小丽讲误抄写成，求得结果．若，．请你帮助小丽求出的正确答案． 54．（2023秋•盱眙县期中）甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短． （1）求乙三角形第三条边的长； （2）甲、乙两三角形的周长哪个大？试说明理由； （3）、都为正整数，甲、乙两三角形的周长在数轴上表示的点分别为、，若、两点之间恰好有18个“整数点”（点表示的数为整数），求的值． 55．（2023秋•临洮县期中）有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 56．（2023秋•峄城区期中）填空题：（请将结果直接写在横线上） 定义新运算“”，对于任意有理数，有， （1）　　． （2）若，，则　　． 57．（2023秋•潢川县期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： ． （1）求所捂的二次三项式； （2）若请给选择一个你喜欢的数代入，求所捂二次三项式的值． 58．（2023秋•解放区校级期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求正确答案． 一十五．整式的加减—化简求值（共2小题） 59．（2023秋•东莞市校级期中）化简求值 （1）先化简，后求值： ，其中，． （2）已知，，求的值，其中． 60．（2023秋•浚县期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如： （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，请你计算当时，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（15个考点专练） 一．正数和负数（共1小题） 1．（2023秋•祁阳县校级期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动，它从处出发去看望、、处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中　3　，　　，　　，　　， 　　； （2）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【分析】（1）根据规定及实例可知记为记为记为； （2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【解答】解：（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负记为记为记为； （2）点位置如图所示． （3）据已知条件可知：表示为：，记为记为； 该甲虫走过的路线长为． 故答案为：；；； 【点评】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 二．有理数（共1小题） 2．（2023秋•蓝山县期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数，，满足，求的值； （2）若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． 【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：（1）， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则． （2），，为三个不为0的有理数，且， ，，中负数有2个，正数有1个， ， ． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． 三．数轴（共19小题） 3．（2023秋•洛江区期中）我们知道，在数轴上，点，分别表示数，则点，之间的距离为．已知点，，，在数轴上分别表示数，，，，且，则线段的长度为 　4.5或0.5　． 【分析】先由，推得点在点和点之间，且与，与之间的距离均为1，与之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知格点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解． 【解答】解： 点在点和点之间 不妨设点在点左侧，如图（1） （1） 线段的长为4.5 如图（2） 线段的长为0.5 故答案为：4.5或0.5． 【点评】本题考查了数轴上的点与其距离的关系，将所给绝对值等式化简，数形结合，画草图分析，是解题的关键． 4．（2023秋•钟祥市期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 【分析】由有理数与在数轴上的位置可得，，，进而得到，，，然后根据绝对值的代数意义：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数进行化简，去括号合并同类项后，即可得到所求式子的结果． 【解答】解：由数轴知，，， ，，， 原式， 故答案为：． 【点评】此题考查了整式的加减运算，绝对值的代数意义，以及数轴上点的大小比较，其中由与数轴上的位置，根据数轴上右边的数总比左边的数大，原点左边的数小于0，右边的数大于0，理解绝对值的意义是解答此题的关键． 5．（2023秋•鲤城区校级期中）电影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若、站台分别位于，处，，则站台用类似电影的方法可称为“　或6　站台”． 【分析】先根据两点间的距离公式得到的长度，再根据求得的长度，再用加上该长度即为所求． 【解答】解：， ， ； 或， ． 故站台用类似电影的方法可称为“或6站台”． 故答案为：或6． 【点评】此题考查了数轴，关键是用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 6．（2023秋•武陟县期中）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ 【分析】（1）由已知得，则，因为点在原点左边，从而写出数轴上点所表示的数；动点从点出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点所表示的数是； （2）①点运动秒时追上点，由于点要多运动10个单位才能追上点，则，然后解方程得到； ②分两种情况：当点运动秒时，不超过，则；超过，则；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）数轴上点表示的数为6， ， 则， 点在原点左边， 数轴上点所表示的数为； 点运动秒的长度为， 动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 所表示的数为：； （2）①点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动5秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当不超过，则，解得； 当超过，则，解得； 答：当点运动1或9秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键． 7．（2023秋•南海区期中）将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示10，点表示18．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点从点出发，以2单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． （1）动点从点运动至点需要 　19　秒，动点从点运动至点需要 　　秒； （2），两点相遇时，求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在值，使得点和点在“折线数轴”上的“友好距离”等于点和点在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可得，动点从点运动至点需要的时间是：，动点从点运动至点需要的时间是：； （2）根据题意可知，、两点在上相遇，点运动到上时表示的数是，点运动到上时表示的数是，则，求出的值，再求点表示的数即可； （3）分7种情况讨论：①当时，点在上，点在上，此时点表示的数是，点表示的数是，由题意可得，，解得；②当时，点在上，点在上，此时点表示的数是，点表示的数是，由题意可得，，解得（舍；③时，点、都在上，此时，此情况不符合题意；④时，点在上，点在上，此时点表示的数是，点表示的数是，由题意可得，，解得（舍；⑤时，点在上，点在上，此时点表示的数是，点表示的数是，由题意可得，，解得；⑥时，点在的右侧，点在上，此时点表示的数是，点表示的数是，由题意可得，，解得（舍；⑦时，点在点右侧，点在点左侧，，不符合题意． 【解答】解：（1）点表示，点表示10，点表示18， ，，， 动点从点运动至点需要的时间是：， 动点从点运动至点需要的时间是：， 故答案为：19，23； （2）根据题意可知，、两点在上相遇， 点运动到上时表示的数是，点运动到上时表示的数是， ， 解得， 点表示的数是； （3）存在值，使得点和点在“折线数轴”上的“友好距离”等于点和点在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下： 点表示，点表示10， 点和点在“折线数轴”上的“友好距离”是20， ①当时，点在上，点在上， 此时点表示的数是，点表示的数是， 点和点在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得； ②当时，点在上，点在上， 此时点表示的数是，点表示的数是， 点和点在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得（舍； ③时，点、都在上，此时， 此情况不符合题意； ④时，点在上，点在上， 此时点表示的数是，点表示的数是， 点和点在“折线数轴”上的“友好距离”为；（舍； ⑤时，点在上，点在上， 此时点表示的数是，点表示的数是， 点和点在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得； ⑥时，点在的右侧，点在上， 此时点表示的数是，点表示的数是， 点和点在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得（舍； ⑦时，点在点右侧，点在点左侧，，不符合题意； 综上所述：的值为或． 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握实数上点与数轴的对应关系，弄清“友好函数”的定义是解题的关键． 8．（2023秋•柘城县期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于、两地之间且距地，小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，当到达地后立即以原来的速度返回，到达地时停止运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点． （1）以点为坐标原点，以从到为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点所表示的有理数； （2）在（1）的数轴上，求时点表示的有理数； （3）当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． 【分析】（1）根据点坐标原点，以从到的正方向，而且千米，可得点所表示的有理数是； （2）首先根据速度时间路程，用小明骑自行车的速度乘以0.5，求出小明0.5小时的路程是多少；然后用它减去2，求出时点的有理数是多少即可； （3）根据题意，分两种情况：①当小明在点的左边时；②当小明在点的右边时；然后根据路程速度时间，求出小明距离地时，所有满足条件的值是多少即可． 【解答】解：（1）因为千米，且一个单位长度表示，所以点所表示的有理数是； （2） 所以时，点所表示的有理数是0.5； （3）①当小明在点的左边时， ②当小明在点的右边时， ③同法可得返回时，时或1.8时 答，当小明距离地时，的值是0.2或0.6或1.4或1.8时． 【点评】本题主要考查了正负数的运算，以及行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间，要熟练掌握． 9．（2023秋•花都区校级期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 　5　表示的点重合； （2）若点、点和点分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出的长度和中点，然后求出的重合点； （2）①分别以、、为中点，列出等式解出即可； ②使的值为定值，列出等式中的含的项合并为0，从而求出． 【解答】解：（1）， ， 的中点表示的数为：， ，， 则点与5表示的点重合； （2）①由题意可知， 秒时，点所在的数为：， 点所在的数为：， 点所在的数为：， 若为中点， 则． ； 若为中点， 则， ； 若为中点， 则， ， 综上，当或4或16时，，，三点中恰有一点为另外两点的中点； ②假设存在． 在右侧，在右侧， ， ， ， 当即时， 为定值， 存在常数，使的值为定值． 【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是能用中点坐标公式列出等式． 10．（2023秋•西城区校级期中）定义：若线段的中点在线段上，则称点和与线段关联． 已知：、、在数轴上对应的数分别为，0，20 （1）以下数对应的点和点与线段关联的有 　②③　（填序号）． ① ②15 ③40 （2）若点和与线段关联，设点对应的数为，则的最大值为 　　，最小值为 　　． （3）如图，数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为，，，现将、、同时沿数轴向右移动，速度分别为每秒3个单位、3个单位、1个单位，移动时间为秒．若线段上至少有一个点和点与线段关联，则的取值范围是 　　． 【分析】（1）利用线段中点的定义分别求出以点，为中点的的数为10，50，得出点表示的数在之间，即可得出答案； （2）将（1）中的点表示的数分别代入进行计算，即可得出答案； （2）求出、的中点，根据题意该中点在线段上从而列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【解答】解：（1）线段的中点在线段上， ，解得：； 点对应的数在之间， ②③符合题意， 故答案为：②③． （2）由题意可知：，解得：； 当时，，当时原式有最大值：30，当时原式有最小值：10； 当时，； 当时，，当时原式有最大值：50，当时原式有最小值：10； 综上所述，最大值为50，最小值为10； 故答案为：50；10． （3）由题意可知、、在数轴上对应的数为：，， 要使线段上至少有一个点和点与线段关联，则有： ，解得：， ，解得：， 综上，． 故答案为：． 【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、不等式（组的有关内容，考差了对新定义的理解与应用，用代数方法结合数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 11．（2023秋•滨海新区校级期中）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点与点的距离是2，记作，以下类同，，设点，，所对应数的和是． （1）若以为原点，则点所对应的数为 　　，点所对应的数为 　　，的值为 　　；若以为原点，则的值为 　　； （2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值；在此基础上，将原点向右移动个单位，则的值为 　　；（用含的式子表示） （3）若原点在点与之间，且，则　　；若原点从点出发沿着数轴向左运动，当时，求的值． 【分析】（1）根据已知点到点的距离为2和点到点的距离为3求出即可； （2）首先由已知求出对应的数，再分别求出每种情况、对应的数，求得，最后减去即； （3）分为三种情况，原点在点与之间时，当原点在点与之间时，若原点在点的左侧，求出、、对应的数，列出算式，即可求出． 【解答】解：（1）当为原点时，点对应的数是，点对应的数是3，；当以为原点时，、对应的数分别为，，， 故答案为：，3，1，； （2）， 在此基础上，将原点向右移动个单位，则， 故答案为：； （3）原点在点与之间，且，点对应的数是2，点对应的数是，点对应的数是，， 故答案为： ①若原点在点与之间，设，则， 解得：，不合题意舍去； ②若原点在点与之间，设，则， 解得：，此时； ③若原点在点的左侧，设，则， 解得：，不合题意舍去； 综上所述：． 【点评】本题考查了数轴和列代数式，及一元一次方程的应用，能求出符合的每种情况是解此题的关键，注意要进行分类讨论． 12．（2023秋•台州期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的蹄离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离．请回答以下问题： （1）若表示一个有理数，，则　或4　； （2）若表示一个有理数，的最小值　　； （3）在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人．现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具．为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 【分析】（1）根据题意，由数轴上与表示有理数1的点之间的距离为3的点的位置，即可获得答案； （2）根据题意，可知表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，作出图形，分情况讨论，即可获得答案； （3）分别分析计算当有2个、3个、4个、5个、6个工作台时，工具台应放置的位置，找出规律，即可获得答案． 【解答】解：（1）根据题意，表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离， 如图， 若， 数轴上与表示有理数1的点的距离为3的点有两个，分别为表示有理数的点和表示有理数4的点， 或4； 故答案为：或4； （2）， 表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 又表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， 当表示有理数的点在表示有理数的点左侧时，如图， 此时， 当表示有理的点与表示有理数的点重合时，如图， 此时， 当表示有理的点与表示有理数的点与表示有理数2的点中间时，如图， 此时， 当表示有理的点与表示有理数2的点重合时，如图， 此时， 当表示有理的点在表示有理数2的点右侧时，如图， 此时， 综上，的最小值为3； 故答案为：3； （3）①如图，当流水线上排列了2个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为1； ②如图，当流水线上排列了3个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台与第2个工作台之间任何位置（包括第1个和第2个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为3； ③如图，当流水线上排列了4个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为5； ④如图，当流水线上排列了5个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台与第3个工作台之间任何位置（包括第2个和第3个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为8； ⑤如图，当流水线上排列了6个工作台时， 工具台可设置在第3个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为11； ； 综上所述，当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置）． 【点评】本题主要考查了数轴上的点表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 13．（2023秋•郓城县期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合（提示：圆的周长，本题中的取值为 （1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是 　6.28　； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，， ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离； （2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出点移动距离变化； ②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和表示的数即可． 【解答】解：（1）， 点表示的数是6.28， 故答案为：6.28； （2）①， 第4次滚动后，点距离原点最近； ， 第3次滚动后，点距离原点最远； ②， ， 当圆片结束运动时，点运动的路程共有106.76， ， ， 此时点所表示的数是6.28． 【点评】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键． 14．（2023秋•市北区期中）数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．小亮在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 　2　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则3表示的点与 　　表示的点重合；假如、两点经过折叠后重合，且数轴上、两点之间距离为在的左侧），则、两点表示的数分别是　　，　　； 操作三： （3）在数轴上剪下从到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　　． 【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点，则可以得出与2重合； （2）1表示的点与表示的点重合，根据对称性找到折痕的点为，设3表示的点与数表示的点重合，根据对称性列式求出的值；因为，所以到折痕的点距离为3.5，由此得出、两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：分别画出对应的图形，①当时所以设，，，得，得出、、的值计算折痕处对应的点所表示的数的值，当时，当时，同理可得出折痕处对应的点所表示的数的值． 【解答】解：（1）表示的点与表示的点重合， 由对称性找到折痕的点为原点， 则与2重合， 故答案为：2； （2）表示的点与表示的点重合， 根据对称性找到折痕的点为， 设3表示的点与数表示的点重合，， ， 解得：， 故答案为：； ， 到折痕的点：距离为2.5， 在的左侧， 表示的数：， 表示的数：， 故答案为：；；1.5； （3）如图：①当时， 设，，， ， ， 解得：， ，，， 折痕处所表示的数为：； ②当时， 设，，， ， ， 解得：， ，，； 折痕处所表示的数为：； ③当时， 设，，， ， ， 解得：， ，，； 折痕处所表示的数为：； 综上所述：折痕处所表示的数可能为：或或， 故答案为：或或， 【点评】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点坐标差的绝对值，本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． 15．（2023秋•开州区期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离． 根据以上材料回答下列问题： （1）若，则　或5　，，则　　． （2）若，则能取到的最小值是 　　，最大值是 　　． （3）若，则的值为多少？ 【分析】（1）根据表示数轴上表示的点到2的距离为3，表示数轴上表示的点到表示4和的距离相等，得出答案； （2），表示的意义是数轴上表示的点到表示3和两点的距离之和为5，得到的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据所提供的绝对值意义，即可解答． 【解答】解：（1）表示数轴上表示的点到的距离为3， 或， 解得或， 表示数轴上表示的点到表示4和的距离相等，因此到4和距离相等的点表示的数为， 故答案为：5或，1； （2），表示的意义是数轴上表示的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 因此的最大值为3，最小值为； 故答案为：，3； （3）数轴上表示有理数的点到表示有理数1的点的距离可表示为，表示有理数的点到有理数的点的距离可表示为， 表示有理数的点到表示有理数3的点的距离，表示有理数的点到表示有理数的点的距离， 或． 【点评】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． 16．（2023秋•临湘市期中）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“关联点”．回答下列问题： （1）若点表示数，点表示数1．下列各数，2，4，6所对应的点是、、、．其中是点，的“关联点”的是 　、　． （2）点表示数4，点表示数10，为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则此时点表示的数是多少？ ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点表示的数． 【分析】（1）根据题意求得与的关系，得到答案； （2）①（Ⅰ）当点在的左侧时，根据列方程求解； （Ⅱ）当点在、之间时，根据或列方程求解； ②分当为、关联点、为、关联点、为、关联点、为、关联点四种可能列方程解答． 【解答】解：（1）点表示数，点表示数1，表示的数为， ，， 是点、的“关联点”； 点表示数，点表示数1，表示的数为2， ，， 不是点、的“关联点”； 点表示数，点表示数1，表示的数为4， ，， 是点、的“关联点”； 点表示数，点表示数1，表示的数为6， ，， 不是点、的“关联点”； 故答案为：，； （2）①若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，设点表示的数为， （Ⅰ）当点在的左侧时，则有：，即， 解得； （Ⅱ）当点在、之间时，则有或，即或， 解得或； 因此点表示的数为或6或8． 故答案为：或6或8； ②若点在点的右侧， （Ⅰ）若点是点、的“关联点”，则有，即， 解得； （Ⅱ）若点是点、的“关联点”，则有或，即或， 解得或； （Ⅲ）若点是点、的“关联点”，则有，即， 解得． 因此点表示的数为16或22或13． 【点评】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：关联点表示的数是与前面的点的距离是到后面的数的距离的2倍，列式可得结果． 17．（2023秋•龙岗区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　　； （2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒），，，，， ①第几次滚动后，大圆离原点最远？ ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留 （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数的绝对值，就是大圆的周长； （2）①分别计算出第几次滚动后，大圆离原点的距离，比较作答； ②先计算总路程，因为小圆不动，计算各数之和为，即大圆最后的落点为原点左侧，向左滚动10秒，距离为； （3）分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距列等式，求出即可． 【解答】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是； 故答案为：； （2）①第1次滚动后，，离原点距离为， 第2次滚动后，，离原点距离为， 第3次滚动后，，离原点距离为， 第4次滚动后，，离原点距离为， 第5次滚动后，，离原点距离为， 第6次滚动后，，离原点距离为， 则第6次滚动后，大圆离原点最远； ②， ， ， 当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是； （3）设时间为秒， 分四种情况讨论： 当两圆同向右滚动， 由题意得：秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数为：， ， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． 当两圆同向左滚动， 由题意得：秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数：， ， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． 当大圆向右滚动，小圆向左滚动时， 同理得：， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． 当大圆向左滚动，小圆向右滚动时， 同理得：， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． 【点评】本题考查了数轴及圆的几何变换，还考查了一元一次方程的应用，用方程解决此类问题比较简单，同时又利用了分类讨论的思想，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系． 18．（2023秋•铁东区期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　5　． （2）图中点所表示的数是　　，点所表示的数是　　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小红大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红比爷爷大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为130，所以可知爷爷比小红大，可知爷爷的年龄． 【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是， 则此木棒长为． （2）图中点所表示的数是 10，点所表示的数是 15． 故答案为：5，10，15． （3）如图： 借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒， 类似爷爷比小红大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为． 小红比爷爷大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为130． 可知爷爷比小红大， 可知爷爷的年龄为． 【点评】此题考查了学生的分析能力，学以致用的能力．解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒，而后把此转化为上一题中的问题． 19．（2023秋•西平县期中）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． （1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数； （3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）点对应的数是； （2），之间的距离为120， 它们的相遇时间是（秒， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 即从数向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（秒， 相遇后：（秒． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程速度时间． 20．（2023秋•湘潭县校级期中）如图在数轴上点表示数，点表示数，、满足； （1）点表示的数为　　；点表示的数为　　； （2）若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒， ①当时，甲小球到原点的距离　　；乙小球到原点的距离　　； 当时，甲小球到原点的距离　　；乙小球到原点的距离　　； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出，即可； （2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论． ②根据，（Ⅱ），根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）； ，， 点表示的数为，点表示的数为4， 故答案为：，4； （2）①当时， 一小球甲从点处以1个单位秒的速度向左运动， 甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离， 一小球乙从点处以2个单位秒的速度也向左运动， 乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离， 故答案为：3，2； 当时， 一小球甲从点处以1个单位秒的速度向左运动， 甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离， 一小球乙从点处以2个单位秒的速度也向左运动， 乙小球2秒钟向左运动2个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位， 乙小球到原点的距离． ②当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 故答案为：5，2． 【点评】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论． 21．（2023秋•拱墅区校级期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数． （1）求此时刻快车头与慢车头之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ （3）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【解答】解：（1）与互为相反数， ， ，， 解得，． 此时刻快车头与慢车头之间相距单位长度； （2） （秒． 或（秒 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）， 当在之间时，是定值4， （秒， 此时（单位长度）． 故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 【点评】本题考查了数轴，涉及的知识点有：非负数的性质，两点之间的距离公式，路程问题，综合性较强，有一定的难度． 四．绝对值（共5小题） 22．（2023秋•鲤城区校级期中）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【分析】利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有，从而得出两种情况．讨论后即可得解． 【解答】解：由题意知，0，，由互异性可知，，． 因为，， 由，可得，， 所以，即， 那么就有或者， 当得， 当无解． 所以当时，，0，，，，， 此时符合题意． 所以． 故选：． 【点评】本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目． 23．（2023秋•丰泽区校级期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为 　8　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，． ①的最小值为 　　； ②的最小值为 　　． 【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算求未知数； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、、40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【解答】解：（1）， 故答案为：8； （2）和2关于3的“美好关联数”为4， ， ， 解得或； （3）①和关于1的“美好关联数”为1， ， 在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知： ， ，， 的最小值； ， ，， 的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值； ； ，的最小值； 的最小值： ． 故答案为：820． 【点评】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 24．（2023秋•荷塘区期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　0　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：（1），是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则； （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． ，，中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． 25．（2023秋•鼓楼区校级期中）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 　　和 　　，，两点间的距离是 　　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 　　；如果，那么为 　　； （3）若点表示的整数为，则当为 　　时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围． 【解答】解：（1）如图，点为所求点．点表示的数，点表示的数1，的长度是； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为，如果，那么为，2； （3）若点表示的整数为，则当为，时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是， 故答案为：，1，3.5；，，2；；． 【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． 26．（2023秋•太康县期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）　7　． （2）同理表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　． （3）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为3段进行计算，最后确定的值． （3）根据绝对值的意义，即可解答． 【解答】解：（1）． 故答案为：7； （2）令或时，则或， 当时， ， ， （范围内不成立）， 当时， ， ， ， ，，，，0，1， 当时， ， ， ， ， （范围内不成立）． 显然当及时符合题意， 综上所述，符合条件的整数有：，，，，，0，1，2． 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）有最小值． 当有理数所对应的点在，3之间的线段上的点时， 最小值为9． 【点评】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，去绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 五．非负数的性质：绝对值（共1小题） 27．（2023秋•海安市期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． （1）当时，求出的值； （2）设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； （3）设，当的值最小时，求整数所有可能的值的和． 【分析】（1）当时，则解方程，求出的值即可； （2）由，分三种情况讨论，求得最大值即可； （3），分三种情况讨论，求取得最小值时的范围即可． 【解答】解：（1）当时， 则， 解得：或； （2）存在最大值为11； 理由：分三种情况： 当时，； 当时，， 则； 当时，； 的最大值为11； （3）， 当时， 当时， ， 而， 当时， ， 当时， ， 的值最小时为8099， 此时， 整数所有可能的值的和为： ． 【点评】本题考查非负数的性质、数轴、绝对值的意义，分类讨论是解题的关键有一定的难度，理解题意是解决问题的关键． 六．有理数的除法（共1小题） 28．（2023秋•朝阳区校级期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值为多少即可． 【解答】解：根据分析，可得 则所有符合条件的的值为：128、21、20、3． 故选：． 【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 七．有理数的乘方（共1小题） 29．（2023秋•滕州市期中）（1）填空：　1.44　；　 　；　 　． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果，那么　 　．如果，那么　 　． 【分析】（1）利用平方的概念填空； （2）由（1）中可以发现小数点的变化，从而找出规律． （3）利用这个规律计算这两题即可． 【解答】解：（1）1.44；144；14400； （2）根据上题的规律可知：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位． （3）0.105625；． 【点评】本题主要考查了有理数乘方的运算法则和规律． 小数点的变化规律：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位． 八．有理数的混合运算（共8小题） 30．（2023秋•洛江区期中）设，利用等式，则与最接近的正整数是　　 A．18 B．20 C．24 D．25 【分析】利用等式，代入原式得出数据的规律性，从而求出． 【解答】解：利用等式，代入原式得： 而 故选：． 【点评】此题主要考查了数的规律，关键是运用已知发现规律，题目规律性比较强． 31．（2023秋•开州区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是　16　． 【分析】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除这4个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”． 【解答】解：12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数， 完美指标：， 14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数， 完美指标：， 15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数， 完美指标：， 16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数， 完美指标：， 18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数， 完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 故答案为：16． 【点评】考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是，根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题． 32．（2023秋•礼县期中）规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题： （1）求7※的值； （2）7※与※7的值相等吗？ 【分析】（1）把所给定义式中的换成7、换成代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出7※与※7的值，然后比较计算结果即可． 【解答】解：（1）7※ （2）不相等．理由是： ※，※， 即： ※与※7的值不相等． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序． 33．（2023秋•永城市校级期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：　　，　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　 ．任何非零数的圈2次方都等于1； ．对于任何正整数，； ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．　　；　　；　　． （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 　　； （3）算一算：． 【分析】初步探究 （1）根据新定义计算； （2）根据新定义可判断错误； 深入思考 （1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算； （2）利用新定义求解； （3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【解答】解：初步探究 （1），； （2）选项错误； 深入思考 （1）；；． （2）； （3）原式 ． 故答案为，，，，，，． 【点评】本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 34．（2023秋•拱墅区校级期中）已知，为有理数，如果规定一种运算“”，即，试根据这种运算完成下列各题． （1）求； （2）求； （3）任意选择两个有理数，，分别计算和，并比较两个运算结果，你有何发现？ 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （3）两数利用新定义化简得到结果，即可作出判断． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：； （2）根据题中的新定义得：； （3）根据题中的新定义得：，， 则． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 35．（2023秋•铁西区期中）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算： ；； ；； ；． （1）归纳运算的法则： 两数进行运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，　　． （2）计算：　　． （3）是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行 运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【解答】解：（1）归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2） ． 故答案为：17； （3）， ，， 解得，． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 36．（2023秋•五华区期中）观察算式： ， ， ； （1）按规律填空： ①　　； ②　　； ③如果为正整数，那么　　； （2）计算（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 【分析】（1）根据题意找出规律，根据此规律即可得出结论； （2）把所给的式子进行化简，找出规律即可． 【解答】解：观察算式： ， ， ； （1）①； ②； ③如果为正整数，那么． 故答案为：，；． （2）①； ； ； ， ； ②，， ，， ． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． 37．（2023秋•濠江区校级期中）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：　　； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 【分析】（1）类比给出的数字特点拆分即可； （2）把分数写成两个连续自然数为分母，分子为1的分数差计算即可； （3）提取，再把分数写成两个连续自然数为分母，分子为1的分数差计算即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） ． 【点评】此题考查有理数的混合运算，根据数字的特点，掌握拆分的方法是解决问题的关键． 九．列代数式（共5小题） 38．（2023秋•青羊区校级期中）对于一个四位正整数，如果满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称为“进步数”，如：1245就是一个进步数．对于一个“进步数” 记为，它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作，当时，的最大值与最小值的和为 　13468　． 【分析】设四位正整数的千位上数字，十位上的数字，则四位正整数的百位上数字，个位上的数字，依题意得，；；再根据得，则，然后根据，，同时，，得，，将代入，解得：，进而得的取值范围是：且为整数；由此得的取值范围是：，且为整数，据此可求出的最大值和最小值，进而再求出它们的和即可． 【解答】解：设四位正整数的千位上数字，十位上的数字， 四位正整数的百位上数字，个位上的数字， 四位正整数， 千位数字和百位数字所组成的两位数，十位数字和个位数字所组成的两位数， ； 又千位数字与十位数字所组成的两位数，百位数字与个位数字所组成的两位数， ； ， ， 整理得：， 四位正整数满足各数位上的数字均不为0，且最大为9， ，，同时，， 即，， 将代入，得，解得：， 的取值范围是：且为整数； 又， 的取值范围是：， ， 要使为最大，只需，同时为最大， 当，时，为最大，此时； 要使为最小，只需，同时为最小， 当，时，为最小，此时； 的最大值与最小值的和为：． 故答案为：13468． 【点评】此题主要考查了列代数式，一元一次不等式组的应用等，理解题意，正确地列出代数式，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 39．（2023秋•灌云县期中）如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： （1）每本课本的厚度为　0.5　； （2）若有一摞上述规格的课本本，整齐叠放在讲台上，请用含的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度； （3）当时，若从中取走14本，求余下的课本的顶部距离地面的高度． 【分析】（1）利用提供数据等于3本书的高度，即可求出一本课本的厚度，进而得出课桌的高度； （2）高出地面的距离课桌的高度本书的高度，把相关数值代入即可； （3）把代入（2）得到的代数式求值即可． 【解答】解：（1）书的厚度为：； 故答案为：0.5； （2）本书的高度为，课桌的高度为85， 高出地面的距离为； （3）当时，． 答：余下的课本的顶部距离地面的高度． 【点评】考查列代数式及代数式求值问题；得到课桌的高度及每本书的厚度是解决本题的突破点． 40．（2023秋•惠城区校级期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于　　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积． 方法①　 　．方法②　 　； （3）观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【分析】平均分成后，每个小长方形的长为，宽为． （1）正方形的边长小长方形的长宽； （2）第一种方法为：大正方形面积个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积； （3）利用可求解； （4）利用可求解． 【解答】解：（1）； （2）或； （3）； （4）， ，， ． 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题． 41．（2023秋•海曙区校级期中）小明去文具用品商店给同学买某品牌水性笔，已知甲、乙两商店都有该品牌的水性笔且标价都是1.50元支，但甲、乙两商店的优惠条件却不同． 甲商店：若购买不超过10支，则按标价付款；若一次购10支以上，则超过10支的部分按标价的付款． 乙商店：按标价的付款． 在水性笔的质量等因素相同的条件下． （1）设小明要购买的该品牌笔数是支，请用含的式子分别表示在甲、乙两个商店购买该品牌笔的费用； （2）若小明要购买该品牌笔30支，你认为在甲、乙两商店中，到哪个商店购买比较省钱？说明理由． 【分析】（1）先求出甲商店10支水性笔的价钱，然后再求出超过10支的部分的价钱，然后列出代数式；乙商店每支水性笔的价钱是元，那么支的价钱是元； （2）把代入即可得到答案． 【解答】解：（1）在甲商店需要：（元， 在乙商店需要：（元， （2）当时，，， 因为，所以小明要买30支笔应到甲商店买比较省钱． 【点评】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 42．（2023秋•沈北新区期中）如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，若圆形的半径为米，广场长为米，宽为米． （1）请列式表示广场空地的面积； （2）若休闲广场的长为400米，宽为100米，圆形花坛的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留． 【分析】（1）观察可得空地的面积长方形的面积圆的面积，把相关数值代入即可； （2）把所给数值代入（1）得到的代数式求值即可． 【解答】解：（1）空地的面积； （2）当，，时， 空地的面积（平方米）． 【点评】考查列代数式及代数式的相关计算；得到空地部分的面积的关系式是解决本题的关键． 一十．代数式求值（共2小题） 43．（2023秋•咸丰县期中）在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，★；时，★．则当时，代数式★★的值为 　　． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得：当时，原式【★】【★】， 故答案为：． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 44．（2023秋•怀仁市期中）某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款．该学校要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球盒，为整数）． （1）若该学校按方案一购买，需付款 　　元；若该学校按方案二购买，需付款 　　元（用含的代数式表示）； （2）若，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算； （3）若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案应付的钱数；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）认真读懂题意，按照两种付费方案列代数式； （2）由（1）得代数式，代入数据求值，再比较即可； （3）购买20副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，10盒乒乓球采用第二种方案，计算出应付钱数． 【解答】解：（1）方案一需付款：元， 方案二需付款：元； 故答案为：，元； （2）当时， 方案一需付款：元， 方案二需付款：元， ， 选择方案一比较合算； （3）购买20副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，10盒乒乓球采用第二种方案， 应付钱数：（元． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式． 一十一．合并同类项（共1小题） 45．（2023秋•拱墅区校级期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． （1）求，的值； （2）①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为 　4　个单位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． （3）在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质可得、的值； （2）①根据题意可得，列方程计算即可； ②设点表示的数为，则点表示的数为：，则，，根据列方程即可解决； （3）设点表示的数为，则点表示的数为：，由已知则 时，表示的数：，表示的数：，分两种情况：①为14时，此时为18，②为时，此时为，可得，由于和运动时间无关，故，即可解决． 【解答】解：（1）， ，， ，， 所以，； （2）①由（1）知，， 表示的数：10，表示的数为：， ， 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为． 故，即， ， 玩具火车的长为4个单位长度， 故答案为：4； ②设点表示的数为，则点表示的数为：， 点在的右侧，当时可知，， 故、两点只能在点的右侧， 只能向右运动，即， ，， 当时， ， 解得：或， 点所表示的数为：14或； （3）存在，使的值与它们的运动时间无关，且定值为：8； 理由：在（2）的条件下，点所表示的数为：14或， 当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动， 表示的数：10，表示的数为：， 分两种情况：①为14时，此时为18， 则 时，表示的数：，表示的数：， 表示的数：，表示的数：， 则，， 当的值与它们的运动时间无关， ， 解得：，此时定值为； ②为时，此时为， 则 时，表示的数：，表示的数：， 表示的数：，表示的数：， 则，， 当的值与它们的运动时间无关， ， 解得：，此时定值为； 综上所述：存在，使的值与它们的运动时间无关，且定值为：8． 【点评】本题考查了合并同类项法则以及数轴上两点间的距离公式的应用，读懂题意并理解题意是解决问题的关键，并且熟记合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数都不变）是解此题的关键． 一十二．规律型：数字的变化类（共1小题） 46．（2023秋•弋阳县期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中的值是　　 A．135 B．170 C．209 D．252 【分析】根据表格找出方格中每个对应数字的表示规律然后求解． 【解答】解：根据表格可得规律： 第个表格中， 左上数字为， 左下数字为， 右上数字为， 右下数字为， ， 解得， ，，． 故选：． 【点评】本题考查数字的变化规律，解题关键是通过表格找出每个位置的数字表示方法． 一十三．规律型：图形的变化类（共1小题） 47．（2023秋•沙坡头区校级期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去； （1）填表： 剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 （2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ （3）如果剪了次，共剪出多少个小正方形？ （4）观察图形，你还能得出什么规律？ 【分析】每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个进行剪．所以在4的基础上，依次多3个． 【解答】解：（1）结合图形，不难发现：在4的基础上，依次多3个．即剪次，共有． 填表： 剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 4 7 10 13 16 （2）根据图形，还可以发现：每个小正方形的边长都是上一次的一半，面积是上一次的正方形的面积的． 如果剪了100次，共剪出个小正方形； （3）如果剪了次，共剪出个小正方形； （4）观察图形，还能得出的规律是：剪了次，小正方形的边长为原来的，面积是原来的． 【点评】要求学生学会观察、分析、归纳和总结规律． 一十四．整式的加减（共11小题） 48．（2023秋•西城区校级期中）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积　　 A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．大长方形 【分析】要求两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，故设，，正方形①的边长为，正方形②的边长为，正方形③的边长为．进而推断出以及，那么，两个阴影部分的周长之差为，所以只需要知道正方形②的边长，即知道正方形②的面积就可以知道两个阴影部分的周长． 【解答】解：如图， 设，，正方形①的边长为，正方形②的边长为，正方形③的边长为， ，，，，，，，， ， ， ， 只要知道正方形②的边长，就可以求出两个阴影部分周长的差． 只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差． 故选：． 【点评】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算是解决本题的关键． 49．（2023秋•思明区校级期中）一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则7241为“3型数”； ，因为，则4635为“型数”．若四位数是“3型数”， 是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，则满足条件的最小四位数的值为 　2442　． 【分析】根据题意列出代数式和等式，对与3的大小关系进行分类讨论，用消元法求出的最小值即可． 【解答】解：为“3型数”， ①， 为“3型数”， ②， 由①②得， 是“型数”， （1）若，则不产生错位， ， ，③， 联立①③得， ， ，即， ，都是整数， 不符题意，舍去， （2）若，则产生错位， 是“型数”， ， 即④， 联立①④得， ， 将代入， ， 又， ， ， 当最大时，最小，此时，， 最小． 故答案为：2442． 【点评】本题考查学生列出代数式和等式进行计算的能力，根据与3的大小关系进行分类讨论是本题难点． 50．（2023秋•潮阳区期中）已知多项式 （1）若多项式的值与字母的取值无关，求、的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，得出，，求出即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：（1） ， 多项式的值与字母的取值无关， ，， ；； （2） ， 当，时，原式． 【点评】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据合并同类项法则合并同类项是解此题的关键． 51．（2023秋•云岩区校级期中）定义：若，则称与是关于1的平衡数． （1）3与 　　是关于1的平衡数，与 　　是关于1的平衡数．（用含的代数式表示） （2）若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【分析】（1）由平衡数的定义可求得答案； （2）计算是否等于2即可． 【解答】解： （1）设3的关于1的平衡数为，则，解得， 与是关于1的平衡数， 设的关于1的平衡数为，则，解得， 与是关于1的平衡数， 故答案为：；； （2）与不是关于1的平衡数，理由如下： ，， ， 与不是关于1的平衡数． 【点评】本题主要考查整式的加减，理解题目中所给平衡数的定义是解题的关键． 52．（2023秋•萧县期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下： （1）求所挡的二次三项式； （2）若，求所挡的二次三项式的值． 【分析】（1）根据题意确定出所挡的二次三项式即可； （2）把的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）所挡的二次三项式为； （2）当时，原式． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 53．（2023秋•京口区期中）小丽同学完成一道题“已知两个多项式．、，计算”，小丽讲误抄写成，求得结果．若，．请你帮助小丽求出的正确答案． 【分析】根据误抄的结果减去，求出，代入中计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：， 则． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 54．（2023秋•盱眙县期中）甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短． （1）求乙三角形第三条边的长； （2）甲、乙两三角形的周长哪个大？试说明理由； （3）、都为正整数，甲、乙两三角形的周长在数轴上表示的点分别为、，若、两点之间恰好有18个“整数点”（点表示的数为整数），求的值． 【分析】（1）根据第二条边长为，第三条边比第二条边短．可求出第三条边， （2）求出乙三角形的周长，再利用作差法，和非负数的意义做出判断即可， （3）由、两点之间恰好有18个“整数点”，可知、两点所表示的数的差等于19，进而求出的正整数值． 【解答】解：（1）由题意得，， 答：乙三角形第三条边的长为， （2）乙三角形的周长为：， 甲、乙三角形的周长的差为：， 甲三角形的周长较大， 答：甲三角形的周长较大． （3）由题意得，， 为正整数， ， 答：的值为4． 【点评】考查整式的加减，不等式的应用即解法，利用作差法和非负数的意义，是比较两个代数式的值的大小常用方法． 55．（2023秋•临洮县期中）有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【分析】首先将原代数式去括号，合并同类项，化为最简整式为，与无关；所以甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的． 【解答】解： ， 当时，原式． 因为化简的结果中不含，所以原式的值与值无关． 【点评】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项．注意去括号时符号的变化． 56．（2023秋•峄城区期中）填空题：（请将结果直接写在横线上） 定义新运算“”，对于任意有理数，有， （1）　34　． （2）若，，则　　． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，整理即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：， 则原式； 故答案为：34； （2），， ，， 则． 故答案为： 【点评】此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 57．（2023秋•潢川县期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： ． （1）求所捂的二次三项式； （2）若请给选择一个你喜欢的数代入，求所捂二次三项式的值． 【分析】（1）根据已知等式，确定出所捂的二次三项式即可； （2）把代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：； （2）当时，原式． 【点评】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 58．（2023秋•解放区校级期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求正确答案． 【分析】本题考查整式的加减运算灵活运用，要根据题意列出整式，再去括号，然后合并同类项进行运算． 【解答】根据题意得 ． ． 【点评】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．根据题中的关系求出，进一步求得． 一十五．整式的加减—化简求值（共2小题） 59．（2023秋•东莞市校级期中）化简求值 （1）先化简，后求值： ，其中，． （2）已知，，求的值，其中． 【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值； （2）把与代入中，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式， 当，时，原式； （2），， ， 当时，原式． 【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 60．（2023秋•浚县期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如： （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，请你计算当时，的值． 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据定义计算，化简后代入计算即可； 【解答】解：（1） （2） ， ，， 原式 【点评】本题考查整式的加减、非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$